一阶偏微分方程基本知识资料
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解（实用版）目录一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念二、一阶偏微分方程组的求解方法三、一阶偏微分方程组的应用实例正文一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种，它是指包含一个未知函数的一阶偏导数的方程组。
在求解一阶偏微分方程组时，我们需要了解一些基本概念，如：线性偏微分方程、非线性偏微分方程、齐次偏微分方程、非齐次偏微分方程等。
二、一阶偏微分方程组的求解方法求解一阶偏微分方程组通常有以下几种方法：1.常数变易法：适用于齐次线性偏微分方程组。
通过求解每个方程的常数项，然后将结果组合起来，得到原方程组的解。
2.变易法：适用于非齐次线性偏微分方程组。
首先求解对应的齐次线性偏微分方程组，然后通过解非齐次方程得到变易因子，最后将变易因子与齐次方程的解相加，得到原方程组的解。
3.待定系数法：适用于含有待定系数的一阶偏微分方程组。
通过设定待定系数，将方程组转化为一组关于待定系数的代数方程，然后求解代数方程，得到待定系数的值，最后将待定系数代入原方程组，得到原方程组的解。
4.分离变量法：适用于具有特定形式的一阶偏微分方程组。
通过将变量分离，将原方程组转化为一组关于不同变量的方程，然后分别求解这些方程，最后将解组合起来，得到原方程组的解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：物理学中的波动方程、生物学中的种群动态方程、经济学中的价格决定方程等。
这些方程组的求解有助于我们更好地理解现实世界中的现象和规律，为科学研究和实际应用提供理论依据。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程领域的基本内容，其求解方法多样，应用广泛。
一阶偏微分方程的解法
一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。
其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。
本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。
一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。
偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。
一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。
方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。
因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。
为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。
二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。
我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。
1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。
特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。
以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。
我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。
一阶偏微分方程教程
N (t) 0 p(a,t)da
18
若不考虑死亡，则在时刻 t+t，年龄在[a, a+a] 中的人口数量 p(a, t+t)a，应等于在时刻 t，年龄 在区间[a−t, a+a−t]中的人口数量p(a−t, t)a， 即
p(a,t t) p(a t,t)
因此 p(a, t)应满足
dx
dy du
1 u x y 1 2
首次积分为 u 2 y, 2 u x y y
于是原方程的隐式通解为
u 2y, 2 u x y y 0
其中 为任意二元连续可微函数。
16
例5. 求解hy问题
u
u x
xz u y
xy u z
0
u yy0 f (x, z)
11
解：特征方程组为 dx dy dz yz xz xy
首次积分为 x2 y2, x2 z2
于是原方程的通解为 u x2 y2, x2 z2 ，其中
为任意二元连续可微函数。
研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含 药物的测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱的长度 为0.76mm，直径为0.66mm。这些平行圆柱的中心 位于1mm×0.76mm×1mm的网格点上。因此，圆
a 0, t 0
p(a,
0)
p0 (a),
a0
(4)
p(0,
t
)
(a,t, N (t)) p(a,t)da,
0
t 0
N (t) 0 p(a,t)da, t 0
一阶偏微分方程
定理6.2 如果已知方程组(6.1)的一个首次积分,则可将方
程组(6.1)降低一维; 如果已知方程组(6.1)的 k 2 k n 1
个独立的首次积分,则可将方程组(6.1)降低 k 维.
应用定理6.2到例6.1, 因为
u1
(u1, u2 )
det
应用定理6.1到例6.1, 容易验证 u1(t, x, y) (x y)et 和
u2 (t, x, y) (x y)et 都是方程组的首次积分,并且根据定
义6.1,(u1,u2)也是方程组的首次积分, 其中 是任意关于其
变量连续可微的函数.那么 u1 和 u2为什么能够构成方程组
(u1,u2, , un ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
因此方程组(6.9)在区域 G内只有零解,即
x1 f1, x2 f2, , xn fn.
