高考数学套用18个规范答题模板-2020版

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【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径）变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 奇：2π的奇数倍偶：2π的偶数倍8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

(完整版)最新2020年高考数学各大题型答题模板

2020年高考数学各大题型答题模板数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。

以下是小编搜索整理的关于2020年高考数学各大题型的答题模板，供参考借鉴，希望对大家有所帮助!【选择题十大万能解题方法】1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。

9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。

10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

【填空题四大速解方法】直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

2020年高中数学必备考试技能之套用18个解题模板之模板06 解三角形(解析版)

利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:2B C C ∴-=或2B C C π-=- 3B C ∴=，或B C π+=（舍）.ABC QV 是锐角三角形，32B C π∴=<，且()2A B C ππ=-+<，86c ππ∴<<.故选：A.3．（2020·陕西省榆林中学高三三模）已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC V 内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒，则MAD ∠=（）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D【解析】已知正方形ABCD 的边长为1，如图所示：在BMD V 中，由正弦定理得sin 35sin135DM DB=︒︒，所以2sin35DM =︒，在AMD V 中，由余弦定理得2214sin 354sin 35cos551AM =+︒-︒︒=， △AMD V 为等腰三角形，70MAD ∠=︒．故选：D4．（2020·湖北省高三二模）如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设3DF FA =，则（）A ．36246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．36126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．48246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 【答案】D【解析】如图建立直角坐标系，由题意易知AFC △△BDA V ，则BD AF =，120ADB ∠=o ，不妨设1AB =，33DF FA x ==，则4AD x =，BD x =，所以13,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,0AB =u u u r，在ADB △中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，。

2020年高考数学答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径）变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

高考数学解答题答题模板

典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π2)，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω()2f α−−−−和差公式cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π3)时没有考虑范围扣1分；3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]．又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b， (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →的值．解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝3ab，由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝3sin Asin B， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理可得：2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2，整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2，即：3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，∴AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1. ∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综上①②可得λ的取值范围是(－∞，－21).典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 中点M ―――――→考虑平行关系长度关系平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行的判定定理EF ∥平面P AD (2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ―――→面面垂直的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点DE ⊥AH ――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面P AH ――――→面面垂直的判定定理平面P AH ⊥平面DEF评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)证明因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33.典例5 (12分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图(1)(2)CA、CB、CD两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→求平面AED与平面ABE的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角评分细则 1.第(1)问中证明DC ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分；证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分．2．第(2)问中建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．跟踪演练5 如图，在几何体ABCDQP 中，AD ⊥平面ABPQ ，AB ⊥AQ ，AB ∥CD ∥PQ ，CD ＝AD ＝AQ ＝PQ ＝12AB ，(1)证明：平面APD ⊥平面BDP ； (2)求二面角A —BP —C 的正弦值．方法一 (1)证明设AQ ＝QP ＝1，则AB ＝2，易求AP ＝BP ＝2，由勾股定理可得BP ⊥AP ，而AD ⊥平面ABPQ ，所以BP ⊥DA ，又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD .而BP ⊂平面BDP ，所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解设M 、N 分别为AB 、PB 的中点，连接CM ，MN ，CN .易得CM ⊥平面APB ，MN ⊥PB ，故∠CNM 为二面角A —BP —C 的平面角．结合(1)计算可得，CM ⊥MN ，CM ＝1， MN ＝22，CN ＝62，于是在Rt △CMN 中，sin ∠CNM ＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63. 方法二 (1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝2，依题意得A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (0,1,1)，D (0,0,1)， Q (1,0,0), P (1,1,0)，BP →＝(1，－1,0)，AP →＝(1,1,0)，AD →＝(0,0,1)，那么BP →·AP →＝0，BP →·AD →＝0，因此，BP ⊥AP ，BP ⊥AD .又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD ，而BP ⊂平面BDP ，所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解设平面CPB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BC →＝(0，－1,1)，则BP →·n ＝0，BC →·n ＝0，那么x －y ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1可得n ＝(1,1,1)．又由题设，平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,0,1)．所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝33，可得sin 〈m ，n 〉＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63.典例6 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值．审题路线图 (1)对事件进行分解―→求出从10块地中任取两块的方法总数―→求出空气湿度指标相同的方法总数―→利用古典概型求概率(2)确定随机变量X的所有取值―→计算X取各个值的概率―→写分布列―→求均值评分细则 1.第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；2．第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率时每个式子给1分；分布列正确写出给1分．跟踪训练6(2016·课标全国乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P((3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)．当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)．可知当n ＝19时所需费用的均值小于n ＝20时所需费用的均值，故应选n ＝19.典例7 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C上点满足条件―→求出a 222e a b c =+已知离心率基本量法求得椭圆C 方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |. ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值―――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB关系得S △ABQ 最大值评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；2．第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练7 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即m 2－4k 24(m 2－1)＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．典例8 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0. ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．典例9 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图求f ′(x )――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练9已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x.依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件．故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x .(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.(ⅱ)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1取得最小值g (1)＝0.(ⅲ)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值121()2e ,2aaa g a a--=在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.典例10 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则(1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分；(3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分；(6)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练10已知函数f(x)＝ln x＋1x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意的x>1，恒有ln(x－1)＋k＋1≤kx成立，求k的取值范围；(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，极大值f (1)＝1，无极小值． (2)解因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，∴k ≥1，(3)证明由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x ，当且仅当x ＝1时取等号．令x ＝n 2 (n ∈N *，n ≥2)．则ln n 2n 2<1－1n 2⇒ln n n 2<12(1－1n2)<12(1－1n (n ＋1))＝12(1－1n ＋1n ＋1)(n ≥2)， ln 222＋ln 332＋…＋ln n n2 <12(1－12＋13)＋12(1－13＋14)＋…＋12(1－1n ＋1n ＋1) ＝12(n －1＋1n ＋1－12)＝2n 2－n －14(n ＋1).。

