第十二章 微分方程
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高等数学第十二章微分方程
2
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高等数学课件第十二章微分方程127高阶线性微分方程
1恢复 f力 c;x
2阻力 Rdx;
dt
o x
x
Fm,amd2xcxdx,
d2t
dt
d2x2ndxk2x0 物体自由振动的微分方程 d2t dt
若受到铅直F 干 H 扰 si力 np,t
d2x2nd xk2xhsip nt强迫振动的方程 d2t dt
例2 设有一个R 由 、电 自L 阻 感 、电C容 和电E源 串联
证 (y1*y2*)P(x)(y1*y2*)Q(x)(y1*y2*) [y1*P(x)y1* Q(x)y1*] [y2*P(x)y2* Q(x)y2*]f1(x)f2(x).
三、常数变易法
1 齐次线性方程求线性无关特解---降阶法
设y1是方(程 1)的一个非零特解， 令 y2u (x)y1代入(1)式, 得
组成的,其 电中 路 R、L及C为常,电 数源电动势是
t的函:数 EEmsint,这里 Em及也是常 . 数
解 设电路中的电 i(t)流 ,电为 容器
极板上的电荷 q(t量 ),两为极板
Ri
间的电压 uc,自 为感电动E势L. 为L
dq q
di
C
E~
id,tucC,E LLd,t
q q K
且y2 y1
tanx常数 , y C 1 cx o C s 2 sx i.n
推论 如果y1(x),y2(x),, yn(x)是n阶齐次线性方程
y(n) a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y 0 的n个线性无关,的 那解 么,此方程的通解为
y C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x), 其中C1,C2,,Cn为任意常. 数
特别地
若 在 I上 有 y1(x)常 y2(x)
第十二章 微分方程第二节 可分离变量的微分方程12-2
t 0
M 0 ，求衰变过程中铀含
直接法
量 M( t )随时间 t 变化的规律。 解 由题设条件，有
dM 衰变速度 M ( 0衰变系数) dt dM 可 分 离 变 量 为 dt M C t 积 分 ， 得 ln | M | t C , 即M e e , t M Ce . 代入M t 0 M0 得 M0 C， t M M 0e 衰变规律
2
8 /9
由(1)和(2)，消去V，得:
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
*思考题
求解微分方程
dy x y x y cos cos . dx 2 2
9/9
作
• 习题12-2 1-(2) 2-(3)
业
第二节
1.
2. 3.
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例题 小结、作业
1/9
一、可分离变量的微分方程
若一阶微分方程可写成变量分离的形式
g( y )dy f ( x )dx
dy 2 2 例 2 x y y dy 2 x dx. dx
——可分离变量的微分方程.
4 5
4 5
解法 1、分离变量； 2、两边积分 g( y )dy f ( x )dx 若G ( y ) 和 F ( x ) 分别为g( y ) 和 f ( x ) 的原函数，则
流量系数
2
孔口截面面积
重力加速度
S 1 cm , dV 0.62 2 gh dt ,
(1)
7/9
dV ( 200h h )dh,
2
设在微小的时间间隔 [t , t dt]内, 100 h 水面的高度由h降至 h dh , h dh r 2 则 dV r dh, o r 100 2 (100 h)2 200h h2 ,
M 0 ，求衰变过程中铀含
直接法
量 M( t )随时间 t 变化的规律。 解 由题设条件，有
dM 衰变速度 M ( 0衰变系数) dt dM 可 分 离 变 量 为 dt M C t 积 分 ， 得 ln | M | t C , 即M e e , t M Ce . 代入M t 0 M0 得 M0 C， t M M 0e 衰变规律
2
8 /9
由(1)和(2)，消去V，得:
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
*思考题
求解微分方程
dy x y x y cos cos . dx 2 2
9/9
作
• 习题12-2 1-(2) 2-(3)
业
第二节
1.
2. 3.
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例题 小结、作业
1/9
一、可分离变量的微分方程
若一阶微分方程可写成变量分离的形式
g( y )dy f ( x )dx
dy 2 2 例 2 x y y dy 2 x dx. dx
——可分离变量的微分方程.
