专题空间向量及应用(教师版)

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第02讲空间向量基本定理(教师版)

第2课空间向量基本定理课程标准课标解读1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义..2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量.3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题.1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa +yb +zc .其中，空间中不共面的三个向量a ，b ，c 组成的集合{a ，b ，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a ，b ，c 都称为基向量；如果p =xa +yb +zc ，则称xa +yb +zc 为p 在基底{a ，b ，c}下的分解式.【微点拨】1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【即学即练1】若a ,b ,c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ,a +b ,a -bB.b ,a +b ,a -bC.c ,a +b ,a -bD.a +b ,a -b ,2a +b【答案】C【解析】A ：因为(a +b )+(a -b )=2a ，所以向量a ,a +b ,a -b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为(a +b )+(-1)(a -b)=2b ，所以向量b ,a +b ,a -b 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为a ,b ,c为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若c ,a +b ,a -b 不构成一组基底，则有c =x (a +b )+y (a -b )⇒c =(x +y )a +(x -y )b ，所以向量a ,b ,c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此c ,a +b ,a -b能构成一组基底，D ：因为2a +b =32(a +b )+12(a +b)，所以向量a +b ,a -b ,2a +b 是共面向量，因此a +b ,a -b ,2a +b不能构成一组基底.故选：C知识点02空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i ,j ,k表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【微点拨】正交基底的三个向量i ,j ,k共起点.【即学即练2】已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a +b ，a -b ，a +c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为2,3,4 ，则p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为()A.-12,52,4B.52,12,4C.12,-52,4D.52,-12,4【答案】C 【分析】可设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c =(0,0,1)，由此把向量a +b ，a -b ，a +c分别用坐标表示，列方程组解出x ，y ，z ，即可得到p的坐标．【详解】不妨设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c=(0,0,1)；则向量a +b =(1,1,0)，a -b =(1,-1,0)，a +c=(1,0,1)．设p =x (a +b )+y (a -b )+z (a +c )，即(2,3,4)=x (1,1,0)+y (1,-1,0)+z (1,0,1)，∴x +y +z =2x -y =3z =4解得x =12y =-52z =4即p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为12,-52,4 ．故选：C ．【点睛】向量类问题的常用处理方法--向量坐标化，利用坐标运算比较简单．知识点03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【即学即练3】已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且NM =xAB +yAD +zAP ，PM =2MC ，PN =ND ，则x +y +z 的值为()A.-23B.23C.1 D.56【答案】B【分析】取定空间的一个基底，由题设条件把NM用基底向量表示出，再根据空间向量基本定理求出x ，y ，z 的值而得解.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，以AB ,AD ,AP 为空间向量的一个基底，因PM =2MC，PN =ND ，NM =AM -AN =23AC +13AP -12(AD +AP )=23(AB +AD )-12AD -16AP =23AB+16AD -16AP ，又NM =xAB +yAD +zAP ，由空间向量基本定理知，x =23,y =16,z =-16，x +y +z =23+16-16=23.故选：B【点睛】空间向量线性运算与平面向量线性运算的运算律、运算方法相同.【即学即练4】如图，在三棱柱ABC -A 'B 'C '中，已知AA =a ，AB =b ，AC =c ，点M ，N 分别是BC '，B 'C '的中点，试用基底{a ,b ,c}表示向量AM ，AN .【答案】AM =12(a +b +c )；AN =a +12b +12c .【分析】根据向量的加法、减法法则，用a ,b ,c表示出AM 、AN 即可.【详解】连接A 'N ，AM =AB +12BC =AB +12(BC +CC)=AB +12BC +12CC=AB +12(AC -AB )+12AA =12AB +12AC +12AA =12(a +b +c)；AN =AA +A N =AA +12(A B +A C )=AA +12(AB +AC )=a +12b +12c .【点睛】本题考查向量的线性运算，考查计算化简的能力，属基础题.考法01空间向量基本定理的理解与运用：在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【典例1】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ,AC ,M ,N 分别是OA ,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG =2GN ，用向量OA ,OB ,OC 表示向量OG为()A.OG =16OA +13OB +13OCB.OG =12OA+23OB +23OC C.OG =OA +23OB +23OCD.OG =12OA +13OB +23OC 【答案】A【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量OG逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.【详解】OG =OM +MG =OM +23MN =23ON +13OM .因为M ,N 分别为OA ,CB 的中点，所以OM =12OA ,ON =12OB +OC ,所以OG =13OB +OC +16OA=16OA +13OB +13OC .故选：A .【典例2】下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ⎳b；②若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ⎳c；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a +b ，b +c ，c +a ，是空间一组基底，则a ，b ，c也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】对于①：若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即a ⎳b，故①正确；对于②：若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c不一定共线，故②错误；对于③：若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则OD -OA=13OB -OA +13OC-OA ，即AD =13AB +13AC ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a +b ，b +c ，c +a，是空间一组基底，则空间任意一个向量d ，存在唯一实数组x ,y ,z ，使得d =x a +b +y b +c +z c +a =x +z a +x +y b +y +z c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④【典例3】已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =xSA +ySB +zSC ，则x +y +z =_____.【答案】-12【解析】如图,根据条件:BD =12BC +BS =12SC -SB -SB=-SB +12SC =0SA -SB +12SC ,又BD =xSA +ySB +zSC ,∴由空间向量基本定理得x +y +z =0-1+12=-12,故答案为:-12考法02证明空间三向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p =x a +y b ，则向量p ，a ，b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题，如，本例中当MN 和CD 、DE 没有关联的端点时要说明CD 与DE不共线.除了例题中记法，另，若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP =x OA +y OB +z OC ，且x +y +z =1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.【典例4】如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM =13BD ，AN =13AE .求证:向量MN ，CD ，DE 共面.【答案】证明见解析【分析】根据题意，求得MB =13DB =13DA +13AB ，AN =13AD +13DE，再结合向量的共面定理，即可求解.【详解】因为M 在BD 上，且BM =13BD ，所以MB =13DB =13DA +13AB .同理AN =13AD +13DE .所以MN =MB +BA +AN=13DA +13AB +BA +13AD +13DE =23BA+13DE =23CD +13DE .又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN ，CD ，DE 共面.