高考数学套用18个规范答题模板-2020版

高考数学套用18个规范答题模板-2020版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模板一求函数值例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．模板二函数的图象例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为模板三函数的零点问题例3 【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B▲模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．模板四三角函数的性质例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（） A. ，Z B. ，Z C.，Z D.，Z【答案】A【解析】那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选A.▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=A sin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________．模板五三角函数的图象变换例5.将函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则φ的最小值是( )A. 4πB. 3πC. 34πD. 38π【答案】D▲模板构建三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度模板六解三角形例6【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=. （1）求B ；（2）若3,b ABC =∆的面积为3ABC ∆的周长.模板七利用函数性质解不等式例7已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414log log 0f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦▲模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018届广东省模拟（二）】已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．模板八利用基本不等式求最值例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________．【答案】【解析】∵a ，b ∈R+，a+4b=1 ∴=≥，当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，故答案为：9▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,x y +∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____.模板九不等式恒成立问题例9【2018年天津卷文】已知a∈R ，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞C. ()0,1D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭模板十简单的线性规划问题例10【2018年理北京卷】若x ,y 满足，则2y−x 的最小值是_________.【答案】3 【解析】不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A． B．C． D．模板十一数列的通项与求和例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.模板十二空间中的平行与垂直例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证： BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.模板十三求空间角例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，因此，当AD 的长为6时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°.▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【变式训练】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证： 1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为7．模板十四直线与圆的位置关系例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（）A. 23,23⎡⎤-+⎣⎦B. 23,32⎡⎤---⎣⎦C. 23,23⎡⎤--+⎣⎦D. 23,23⎡⎤---⎣⎦【答案】B【解析】圆2244100x y x y ++--=可化为()()222218x y ++-= 则圆心为（-2，2），半径为32，1+240b b a a ⎛⎫⎛⎫-⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由直线l 的斜率k=-a b 则上式可化为k 2+4k+1≤0解得2323k --≤≤-+故选B▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB =__________．模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值.【解析】（I )依题意， 222223,93{1, 4,ca ab a bc =+==+解得23,3,3a b c ===，故椭圆C 的方程为221123x y +=；（2）依题意，椭圆右焦点F 坐标为()3,0，设直线():30l x my m =+≠，直线l 与椭圆C 方程联立223,{ 1,123x my x y =++= 化简并整理得()224630m y my ++-=， ∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++，由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++ 22643464m m m m -+=+=-+，∴点(当且仅当22911m m +=+即2m =±) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:【变式训练】【2018·合肥市质检】已知点F 为椭圆E ： 22221x y a b+= (a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M . (1)求椭圆E 的方程； (2)设直线142x y+=与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．模板十六圆锥曲线中的探索性问题例16【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由△OMF 是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l 交椭圆于P,Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心设P （,）,Q （,）因为M （0,1），F （1,0），故，故直线l 的斜率于是设直线l 的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM 不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l ，且直线l 的方程为▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:【变式训练】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 2的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.模板十七离散型随机变量例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”. （1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API （Air Pollution Index ）的监测数据，结果统计如下：API[0,50](50,100](100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 大于300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 10 15 20 30 7 612（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020P(K )k ≥ 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附： ()()()()()22K n ad bc a b c d a c b d -=++++0,100时企业正常生（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API在区间[]100,200时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当API在区间产；当API在区间(](]200,300时对企业限产50%，当API在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率；②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．