4 5
4 5
解法 1、分离变量； 2、两边积分 g( y )dy f ( x )dx 若G ( y ) 和 F ( x ) 分别为g( y ) 和 f ( x ) 的原函数，则
流量系数
2
孔口截面面积
重力加速度
S 1 cm , dV 0.62 2 gh dt ,
(1)
7/9
dV ( 200h h )dh,
2
设在微小的时间间隔 [t , t dt]内, 100 h 水面的高度由h降至 h dh , h dh r 2 则 dV r dh, o r 100 2 (100 h)2 200h h2 ,
第十二章 微分方程一、二、三节
含有未知函数的导数（或微分）的关系式。
3
常微分方程的发展历史
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着 进一步发展的活力，其主要原因是它扎根于各种实 际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究天体问题，其中需 要求解的运动方程是常微分方程。他以非凡的积分 技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的 运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁 于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与 牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。
12
s 9.8 s(0) h, s(0) 0 2 (6) 的通解为 s( t ) 4.9t c1t c2 s( 0) h c 2 h ,
s(0) 0 9.8t c1 t 0 0 c1 0 .
( 6) (7)
5
尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、 弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控 制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预 测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反 过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵 深, 从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到 今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微 分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。
x2ddxy?应满足条件应满足条件此外函数此外函数xxyyy?y1微分方程1721??xxy积分得x式两边关于1将cxxxy????32d223得代入将21?c故所求的曲线方程为12??xy初始条件通解特解积分曲线解的几何意义常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线
第十二章 微分方程
已知 y f ( x ) , 求 y — 积分问题
的切线的斜率为 2 x，求此曲线 L 的方程.
设曲线的方程为 y y( x)，则有 dy (1) 2 x. dx 此外，函数y y(x) 应满足条件
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
2
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
第十二章 第2节 一阶微分方程
2cos x C, 2
为所求解.
7
例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
的含量 M 成正比 ,已知 t = 0 时铀的含量为M 0 , 求在衰变
过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意 , 有
dM dt
M
( 0)
M t0 M 0 (初始条件)
17
例6 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C, 原方程的通解为 y tan( x C) x.
x
u xu 2u2 u , 1u u2
14
1u 3u2 2u
u2 u3
du
1 x
dx
,
两端积分
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
利用初始条件,得 C 1 ln ( mg ) ,
代入上式后化简,
得特解
k v
m
g
(1
e
k m
t
)
k
说明:
lim
t
v
m
g
k
, 跳伞后阶段接近于等速运动9 .
二、 齐次方程
形如
d y (y)
dx x
微分方程
第十二章 微分方程§1 基本概念1. 验证下列各题中的函数是给出的微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22略（2）⎰'=''=+y0 222t -)(,1e y y y x dt .略2．求以给定函数曲线族为积分曲线的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ；求导得：02)(2='++y y C x 所以y y C x '-=+)(代入方程1)(22=++y C x 得所求方程 1222=+'y y y即1)1(22=+'y y（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.x C x C y 2s i n 22c o s221-=' x C x C y 2cos 42sin 421--='' y x C x C y -=+-='')2cos 2sin (421所求方程为y y -=''即0=+''y y3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）曲线在),(y x 处切线的斜率等于该点横坐标的平方;略（2）曲线在点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，PQ 被y 轴平分;切线斜率：y ' 法线斜率：y'-1 直线PQ 斜率：x y2所求方程为xy y 21='-，即02=+'x y y （3）曲线上点),(y x P 处的切线与y 轴交点为PQ Q ,长度为2，且曲线过)0,2(.),(Y X 是切线上的点。
