2015年秋西南大学《线性代数》第1次作业
2015年线性代数第一二次作业
2015年上半年线性代数第一次作业（涉及一、二章内容）一、选择题1. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a 。
A.-16 B.-4 C.16 D.42. 设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）A .0=+B AB .））B r A r ((= C .O A =或O B =D .0=A 或0=B3. n 阶方阵A 的行列式0≠A 是矩阵A 可逆的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 4. 若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是（ ）A 、矩阵A 必是方阵B 、0=AC 、AA A*1=- ,其中*A 为A 的伴随矩阵 D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵5. 若矩阵A 为43⨯矩阵，矩阵B 为24⨯矩阵，则AB 是（ ）矩阵A 、3×4B 、3×2C 、4×2D 、4×3二、填空题1.3756412的逆序数是___________.2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4. A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T 。
5. =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02013210021021 三、简答题1.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A ？ 2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，求1-A 。
3. 已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A ?4. 计算行列式941321111的值。
西南大学线性代数次网上作业
一、填空题(每小题3分，共15分)1．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310120001，则A + 2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ).3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一个解，则k 1+k 2 = ( ).4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1．设行列式2211b a b a = 1，2211c a c a = 2，则222111c b a c b a++ = ( ).(A) -3 (B) -1 (C) 1(D) 32．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A = ( ).(A) 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321(B) 214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( ).(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( ).(A) 121 (B) 71(C) 7 (D) 125．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( ).(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 232221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( )3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( )4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为32. ( )5．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421. ( )四、 (10分) 求4阶行列式1111112113114111的值. 五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.七、(15分) 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2. 证明p1- p2不是A的特征向量.。
西南交大线性代数习题参考答案.doc
第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。
(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。
(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a a a a a a 的项的符号为 。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 1122233233000a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。
(2)12,121,21,11,12,1000000n n nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax byay bz az bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n nn n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
第一次作业2015年9月15日
注：本次作业必须在 2015 年 9 月 29 日上课前交。 1. 设 A, B 分别为 n m , k m 阶实矩阵，定义集合 S Ax Bx 0, x R m ，试证
A 明： S 为线性子空间且维数 dim S rank B rank ( B ) 。
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 某公司采用一项新技术试验以求提高产品质量，设在试验前，随
机抽取 n1 件产品的质量指标值为 y1 , y 2 , , y n ，它们可看成是来自正
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态总体 N ( 1 , 2 ) 的一组样本。 而试验后， 随机抽取 n2 件产品的质量 指标值为 z1 , z 2 , , z n ，它们可看成是来自正态总体 N ( 2 , 2 ) 的一组
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样本。为考察这项新技术的效果，需要比较 1 , 2 ，因此需要估计 它们。试将这些数据表成线性模型的形式，其设计矩阵是什么？
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
西南大学2015年秋初等数论第一次作业1422868706810
初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a 被整数b 整除的概念。
答：1.设a,b 是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q 使得等式a=bq 成立，我们就称b 整除a 或a 被b 整除,记做b|a 。
2. 给出两个整数a ，b 的最大公因数的概念。
答：设a,b 是任意两个整数，若整数d 是他们之中每一个的因数，那么d 就叫做a,b 的一个公因数。
a,b 的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,134. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5. 不定方程c by ax =+有整数解的充分必要条件是什么？答：不定方程c by ax =+有整数解的充分必要条件是c b a )(，。
6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
答：没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7. 写出一组勾股数。
答：一组勾股数为3,4,5。
8. 写出两条同余的基本性质。
答：同余的基本性质为：性质1 m 为正整数，a ，b ，c 为任意整数，则①a ≡a （mod m ）；②若a ≡b （mod m ），则b ≡a （mod m ）；③若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），则a ≡c （mod m ）。
性质3①若a 1≡b 1（mod m ），若a 2≡b 2（mod m ），则若a 1 +a 2≡b 1+ b 2（mod m ）②若a ＋b ≡c （mod m ），则a ≡c －b （mod m ）。
9. 196是否是3的倍数，为什么？答：196不是3的倍数。
(0044)《线性代数》大作业A
5.讨论为何值时，线性方程组
(1)有唯一解？(2作业共需要完成三道题：
第1-2题选作一题，满分30分；
第3-4题选作一题，满分30分；
第5题必作，满分40分。
答卷提交要求：考试题提前公布，学生下载试题和答题卷后，在答题卷上答题。完成后需网上提交答卷。答卷于11月20日－－12月6日通过点击页面左侧导航栏内“我的考试”－“课程论文/大作业”提交。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：计算机科学与技术2015年12月
课程名称【编号】：线性代数【0044】A卷
大作业满分：100分
一、大作业题目
1.设4阶方阵A、B、C满足方程 ，试求矩阵A，其中 , .