模板十八线性回归方程例18【2018年理数全国卷II】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．▲模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点如下:(1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.(2)计算.计算出,,,xiyi的值;计算回归系数,.(3)求方程.写出线性回归直线方程y=x+.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x)1020304050607080愿意整体搬迁人数(y)817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a=+（b 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iii i ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.答案部分模板一求函数值【变式训练】【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此模板二函数的图象【变式训练】【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C故正确答案选D.模板三函数的零点问题【变式训练】【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，模板四三角函数的性质【变式训练】【答案】1 2 -模板五三角函数的图象变换【变式训练】【答案】C【解析】故选C模板六解三角形【变式训练】【解析】（1）由题意及正弦定理得()sin sin cos sin cos3sin cosB A B B AC B+=，()sin sin sin sin3sin cosB A B BC C B ∴+==，()0,Cπ∈，sin0C∴>，sin3cosB B∴=，∴tan3B=∴2220a c +=，∴()222236a c a c ac +=++=，6a c ∴+=，又23b =，ABC ∴∆的周长为623+.模板七利用函数性质解不等式【变式训练】【答案】【解析】当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为. 模板八利用基本不等式求最值【变式训练】【答案】526+【解析】由22x y xy +=，得1112x y+=．∴()1134342x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=4355262y x x y ++≥+．当且仅当432y xx y =且22x y xy +=时等号成立．∴34x y +的最小值为526+．模板九不等式恒成立问题【变式训练】【答案】C【解析】记函数()f x 在[]1,e 上的最小值为()g m : ()()1ln mf x x m x x=-+-的定义域为()0,+∞. ()211m mf x x x++'=-. 令()0f x '=，得m x =或1x =.①0m 1<≤时，对任意的1x e <<,()0f x '>， ()f x 在[]1,e 上单调递增， ()f x 的最小值为()11m f =- ②当1m e <<时，()f x 的最小值为()()m m 1m 1lnm f =--+;故实数m 的取值范围为()0,1. 故选C.模板十简单的线性规划问题【变式训练】【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选模板十一数列的通项与求和【变式训练】【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii ）因为，所以.模板十二空间中的平行与垂直【变式训练】【答案】见解析【解析】证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A ⋂底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．又11AB A M ⊥， 1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M ⋂=，所以1AB ⊥平面1A MC ．又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．模板十三求空间角【变式训练】【解析】（1）连接1A B ， 1A D ， AC ，因为1AB AA AD ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形，于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥，又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ．所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点， OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ， ()0,1,0B ， ()0,1,0D -， ()10,0,1A ， ()1,0,0C -， ()0,2,0DB =，()111,0,1BB AA ==-， ()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --．设111D E DC λ=（[]0,1λ∈），则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---，所以()1,,1DE λλ=--．模板十四直线与圆的位置关系【变式训练】【答案】2模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题【变式训练】【解析】 (1)由题意，得a＝2c，b3，则椭圆E为22221 43x yc c+=.∵直线142x y+=与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222{34120y kx x y =++-=⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝2434k+，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·2434k +＝1＋2134k +＝54λ， ∴λ＝45 (1＋2134k +)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．模板十六圆锥曲线中的探索性问题【变式训练】【答案】（1）24y x =（2）()8,4-【解析】（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴直线AB 的方程为: 2p y x ⎫=-⎪⎭.联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得: 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴6AB ===解得2p =.∴抛物线C 的方程为： 24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{4x my t y x=+=，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++ ()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+，∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.模板十七离散型随机变量【变式训练】【解析】（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计8812100()22100657235 5.213 3.84188127030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，②企业甲这一年的利润的期望值为25750365(2210010100⨯⨯+⨯⨯ 11311222)502.9721005100+⨯⨯+⨯⨯=万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是3652502.97227.03⨯-=万元．模板十八线性回归方程【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni i i n i i x y n x y x y b x n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑， 360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时， 25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======.所以 X 的分布列为()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

