第3讲_数值模拟方法
数值模拟方法
式中bi，j为位置(i，j)处的水底高程，i，j为自由面的高度，kmax为垂直方向上网格单元的最 大数目。本手册中其它向量也运用类似的定义。
4.2动量的半隐式格式
速度场的基本半隐式化演进可被离散到n*的解空间，类似TRIM中的方法，即得：
式中G是一显式源项向量，1表示自由水面的“隐性度”（隐性度一般的取值范围为0.5 < 1 < 1.0已在ELCOM版本1中编码，但未经全面测试）。ＥＬＣＯＭ中默认的半隐格式是对从形 式上看为时间上一阶精确的自由水面演进采用后向欧拉离散法（即1＝1）。 经证明（Casulli和Cattani，1994），求解流体静力学方程组使用的后向欧拉法可被扩展为 方程4.2和4.3的一般二层格式，从形式来看为二阶精确（当1 =1时）。然而在粗网格模拟中， 数值离散精度的增加不一定导致模型技巧的提高。通常，在对许多湖泊和河口进行模拟时，正 压模态是通过CFL条件来求解的，CFL取值可能为5到10之间或大于10。在这种情况下，半隐式 离散化或许稳定，但水流物理过程表达“准确程度”的决定因素为现研究的流态类型。截断误 差的性质对于了解该方法性能至关重要。若采用一阶方法，导程误差为二阶，且在自由水面上 产生阻尼波。若采用二阶方法，导程误差扩散，且在自由水面产生在水域上传播的数值波；通 常使得线性正压波演化为陡峭前沿涌潮，使得受地形影响的表面波产生局地高速流。因此，一 阶方法可以较好描述自由水面形态和局部正压流速，但显示出自由水面惯性响应的多余阻尼。 相比之下，二阶方法以最低的数值耗散将能量保持为表面波的形式，但对于波的形态描述较 差。在静水力学求解中，弥散波将导致贯穿水柱的人工局部加压的产生，这对于求解技术是不 利的。相比之下，表面波的多余阻尼在风速减弱的时候将导致与正压响应相关的大规模运动的 减弱（即正压模式的“震荡”是衰减的）。总体上，高强度增压系统采用后向欧拉格式模拟较 好，因为两、三个周期以前的波能通常与一阶的物理过程不相关。 采用二层隐式离散化（Casulli和Cheng， 1992）或其它显式离散化技术，矩阵A可以表示
介绍一种数值模拟方法
介绍一种数值模拟方法
数值模拟方法是一种通过使用数学模型和计算机算法来模拟现实系统行为的方法。
它可以用来研究和预测物理、化学、生物、工程等不同领域的系统。
其中一种常用的数值模拟方法是有限元方法（Finite Element Method，FEM）。
有限元方法通过将连续问题离散化为有限个小元素，并在每个小元素上建立适当的数学模型和方程，来近似连续问题的解。
在数值计算中，有限元方法通过代数计算和迭代求解来获得数值解。
有限元方法的步骤主要包括：
1. 建立几何模型：将要研究的系统几何结构进行离散化，将其分解为有限个小元素。
2. 制定数学模型：根据物理规律和假设，为每个小元素建立适当的数学模型和方程。
3. 网格划分：将几何模型进行网格划分，将每个小元素划分为更小的单元格，方便进行计算。
4. 确定边界条件：为计算区域的边界赋予适当的边界条件，限定问题的约束条件。
5. 组装方程：将所有小元素的数学模型和方程组装成一个整体的方程组。
6. 求解方程：通过代数计算和迭代求解得到数值解。
7. 分析结果：根据数值解进行结果分析和后处理，得到所需的结果。
有限元方法具有广泛的应用领域，包括结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
它能够模拟和分析复杂的物理现象和工程问题，为实验和理论研究提供支持，并在实际工程中提供设计和优化指导。
一种数值模拟方法
一种数值模拟方法数值模拟方法是一种利用计算机进行数学模型仿真的方法。
它通过将现实中的连续变量转化为离散变量，并运用数值计算的手段来模拟和分析现实中的问题。
下面将介绍一种常用的数值模拟方法，蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）是一种基于随机数的数值模拟方法。