所以由(6.6)定义的函数是方程组(6.1)的解, 即(6.5)式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)
定义6.1 设 u(t, x1, x2,, xn ) 是区域 G Rn1 内连续可
微,且不恒等于常数的函数, 如果方程组(6.1)的任一组解
x1(t), x2 (t), , xn (t), t I, 使得
u t, x1 t, x2 t, , xn t 某常数， 6.2
x
(x, y)
u2
x
u1
y u2
det
et et
y
et et
2
0,
(t,
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一阶偏微分方程求解方法
VS
举例2
求解一阶偏微分方程时，遇到边界条件为 y'(0)=1，y'(1)=2的情况，可以通过有限差 分法进行处理。
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THANKS
03
3. 求解参数方程
通过求解参数方程，得到 (t = x^2/2 + C) ，其中 (C) 是常数。
02
2. 建立参数方程
根据参数 (t) 的定义，建立参数方 程 (u'(x) = x + t) 。
04
4. 求得原方程的解
将 (t) 关于 (x) 的表达式代入原方 程，得到原方程的解 (u(x) = x^2/2 + C) 。
04 参数法
适用条件
适用于具有特定形式的一阶偏微分方程，如形如 (u'(x) = f(x, u(x))) 的方程。
适用于已知函数 (f(x, u)) 的情况，且在某些特定点上，方程的解 (u(x)) 可以表示为参数 (x) 的函数。
求解步骤
1. 确定参数
选择一个参数 (t) ，使得方程的解 (u(x)) 可以表示为 (t) 的函数。
乘积或商。
03 偏微分方程中的未知函数可以表示为某种周期函 数的乘积或商。
求解步骤
01
1. 将偏微分方程中的未知函数表示为多个函数的乘积
或商。
02 2. 将每个函数分别求解，得到每个函数的解。
03
3. 将所有函数的解组合起来，得到偏微分方程的解。
举例说明
考虑一阶偏微分方程 $$ frac{partial u}{partial x} + u = f(x) $$ 其中 $u = u(x)$ 是未知函数，$f(x)$ 是已知函数。
(e^{int f(x) dx} y' = f(x) e^{int f(x) dx})
一阶偏微分方程讲义
偏微分方程(Partial Differential Equations)許多物理規律、物理過程和物理狀態都可以用微分方程描述。
當物理過程和狀態只由一個因素決定時，往往提出常微分方程。
例如質點的運動，通過解常微分方程就能得到質點的運動規律。
例：()()()()mu t cu t ku t P t++=(質點運動方程式)當物理問題由多個因素決定時，就會涉及到偏微分方程，偏微分方程為應用數學中重要的課題之一，物理問題之數學模式與偏微分方程式有關，許多數學理論與方法的發展往往肇因於求解偏微分方程。
例：222u uat x∂∂=∂∂(熱傳導方程式)22222u uat x∂∂=∂∂(波動方程式)2222u ux y∂∂+=∂∂(拉普拉斯方程式)u uut x∂∂+=∂∂(衝擊波方程式)33u u uut x xσ∂∂∂++=∂∂∂(KdV方程式)1. 偏微分方程的定義與解設()12,,,n u x x x =為自變數12,,,n x x x 之函數，任何包含其偏導數之關係式21211,,,,,,,0n n u u f x x x x x x ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭(1)稱為偏微分方程式(簡稱P.D.E.)。
基本名詞：(1) 階數(order)：P.D.E.中所含最高階偏導數之階數。
(2) 線性(linear)：P.D.E.中，其未知函數以及其偏導數均滿足 (i)次數均為一次。
(ii)無互相的乘項。
(iii)無非線性函數。
則稱為線性P.D.E.。
(3) 擬線性(quasi-linear)：P.D.E.中，其最高階的偏導數之次數為1次，且彼此無互乘項，則稱為擬線性P.D.E.。
(4) 非線性(non-linear)：若P.D.E.不為線性或擬線性，則稱為非線性P.D.E.。
解之分類：(1) 通解(general solution)：滿足P.D.E.且包含任意函數之解。
(2) 全解(complete solution)：滿足P.D.E.且包含任意常數之解。
2. 一阶偏微分方程
§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂n n n n x ux x x a x u x x x a (1)式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u t u u x x x t F()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2) 称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c 就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ) 是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni ini x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2．非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n in i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R tun i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()ux x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 === 为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0 都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x u p p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂==若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i ,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂y b b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bV a V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解.2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y bx b y a x a ，即回到完全解.3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b V a V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uF p x F t p p Fp t u p F t x i i i ni ii i i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或up x p up x p p Fp up x p xp x n n n ni iinn ∂+∂-==∂+∂-=∂∂=∂==∂=∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组 ()()F x y z p q G x y z p q a ,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解. 例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为z Fqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数) 可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为nn n ni iiinn n x f p x f p p f p zp f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1) 称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yPx Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足zUR y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,, 从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c 所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P x z发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数.[特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-ji ji txa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线.[狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量.作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tn j i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i(k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关.(ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c )).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B t u A x v D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统.考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且图14.3()()()()()()()()v u t x u tx vv u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v xtu,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A u t D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂tx v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.。
一阶偏微分方程求解方法PPT课件
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2019/10/22
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
n
{[ w j( i )d]Ci}
{[ w*j ( i )d]Ci}
w jq d
w
* j
s
d
i 1
i 1
n
{[
w j( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci
w jq d
w
* j
s
d
i 1
有j个代数方程，
20
通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
在x 0处：（）x0＝0 在x d处：（）xd＝10 12
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
Fj(R)
j
R
d
j
R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
1
R
d
1R
第七章-7.2一阶线性偏微分方程
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
D Rn1
其中 fi (t, x1,, xn ) 对 x1, x2 ,, xn 是连续可微的.
设 (t, x1, x2 ,, xn ) 连续可微，且不是常数， 把方程组任一解 xi xi (t)代入 使 (t, x1, x2 ,, xn ) 成为与t 无关的常数,
dx1 = dx2 = ... = dxn
X1
X2
Xn
则 (x1, x2, , xn) c 是方程组的首次积分的充要条件为：
x1 X1 x2 X 2 xn X n 0
10 2021/5/7
定理7.1 设已知微分方程组（7.1）的 n个独立的首次积分
i (t, x1, x2, , xn ) Ci , (i 1, 2, , n)