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的共面定理，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与论证能力.【典例5】已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM =13OA +13OB +13OC .(1)判断MA ，MB ，MC三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】(1)MA ,MB ,MC共面；(2)点M 在平面ABC 内.【分析】(1)由向量的线性关系可得OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，由向量减法有MA =-MB-MC ，由空间向量共面定理，知MA ,MB ,MC 共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】(1)由题意，知：3OM =OA +OB +OC，∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，即MA =BM +CM =-MB -MC ，故MA ,MB ,MC共面得证.(2)由(1)知：MA ,MB ,MC共面且过同一点M .所以M ,A ,B ,C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.考法03利用空间向量基本定理解决几种常见问题：1.平行问题：【典例6】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ⎳平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM =14(OA +OB +OC +OD).【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解【分析】(1)根据向量的加法几何应用得EG =EF +EH，由共面向量定理的推论可证E ，F ，G ，H 四点共面；(2)利用中位线证EH ⎳BD ，根据线面平行的判定定理可证BD ⎳平面EFGH ；(3)根据向量的几何应用可得OM =12(OE +OG )、OE =12(OA +OB )、OG =12(OC +OD )即可证OM =14(OA +OB +OC +OD )【详解】(1)如图，连接BG则EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH由共面向量定理的推论，知E ，F ，G ，H 四点共面(2)∵△ABD 中E ，H 分别是边AB ，DA 的中点，即EH 为中位线∴EH ⎳BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ∴BD ⎳平面EFGH(3)由(2)知EH =12BD ，同理FG =12BD∴EH =FG ，即四边形EFGH 是平行四边形∴对角线EG ，FH 交于一点M 且M 为它们的中点，又E ，G 分别是AB ，CD 的中点空间中任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示故，在△OEG 中OM =12(OE +OG )=12OE+12OG在△AOB 中OE =12(OA +OB )；在△COD 中OG =12(OC +OD)；∴OM =12×12(OA +OB ) +12×12(OC +OD ) =14(OA +OB +OC +OD ).2.垂直问题：【典例7】在所有棱长均为2的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠B 1BC =60°，求证：(1)AB 1⊥BC ；(2)A 1C ⊥平面AB 1C 1.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)通过计算AB 1 ⋅BC=0来证得AB 1⊥BC .(2)通过证明A 1C ⊥AC 1、AB 1⊥A 1C 来证得A 1C ⊥平面AB 1C 1.【详解】(1)依题意可知三角形ABC 是等边三角形，所以‹AB ,BC ›=120°,AB 1 =AB +BB 1 ，则AB 1 ⋅BC =(AB +BB 1 )⋅BC =AB ⋅BC +BB 1 ⋅BC =2×2×-12 +2×2×12=0.所以AB 1⊥BC .(2)依题意四边形AA 1C 1C 为菱形，所以A 1C ⊥AC 1.因为AB 1 ⋅A 1C =(BB 1 -BA )⋅(AC -AA 1)=(BB 1 -BA )⋅(BC -BA -AA 1 )=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅BA -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA +BA ⋅AA 1=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA=2×2×12-4-2×2×12+4=0，所以AB 1⊥A 1C ，又AC 1∩AB 1=A ，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.3.夹角问题：【典例8】已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD=π3，DD 1=2.(1)证明：DD 1⊥BD ；(2)求异面直线CA 1与AB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解；(2)51122【分析】(1)由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD 1 ⋅BD=0即可；(2)用基向量求解向量CA 1 ,AB的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.【详解】设CD =a ，CB =b ，CC 1 =c由题可知：a ,b ,c 两两之间的夹角均为π3，且a =1=b ，c =2(1)由DD 1 ⋅BD =CC 1 ⋅CD -CB =c ⋅a -b =c ⋅a -c ⋅b=1-1=0所以DD 1⊥BD 即证.(2)由CA 1 =CD +DA +AA 1 =a +b +c ，又AB =-a所以CA 1 =a +b +c 2=11，AB =1又CA 1 ⋅AB =-a ⋅a +b +c =-52则cos CA 1 ,AB =CA 1 ⋅ABCA 1 AB=-5211=-51122又异面直线夹角范围为0,π2所以异面直线CA 1,AB 夹角的余弦值为51122.4.求长度：【典例9】如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ,AD ,AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP =BC ，记a =AB,b =AD ,c =AA 1 .(1)试用a ,b ,c表示D 1P ；(2)求D 1P 模.【答案】(1)a -23b -c；(2) 5.【解析】(1)D 1P =AP -AD 1 =(AB +BP )-(AD +AA 1)，=a +13b -(b +c )=a -23b -c.(2)因为AB ，AD ，AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.所以a ⋅b =3,a ⋅c=1,b ⋅c =32，D 1P =a -23b -c =a 2+49b 2+c 2-43a ⋅b -2a ⋅c +43b ⋅c =4+4+1-4-2+2.= 5.基础过关练1.下列能使向量MA ，MB ，MC成为空间的一个基底的关系式是()A.OM =13OA +13OB +13OC B.MA =MB +MCC.OM =OA +OB +OCD.MA =2MB -MC【答案】C【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：由OM =xOA +yOB +zOC x +y +z =1 ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即MA ,MB,MC共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA =MB +MC ，由平面向量基本定理，可得MA ,MB ,MC共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，MA ,MB ,MC共面，故D 错误.故选：C2.在正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，点M 为棱D 'C '的中点，点N 为棱BC 的中点，若MN =xAB +yAD+zAA ' ，则x +y +z =()A.-1B.0C.1D.2【答案】A【分析】利用空间向量的加法运算得到MN =12AB -AA ' -12AD ，再由MN =xAB +yAD +zAA ' ，利用待定系数法求解.【详解】如图所示：MN =MC ' +C 'C +CN =12AB -AA ' -12AD ，又因为MN =xAB +yAD +zAA '，所以x =12,y =-12,z =-1，所以x +y +z =-1，故选：A3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1 =a ，AB =b ，AD =c，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c表示A 1N ()A.-a +b +12cB.-a +b +cC.-a -b +12cD.a -b +12c【答案】A【解析】∵N 是BC 的中点，∴A 1N =A 1A +AB +BN =-a +b +12BC =-a +b +12AD =-a +b +12c.故选：A .4.如图，正四棱锥P -ABCD 中，已知PA =a ，PB =b ，PC =c ，PE =12PD ，则BE=()A.12a -32b +12c B.-12a -12b -12cC.-12a -32b +12cD.-12a -12b +32c【答案】A【解析】如图所示：连接AC 、BD 交点为O ，则PO =12a +12c，又PO =12PD +12PB ，所以PD =a +c -b ，又PE =12PD =12a +12c -12b ，所以BE =BP +PE =12a -32b +12c.故选：A .5.已知向量a ,b ,c是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是()A.a +b ，a ，a -bB.a +b ，b ，a -bC.a +b ，c ，a -bD.a +b ，2a -b ，a -b【答案】C【解析】∵a +b +a -b =2a ，∴a ，a +b ，a -b共面，不能构成基底，排除A ；∵a +b -a -b=2b ，∴b ，a +b ，a -b 共面，不能构成基底，排除B ；∵2a -b =32a -b +12a +b ，∴a +b ，a -b ，2a -b 共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a +b ，a -b 共面，则c =λa +b +m a -b =(λ+m )a +(λ-m )b ，则a 、b 、c为共面向量，此与a ,b ,c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a +b ，a -b 可构成空间向量的一组基底．