它的思想源于通过使用随机数来模拟实际现象，利用统计学的方法进行平均运算，从而得到较为准确的结果。
蒙特卡洛方法的核心是随机抽样和统计分析。
具体的步骤如下：1.确定问题的数学模型：将问题转化为数学模型，确定问题的输入和输出。
2.生成随机数：根据问题中的随机变量，使用特定的分布函数生成随机数，模拟实际问题中的随机性。
可以使用均匀分布、正态分布等多种分布函数。
3.运行模拟实验：根据生成的随机数，运行数学模型，得到问题的输出。
可以进行多次重复试验，以获得更为准确的结果。
4.统计分析：对得到的输出进行统计分析。
例如，计算平均值、方差、置信区间等统计指标。
5.得出结论：根据统计分析的结果，得出关于问题的结论。
可以用于对实际问题作出预测和决策。
蒙特卡洛方法可以应用于很多领域，如物理学、工程学、金融学等。
例如，在金融学中，可以使用蒙特卡洛方法来估计期权的价格和风险价值；在物理学中，可以使用蒙特卡洛方法来模拟粒子的运动轨迹。
蒙特卡洛方法具有以下优点：1.灵活性：可以适用于各种各样的问题，不受模型复杂性的限制。
2.可靠性：通过多次重复实验，可以获得较为准确的结果。
3.易于实现：只需要基本的数学和编程知识，就可以进行模拟实验。
4.易于并行计算：可以利用多核CPU或分布式系统来提高计算效率。
当然，蒙特卡洛方法也存在一些缺点：1.计算资源消耗较大：当问题的维度较高时，需要大量的计算资源来运行模拟实验，可能会导致计算时间较长。
2.随机数生成可能不准确：随机数生成方法可能存在偏差，会影响到模拟结果的准确性。
3.统计分析需要技巧：对模拟结果进行统计分析需要一定的统计学知识和技巧，否则可能得到误导性的结论。
数值模拟是一种什么方法
数值模拟是一种什么方法引言数值模拟是一种通过数值方法和计算机模型来模拟现实世界的物理过程和现象的方法。
它是在计算机技术和数学算法的支持下，用离散的数值数据替代连续的物理方程，通过迭代计算来模拟和预测各种自然和工程现象的行为。
数值模拟的基本原理数值模拟的基本原理是将现实世界的问题抽象成数学模型，并利用计算机进行数值计算。
具体而言，数值模拟包括以下几个步骤：1. 定义问题：将现实世界的问题转化为数学模型，并明确问题的边界条件和目标。
2. 离散化：将问题的连续性抽象为离散的网格或空间点，并确定离散化的间隔。
3. 建立数学模型：根据问题的特性，建立相应的数学模型，如常微分方程、偏微分方程等。
4. 数值逼近：利用适当的数值差分或数值积分方法，将数学模型转化为有限差分或有限元等形式，得到离散的数值表示。
5. 迭代计算：根据初始条件和边界条件，通过迭代计算得到数值模拟的结果。
6. 结果分析：对模拟结果进行分析和验证，评估模拟的准确性和可靠性。
数值模拟的应用领域数值模拟广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，如物理、化学、生物、医学、天文学、气象学、地球科学、航空航天、交通运输、材料科学等。
在物理领域，数值模拟可以帮助研究和预测原子、分子、材料和粒子的行为，如分子动力学模拟、量子力学模拟等。
在工程领域，数值模拟可以用于优化设计、模拟运行和预测性能，如飞机设计、汽车碰撞模拟、建筑结构分析等。
在气象学领域，数值模拟可以模拟大气环流、气候变化和天气预报等，提供对天气和气候系统的理解和预测。
在医学领域，数值模拟可以用于模拟人体器官的功能和疾病，如心脏电生理模拟、癌症疾病模拟等，帮助医生诊断和治疗。
数值模拟的优势和局限数值模拟具有以下几个优势：1. 精度可控：通过增加网格的分辨率或改进数值算法，可以提高数值模拟的精度。
2. 成本低廉：相比实验研究或观测研究，数值模拟通常成本低廉且操作简便。
3. 重复性强：数值模拟可以通过改变参数和初始条件，进行多次重复模拟，以获取更全面的结果。