n
的解，则 ciu i也为此方程的解。（ci为任意常数） i 1
定理2：若ui是L[u] fi (i 1, 2,...)的解，且 ciui收敛， i 1
则u ciui是L[u] ci fi的解。
i 1
i 1
定理3：一个给定的线性偏微分方程的解能够表示为它 的一个特解和它所对应的齐次方程的解的和。
c2
1 1
D( 1, 2 )
D(x, y)
x
2
y 2( x y)2 0
2
x y
故首次积分 1 c1, 2 c2是相互独立的，
所以原方程组通解为
x2 y2 c1
1 2
(
x
y)2
t
c2
13 2021/5/7
小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）
为了求得首次积分，通常把如下方程组
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
一阶线性偏微分方程
第七章一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1）一阶线性齐次偏微分方程形如0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域nR D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。
2）一阶拟线性偏微分方程形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n nn n n =∂∂++∂∂（7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。
n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。
所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。
3）特征方程组常微分方程组nn X dx X dx X dx === 2211（7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。
常微分方程组Zdz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211（7.4） 称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。
4）首次积分对一般的常微分方程组),,2,1)(,,,(1n i y y x f dxdy n i i ==（7.5） 其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n RD 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。
一阶偏微分方程教程
一阶偏微分方程教程一、基本概念偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。
一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。
通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。
一般形式的一阶偏微分方程为：F(x,y,u,u_x,u_y)=0其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。
二、解法解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。
1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。
2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。
3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。
三、应用1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。
它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。
2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。
通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。
3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。
总结：一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。
掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。
最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。
7. 一阶线性偏微分方程
∂ϕ1
∂y1 ∂ϕ1 ∂y2
···
∂ϕ2 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y2
···
··· ··· ···
∂ϕn
∂y1 ∂ϕn ∂y2
···
· · · ∂ϕ1 ∂ϕ2
∂yn ∂yn
∂ϕn ∂yn
的秩为n来定义ϕj(j = 1, 2, · · · , n)的独立性。
(7.7)
7.2.2 常微分方程组与一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
定义 7.3 形如
n i=1
Xi(x1,
x2,
·
·
·
,
xn
)
∂u ∂xi
=
0
(7.13)
的一阶齐次线性偏微分方程，假定其系数Xi(x1, x2, · · · , xn)在给定点(x(10), x(20) · · · , x(n0))的
某个邻域D中连续可微且不同时为零。构造如下形式的一阶常微分方程组：
入方程(7.1)中得到恒等式
F
x1,
x2,
·
·
·
,
xn;
ϕ,
∂ϕ ∂x1
,
∂ϕ ∂x2
,
·
·
·
,
∂ϕ ∂xn
≡0
则称u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)是偏微分方程(7.1)的一个解，而D是该解的定义域。 偏微分方程解的几何意义 对于一阶偏微分方程(7.1)，当n = 2时，其一般形式可以
x2,
·
·
·
,
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解一、一阶偏微分方程组的定义和基本概念一阶偏微分方程组是指包含多个未知函数的偏微分方程组，其中最高阶导数为一次。