故选：C ．6.已知e 1 、e 2 、e 3 是空间的一个基底，a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =3e 1 +2e 2 +e 3 ，若p =xa+yb +zc ，则x 、y 、z 的值分别为()A.12，52，1 B.52，1，12C.1，12，52D.52，12，1【答案】D【分析】本题首先根据p =xa +yb +zc 得出p =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，然后根据p =3e 1 +2e 2 +e 3 即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】因为a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =xa +yb +zc，所以p=x e 1 +e 2 +y e 1 -e 2 +z e 3 =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，因为p=3e 1 +2e 2 +e 3 ，所以x +y =3x -y =2z =1，解得x =52y =12z =1，故选：D .7.如图，在四面体OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 是OG 的中点，则()A.OD =13OA +16OB+16OC B.OD =16OA +16OB +16OC C.OD =12OA +13OB +13OC D.OD =13OA +13OB +13OC 【答案】B【分析】记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，G 是△ABC 的重心，则AG =23AE =23(OE -OA)，又OD =12OG =12(OA +AG )，化简可得选项．【详解】如图，记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，所以OE =12(OB +OC )，又G 是△ABC 的重心，则AG =23AE ，所以AG =23AE =23(OE -OA ).因为OD =12OG ，所以OD =12OG =12(OA +AG )=12OA+13(OE -OA )=16OA +13OE =16OA +16(OB +OC )=16OA +16OB +16OC .8.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，则BD =()A.32B.72C.52D.32【答案】D【分析】用向量BA ,AC ,CD 表示向量BD ,再根据向量的模的计算公式求解即可；另一方面还可以通过证明CD ⊥平面ABD 得CD ⊥BD ，进而在Rt △BCD 中求解即可.【详解】解：方法一：依题意，BD =BA +AC +CD，因为△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，所以BD =BD 2=BA +AC +CD 2=BA 2+AC 2+CD 2+2BA ⋅AC +2AC ⋅CD +2BA ⋅CD=1+1+14+2×1×1×cos120°+2×1×12×cos120°+2×0=32，故选：D ．方法二：∵AC =AB =1，CD =12，∠ACD =60°，∴AD =AC 2+CD 2-2⋅AC ⋅CD ⋅cos ∠ACD =32∴AD 2+CD 2=AC 2，即AD ⊥CD∵CD ⊥AB ，AB ∩AD =A ，∴CD ⊥BD ，BC =1⇒BD =32．故选：D ．【点睛】本题考查空间线段的计算，解题的关键在于将问题转化为向量的模的计算即可解决，是基础题.能力提升练9.以下命题①|a |-|b |=|a +b |是a ,b共线的充要条件；②若{a ,b ,c }是空间的一组基底，则{a +b ,b +c ,c +a }是空间的另一组基底；③|(a ⋅b )c |=|a |⋅|b |⋅|c |．其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】①|a |-|b |=|a +b |⇒a ，b 共线，反之不成立，|a |-|b |=|a +b |是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，c }是空间的一组基底，假设a +b ,b +c ,c +a 共面，则存在唯一一组实数x ,y ，使a +b =x (b +c )+y (c +a)成立，即a +b =xb +(x +y )c +ya，所以x =1,y =1,x +y =0，显然无解，假设不成立，即a +b ,b +c ,c +a不共面，则{a +b ，b +c ，c +a }是空间的另一组基底，正确；③|(a ∙b )c |=|a |∙|b |∙|c |cos <a ,b >，而cos <a ,b >不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：B ．10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.OM =2OA -OB -OCB.OM =15OA +13OB +12OCC.MA +MB +MC =0D.OM +OA +OB +OC =0 【答案】C 【解析】【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果.【详解】空间的四点M 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OM =xOA +yOB +zOC，且x +y +z =1即可，对于A ，OM =2OA -OB -OC中x +y +z =2-1-1=0，故此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于B ，OM =15OA +13OB +12OC 中x +y +z =15+13+12≠1，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于C ，MA +MB +MC =0 ，MO +OA +MO +OB +MO +OC =0，即OM =13OA +13OB +13OC ，x +y +z =13+13+13=1，此时四点M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，OM +OA +OB +OC =0 ，则OM =-OA -OB -OC，x +y +z =-1-1-1=-3，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；故选：C【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可.11.已知空间向量a ，b 满足|a |=|b |=1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA =2a +b ，OB =3a -b ，则△OAB 的面积为()A.523 B.543 C.743 D.114【答案】B 【分析】求出|OA |和|OB |，cos ∠AOB 和sin ∠AOB ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】|OA |=(2a +b)2=4|a |2+|b |2+4a ⋅b=4+1+4×1×1×12=7，|OB |=(3a -b )2=9a 2-6a ⋅b +b 2=9-6×1×1×12+1=7，则cos ∠AOB =OA ·OB |OA ||OB |=6|a |2-|b |2+a ⋅b 7=6-1+ 1×1×127=1114，从而有sin ∠AOB =1-1114 2=5314，∴△OAB 的面积S =12|OA ||OB |sin ∠AOB =12×7×7×5314=534，故选：B ．12.在三棱锥M -ABC 中，下列命题正确的是()A.若AD =13AB +23AC ，则BC =3BDB.若G 为△ABC 的重心，则MG =13MA +13MB +13MCC.若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MB ⋅AC =0D.若三棱锥M -ABC 的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则PQ =2【答案】BC 【分析】作出三棱锥M -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，由已知AD =13AB +23AC ⇒3AD =2AC +AB ⇒2AD -2AC =AB -AD ，即2CD =DB，则32BD=BD +DC =BC ，故A 错误；对于B ，由G 为△ABC 的重心，得GA +GB +GC =0，又MG =MA +AG ，MG =MB +BG ，MG =MC +CG ，∴MA +MB +MC =3MG ，即MG =13MA +13MB +13MC ，故B 正确；对于C ，若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MA ⋅BC +MC ⋅AB =0，即MA ⋅BC +MC ⋅(AC +CB)=0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC +MC ⋅CB =0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC -MC ⋅BC =0⇒MA -MC ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒CA ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒AC ⋅CB +MC ⋅AC =0⇒CB +MC ⋅AC =0，即MB ⋅AC =0，故C 正确；对于D ，∴PQ =MQ -MP =12(MB +MC )-12MA=12(MB +MC -MA )∴PQ =12MB +MC -MA =12MB +MC -MA2，又MB +MC -MA 2=MB 2+MC 2+MA2+2MB ⋅MC -2MB ⋅MA -2MC ⋅MA =22+22+22+2×2×2×12-2×2×2×12-2×2×2×12=8，∴PQ =128=2，故D 错误.故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．13.(多选题)在四面体P -ABC 中，以上说法正确的有()A.若AD =13AC +23AB ，则可知BC =3BDB.若Q 为△ABC 的重心，则PQ =13PA +13PB +13PCC.若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PB ∙AC =0D.