数学中的数值模拟方法
数学中的数值模拟方法数学作为一门科学，其应用范围越来越广泛，而数值模拟方法是数学在实际应用中的一个重要组成部分。
数值模拟是利用数学计算机方法，通过对数学模型的数值求解，得到与实际物理过程相对应的数值结果的一种方法。
本文将介绍数学中的数值模拟方法。
一、数值模拟方法的应用数值模拟方法在物理学、化学、生物学、工程学、地球科学等领域均有广泛的应用。
例如，在工程学中，数值模拟可用于模拟过程中的流体力学、热传递、材料力学等。
在物理学中，可用于模拟天体力学中的行星运动、物理量的计算等。
二、有限差分法有限差分法是计算微分方程的一种数值方法。
通过将微分方程中的函数在有限个点上展开，将微分项用差分近似表示，从而将微分方程变为代数方程组。
这种方法可用于求解一维、二维或三维的偏微分方程。
在计算中，有限差分法一般采用迭代方法进行求解。
三、有限元法有限元法主要应用于计算结构力学和固体力学中的问题。
这种方法将结构分解为有限数量的小单元，每个小单元内部的材料和力学特性相同时，对每个小单元进行力学计算，通过将小单元的结果组合成大体系的结果，得到整个结构的受力状态或变形。
四、蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是一种随机数学模拟方法。
它应用随机数的方式解决了一些复杂问题，包括点和粒子运动、概率模型、射线传输等。
利用蒙特卡罗方法，可以在减少计算机运算量的同时，还能得到很好的模拟效果。
五、数值优化方法数值优化方法是一种用于解决优化问题的计算机模拟方法。
在优化问题中，通常需要确定目标函数在一组给定条件下的最大值或最小值。
数值优化方法可以通过迭代计算过程，逐渐接近最优解。
常用的数值优化方法包括模拟退火、遗传算法和粒子群优化等。
六、求解微分方程的方法微分方程是物理学和工程学中常见的数学方法。
可以通过数值模拟方法来求解微分方程。
其中较为常用的有：欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法、泰勒展开法等。
七、总结数值模拟方法在科学领域中有着广泛的应用。
不同的数值模拟方法适用于不同的问题。
数值模拟方法
数值模拟方法数值模拟方法是一种通过计算机对物理、化学、工程等领域中的现象进行模拟和分析的方法。
它通过建立数学模型，利用数值计算方法对模型进行求解，从而得到所研究系统的一些重要信息。
数值模拟方法已经成为科学研究和工程技术领域中不可或缺的工具之一。
在科学研究中，数值模拟方法可以帮助研究人员更好地理解复杂的物理现象。
例如，在天文学中，科学家们可以利用数值模拟方法来模拟宇宙中恒星的形成和演化过程；在地球科学领域，数值模拟方法可以用来模拟地震波的传播规律。
而在工程技术领域，数值模拟方法则可以帮助工程师们设计更安全、更高效的产品和工艺。
数值模拟方法的核心是建立数学模型。
数学模型是对真实系统的抽象和简化，它可以是基于物理定律的微分方程模型，也可以是基于统计规律的随机模型。
建立好数学模型之后，就需要选择合适的数值计算方法对模型进行求解。
常用的数值计算方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的问题。
在进行数值模拟时，我们需要关注模拟结果的准确性和可靠性。
准确性是指模拟结果与真实系统的符合程度，而可靠性则是指模拟结果的稳定性和可信度。
为了提高模拟结果的准确性和可靠性，我们需要不断改进数学模型和数值计算方法，同时也需要考虑计算机的计算精度和稳定性。
除了关注模拟结果的准确性和可靠性，我们还需要关注模拟的效率。
随着计算机计算能力的不断提高，我们可以利用并行计算、高性能计算等技术来加速数值模拟的过程。
这样可以大大缩短模拟的时间，提高工作效率。
总的来说，数值模拟方法是一种强大的工具，它在科学研究和工程技术中发挥着重要作用。