切线方程为：)(x X y y Y -'=-0=X 时得 y x y Y '-=点Q 的坐标为),0(y x y '-PQ 长度为2，所以 2222)(='+y x x 曲线过点)0,2(，于是方程为⎩⎨⎧=='+0)2(41(22y y x§2 可分离变量与齐次方程1. 求下列微分方程的通解： （1）2211y y x -='-；略（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；化为0t a n s e c t a n s e c 22=+dy yydx x x （3）23xy xy dxdy=-；分离变量 或 一阶线性方程（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .略2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ；略（2）21 ,12==+'=x yy y y x . 略1． 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln+='xyy y x ；略（2）03)(233=-+dy xy dx y x .略2． 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；齐次方程（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .齐次方程略3． 用适当变换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +=';设y x u +=，则1-'='u y 原方程化为21u dxdu+= （2）)ln (ln y x y y y x +=+';设xy u =，则2xuu x y -'=' 原方程化为u u xdx du ln 1= (3) 11+-='yx y ; 设y x u -=，则u y '-='1 原方程化为udx du 1-= (4) 0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y设xy u =，则2xuu x y -'=' 原方程化为 0)1()1(22=-'++++x u u x u u x u x u 化简为32)1(u u u u x ='++ 这是变量分离方程4． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围成三角形面积等于常数2a .切线方程为：)(x X y y Y -'=- 点Q 的坐标为) 0 , (y yy x '-'。
高数第十二章 微分方程
27
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
高等数学第十二章第五讲 高阶线性微分方程
( B) C1 y1 C2 y2 ( C1 C2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 ;
(89 考研 )
提示:
y1 y3 , y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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第十二章 定理 4. 分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
的特解, 是方程
n
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2. 性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 例如, 方程 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 推论.
第十二章 是二阶线性齐次方程的两个线
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
(虎克定律)
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o x x
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第十二章
阻力
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m 2 d x dx 2 2 n k x0 2 dt dt (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 H 则得强迫振动方程: 令h ， F H sin pt 作用， m d2 x dx 2 2 n k x h sin pt 2 dt dt
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解 铀的衰变速度就是对时间t的导数，由于铀的衰变速度与其含 量成正比，故得微分方程
（8） 其中（＞0）是常数，叫做衰变系数，前置负号是由于当t增加时
单调减少，即<0的缘故. 按题意.初始条件为
方程(8)是可分离变量的.分离变量后得 两端积分 以表示任意常数,考虑到,得 即 这就是方程的通解.以初始条件代入上式,得
则 分离变量,得 或写为
以代上式中的,便得所给方程的通解为 例2 有旋转曲面形状的凹镜,假设由旋转轴上的一点发出的一切光线
经此凹镜反射后都与旋转轴平行探照灯内的凹镜就是这样的,求这旋转 曲面的方程.
解 取旋转轴为轴光源所在之处取作原点,取通过旋转轴的任一平面 为坐标面,这平面截此转面得曲线图12-4.按曲线的对称性,我们可以只在 的范围内求的方程,设点为上的任一点,点发出的某条光线经点反射后是 一条与轴平行的直线.又设过点的切线与轴的夹角为.根据题意,,另一方 面,是入射角的余角, 是反射角的余角,于是由光学中的反射定律有,从而, 但,而.于是得微分方程
设地球的半径为R，物体的质量为m,物体开始下落时与地球中心的距 离为在时刻t物体所在位置为于是速度为根据万有引力定律，即得微分 方程
即
（13）
其中M为地球的质量，k为引力常数，因为当y=R时，（这里置负号是由
于物体运动加速度的方向与y轴的正向相反的缘故），所以 于是方程
（13）成为
（14）
初始条件是
例 已知函数(14)当k≠0是微分方程(15)的通解,求满足初始条 4件 , 的特解 解 将条件t=0时, = 代入(14)式得
将条件t=0时,=0代入(16)式,得
把、的值代入（14）式，就得所求的特解为
第2节 可分离变量的微分方程
例1 求微分方程 （7）
的通解 解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得
,
那么 ,
(6)
代入的给非齐次方程,得
.
两端积分,得 .
再把上式代入(6)式,即得所求方程的通解为
.