它们在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
一阶偏微分方程组的一般形式为：u/t = Au + F(x, u)其中，u(x, t) 是未知函数，A 是系数矩阵，F(x, u) 是非线性函数。
二、常见的一阶偏微分方程组类型及求解方法1.热传导方程：描述热在物质中的传播过程，求解方法有分离变量法、有限差分法等。
2.波动方程：描述波的传播过程，求解方法有分离变量法、有限元法等。
3.牛顿冷却定律方程：描述物体在热交换过程中的温度变化，求解方法有边界层法、有限差分法等。
4.反应扩散方程：描述化学反应过程中物质的扩散，求解方法有有限差分法、有限元法等。
三、数值求解方法及其优缺点1.分离变量法：将偏微分方程组分解为多个一阶常微分方程，然后分别求解。
优点是计算简单、收敛速度快，缺点是适用于对称和具有特定结构的方程组。
2.有限差分法：将空间或时间离散化，利用差分代替微分。
优点是适用于各种偏微分方程组，缺点是对网格要求较高，可能导致误差累积。
3.有限元法：将求解域划分为有限个元素，在每个元素内建立近似解，然后通过插值函数叠加得到全局解。
优点是适用于复杂几何结构和非线性方程组，缺点是计算成本较高。
四、实际应用场景及案例分析1.热传导问题：分析电子器件、建筑物的温度分布，为散热设计和节能提供依据。
2.波动问题：分析声波、电磁波在介质中的传播特性，为通信、导航等系统优化提供支持。
3.反应扩散问题：研究生物膜、化学反应过程中的物质传输和反应速率，为相关领域提供理论依据。
五、总结与展望一阶偏微分方程组在多个领域具有广泛应用，掌握其求解方法和实际应用场景对于解决实际问题具有重要意义。
一阶偏微分方程教程
方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续 方程的解：若函数 连续并具有方程所涉及的连续 的各阶偏导数， 的各阶偏导数 ， 且该函数代入方程使得方程在某 区域内成为恒等式， 区域内成为恒等式 ， 则称该函数为方程在该区域 内的解 古典解） 内的 解 （ 古典解 ） 。 满足某些特定条件的解称为 特解，这些条件称为定解条件 一般情况下， 定解条件。 特解 ， 这些条件称为 定解条件 。 一般情况下 ， 一 个具有n个自变量的 阶方程的解可以含有 个n-1 个具有 个自变量的m阶方程的解可以含有 个自变量的 阶方程的解可以含有m个 元任意函数，这样的解称为通解。 元任意函数，这样的解称为通解。 通解 定解问题 ： 定解条件通常包括 边界条件 和 初始条 定解问题：定解条件通常包括边界条件 边界条件和 两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解 件 两种 。 含有定解条件的方程求解问题称为 定解 问题， 包括初值问题（ 问题） 问题 ， 包括初值问题 （ Cauchy问题 ） 、 边值问 问题 题和混合问题。 题和混合问题。
u u u P ( x, y , z ) + Q ( x, y , z ) + R ( x, y , z ) x y z = f ( x, y, z )u + g ( x, y, z )
为已知函数。 其中 f , g为已知函数。 为已知函数 其特征方程组为
(6)
dx dy dz du = = = P Q R fu + g
12
于是
Φ ( t , s ) = f (± t + y , ± t + y s )
2 0 2 0
从而原Cauchy问题的解为 问题的解为 从而原
u = Φ ( x2 y 2 , x2 z 2 )
一阶线性偏微分方程与解法
一阶线性偏微分方程与解法一阶线性偏微分方程是微分方程中的一类重要方程，它具有广泛的应用领域和解法。
本文将介绍一阶线性偏微分方程的基本形式、解法和具体应用。
一、基本形式一阶线性偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ a(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} + b(x,t)\frac{\partial u}{\partial t} = c(x,t,u) \]其中，\( u = u(x,t) \) 是未知函数， \( a(x,t), b(x,t), c(x,t,u) \) 是给定函数。
二、解法（1）变量可分离法如果方程可以表示为 \( f(x)dx + g(t)dt = 0 \)，其中 \( f(x) \) 和 \( g(t) \) 是关于 \( x \) 和 \( t \) 的函数，那么方程可以通过变量可分离法解析地求解。
具体求解方法是分离变量并进行积分：\[ \int f(x)dx + \int g(t)dt = \int 0 \]求出积分后的结果，并将 \( u(x,t) \) 表示出来。
（2）特征线法特征线法适用于方程为线性齐次的情况，即 \( c(x,t,u) = 0 \)。
使用特征线法可以将一阶线性偏微分方程转化为一阶常微分方程。
求解一阶常微分方程后，再通过特征线反解得到原方程的解。
具体求解步骤如下：1. 确定特征曲线的参数方程，通过 \( \frac{dx}{a(x,t)} =\frac{dt}{b(x,t)} \) 可以得到参数方程。
2. 将未知函数按照参数方程表示，得到 \( u = u(\phi) \)，其中 \( \phi \) 是参数。
3. 对上式两边求导，得到 \( \frac{du}{d\phi} = \frac{\partialu}{\partial x}\frac{dx}{d\phi} + \frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{d\phi} \)。
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
1一阶常微分方程组的首次积分1.1首次积分的定义从第三章我们知道，n 阶常微分方程()()()1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1）在变换()1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组()()()1112221212,,,,,,,,,,,,,,.n nn n n dy f x y y y dx dy f x y y y dxdy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。
先看几个例子。