若四面体P -ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ,BC 的中点，则MN =1【答案】ABC 【分析】作出四面体P -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，∵AD =13AC +23AB ，∴3AD =AC +2AB ，∴2AD -2AB =AC -AD ，∴2BD =DC，∴3BD =BD +DC =BC 即∴3BD =BC ，故A 正确；对于B ，∵Q 为△ABC 的重心，则QA +QB +QC =0，∴3PQ +QA +QB +QC =3PQ ∴(PQ +QA )+(PQ +QB )+(PQ +QC )=3PQ ,∴PA +PB +PC =3PQ即∴PQ =13PA +13PB +13PC ，故B 正确；对于C ，若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PA ∙BC +PC ∙AB=0，∴PA ∙BC +PC ∙(AC +CB )=0,∴PA ∙BC +PC ∙AC +PC ∙CB =0∴PA ∙BC +PC ∙AC -PC ∙BC =0,∴(PA -PC )∙BC +PC ∙AC =0∴CA ∙BC +PC ∙AC =0,∴AC ∙CB +PC ∙AC =0∴AC ∙(PC +CB )=0，∴AC ∙PB =0，故C 正确；对于D ，∴MN =PN -PM =12(PB +PC )-12PA=12(PB +PC -PA )∴MN =12PB +PC -PA =12PA -PB -PC∵PA -PB -PC =PA 2+PB 2+PC 2-2PA ∙PB -2PA ∙PC +2PC ∙PB =22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=22∴MN=2，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．14.已知O 是空间任一点，A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA =2x ⋅BO +3y ⋅CO +4z ⋅DO ，则2x +3y +4z =________.【答案】-1【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【详解】∵OA =2x •BO +3y •CO +4z •DO ，∴OA =-2x •OB -3y •OC -4z •OD ，∵O 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面∴-2x -3y -4z =1∴2x +3y +4z =-1故答案为-115.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA =a ，PB =b ，PC =c ，则BE=_____．【答案】12a -32b +12c【分析】根据底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，向量加法的平行四边形法则得到BE =12(BP +BD )，而BD=BA +BC =(PA -PB )+(PC -PB )，即可求得BE 的结果.【详解】解：BE =12(BP +BD )=12(-b +BA +BC )=-12b +12(PA -PB +PC -PB )=-12b +12(a +c -2b )=12a -32b +12c ．故答案为：12a -32b +12c.16.如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG=______【答案】23a +12b +56c【分析】AG =AO +OG =12AB +AD +13OD 1 +OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 ，由此能求出结果.【详解】解：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，∴AG =AO +OG=12AB +AD +13OD 1+OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 =12b +c +16-b +c +13a +16b +c +13a=23a +12b +56c.故答案为：23a +12b +56c.【点睛】本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查.培优拔尖练17.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1=∠CAA 1=60°．(1)设AA 1 =a ，AB =b ，AC =c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1 ，并求出BC 1的长度；(2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．【答案】(1)BC 1 =a +c -b ；BC 1 =2；(2)66．【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算法则可得BC 1 =a +c -b ，根据BC 1=(a +c -b)2计算可得BC 1的长度；(2)根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】(1)BC 1 =BB 1 +B 1C 1 =BB 1 +A 1C 1 -A 1B 1 =AA 1 +AC -AB =a +c -b，因为a ⋅b =|a |⋅|b |cos ∠BAA 1=1×1×cos60°=12，同理可得a ⋅c =b ⋅c =12，所以BC 1 =(a +c -b )2=a 2+c 2+b 2+2a ⋅c -2a ⋅b -2c ⋅b=1+1+1+1-1-1=2．(2)因为AB 1 =a +b ，所以AB 1 =(a +b )2=a 2+b 2+2a ⋅b=1+1+1=3，因为AB 1 ⋅BC 1 =(a +b )⋅(a +c -b )=a 2+a ⋅c -a ⋅b +b ⋅a +c ⋅b -b 2=1+12-12+12+12-1=1，所以cos <AB 1 ,BC 1 >=AB 1 ⋅BC 1AB 1 BC 1=12×3=66．所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法.18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB =a ,AD =b ,AP =c ．(1)试用l 表示出向量BM；(2)求BM 的长．【答案】(1)-12a +12b +12c (2)62【解析】(1)∵M 是PC 的中点，∴BM =12BC +BP =12AD +AP -AB =12b +c -a =-12a +12b +12c (2)由于AB =AD =1,PA =2, ∴a =b =1,c =2由于AB ⊥AD ,∠PAB =∠PAD =600, ∴a ⋅b =0, a ⋅c =b ⋅c =2⋅1⋅cos60°=1由于BM =12-a +b +c ,∴BM 2=14-a +b +c 2=14a 2+b 2+c 2+2-a ⋅b -a ⋅c +b ⋅c =14 12+12+22+20-1+1 =32∴BM =62， ∴BM 的长为62.19.已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ，AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF ．求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC ⎳EG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据共面向量的基本定理，由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 可证明结论.(2)运用向量共线定理求证得到线平行.【详解】由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 由共面向量的基本定理可得：AC ， AD ， AB 为共面向量且AC ， AD ， AB 有公共点A EG ， EH ， EF 为共面向量且EG ， EH ， EF 有公共点E所以A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ∵EG =EH +mEF =OH -OE +m (OF -OE )=k (OD -OA )+km (OB -OA )=kAD +km AB =k (AD +mAB )=kAC ，∵AC ∥EG ，又∵E ∉AC ，∴AC ⎳EG ．所以AC ⎳EG20.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .【答案】证明见解析.【分析】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，作为一组基底，分别表示向量EF ,AB 1 ,B 1C ，证明EF ⊥AB 1 ，EF ⊥B 1C 即可.【详解】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，则a ⋅b =a ⋅c =b ⋅c =0.则EF =EB 1 +B 1F =12(BB 1 +B 1D 1 )=12(AA 1 +BD )=12(AA 1 +AD -AB )=12(-a +b +c )，AB 1 =AB +BB 1 =AB +AA 1 =a +b .∴EF ⋅AB 1 =12(-a +b +c )⋅(a +b )=12|b |2-|a |2 =0.∴EF ⊥AB 1 ，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C .∵AB 1∩B 1C =B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1,BC 的中点.求证：(1)DE ⎳平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.(用向量方法证明)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量DE ，A 1C ，论证DE ，A 1C 共线即可.(2)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量AE ,BC ,BB 1,BC 1 ,AB 1 ，根据AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，得到b ⋅c +a ⋅c =0，然后再论证AE ⊥BB 1 ，AE ⊥BC 即可.【详解】设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c .(1)DE =AE -AD =12(a +b )-12AB 1 =12(a +b )-12(a +c )=12(b -c )，∵A 1C =AC -AA 1 =b -c ，∴DE =12A 1C ，∴DE ⎳A 1C ，又DE ⊄平面ACC 1A 1,A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴DE ⎳平面ACC 1A 1.(2)易知AE =12(a +b ),BC =b -a ,BB 1=c ,BC 1 =b -a +c ,AB 1 =a +c ，∵A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，∴A 1C ⋅BC 1 =0AB 1 ⋅BC 1 =0 即(b -c )⋅(b -a +c )=0,(a +c )⋅(b -a +c )-0,两式相加，整理得b 2-a 2+b ⋅c +a ⋅c =0，∵AB =AC ，∴|a |=|b |，∴b ⋅c +a ⋅c =0.∵AE ⋅BB 1 =12(a +b )⋅c =12(a ⋅c +b ⋅c )=0，∴AE ⊥BB 1 .又AE ⋅BC =12b 2-a 2 =0，∴AE ⊥BC .又BC ∩BB 1=B ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1.。