例 有一个电路如图12-6所示,其中电源电动势为(,)都是常量,电阻R 2 和电感L都是常量.求电流. 解 (i)列方程 由电学知道,当电流变化时,L上有感应电动势.由回路 电压定律得出
即. 把代入上式,得
的通解. 解 以除方程的两端,得
即 令 ,则上述方程成为
这是一个线性方程,它的通解为 以代z,得所求方程的通解为
例4 解方程 解 若把所给方程变形为
即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程; 令,代入原方程,得
分离变量得
两端积分得
或
例1 求解 解 这里
第五节 全微分方程
根据牛顿第二运动定律
(其中为加速度),得函数应满足的方程为
按题意,初始条件为
方程是可分离变量的, 分离变量后得
两端积分 考虑到,得 即 或 这就是方程的通解.
将初始条件代入试,得
于是所求的特解为 由可以看出,随着时间t的增大,速度逐渐接近于常数,且不会超过,也
就是说,跳伞后开始阶段是加速运动,但以后逐渐接近于等速运动. 例有高为1m的半球型容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截 4 面面积为 图12-3开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出 过程中容器里水面的高度(水面与孔口中心间的距离随时间 变化的规律. 解 由水力学知道,水从孔口流出的流量即通过孔口横截面
这就是所求的通解. 例2 质量为m的质点受力F的作用沿轴作直线运动,设力F仅是时间t的函 数:.在开始时刻t=0时,随着时间t的增大,此力F均匀的减小,直到时,.如果开 始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.
解 设表示在时刻t时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方
程为
(3)
方程是可分离变量的,分离变量后得
两端积分,得
即 其中是任意常数.
把初始条件代入式,得
因此
把所得值代入式并化简,就得
上式表达了水从小孔流出过程中容器里水面的高度与时间之间 的函数关系.
这里还要指出,在例4中我们是通过对微小量的分析得到微分方程的. 这种微小量分析的方法,也是建立微分方程的一种常用方法.
的水的体积V对时间的变化率Q可用下列公式计算
其中0.62为流量系数,为孔口横截面面积,为重力加速度.现在 孔口横截面面积,故 或 另一方面,设在微小时间间隔内,水面高度由降,则又可得到 其中是时刻的水面半径图12-3,右端置负号是由于而的缘故.又因 所以式变成 比较和两式,得
这就是未知函数应满足的微分方程. 此外,开始时容器内的水是满的,所以未知函数还应满足下列初始条件:
把看作未知数,把看作是自变量,当时上式即为 这是齐次方程.令,则,代入上式,得 即 分离变量,得
积分,得 或 由 得 以代入上式,得 这是以轴为轴、焦点在原点的抛物线,它绕轴旋转所得旋转抛物面的方 程为 这就是所要求的旋转曲面方程.
如果凹镜底面的直径是,从顶点到底面的距离是,则以及代入,得.这时 旋转抛物面的方程为
由题设,力随增大而均匀的在减小,且t=0时,,所以;又当时,,从而
于是方程(3)可以写成
.
(4)
其初始条件为
把(4)式两端积分,得
,
即
(5)
将条件代入(5)式,得
于是(5)式成为
. (6)
把(6)式两端积分,得
将条件代入上式,得
于是所求质点的运动规律为
.
二、型的微分方程
例3 求微分方程
满足初始条件
的特解 解 所给方程是型的。设＝，代入方程并分离变量后，有
现在而.其中为与同方向的单位向量.由,于是,从而 由此得微分方程 即 令,则,代入上面的方程,得 分离变量得
积分得 即 于是 以时代入上式,得,故鸭子游过的迹线方程为
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程 方程
叫做一阶线性方程,因为它对于未知函数及其导数是一次方程.如果 则方程为齐次的;如果不恒等与零,则方程称为非齐次的.
规律的函数s=s(t)应满足关系式
(5)
此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:
t=0时, s=0,
(6)
把(5)式两端积分一次,得
(7)
再积分一次,得
(8)
这里,都是任意常数.