2.设3阶方阵A的三个特征值为 A的属于 的特征向量依次为 求方阵A.
3.设矩阵 ,其中 线性无关， ,向量 ,求线性方程组 的通解.
线性代数第一章行列式练习题
班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第一次练习题一）填空题1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________；2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________；3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________；4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________.二）解答题5）计算三阶行列式 222111a bc a b c .6）用定义证明1(1)212100000(1)0000n nn nnλλλλλλ--=-LLLLL.7）设n阶行列式中有多于2n n 个元素为零，证明这个行列式为零.班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第二次练习题一）填空题1）把行列式111222a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式132412340000a a a a x yb b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后111213212223313233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式223456789ab c d a ab ac ad＝_________________________________.二）解答题5）化简行列式1111 2222 3333 x y x a z x y x a z x y x a z+++6）计算行列式5222 2522 2252 22257）计算行列式3112 5134 2011 1533------班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第三次练习题一）填空题1）将行列式123123123x x xy y yz z z按第三列展开为__________________________________；2）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D＝__________；3）计算1111234549162582764125＝__________；4）设3961246812035436D=，则41424423A A A++＝__________.二）解答题5）计算行列式100 110 011 001abcd---.6）当λ为何值时，线性方程组12312330(3)22040x x x x x x x λλ++=⎧⎪--+=⎨⎪=⎩有非零解？7）设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四个点(1,3)，(2,4)，(3,4) ，(4,3)-；求系数0123,,,a a a a .班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章复习题。
2015版 线性代数 第一章 行列式 答案
第一章 行列式第一节 数域与排列 第二节 行列式定义一、填空1.（1）0；（2）5；（3）(1)2n n -；（4）(1)2n n -；（5）(1)n n - 3.11233442a a a a 和14233142a a a a -； （由n 阶行列式的定义） 4. 正 （6(1)-，注意将行标写为标准次序）；5. 1(1)n --；6. 2,1i j ==（将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；7. 2- （只有主对角线上的元素相乘为3x ）； 8.(1)2n n -； 9. 0； （提示：一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数，本题1n -次项为2x ，其系数为0，也即0a b c ++=，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；10. (1)2n n t -- 二、1. 0 （直接利用对角线法则，也可用性质计算）；2. abcd - （按n 阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积abcd 的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 abcd -）。
第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行（列）展开一、1. A （B,C,D 为充分条件）； 2 . C （由教材P23定理1.4.1可得）； 3. C ；4. A （2122232411110********cc c c A A A A +++==） 二、1、0（各列都加到第一列则第一列元素全为0） ；2、(1)na -⋅；（1111det()nij n nn a a a a a =,而1111det()nij n nna a a a a ---=--,每行提公因子1-）；3、0（由n 阶行列式的定义）；4、15（1212222232324242(1)(5)23071415D a A a A a A a A =+++=-⨯-+⨯+⨯+⨯=）；5、m n -， （11121311131311111211122122232123232121222122a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=-+）；6. 85，（12121(1)045x A +=-=，可解得45x =）。
西南交1112考试批次《线性代数》复习题及参考答案
线性代数第1次作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。
(A) (001010100)(B) (100000010)(C) (100020001)(D) (10001−2001)正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。
2. 设 A为m×n 矩阵，则。
(A) 若m<n，则Ax=b有无穷多个解；(B) 若m<n，则Ax=0有非零解，且基础解系含有n−m个解向量；(C) 若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解；(D) 若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。
正确答案：D解答参考：A错误，因为 m<n ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；B错误， Ax=0 的基础解系含有 n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能 R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n。
3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。
(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。
(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组 { a11 x 1 + a12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2 ⋯⋯⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为。
(A) R(A)=R(A¯)<n(B) R(A)=R(A¯)<m(C) R(A)<R(A¯)<m(D) R(A)=R(A¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个 n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, αs (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A) α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3(B) α1+α2,α2+α3,α3−α1(C) α1+α2,α2+α3,α3+α1(D) α1−α2,0,α2−α3正确答案：C解答参考：三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
《线性代数》第一章习题及解答
2x x 1 2 例 8 设 f (x) = 1 x 1 − 1 ，则 x 4 的系数为（ ）， x 3 的系数为（ ）．
3 2x 1 1 11 x
分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦
时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．
解 从 f (x) 的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f (x) 的主对角线的 4 个元素的
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t= 0+0+2+4+1= 7，故正确答案为（B）．
例 2 下列排列中（ ）是偶排列.