【高中数学】空间向量的应用——【全国青年数学教师优秀课】

二.教学片断展示
三.教学感悟
1.让学生合理认知数学知识的发生发展过程，尽可能地促成学生合理地思考，有逻辑地思考。
2.让学生知其然，也能知其所以然 3. 信息技术辅助教学，进一步提高课堂教学的效率
利用向量方法解决距离问题
空间向量的应用
——利用向量方法解决距离问题
1
教学内容解析
2
教学目标设置
3
学生学情分析
4
教学策略分析
5
教学过程设计
利用向量方法解决距离问题
1
教学内容解析
2
教学目标设置
3
学生学情分析
4
教学策略分析
5
教学过程设计
利用向量方法解决距离问题
空间向量运算的几何表示
空间向量的定义及
其运算
用空间向量表示点、直线、
数学抽象
数据
逻辑
分析
推理
高中
数学
数学
数学
运算
建模
直观想象
利用向量方法解决距离问题
教学内容
教学重点
用向量方法解决点线、点面、平行线、线面、面面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
学习向量法处理点到直线的距离，类比探究点到平面的距离，并能用向量方法解决距离问题。
• 延伸设计，巩固提升
做
抓
悟
会
“类比” “本质” “方法” “应用”
1
教学内容解析
2
教学目标设置
3
学生学情分析
4
教学策略分析
5
教学过程设计
二.教学片断展示
二.教学片断展示