高考数学答题模板

高考数学答题模板一些同学数学基础比较差，短期提高成绩不太可能，怎样不就？不防就看看《高考数学答题模板》，也许能提高你的数学高考成绩。

一、选择填空题1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。

针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。

2、答题方法：选择题十大速解方法：（十大解题技巧你会了没）排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法；填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

二、解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

2020年高考数学答题模板(最终版)

高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）嬴本德题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB bA a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径）变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R cB R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan =8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

高考数学答题模板：函数的单调性、极值、最值问题

高考数学答题模板：函数的单调性、极值、
最值问题
高考数学答题模板：函数的单调性、极值、最值问题
1、解题路线图
(1)①先对函数求导;②计算出某一点的斜率;③得出切线方程。

(2)①先对函数求导;②谈论导数的正负性;③列表观察原函数值;④得到原函数的单调区间和极值。

2、构建答题模板
①求导数：求f(x)的导数f′(x)。

(注意f(x)的定义域)
②解方程：解f′(x)=0，得方程的根。

③列表格：利用f′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。

④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。

⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。

高考数学各题型答题模板

高考数学各题型答题模板高考数学考试时间有限，要把握正确的答题技巧，才能争取在最短的事件内得到高分，下面就是我给大家带来的高考数学各题型答题模板，希望大家宠爱!高考数学各题型答题模板选择填空题1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础学问点记忆，避开因为学问点失误造成的客观性解题错误。

针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集状况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。

2、答题〔方法〕：选择题十大速解方法：(十大解题技巧你会了没)排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

④〔反思〕：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应留意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

数学答题模板

模板 3 由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系求通项 an
例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn>0 (n∈N*)，且 b1＋b2＋b3＝ 15，又 a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 审题路线图 (1) an＝Sn－Sn－1 (n≥2) → 消去Sn → 得an＋1＝3an → an＝3n－1
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
如果适合，则统一“合写”；如果
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列，设等差数不适合，则应分段表示．
列{bn}的公差为 d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2. 第四步：写出明确规范的答案．
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得 d＝－10 或
构建答题模板
模板4 立体几何中的基本关系与基本量问题
例4 如图所示，在四棱锥P—ABCD中， PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1， AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离．审题路线图
规范解答示例
构建答题模板
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC. 第一步：根据条件
模板 2 与平面向量综合的三角函数问题例 2 已知向量 a＝(cos 32x，sin 32x)，b＝(－sin x2，－cos x2)，
其中 x∈π2，π. (1)若|a＋b|＝ 3，求 x 的值； (2)函数 f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若 c>f(x)恒成立，求实数 c 的取值范围．审题路线图 (1)|a＋b|＝ 3→a2＋2a·b＋b2＝3→三角方程 →求 x. (2)化 f(x)向量表示式为三角表示式→化简 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→f(x)max→c>f(x)max.

2020年高考数学(理)解答题核心题型与答题模板(专题04)