通过建立数学模型和选择合适的数值计算方法，我们可以更好地理解复杂的现象，设计创新的产品，解决实际的工程问题。
随着计算机技术的不断发展，数值模拟方法也将不断完善，为人类的发展进步提供强大的支持。
数值模拟方法
数值模拟方法数值模拟方法是一种通过计算机模拟数学模型来解决实际问题的方法。
它是利用数值计算方法对不同领域的问题进行模拟和分析，是现代科学技术中的重要工具之一。
数值模拟方法在工程、物理、化学、生物等领域都有广泛的应用，可以帮助人们更好地理解和解决复杂的实际问题。
数值模拟方法的基本思想是将实际问题转化为数学模型，然后利用计算机进行数值计算，得到问题的近似解。
在进行数值模拟时，需要考虑到模型的准确性、计算的稳定性和计算的效率。
因此，数值模拟方法需要结合数学、计算机科学和实际问题的专业知识，进行综合分析和研究。
数值模拟方法的核心是数值计算方法，包括差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法都是通过离散化连续问题，将其转化为离散的数学问题，然后利用计算机进行数值计算。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值计算方法，并对计算结果进行合理的分析和解释。
数值模拟方法在工程领域有着广泛的应用。
例如，在航空航天领域，数值模拟方法可以用来模拟飞机的气动性能，优化飞机的设计；在汽车工程领域，可以用来模拟汽车的碰撞安全性能，提高汽车的安全性能；在建筑工程领域，可以用来模拟建筑结构的受力情况，提高建筑结构的稳定性。
通过数值模拟方法，工程师可以更好地理解和分析复杂的工程问题，提高工程设计的效率和质量。
在物理学和化学领域，数值模拟方法也有着重要的应用。
例如，可以利用数值模拟方法模拟材料的结构和性能，研究材料的力学性能、热学性能和电学性能；可以利用数值模拟方法模拟化学反应的动力学过程，研究化学反应的速率和产物分布。
通过数值模拟方法，科学家可以更好地理解和预测物质的性质和行为，为新材料和新药物的设计提供理论支持。
在生物学领域，数值模拟方法也有着重要的应用。
例如，可以利用数值模拟方法模拟生物体内的生物力学过程，研究生物体的运动和变形；可以利用数值模拟方法模拟生物体内的生物化学过程，研究生物体的代谢和信号传导。
通过数值模拟方法，生物学家可以更好地理解和研究生物体的结构和功能，为疾病的诊断和治疗提供理论支持。
力学中的数值模拟方法
力学中的数值模拟方法力学是自然科学中研究物体运动和相互作用的学科。
力学的研究对象包括刚体、弹性体、流体等物质，而这些物质的运动和相互作用往往是非常复杂的。
为了更深入地了解这些现象，研究者们常常采用数值模拟方法。
本文将介绍在力学中常用的数值模拟方法和其应用。
1. 有限元法有限元法是解决力学问题的一种常用数值方法。
它将复杂的物体划分成有限个小元素，在每个小元素上进行基本方程的数值求解。
这些小元素可以是输入自然或几何区域的任意形状和大小。
通过将整个物体分解为由许多这样的小元素组成的形式，有限元法可以轻松处理具有复杂边界和几何形状的问题。
有限元法的一个重要优点是可以模拟多种不同的问题，例如，静力学问题，热力学问题和流体力学问题。
在建筑和航空航天科学中有限元法广泛应用，设计和优化桥梁、飞机机翼和汽车车身。
2. 边界元法边界元法是另一种广泛用于力学课题研究的数值模拟方法。
与有限元法相比，它的计算成本和计算时间更低。
其基本思想是借助几何中的经典定理——格林公式，将原方程转换为涉及单独表面积分的一组方程。
这些方程的求解是通过构造矩阵并进行数值求解得到的。
边界元法在流体动力学中的应用非常广泛，例如模拟液体流动和超声波传播等。
3. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种基于牛顿力学构建计算统计物理学的方法。
它通过建模粒子之间的相互作用来模拟分子系统的力学行为。