1.4 空间向量的应用(教案)-2022-2023学年高二数学教材配套教案(人教A版2019选择性必

1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）【教学目标】1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题；3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。

【教学内容分析和设计】一、概念和性质1.向量的基本概念及向量的相等和共线2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。

二、坐标法1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示；2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示；3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。

三、应用实例1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题；2.以向量为工具，解决机器人运动的问题；3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。

【课时安排】本次教学安排5课时。

【教学步骤设计】一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。

1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质；2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。

二、向量的表示及运算法则3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则；4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念；5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。

三、空间向量的坐标表示6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则；7.练习空间向量的坐标表示及计算。

四、应用实例8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题；9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用；10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。

五、课后作业11.引导学生进一步练习空间向量相关知识的应用，并完成相关课后作业题目。

【教学重点和难点】教学重点：掌握向量加、减、数乘、点积的定义和运算法则，掌握向量的坐标表示及应用。

高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计

6.预习任务：预习下一节课内容，了解空间向量的线性相关与线性无关的概念，为课堂学习做好准备。
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。

空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)

空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课授课班级：高二（9）班授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2，）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --，） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ，直线l 2的方向向量为2l ，直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

高考数学一轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用应用篇课件新人教A版

设直线MN与平面PAB所成角为θ, DN =λ DC(λ∈[0,1]),

则 MN
= MA
+ AD
+ DN
=(λ+1,2λ-1,-1),
又平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),
| λ 1|

则sin θ=|cos< MN ,n>|=
( λ 1)2 (2 λ 1) 2 1
( λ 1) 2
=
,
2
5λ 2 λ 3
1
( λ 1)2
t2
5
令λ+1=t(t∈[1,2]),则 2
= 2
=
≤ ,
2
7
5 λ 2 λ 3 5t 12t 10 10 1 12 1 5
5
∴sin θ≤ 35 ,当t= ,即λ= 2 时,等号成立,
7
3

系有关的存在性问题;(2)与空间角有关的存在性问题.解决方案有两种:①
根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后
加以证明,得出结论;②假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条
件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在
这样的点或线,否则不存在.向量法是解决此类问题的常用方法,它可以将
(2)因为DE⊥平面ABCD,
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,
即∠EBD=60°,所以 ED = 3 .
BD
由AD=3,四边形ABCD是正方形,得BD=3 2 ,
则DE=3 6 ,所以AF= 6 .
如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

2020年高三总复习数学人教旧版--[第15讲空间向量] 讲义(教师版)

且平面 ABE 与直线 PD 交于 F , PF f PD ，则（）
A.
f
2
B.
f
2 6
C.
f
3 7
D.
f
4 9
第 5页
【答案】A
【解析】分别取 AB、CD 的中点 H、K ，设平面 ABE 与 PK 交于点 G ，在 PHK 中，易
知 O 为线段 HK 的中点，取线段 GH 的中点 M ，连接 OM ，则 GK 2OM ，由
第 1页
空间向量
空间向量的基本概念与基本定理
空间向量的坐标运算
空间向量的应用
空间向量的基本概念空间向量基本定理空间向量的加减及空间距离问题
空间向量的数量积利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量求空间角和距离
空间向量的基本概念与基本定理
1．空间向量的有关概念
(1)在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的模，用| a |
A. a 3,b 3 B. a 6,b 1 C. a 3,b 2 D. a 2,b 1
【答案】C
【解析】因为
AC
(a
1, 2,b
4),
AB
(1,
1, 3)
，所以由题设
a
1 1
2 1
b
3
4
,所以
a 3 b 2 ，应选答案 C.
练习 2.
O 为空间任意一点，若 OP
3
OA
而 3 1 1 1 故 P，A，B，C 四点共面，故选 B 48 8
例 2. 如图，空间四边形 OABC 中，点 M , N 分别在 OA, BC 上，
OM 2MA, BN CN ，，则 MN （）