因此
(−1)t a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
22211
33333
西南大学[0343]《线性代数》大作业答案
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3.
A 中有 r 列线性无关；
4.
A 中线性无关的列向量最多有 r 个.
3、若齐次线性方程组
有非零解，则必须满足[ ]
1.
k=4
2.
k=-1
3.
k≠-1 且 k≠4
4.
k=-1 或 k=4
4、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。
1.
2.
3.
4.
5、n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。
___ ___
40、行列式 参考答案：
-11
中元素-2 的代数余子式是_____
41、行列式 参考答案：
8
元素 x 的代数余子式是 ．
42、行列式
=
。
参考答案：
0
43、 参考答案：
相
是 3 维向量组,则
线性 关。
44、矩阵 参考答案：
的伴随矩阵是
。
45、行列式 参考答案： 0
，则 =
46、设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若由
1.
A.√
2.
B.×
24、Ａ是ｎ阶正交矩阵，则
.
1.
A.√
2.
B.×
25、若 A,B 均为 n 阶可逆矩阵，则 AB 可逆。
1.
A.√
2.
B.×
主观题
26、设向量组
线性无关，则向量组
线性__________关。
参考答案： 无
27、已知 4 阶行列式中第 3 列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为 5，3，-7，4，则 D=________ 参考答案：
1.
A.√
2.
B.×
20、齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.。 ( )
西南大学线性代数作业答案
第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。
2．排列45312的逆序数为 5 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。
6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。
西南大学高等代数第一次作业参考答案
1 高等代数第一次作业参考答案
叙述下列概念
1．数域P 上多项式p (x )在P 上不可约。
答：p (x )为数域P 上多项式，(())1p x ∂≥，如果()p x 不能表成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的积，则称()p x 为数域P 上不可约多项式。
2．数域P 上n 维向量组12,,
,m ααα线性相关。
答：若存在不全为零的数12,,
,m k k k P ∈，使得11220m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,,m ααα线性相关。
3．数域P 上n 维向量组12,,,m ααα的秩。
答：向量组12,,
,m ααα的极大无关组所含向量的个数称为12,,
,m ααα的秩。
4．矩阵A 可逆。
答：设A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使得
AB BA E ==，
则称A 是可逆的，也称A 为可逆矩阵。
5．线性空间V 的维数
答：设V 为P 上线性空间，若在V 中有n 个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，则称V 为n 维的，也说V 的维数为n 。
6．线性空间V 的线性变换。
答： 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足
（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；
（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= k A (α)。
则称A 为V 的线性变换。
西南大学线性代数第一次作业最后一题
行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。
2．排列45312的逆序数为 8 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 4．行列式102325403--中元素-2的代数余子式是 -11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。
6．计算0000dc ba = 0 行列式部分计算题1．计算三阶行列式381141102--- 解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i 和j 等于5或8。
（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。
（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。
所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。
3．(7分)已知0010413≠xx x，求x 的值．解：D =31401xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解： D=1111111λλ=2(1)λ- 如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。
5．用克莱姆法则求下列方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==-- 2131452921083101D ==- 3124512135311D ==-- 所以：13D x D==，24D y D==，35D z D ==。
西南大学《线性代数》网上作业题及答案
[0044]《线性代数》网上作业题答案第一次作业[论述题]线性代数模拟试题一参考答案：线性代数模拟试题一参考答案一、填空题1、k >1.2、-4.3、3.4、-1, -2, 1.5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020091. 二、单选题1—5: ACCBA 三、判断题1—5: √√√√×四 Solution 根据1T 1)2(--=-C A B C E ，得1T 1)2(--=-CC A B C E C ，于是E A B C =-T )2(，所以1T )2(--=B C A . 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10002100321043212B C ，因此()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--100021001210012121B C , 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A . 五、Solution 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110321αααP ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1000200021PAP .由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0111110111P，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2443543321221P P A .六、Solution 由于432,,ααα线性无关，3212ααα-=, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量.由3212ααα-=, 即0=+-3212ααα，得0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121),,,(4321αααα，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121是Ax = 0的基础解系.