例1 求解微分方程组()()22221,1.d x d y y x x y x y x y d t d t=-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()()12222-++-=+y x y x dtdyy dt dx x ，()()()222222112d x y x y x y d t+=-++-。
这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为1222221C e y x y x t=+-+， （ 1.5）1C 为积分常数。
（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。
第五章一阶偏微分方程组基础
第五章 一阶偏微分方程组基础§5.1 引 言三类二阶方程均来自于实际问题，但更多的物理、力学甚至社会现象中的规律是用其他形式的偏微分方程描述的，其中包括非二阶的PDE ，也有非线性的PDE ，甚至有多个PDE 组成的PDE 组。
一、一阶PDE 组的例子1、Cauchy-Riemann 方程组,u v x y u v yx 춶ï=ﶶïïíﶶ=-ïﶶïî (5.1.1) 此为最简单的一阶LPDE 组，表述了解析函数的实、虚部之间的关系。
在流体力学中，平面定常不可压缩无旋流的流速分布(向量函数)也归结为求解(5.1.1)。
(,)(,)i (,)f x y u x y v x y =+,u v 2、一般的流体动力学方程组()0,()(),(,(v t v v v p f t p e v e v f t r r rr r ì¶ïï+ ⋅=ï¶ïïï¶+⋅ =- +í¶ïïï¶ï+⋅ =- +ïï¶î)) 质量守恒方程动量守恒方程能量守恒方程 (5.1.2) 其中123(,,)v u u u = 为流速(m/s)，f 为重力(N), e 为单位质量的内能( 21||2v 为单位质量的动能) (J)，且有状态方程，从而可由六个方程解六个未知量(,)e e p r =123(,,,,)v e u e p ,,)(,,p u u r r =。
特别地，对理想气体有1,1p e rg =- g 为绝热常数(空气的)。
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一阶偏微分方程基本知识一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
1一阶常微分方程组的首次积分1.1首次积分的定义从第三章我们知道，n 阶常微分方程()()()1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1）在变换()1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组()()()1112221212,,,,,,,,,,,,,,.n nn n n dy f x y y y dx dy f x y y y dxdy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。
先看几个例子。
例1 求解微分方程组()()22221,1.dxdyy x x y x y x y dt dt=-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()()12222-++-=+y x y x dtdy y dt dx x， ()()()222222112d x y x y x y dt +=-++-。
这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为1222221C e yx y x t=+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。
（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。
因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。
为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到22y x dtdy x dt dx y+=-， 即()22y x dtdx y dt dy x+-=-， 亦即1arctan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛dtx y d 。
积分得2arctan C t xy=+， （ 1.6）其中2C 为积分常数。
利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。
为此，采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得212211,.t e C t C r θ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭或 t C eC r t-=-=-221,11θ.因此我们得到方程组（ 1.4）的通解为 ()teC t C x 2121cos ---=，()teC t C y 2121sin ---=. （ 1.7）例2 求解微分方程组 ()()(),,.duvw dt dvwu dt dwuv dt αβγβγαγαβ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ （ 1.8）其中0αβγ>>>是给定的常数。
解 利用方程组的对称性，可得 0du dv dw uv w dt dt dtαβγ++=, 从而得到首次积分2221u v w C αβγ++=, （ 1.9） 其中积分常数10C ≥。
同样我们有 2220du dv dwuv w dt dt dtαβγ++=, 由此又得另一个首次积分2222222u v w C αβγ++=, （ 1.10）其中积分常数20C ≥。
有了首次积分（ 1.9）和（ 1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（ 1.8）的第三式，得到dw dt =, （ 1.11）其中常数a ，b 依赖于常数12C C 和，而常数 ()()()()0,0.A B γβγγαγααββαβ--=>=>--注意（ 1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分3t C αβγ--=, （ 1.12） 其中3C 是积分常数。
因为方程组（ 1.8）是三阶的，所以三个首次积分（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）在理论上足以确定它的通解 ()()()123123123,,,,,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C C C ϕψχ===但是由于在式（ 1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。