1第一讲空间向量及其运算-教师版

第一讲空间向量及其运算【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或AB.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算三、向量共线定理对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 四、共面向量定理（重点）1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a 【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A ,B ,C ,可通过证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使AB AC λ=成立;(2)对空间任一点O ,有OA OB tBC =+(t ∈R ); (3)对空间任一点O ,有OA xOB yOC =+(x +y =1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .【考点讲解】考点一：对空间向量有关概念的理解 1．下列说法正确的是（） A ．零向量没有方向 B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【解析】对于A ：零向量的方向是任意的，A 错误；对于B ：空间向量是自由向量可以平移，B 错误；对于C 、D ：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确. 故选D.考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：()()234323a b c a b c ----+=______．【答案】3417a b c +-【解析】由题意得()()2343236283693417a b c a b c a b c a b c a b c ----+=---+-=+-. 考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．（2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 故选D考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O ､A ､B ､C ､D ､E ､F ､G ､H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，,R k m ∈.求证：(1)A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面； (2)AC EG ∥（平行）； (3)OG kOC =.【解析】(1)因为AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，所以由共面向量定理可得,,AC AD AB 是共面向量，,,EG EH EF 是共面向量，因为,,AC AD AB 有公共点A ，,,EG EH EF 有公共点E ，所以A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面， (2)因为()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=，所以AC EG ∥；(3)()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=考点五：利用数量积公式进行计算例5．（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（）A ．1B ．13C ．14D ．12【答案】D【解析】由题意得()111222BM BA AM BA AP AC BA AP AC =+=++=++，故1122AC BM AC BA AP AC ⎛⎫⋅=⋅++ ⎪⎝⎭211112222AC BA AC AP AC AC AC =⋅+⋅+⋅==.故选D.考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）AB ．CD 【答案】C【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒，因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒ 10=，所以110AC =C【课堂练习】1.（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【解析】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选D.2.（2021-2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考）在如图所示的平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知AB AA AD '==，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，14BM BC =为C D ''上一点，且D N D C λ'''=，若DM AN ⊥，则λ=（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】令(0)AB AA AD m m '===>，则AB AD AA m '===，因为14BM BC =，所以113444DM DA AB BM AD AB BC AD AB AD AD AB =++=-++=-++=-+，因为D N D C λ'''=，所以AN AD DD D N AD AA D C AD AA AB λλ''''''=++=++=++，因为DM AN ⊥，所以0DM AN ⋅=，所以()304AD AB AD AA AB λ⎛⎫'-+⋅++= ⎪⎝⎭所以223330444AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB λλ''--⋅-⋅+⋅+⋅+=,因为60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，(0)AB AA AD m m '===>，所以222222333cos60cos60cos60cos600444m m m m m m λλ--︒-︒+︒+︒+=，所以33311048822λλ---+++=，解得15λ=，故选D3.（多选）（2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+- B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ C ．()0AB AC AD BC ++⋅= D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅ 【答案】ABD【解析】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+== 2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∵AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∵()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 故选ABD ．4.（多选）（2021-2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中）已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥，3AB =，4AC =，12AA =，1160A AB A AC ∠=∠=︒，则（）A ．17AC =B ．133BC =C ．119AC BC =-D ．异面直线1AC 与1B C 【答案】BD【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，3a c ⋅=，4b c ⋅=， 1AC b c =+，1BC a b c =-+-，22119AC B C a b b b c a c b c c ⋅=-⋅+-⋅-⋅+⋅-=， 221227AC b c b c =++⋅=222122233B C a b c a b b c a c =++-⋅-⋅+⋅=，所以11111121cos ,14AC B C AC B C AC B C⋅==．故选BD.5．（2021-2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设→→=AB a ，→→=AC b ，AD c →→=，用a →，b →，c →表示向量DM →=______【答案】122a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】画出对应的正四面体，则11()(2)22DM DA AM c a b a b c →→→→→→→→→=+=-++=+-.6.（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________. 【答案】12- 【解析】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+-11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 7．（2021-2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简下列向量表达式：(1)111AA A B +； (2)11111A B A D C C ++．【解析】 (1)依题意1111AA A B AB +=. (2)依题意111111111AB AD C C AC C C AC ++=+=.【课后练习】1. （2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（） A ．OP OA OB OC =++ B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++【答案】D【解析】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选D.2.（2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】54BD PA PB PC λ=-+⇒54PD PB PA PB PC λ-=-+ 53PD PA PB PC λ=-+，由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线可得531λ-+=，解之得1λ=-，故选D3. （2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中）设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（）A ．互不相等B ．有且仅有两个相C ．都相等D ．以上均有可能【答案】B【解析】ω=+=++=+=u AD BC AC CD BC AC BD ，=+=++=+DB v AB CD A A CB D CD D ，若=v u ，则BC CB =，即0BC =，则B ，C 重合，于是A 、B 、C 、D 共面，矛盾，所以≠v u ，即u 、v 、w 三个向量有且仅有两个相等，故选B4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，则1BD =（）A ．111A D A A AB --B ．111BC BB DC +- C ．1AD AB DD --D ．1111B D A A DD -+【答案】AB【解析】如图：对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选AB.5．（2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末）下列说法正确的是（） A ．设,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面B ．设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 一定不共面C ．设,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅D ．设,,a b c 是三个空间向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【解析】对于A ：因为,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面，故A 正确；对于B ：因为,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 可能共面也可能不共面，故B 错误；对于C ：因为,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：因为,,a b c 是三个空间向量，则()a b c ⋅与向量a 共线，()a b c ⋅与向量c 共线，则D 错误．故选AC ．6.（2021-2022学年河南省焦作市高二上学期期末）已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．【答案】24【解析】由题设，可得如下四面体示意图，则()()2·BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+，又236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，所以1113236623624222BC BD ⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+=.7. （2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，即117AC =8.（2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -，点M 、N 分别在1AC 和BC 上，且满足1AM k AC →→=，()01BN k BC k →→=≤≤.(1)用向量AB →和1AA →表示向量MN →；(2)向量MN →是否与向量AB →，1AA →共面？【解析】 (1)解：∵()1AN AB BN AB k AC AB k AB k AC →→→→→→→→⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11AM k AC k AA AC →→→→⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵()()1111MN AN AM k AB k AC k AA k AC k AB k AA →→→→→→→→→=-=-+--=--.(2)解：由（1）可知，()11MN k AB k AA →→→=--，∵向量MN →与向量AB →，1AA →共面.9．（2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测）已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）若三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，求OM .【解析】 (1) 211333MA OA OM OA OB OC =-=--，211333MB OB OM OB OA OC =-=--，211333MC OC OM OC OA OB =-=--，所以MA MB MC =--，所以MA ，MB ，MC 三个向量共面. (2) 111333OM OA OB OC =++222111222999999OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅+⋅+⋅. 又因为三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，所以OA 、OB 、OC 之间的夹角均为60︒.所以OM =.。