又因为4321ααααb +++=，所以b A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111111),,,(4321, 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111*η是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110121k ,其中k 为任意常数.七、Proof 因为0=2A ，于是,3)()(≤+A A R R 因此223)(<≤A R . 又因为A ≠ 0，所以1)(≥A R ， 所以1)(=A R .八、Solution 2)3(111111111λλλλλ+=+++=A .(1) 当03≠-≠λλ且时，有0||≠A ，方程组有唯一解.(2) 当3-=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211321131210112B . 于是2)()(==B A R R ，方程组有无穷多解，解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021111k x ，(k 为任意常数)(3) 当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111B ，由此可知)()(B A R R ≠，原线性方程组无解.第二次作业 [论述题]线性代数模拟试题二参考答案：线性代数模拟试题二参考答案一、填空题 1. 2.2. y x 23≠.3. s r ≤.4. -4.5. 0. 二、单选题 1—5: DDCBA 三、判断题 1—5: × √ √ √ √四、Solution 显然|A | = 1 ≠ 0，于是A 可逆，因为E AB A =-2，所以AB E A =-2，两边左乘1-A ，得1--=A A B . 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-100100110010211001100100110010101011100100010110001111,211323r r r r r r E A所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001102111A，进而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000200320B .五、Proof 若x Ax λ=，则x x x x A x A x A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+--λλλλ11)(221212，所以λλ12+是12-+A A 的特征值.六、Solution 12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为一个极大无关组，41232133αααα=++，512311033αααα=-++.七、Solution 由于 ()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102A E λλλλλλλλλ---=--=----+=---，于是A 的所有特征值为1, 2.当1=λ时，解线性方程组0=-x E A )(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211k ，其中01≠k 为任意常数.当2=λ时，解线性方程组0=-x E A )2(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002k ，其中02≠k 为任意常数.八、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021021124102102110122121122222 (1) 当2≠k 且3-≠k 时，线性方程组有惟一解.(2) 当2=k 时，有,3)(,2)(==B A R R 原线性方程组无解.(3) 当0)3(=+k k 时, 有),()(B A R R =原线性方程组有解.当0=k 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020002100211001200210211, 这时线性方程组只有零解. 当3-=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000065103211651065103211091293213211, 这时方程组有无穷多解.第三次作业[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案一、填空题 1. 2. 2. 2.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 1211. 4. a = 0, b = 2/1. 5. =a -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√四、Solutiony y y x x y y x xr r --+-+=-+-++-001111111111111111111111111111431yx xy y y x xc c 11011011)1)((00111101*********4-+--=--+=++-22233]1)1)(1[(1111)1()(y x x x y xx y y =--+-=-+--=+.五、Solution 因为04111111111||≠=---=A , 所以A 可逆. 由于E E A AA 4||*==, 根据X A X A 21*+=-，有)2(1*X AA X A A +⋅=⋅-，进而AX E X 24+=. 于是E X A E =-)24(，因而1)24(--=A E X .由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2222222221111111112100010001424A E ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)24(1A E X .六、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=210000321000213121642000210000213121431121636242213121B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→210000101000300121210000321000750121 于是R (A ) = R (B ) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00101,00012.而原线性方程组的特解可取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003，因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100300101000122154321k k x x x x x (21,k k 为任意常数).七、Solution 由于A 与B 相似，于是E B E A λλ-=-，由此可得出x = 2，进而A 的特征值为0, 3, 2.当0=λ时，A 对应的特征向量为0,01111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k k 。
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
2015级线性代数试卷(1)
。
2
6. 若向量组 α1 = (2,0,1),α2 = (0,1,1),α3 = (1,0,t ) ，且 α3 可由 α1,α2 线性表示，则 t =
。
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 −1⎞
2. (7 分)
设X
=
AX
+ B ，且
A
=
⎜ ⎜
−1
1
1
⎟ ⎟
,
B
=
⎜ ⎜
2
0
⎟ ⎟
，求
X
。
⎜⎝ 1 0 −1⎟⎠
学号： 线
专业班级： 订
专业班级： 全校工科、经管、理科各专业 [该项由出卷人填写]
装
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⎜⎝ 5 −3⎟⎠
7. 设 A 是 n 阶矩阵， A = 2 。若 A + E 不可逆，则 A* 一个特征值为
。
⎛ 1 −2 −4⎞
⎛5
⎞
8.