现在我们考虑一般的n 阶常微分方程()n i iy y y x f dx dy ,,,,21 =，()n i ,2,1=, （ 1.13） 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21 在1+⊂n R D 内对()12,,,,n x y y y 连续，而且对n y y y ,,,21 是连续可微的。
定义1设函数()12,,,,n V V x y y y =在D 的某个子域G 内连续，而且对12,,,,n x y y y 是连续可微的。
又设()12,,,,n V x y y y 不为常数，但沿着微分方程（ 1.3）在区域G 内的任意积分曲线()()()()1122:,,,n n y y x y y x y y x x J Γ===∈函数V 取常值；亦即()()()()()()12,,,n V x y x y x y x C x J =∈常数，或当12(,,,,)n x y y y ∈Γ时，有()12,,,,n V x y y y =常数，这里的常数随积分曲线Γ而定，则称()12,,,,n V x y y y =C （ 1.14）为微分方程（ 1.13）在区域G 内的首次积分。
其中C 是一个任意常数，有时也称这里的函数()12,,,,n V x y y y 为（ 1.13）的首次积分。
例如（ 1.5）和（ 1.6）都是微分方程（ 1.4）在某个区域内的首次积分。
这里对区域G 有限制，是要求首次积分（ 1.5）和（ 1.6）必须是单值的连续可微函数。
因此区域G 内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。
同理，式（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）都是方程（ 1.8）的首次积分。
对于高阶微分方程（ 1.1），只要做变换（ 1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。
因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程（ 1.1）。
而其首次积分的一般形式可以写为()()1',,,,n V x y y y C -=。
（ 1.15）例如，设二阶微分方程组()222sin 00d xa x a dt+=>为常数，用dxdt乘方程的两端，可得 222sin 0dx d x dx a x dt dt dt+=， 然后积分，得到一个首次积分221cos 2dx a x C dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
一般的，n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分，如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分，则可求n 阶常微分方程组的通解。
1.2首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。
定理1设函数()12,,,,n x y y y Φ 在区域G 内是连续可微的，而且它不是常数，则()12,,,,n x y y y C Φ= （ 1.16）是微分方程（ 1.13）在区域G 内的首次积分的充分必要条件是110n nf f x y y ∂Φ∂Φ∂Φ+++=∂∂∂ （ 1.17） 是关于变量()12,,,,n x y y y G ∈的一个恒等式。
这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（ 1.13）首次积分的有效方法。
因为根据首次积分的定义，为了判别函数()12,,,,n V x y y y 是否是微分方程（ 1.13）在G 内的首次积分，我们需要知道（ 1.13）在G 内的所有积分曲线。
这在实际上是由困难的。
而定理1避免了这一缺点。
定理2 若已知微分方程（ 1.13）的一个首次积分（ 1.14），则可以把微分方程（ 1.13）降低一阶。
设微分方程组（ 1.13）有n 个首次积分 ()()12,,,,1,2,,i n i x y y y C i n Φ==， （ 1.18）如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式()()1212,,,0,,,n n D D y y y ΦΦΦ≠， （ 1.19）则称它们在区域G 内是相互独立的。
定理3设已知微分方程（ 1.13）的n 个相互独立的首次积分（ 1.18），则可由它们得到（ 1.13）在区域G 内的通解()()12,,,,1,2,,i i n y x C C C i n ϕ==， （ 1.20）其中12,,,n C C C 为n 个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（ 1.13）在G 内的所有解。
关于首次积分的存在性，我们有 定理4 设()00001,,,n p x y y G =∈，则存在0p 的一个邻域0G G ⊂，使得微分方程（ 1.13）在区域0G 内有n 个相互独立的首次积分。
定理5 微分方程（ 1.13）最多只有n 个相互独立的首次积分。
定理6 设（ 1.18）是微分方程（ 1.13）在区域G 内的n 个相互独立的首次积分，则在区域G 内微分方程（ 1.13）的任何首次积分()12,,,,n V x y y y =C ，可以用（ 1.18）来表达，亦即 ()()()1211212,,,,,,,,,,,,,,n n n n V x y y y h x y y y x y y y =ΦΦ⎡⎤⎣⎦，其中[]*,,*h 是某个连续可微的函数。
为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（ 1.3）改写成对称的形式12121n n dy dy dy dxf f f ===，这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。
更一般地，人们常把上述对称式写成()()()1211221212,,,,,,,,,,nn n n n dy dy dy Y y y y Y y y y Y y y y ==（ 1.21）并设12,,,n n Y Y Y G R ⊂在区域内部不同时为零，例如如果设0,n Y ≠ 则（ 1.21）等价于()()()1212,,,1,2,,1,,,i n i n n n Y y y y dy i n dy Y y y y ==-。