把条件t=0时,=20代入(7)式,得
把条件t=0时,=0代入(8)式,得
把,的值代入(7)及(8)式,得 (9) (10)
设为非齐次线性方程.为了求出齐次线性方程的解,我们先把换成零 而写出
方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.方程是可分离变量的, 分离变量后得 两端积分,得 或 这是对应的齐次线性方程的通解
现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程的通解.这方法是 把的通解中的换成的未知函数,即作变换
于是
将和代入方程得 即 两端积分,得 把上式代入,便得非齐次线性方程的通解
所以这是全微分方程,可取根据公式(3)有
于是,方程的通解为 当条件(2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程.这时如果有一个适
当的函数,使方程(1)在乘上后所得的方程
是全微分方程,则函数叫做方程(1)的积分因子.
第六节 可降阶的高阶微分方程
一、型的微分方程 例1 求微分方程 的通解
解:对所给方程接连积分三次,得 , , ().
第三节 齐 次 方 程
一.齐次方程
如果一阶微分方程
中的函数可以写成的函数,即,则称着方程为齐次方程,例如 是齐次方程,因为
在齐次方程
中,引进新的未知数
就可化为可分离变量的方程.因为由有
代入方程,便得方程 即 分离变量,得 两端积分,得 求出积分后,再以代替,便得所给齐次方程的通解
例1 解方程 解 原方程可写成 因此是齐次方程.令,则 于是原方程变为
两端积分 得
从而 其中仍是任意常数，把它记作C，便得方程（7）的通解
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀 的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变 速度与当时未衰变的原子含量成正比。已知t=0时铀的含量为，求在衰 变过程中铀含量随时间t变化的规律。
将上式代入前式并化简,得方程(7)的通解
其中C为任意常数. 将初始条件(8)代入上式,得
因此,所求函数为 (9)
为了便于说明(9)式所反映的物理现象,下面把中第二项的形式稍 加改变.
令 于是(9)式可写成
其中 当t增大时,上式右端第一项(叫做暂态电流)逐渐衰减而趋于零;第 二项叫做稳态电流)是正弦函数,它的周期和电动势的周期相同,而相角落 后. 二、伯努利方程 例3 求方程
在(9)式中令=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
再把t=50代入(10)式,得到列车在制动阶段行驶的路程
上述两个例子中的关系式(1)和(5)都含有未知函数的导数,它们都是微 分方程.
例3 验证:函数 (14)
是微分方程 (15)
的解 解 求出所给函数(14)的导数
(16)
把及的表达式代入方程(15),得 函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式,因此函数(14)是微分 方程(15)的解.
两端积分，得 即
由条件，得 所以
两端再积分，得 又由条件，得
， 于是所求的特解为 三、型的微分方程 例5 求微分方程
(12) 的通解.
解 方程(12)不明显地含自变量x,设
代入方程(12),得
在、时，约去p并分离变量，得
两端积分，得
即 在分离变量并两端积分，便得方程（12）的通解为
或 例6 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面， 求它落到地面是的速度和所需时间（不计空气阻力）。 解 取连接地球中心与该物体的直线为y轴，其方向铅直向上，取地球 的中心为原点O（图12—8）。
（8） 其中（＞0）是常数，叫做衰变系数，前置负号是由于当t增加时
单调减少，即<0的缘故. 按题意.初始条件为
方程(8)是可分离变量的.分离变量后得 两端积分 以表示任意常数,考虑到,得 即 这就是方程的通解.以初始条件代入上式,得
则 分离变量,得 或写为
以代上式中的,便得所给方程的通解为 例2 有旋转曲面形状的凹镜,假设由旋转轴上的一点发出的一切光线
经此凹镜反射后都与旋转轴平行探照灯内的凹镜就是这样的,求这旋转 曲面的方程.