设方阵
A
=
⎜ ⎜
−2
x
−2
⎟ ⎟
与
Λ
=
⎜ ⎜
y
⎟ ⎟
相似，则
x
+
y
=
。
⎜⎝ −4 −2 1 ⎟⎠
⎝⎜
−4 ⎟⎠
任课教师 装
适用 全校 考场教室 [该项由出卷人填写]
装
第( 2 )页共( 3 )页
姓名：
2016～2017 学年 第一学期试卷 课程名称：线性代数 考试形式：闭卷 试卷： A
A 四、讨论或求解下列各题：
⎛1 2 1⎞
⎛1 2 1⎞
1. (8 分)
设
A
=
⎜ ⎜
大学本科 线性代数 第1次测试
解：
1 a 0 0 1 a00
1 1 a b 0 0 1 b 0
1。（10 分）
0 1 1 b c
001 c
0 0 1 1 c 0 0 0 1
注：凡能正确利用行列式的性质将行列式进行化简，或按行按列将行列式展开，无论最终结
果是否正确，均可酌情给 4 到 8 分。
1 a1 1
2 2、计算行列式 Dn
6、n 阶行列式 aij 的展开式中含有 a12 的项数为 (n 1)!。（ √ ）
7、反对称矩阵的对角线上的元素必定为 0。（ √ ）
8、如果 A和 B 是 n 阶方阵， 为实数，则一定有 ( A)B A B 。（ × ）
9、设矩阵 A, B,C ， AB 与 AC 可定义，则一定有 AB CB B( A C) 。（ × ）
4
。
4444
3、设从大到小为标准次序，则排列 967342185 的逆序数为 12
。
2x x 1 2
1 4、设行列式 D
x 1 1 ，则 D 的展开式中 x3 的系数为
-1
。
3 2 x1
1 11 x
1 2
2 1 1
5、设
A
1
1
3 1
，
B
2
1
0 3
4 1
，
C
3 1
0 1
1
，
0
则 2AB C =
3、如果 n 阶行列式 aij 每一列的元素之和均为零，则 aij 必定等于零。（ √ ）
ab cd a c b d
4、
。（ × ）
e f gh e g f h
a11 0 a13 0 0 a21 0 a23 0 0 5、 a31 a32 a33 a34 a35 0 。（ √ ） a41 a42 a43 a44 a45 a51 0 a53 0 0
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一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则k 满足( k>1 ).
2. A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-|4|*1A A ( -4 ).
3. A 为5×3矩阵, R (A ) = 3, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300020201B , 则R (AB ) = ( 3 ).
4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，-1，则1
*21-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 的特征值为( -1,-2,1 ). 5. 设,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=10200912009A . 二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 已知A 为n 阶方阵，且满足A 2 = 2E ， E 为单位阵，则=--1)(E A （ A ）.
(A)A E + (B)A E - (C)E A - (D) A
2. n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( C ).
(A) A 是实对称阵 (B) A 有n 个互异特征值
(C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的特征向量两两正交
3. 已知线性方程组的系数矩阵A 是54⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ C ）.
(A) A 的列向量组线性无关
(B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关
(C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关
(D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关
4. 矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ B ）.
(A) R (A ) = R (B ) (B) A = B (C) B A = (D) A 与B 有相同的特征值
5. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ A ）.
(A) 0||0=-E A λ (B) 0||0≠-E A λ
(C) 0=-E A 0λ (D) 0≠-E A 0λ
三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)
1. 设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则|A | = |B | . （ √ ）
2. 若A 可逆，则A 的伴随矩阵A *也可逆. （ √ ）
3. 若Ax = b （b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ √ ）
4. 如果n 维向量组321,,ααα，对于任意一组不全为零的数321,,k k k ，总有0≠++332211αααk k k 成立， 则向量组321,,ααα线性无关. （ √ ）
5. 设A 、B 为同阶方阵，则必有(A + B )(A －B )＝A 2－B 2 （ × ）
四、(10分)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程1T 1)2(--=-C A B C E ，试求矩阵A ，
其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1000210032102321B , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1000210002101021C . 设4阶方阵A 、B 、C 满足方程
，试求矩阵A ，其中
,
Solution 根据，得，于是，所以. 由于，因此, 故
.
五、(10分)设3阶方阵A 的三个特征值为,1,2,2321=-==λλλA 的属于3
21,,λλλ的特征向量依次为,011,111,110321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα求方阵A .
设3阶方阵A 的三个特征值为A 的属于的特征向量依次为
求方阵A .
Solution 令，则. 由于，于是
六、(10分)设矩阵),,,(4321ααααA =, 其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=,向量4321ααααb +++=, 求线性方程组b Ax =的通解. 由于线性无关，, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量. 由, 即，得 ，因而是Ax = 0的基础解系. 又因为，所以, 于是是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为
,
其中k 为任意常数.
七、(10分) 三阶方阵A ≠ 0,0=2A ，证明：矩阵A 的秩R (A ) = 1. 因为，于是因此. 又因为A 10，所以，
所以.
八、(15分)讨论λ为何值时，线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3
)1(0)1(x x x x x x x x x
(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.
(1) 当时，有，方程组有唯一解.
(2) 当时，增广矩阵为. 于是，方程组有无穷多解，解为，(k 为任意常数)
(3) 当时，增广矩阵为，由此可知 原线性方程无解。