2020年高考数学（理）解答题核心题型与答题模板（专题04）专题04 立体几何核心考点一平行关系的证明平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行及平面与平面平行，平行关系的证明一般作为解答题的第一问，难度中等或中等以下，解答此类问题要注意步骤的规范.【经典示例】如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【答题模板】证明BE∥平面DMF的步骤第一步,在平面DMF内找出一条直线MO与BE平行；第二步,指出BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF；第三步,由线面平行的判断定理得BE∥平面DMF.【满分答案】证明(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.【解题技巧】1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2. 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．3.平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”【模拟训练】1．如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．核心考点二垂直关系的证明平行关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直，垂直关系的证明一般作为解答题的第一问，难度中等或中等以下，解答此类问题要注意步骤的规范.【经典示例】如图所示，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【答题模板】证明PD⊥平面ABE(线面垂直)的步骤：第一步,证明AE⊥PD，AB⊥PD(在平面ABE内找出两条直线与AD垂直)；.第二步,指出AB∩AE＝A (两直线相交)；.第三步,利用线面垂直的判定定理确定PD⊥平面ABE.【满分答案】(1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.（2）P A=PB=PC，∠ABC=60°，可得AC=P A∵E是PC的中点，∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【解题技巧】1.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．2. 判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．3. 垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决.【模拟训练】2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，AC1⊥A1B1.1求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.核心考点三利用空间向量证明平行与垂直立体几何中的线面位置关系的证明，也可利用向量，用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．【经典示例】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.【答题模板】用向量证明平行或垂直的步骤第一步, 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标；.第二步,把平行与垂直问题转化为直线方向向量或平面法向量之间的数量关系；第三步,通过计算得出结论；第四步,还原结论.【满分答案】(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.∵PA=PD ，∴PO ⊥AD∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD所以PO ⊥平面ABCD又∵OF 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB ，又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD∵,PA PD = ∴PA ⊥AD ，2a OP OA == 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a 2，0,0)，F (0，a 2，0)，D (－a 2，0,0)，P (0,0，a 2)，B (a 2，a,0)，C (－a 2，a,0)．因为E 为PC 的中点，所以E (－a 4，a 2，a 4)．易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝(0，a 2，0)，因为EF →＝(a 4，0，－a 4)，且OF →·EF →＝(0，a 2，0)·(a 4，0，－a 4)＝0，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝(a 2，0，－a 2)，CD →＝(0，－a,0)，所以P A →·CD →＝(a 2，0，－a 2)·(0，－a,0)＝0，所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .[来源学科网]【解题技巧】1.证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．2.证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．3. 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．【模拟训练】3．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E 为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．核心考点四利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角是全国卷高考必考内容。

高考数学答题模板

加速做数学选择题的七项策略一、特殊法是“小题小作”的重要策略，辩证法认为矛盾的特殊性是矛盾的一般性的突出表现，是矛盾的一般性的集中反映。

特殊法就是利用数学问题中的普遍与特殊的关系来简化解题过程的一种方法,只能用选择题和填空题的解答.一般有特殊函数法,特殊数列法,特殊值法,特殊图形法. （一）特殊数列法1. 如果等比数列{a n }的首项是正数，公比大于1，则数列}log {31n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛是（）A.是递增等比数列B.是递减等比数列C.是递增等差数列D.是递减的等差数列. 2．一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（）A ．－24B ．84C ．72D ．363．已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有（）A 、11010a a +>B 、21020a a +<C 、3990a a +=D 、5151a = （二）特殊函数法4．已知定义域是实数集R 上的函数y=f(x)不恒为0，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有_____. A.f(x)<－1 B. －1<f(x)<0 C . f(x)>1 D. 0<f(x)<15．如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－56．定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。

其中正确的不等式序号是（） A ．①②④B ．①④C ．②④D ．①③（三）特殊数值法7．双曲线b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e ，则2cos α等于（） A ．e B.e 2 C.1eD.21e0,1,a b a b <<+=8.设()则下列不等式中正确的是()2A b ab <<22()2B ab b a b <<+<22()2C ab a b b <+<<22()2D ab a b b <+<49.0||().sin 2sin .cos2cos .tan 2tan .cot 2cot A B C D πααααααααα<<><><若则10．若sin α>tan α>cot α(24παπ<<-)，则α∈（）A ．(2π-，4π-) B ．（4π-，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2π） 2020高考数学答案模板（四）特殊形状法11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

高考数学28个答题模板及答题技巧汇总(真的超精细哦)

高考数学28个答题模板及答题技巧汇总(真的超精细哦)本文总结了高考数学中常见的28个题型、解题模板和解题技巧，希望能够对考生提供参考和帮助。

单选题1. 未知数的代值：将题目中给定的条件代入方程中，解方程即可；未知数的代值：将题目中给定的条件代入方程中，解方程即可；2. 因式分解求值：将式子进行因式分解，再将已知的值代入求得答案；因式分解求值：将式子进行因式分解，再将已知的值代入求得答案；3. 图像与解析式配对：通过画图或分析图像，找到图像对应的解析式，再求得答案；图像与解析式配对：通过画图或分析图像，找到图像对应的解析式，再求得答案；4. 二次函数：将二次函数用顶点式表示或通过配方法将二次函数转化为标准式，再根据已知条件求解；二次函数：将二次函数用顶点式表示或通过配方法将二次函数转化为标准式，再根据已知条件求解；5. 三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；6. 数列求和：根据数列的首项、公比、项数等已知条件，利用数列求和公式求解；数列求和：根据数列的首项、公比、项数等已知条件，利用数列求和公式求解；7. 圆的性质：根据圆的定义、性质，以及圆内接、外接三角形性质进行判断和计算；圆的性质：根据圆的定义、性质，以及圆内接、外接三角形性质进行判断和计算；8. 统计与概率：根据统计数据和概率公式进行计算。