解 取旋转轴为轴光源所在之处取作原点,取通过旋转轴的任一平面 为坐标面,这平面截此转面得曲线图12-4.按曲线的对称性,我们可以只在 的范围内求的方程,设点为上的任一点,点发出的某条光线经点反射后是 一条与轴平行的直线.又设过点的切线与轴的夹角为.根据题意,,另一方 面,是入射角的余角, 是反射角的余角,于是由光学中的反射定律有,从而, 但,而.于是得微分方程
设地球的半径为R，物体的质量为m,物体开始下落时与地球中心的距 离为在时刻t物体所在位置为于是速度为根据万有引力定律，即得微分 方程
即
（13）
其中M为地球的质量，k为引力常数，因为当y=R时，（这里置负号是由
于物体运动加速度的方向与y轴的正向相反的缘故），所以 于是方程
（13）成为
（14）
初始条件是
例 已知函数(14)当k≠0是微分方程(15)的通解,求满足初始条 4件 , 的特解 解 将条件t=0时, = 代入(14)式得
将条件t=0时,=0代入(16)式,得
把、的值代入（14）式，就得所求的特解为
第2节 可分离变量的微分方程
例1 求微分方程 （7）
的通解 解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得
,
那么 ,
(6)
代入的给非齐次方程,得
.
两端积分,得 .
再把上式代入(6)式,即得所求方程的通解为
.
例 有一个电路如图12-6所示,其中电源电动势为(,)都是常量,电阻R 2 和电感L都是常量.求电流. 解 (i)列方程 由电学知道,当电流变化时,L上有感应电动势.由回路 电压定律得出
即. 把代入上式,得
的通解. 解 以除方程的两端,得
即 令 ,则上述方程成为
这是一个线性方程,它的通解为 以代z,得所求方程的通解为
例4 解方程 解 若把所给方程变形为
即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程; 令,代入原方程,得
分离变量得
两端积分得
或
例1 求解 解 这里
第五节 全微分方程
根据牛顿第二运动定律
(其中为加速度),得函数应满足的方程为
按题意,初始条件为
方程是可分离变量的, 分离变量后得
两端积分 考虑到,得 即 或 这就是方程的通解.
将初始条件代入试,得
于是所求的特解为 由可以看出,随着时间t的增大,速度逐渐接近于常数,且不会超过,也
就是说,跳伞后开始阶段是加速运动,但以后逐渐接近于等速运动. 例有高为1m的半球型容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截 4 面面积为 图12-3开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出 过程中容器里水面的高度(水面与孔口中心间的距离随时间 变化的规律. 解 由水力学知道,水从孔口流出的流量即通过孔口横截面
这就是所求的通解. 例2 质量为m的质点受力F的作用沿轴作直线运动,设力F仅是时间t的函 数:.在开始时刻t=0时,随着时间t的增大,此力F均匀的减小,直到时,.如果开 始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.
解 设表示在时刻t时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方
程为
(3)
方程是可分离变量的,分离变量后得
两端积分,得
即 其中是任意常数.
把初始条件代入式,得
因此
把所得值代入式并化简,就得
上式表达了水从小孔流出过程中容器里水面的高度与时间之间 的函数关系.
这里还要指出,在例4中我们是通过对微小量的分析得到微分方程的. 这种微小量分析的方法,也是建立微分方程的一种常用方法.
的水的体积V对时间的变化率Q可用下列公式计算
其中0.62为流量系数,为孔口横截面面积,为重力加速度.现在 孔口横截面面积,故 或 另一方面,设在微小时间间隔内,水面高度由降,则又可得到 其中是时刻的水面半径图12-3,右端置负号是由于而的缘故.又因 所以式变成 比较和两式,得
这就是未知函数应满足的微分方程. 此外,开始时容器内的水是满的,所以未知函数还应满足下列初始条件:
把看作未知数,把看作是自变量,当时上式即为 这是齐次方程.令,则,代入上式,得 即 分离变量,得
积分,得 或 由 得 以代入上式,得 这是以轴为轴、焦点在原点的抛物线,它绕轴旋转所得旋转抛物面的方 程为 这就是所要求的旋转曲面方程.
如果凹镜底面的直径是,从顶点到底面的距离是,则以及代入,得.这时 旋转抛物面的方程为
由题设,力随增大而均匀的在减小,且t=0时,,所以;又当时,,从而
于是方程(3)可以写成
.
(4)
其初始条件为
把(4)式两端积分,得
,
即
(5)
将条件代入(5)式,得
于是(5)式成为
. (6)
把(6)式两端积分,得
将条件代入上式,得
于是所求质点的运动规律为
.