2020届高考数学一轮总复习第八单元立体几何第56讲空间向量的应用一课件理新人教A版

n＝(1,1,1)．
因为单位向量的模为 1，故选 B.
答案：B
2．如果不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a
和 b，则下列命题正确的是( )
①a∥b⇔a＝λb(λ∈R)； ②a⊥b⇔a·b＝0.
A．①和②
B．只有①
C．只有②
D．①和②都不正确
解：此题结论为证线线平行与垂直的方法，两个结论
(1)PA∥平面 EDB； (2)PB⊥平面 EFD.
证明：以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐
标系．设 DC＝a.
(1) 依题意得 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，
P(0，0，a)，E(0，a2Байду номын сангаас2a)．
设平面 BDE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
因为
uuur DB
(3)证“线面平行”，一般利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证.
考点2·利用空间向量解决空间中的探索性问题
【例 2】如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1 的中点，点 P， Q 分别在棱 DD1，BB1 上移动，且 DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．是否存在 λ，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
n，则 α∥β⇔ n⊥β
.
3．利用向量的知识判定线面垂直的方法
(1)直线与直线垂直的判定方法：
如果不重合的两条直线 a 和直线 b 的方向向量分别是 a 和 b，则 a⊥b⇔ a·b＝0 .
(2)直线与平面垂直的判定方法： ①如果直线 a 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 a⊥α⇔ a＝λn . ②如果直线 a 的方向向量为 a，e1，e2 是平面 α 的一组基底(不共线的向量)，则 a⊥α⇔ a·e1＝0且a·e2＝0 . (3)平面与平面垂直的判定方法： ①如果平面 α 和平面 β 的法向量分别为 n1 和 n2，则 α ⊥β⇔n1·n2＝0. ②设平面 α 的法向量为 n，e1，e2 是平面 β 的一组基底 (不共线的向量)，则 α⊥β⇔n＝λ1e1＋λ2e2.

高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计

（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。

高考数学一轮复习 9.7 空间向量的应用精品教学案(教师版) 新人教版

D BA C α 【考纲解读】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

空间向量的应用PPT教学课件

在 Rt△EAH 中，AE＝ 3，所以当 AH 最短时，∠EHA 最大，即当 AH⊥PD 时，∠EHA 最大．
此时
tan∠EHA＝AAHE＝AH3 ＝
6， 2
因此 AH＝ 2.又 AD＝2，
课堂互动讲练
所以∠ADH＝45°. 所以PA＝2. 由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、 PC的中点，所以 A(0,0,0)，B( 3，－1,0)，
课堂互动讲练
∴m＝12
2m2＋1.解得
m＝
2， 2
所以D→H＝( 22， 22，1)．
(1)cos〈D→H，C→C′〉＝|DD→→HH|·|CC→ CC→′′|
＝ 22×0＋ 222××10＋1×1＝ 22，
课堂互动讲练
所以〈D→H，C→ C′〉＝45°.
即 DP 与 CC′所成的角为 45°.
点E为BC的中点，所以AE⊥BC.
课堂互动讲练
又BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面 ABCD，所以PA⊥AE. 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.
课堂互动讲练
(2)设AB＝2，H为PD上任意一点．由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
|n·m| a、b所成的角θ的余弦值为 |n||m|.
基础知识梳理
2．直线和平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角． (2)直线与平面所成角的向量公式直线a的方向向量和平面α的法向量分别为 m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于 m与n的夹角的余角；若m 与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的补角的余角，所以直线a 的方向向量和平面α所成的角的正弦值为 |n·m|

人教版高中数学选择性必修《空间向量的应用》第2课时PPT课件

A
1
= − ， = − + − .
2
P
F
E
D
C
B
（向量法）
解：因为 ⊥底面，
所以 ⊥ ， ⊥ .
P
因为底面为正方形，
F
所以 ⊥ .
所以 ∙ = 0， ∙ = 0，
∙ = 0.
E
D
A
C
P
追问1：还能直接找到平面的法向量吗？
找不到，只能通过找到平面内不共线的
两个向量来计算平面的法向量.
追问2：这时求平面的法向量选择
向量法还是坐标法？
选择坐标法.
F
E
D
A
C
B
（3）解：仍采用（1）的空间直角坐标系，可得
1 1
= (0, , ) ， = 0,0, 1 ， = 1,1, 0 .
B
1
因为 = − ， = − + − ，
2
1
所以 ∙ = ( − ) ∙ (− + ( − ))
2
1
1
2
= − + ∙ − ∙
2
2
1
1
2
+ ∙ − + ∙
2
2
A
1
2
= − − 2 .
所以cos < , > =
=
.
3
F
||||
所以与平面所成角的正弦值等于
6
.
3
E
D
A
C
B
（坐标法）
解：采用（1）的空间直角坐标系，所以 = 1,0, −1 ，
z
1 1

高三数学一轮复习8.6空间向量及其应用精品名师课件人教版

5．空间向量基本定理：
如果三个向量
a
、b
、c 不共面，那么对
空间任一向量实数组x, y, z,
p使，p存在xa一个yb唯一zc的. 有序
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量
a
、
b，在
空间任取一点O，作 OA a ，OB b ，则
角∠AOB叫做向量与的夹角，记作 a,b
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：
a
b
cosa, b
叫做向量 a 、b的数量积，
记作
a

b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何
向量不能构成空间向量的一组基底，那么
a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间
(A) 若 a 与 b 共线， a 与 c 共线，则 b 与 c
共线； (B) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面； (C) 零向量没有确定的方向；
(D) 若 a // b ，则存在唯一的实数λ使得
a b
例3．如图：在平行六面体ABCD－A1B1C1 D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a , AD b ，AA1 c ，则下列向量中与 BM 相等的向量是（ A ）
直线线向互量相或平平行行或向重量合, a，平则行这于些b向记量作叫a做∥共b
共线向量定理：对空间任意两个向量 a , b
( a 0 )，a / /b 的充要条件是存在实数λ使
b a
推论：如果
非零向量
a
l为经过已知点A且平行于已知的直线，那么对任一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足