统计与概率：根据统计数据和概率公式进行计算。

填空题9. 比例求值：根据已知值和比例关系，通过求解等式来求得答案；比例求值：根据已知值和比例关系，通过求解等式来求得答案；10. 三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；11. 函数求值：根据函数的定义和已知条件，将函数进行变形，得出结果；函数求值：根据函数的定义和已知条件，将函数进行变形，得出结果；12. 平面几何：根据平面几何的定义、定理和公式，进行计算；平面几何：根据平面几何的定义、定理和公式，进行计算；13. 空间几何：根据空间几何的定义、定理和公式，进行计算。

2020年高考数学答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径）变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan =8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

高考数学套用18个规范答题模板-2020版

模板一求函数值例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．模板二函数的图象例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为模板三函数的零点问题例3 【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B▲模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．模板四三角函数的性质例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（）A. ，ZB. ，Z C. ，Z D.，Z【答案】A 【解析】那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选A.▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________．模板五三角函数的图象变换例5.将函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则φ的最小值是( )A. 4πB. 3πC. 34πD. 38π【答案】D▲模板构建三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度模板六解三角形例6【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=.（1）求B ；（2）若3,b ABC =∆的面积为3ABC ∆的周长. 模板七利用函数性质解不等式例7已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414log log 0f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦▲模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018届广东省模拟（二）】已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．模板八利用基本不等式求最值例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________．【答案】【解析】∵a ，b ∈R+，a+4b=1 ∴=≥，当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，故答案为：9▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,x y +∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____.模板九不等式恒成立问题例9【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞C. ()0,1D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭模板十简单的线性规划问题例10【2018年理北京卷】若x ,y 满足，则2y−x 的最小值是_________.【答案】3 【解析】不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A． B．C． D．模板十一数列的通项与求和例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，. （Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.模板十二空间中的平行与垂直例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证： BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.模板十三求空间角例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. ▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【变式训练】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证： 1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为714．模板十四直线与圆的位置关系例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（） A. 23,23⎡⎤-+⎣⎦ B. 23,32⎡⎤---⎣⎦C. 23,23⎡⎤--+⎣⎦D. 23,23⎡⎤---⎣⎦【答案】B【解析】圆2244100x y x y ++--=可化为()()222218x y ++-= 则圆心为（-2，2），半径为32，1+240b b a a ⎛⎫⎛⎫-⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由直线l 的斜率k=-a b 则上式可化为k 2+4k+1≤0解得2323k --≤≤-+故选B▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB =__________．模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值.【解析】（I )依题意， 22222393{1, 4,c a a ba b c =+==+解得3,3,3a b c ===，故椭圆C 的方程为221123x y +=；（2）依题意，椭圆右焦点F 坐标为()3,0，设直线():30l x my m =+≠，直线l 与椭圆C 方程联立223,{ 1,123x my x y =++= 化简并整理得()224630m y my ++-=， ∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++，由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++ 22643464m m m m -+=+=-+，∴点(当且仅当22911m m +=+即2m =±时等号成立) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:【变式训练】【2018·合肥市质检】已知点F 为椭圆E ： 22221x y a b+= (a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线142x y+=与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．模板十六圆锥曲线中的探索性问题例16【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由△OMF 是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l 交椭圆于P,Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心设P （,）,Q （,）因为M （0,1），F （1,0），故，故直线l 的斜率于是设直线l 的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM 不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l ，且直线l 的方程为▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:【变式训练】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 模板十七离散型随机变量例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]大于300中度重空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染重度污染污染天数101520307612列联表，并判断（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面22能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020P(K )k ≥ 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828附： ()()()()()22K n ad bc a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API 在区间[]0,100时企业正常生产；当API 在区间(]100,200时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当API 在区间(]200,300时对企业限产50%，当API 在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率； ②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．