二、型的微分方程
例3 求微分方程
满足初始条件
的特解 解 所给方程是型的。设＝，代入方程并分离变量后，有
现在而.其中为与同方向的单位向量.由,于是,从而 由此得微分方程 即 令,则,代入上面的方程,得 分离变量得
积分得 即 于是 以时代入上式,得,故鸭子游过的迹线方程为
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程 方程
叫做一阶线性方程,因为它对于未知函数及其导数是一次方程.如果 则方程为齐次的;如果不恒等与零,则方程称为非齐次的.
规律的函数s=s(t)应满足关系式
(5)
此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:
t=0时, s=0,
(6)
把(5)式两端积分一次,得
(7)
再积分一次,得
(8)
这里,都是任意常数.
把条件t=0时,=20代入(7)式,得
把条件t=0时,=0代入(8)式,得
把,的值代入(7)及(8)式,得 (9) (10)
设为非齐次线性方程.为了求出齐次线性方程的解,我们先把换成零 而写出
方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.方程是可分离变量的, 分离变量后得 两端积分,得 或 这是对应的齐次线性方程的通解
现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程的通解.这方法是 把的通解中的换成的未知函数,即作变换
于是
将和代入方程得 即 两端积分,得 把上式代入,便得非齐次线性方程的通解
所以这是全微分方程,可取根据公式(3)有
于是,方程的通解为 当条件(2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程.这时如果有一个适
当的函数,使方程(1)在乘上后所得的方程
是全微分方程,则函数叫做方程(1)的积分因子.
第六节 可降阶的高阶微分方程
一、型的微分方程 例1 求微分方程 的通解
解:对所给方程接连积分三次,得 , , ().
第三节 齐 次 方 程
一.齐次方程
如果一阶微分方程
中的函数可以写成的函数,即,则称着方程为齐次方程,例如 是齐次方程,因为
在齐次方程
中,引进新的未知数
就可化为可分离变量的方程.因为由有
代入方程,便得方程 即 分离变量,得 两端积分,得 求出积分后,再以代替,便得所给齐次方程的通解
例1 解方程 解 原方程可写成 因此是齐次方程.令,则 于是原方程变为
两端积分 得
从而 其中仍是任意常数，把它记作C，便得方程（7）的通解
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀 的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变 速度与当时未衰变的原子含量成正比。已知t=0时铀的含量为，求在衰 变过程中铀含量随时间t变化的规律。
将上式代入前式并化简,得方程(7)的通解
其中C为任意常数. 将初始条件(8)代入上式,得
因此,所求函数为 (9)
为了便于说明(9)式所反映的物理现象,下面把中第二项的形式稍 加改变.
令 于是(9)式可写成
其中 当t增大时,上式右端第一项(叫做暂态电流)逐渐衰减而趋于零;第 二项叫做稳态电流)是正弦函数,它的周期和电动势的周期相同,而相角落 后. 二、伯努利方程 例3 求方程
在(9)式中令=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
再把t=50代入(10)式,得到列车在制动阶段行驶的路程
上述两个例子中的关系式(1)和(5)都含有未知函数的导数,它们都是微 分方程.
例3 验证:函数 (14)
是微分方程 (15)
的解 解 求出所给函数(14)的导数
(16)
把及的表达式代入方程(15),得 函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式,因此函数(14)是微分 方程(15)的解.
两端积分，得 即
由条件，得 所以
两端再积分，得 又由条件，得
， 于是所求的特解为 三、型的微分方程 例5 求微分方程
(12) 的通解.
解 方程(12)不明显地含自变量x,设
代入方程(12),得
在、时，约去p并分离变量，得
两端积分，得
即 在分离变量并两端积分，便得方程（12）的通解为
或 例6 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面， 求它落到地面是的速度和所需时间（不计空气阻力）。 解 取连接地球中心与该物体的直线为y轴，其方向铅直向上，取地球 的中心为原点O（图12—8）。