模板十八线性回归方程例18【2018年理数全国卷II 】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．▲模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点如下:(1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.(2)计算.计算出,,,xiyi的值;计算回归系数,.(3)求方程.写出线性回归直线方程y=x+.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. （1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x) 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数(y)8 17 25 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a=+（b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iii i ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.答案部分模板一求函数值【变式训练】【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此模板二函数的图象【变式训练】【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C故正确答案选D.模板三函数的零点问题【变式训练】【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，模板四三角函数的性质【变式训练】【答案】1 2模板五三角函数的图象变换【变式训练】【答案】C【解析】故选C模板六解三角形【变式训练】【解析】（1）由题意及正弦定理得()+=，B A B B AC B sin sin cos sin cos3sin cos()∴+==，B A B BC C B sin sin sin sin3sin cos ()∈，0,Cπ∴>，Csin0∴=，B Bsin3cosB=∴tan3∴2220a c +=，∴()222236a c a c ac +=++=，6a c ∴+=，又23b =，ABC ∴∆的周长为623+.模板七利用函数性质解不等式【变式训练】【答案】【解析】当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.模板八利用基本不等式求最值【变式训练】【答案】526+ 【解析】由22x y xy +=，得1112x y+=． ∴()1134342x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=4355262y x x y ++≥+．当且仅当432y xx y =且22x y xy +=时等号成立．∴34x y +的最小值为526+模板九不等式恒成立问题【变式训练】【答案】C【解析】记函数()f x 在[]1,e 上的最小值为()g m : ()()1ln mf x x m x x=-+-的定义域为()0,+∞. ()211m mf x x x++'=-. 令()0f x '=，得m x =或1x =.①0m 1<≤时，对任意的1x e <<,()0f x '>， ()f x 在[]1,e 上单调递增， ()f x 的最小值为()11m f =-②当1m e <<时，()f x 的最小值为()()m m 1m 1lnm f =--+;故实数m 的取值范围为()0,1. 故选C.模板十简单的线性规划问题【变式训练】【答案】A 【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选模板十一数列的通项与求和【变式训练】【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i ）.（ii ）证明见解析.【解析】（I ）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d ，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II ）（i ）由（I ），有，故.（ii ）因为，所以.模板十二空间中的平行与垂直【变式训练】【答案】见解析【解析】证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A ⋂底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．又11AB A M ⊥， 1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M ⋂=，所以1AB ⊥平面1A MC ．又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．模板十三求空间角【变式训练】【解析】（1）连接1A B ， 1A D ， AC ，因为1AB AA AD ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形，于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥，又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ．所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点， OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ， ()0,1,0B ， ()0,1,0D -， ()10,0,1A ， ()1,0,0C -， ()0,2,0DB =， ()111,0,1BB AA ==-， ()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --．设111D E DC λ=（[]0,1λ∈），则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---，所以()1,,1DE λλ=--．模板十四直线与圆的位置关系【变式训练】【答案】2模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题【变式训练】【解析】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为2222143x y c c+=.∵直线142x y+=与y 轴交于P (0,2)， ∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222{ 34120y kx x y =++-=⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝2434k+，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·2434k +＝1＋2134k +＝54λ， ∴λ＝45 (1＋2134k +)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．模板十六圆锥曲线中的探索性问题【变式训练】【答案】（1）24y x =（2）()8,4-【解析】（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴直线AB 的方程为: 2p y x ⎫=-⎪⎭.联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得: 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴6AB ===解得2p =.∴抛物线C 的方程为： 24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{4x my ty x=+=，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）. 模板十七离散型随机变量【变式训练】【解析】（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计 8812100()22100657235 5.213 3.84188127030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，②企业甲这一年的利润的期望值为25750365(2210010100⨯⨯+⨯⨯ 11311222)502.9721005100+⨯⨯+⨯⨯=万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是3652502.97227.03⨯-=万元．模板十八线性回归方程【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni i i n i i x y n x y x y b x n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑， 360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时，25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

高考数学答题模板答题秘籍

高考数学也有答题模板了，还不抓紧来看？这篇文章适合基础比较差的同学们学习，主要是给大家总结了一些答题的模板，对这部分同学来说，一定要记住哦！选择填空题1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。

针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。

解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。