由于该方法可以与巨分子水平的化学反应联系起来，这使得它可以在化学和材料科学中应用得非常广泛。
通过使用物理特征的数值模拟，研究者们可以了解更多基于分子层面的成分内部运作和物理过程。
4. 自适应Mesh网格算法有些力学问题中变量可能有非常高的梯度，为解决这种问题，自适应Mesh算法应运而生。
自适应Mesh网格将整个求解域划分成相互交叉的奇下网格或三角形网格。
然后，当解的精度要求在较高的局部变化时，通过极小化给定误差级别来改变不同的小视窗大小，以便能够应对快速变化的解。
数值模拟方法
数值模拟方法科学研究与解决工程问题的基础在于物理实验与实物观测，例如对金属材料的凝固过程进行物理实验、对天体运行进行观测。
现代科学研究方法的核心是通过实验或观测建立研究对象的数学模型，基于数学模型进行研究与分析。
这种研究方法可以追溯到伽利略的工作，成熟于牛顿的三大定律与微积分。
采用实物模型进行物理实验的研究周期长、投入大，有时甚至无法在实物上进行，如天体物理的研究。
在数学模型上进行的数值模拟研究具有研究周期短、安全、投入少，已经成为不可或缺的工具。
数值模拟方法的应用对象分为三个层次1)宏观层次：常见的工程建筑、制造设备、零件等;2)界观层次：材料的微观组织与性能，如金属材料的晶粒度影响其屈服强度;3) 微观层次：基本物理现象与机理，如金属材料凝固时的结晶与晶粒生长过程。
宏观与界观层次的数值模拟方法包括：1)有限差分方法(Finite Difference Method, FDM)：微分方程的直接离散方法;2)有限元单法(Finite Element Method, FEM)：用有限尺度的单元的集合来代替连续体，分为 Lagrange 方法，Euler 方法，ALE 方法;3)边界单元方法(Boundary Element Method, BEM)：一种半解析方法;4)有限体积方法(Finite Volume Method, FVM)：把空间划分成有限尺度的体积单元，连续体通过这些在空间上固定的体积单元，单元的空间位置不变;5)无网格方法(Meshless Method)：只布置结点，不需要划分单元网格，有权函数。
微观层次的数值模拟方法包括：1)第一原理法(First Principle Simulation)：量子力学方法，直接计算原子的电子结构;2)元胞自动机方法(Cellular Automata)：把空间用元胞演化、元胞的局部相互作用来描述复杂的、全局的系统。
3)蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method )：把颗粒运动定义为随机过程，用势能的变化来判断颗粒运动能否被接受。
数值模拟方法
数值模拟方法科学研究与解决工程问题的基础在于物理实验与实物观测，例如对金属材料的凝固过程进行物理实验、对天体运行进行观测。
现代科学研究方法的核心是通过实验或观测建立研究对象的数学模型，基于数学模型进行研究与分析。
这种研究方法可以追溯到伽利略的工作，成熟于牛顿的三大定律与微积分。
采用实物模型进行物理实验的研究周期长、投入大，有时甚至无法在实物上进行，如天体物理的研究。
在数学模型上进行的数值模拟研究具有研究周期短、安全、投入少，已经成为不可或缺的工具。
数值模拟方法的应用对象分为三个层次1)宏观层次：常见的工程建筑、制造设备、零件等;2)界观层次：材料的微观组织与性能，如金属材料的晶粒度影响其屈服强度;3) 微观层次：基本物理现象与机理，如金属材料凝固时的结晶与晶粒生长过程。
宏观与界观层次的数值模拟方法包括：1)有限差分方法(Finite Difference Method, FDM)：微分方程的直接离散方法;2)有限元单法(Finite Element Method, FEM)：用有限尺度的单元的集合来代替连续体，分为 Lagrange 方法，Euler 方法，ALE 方法;3)边界单元方法(Boundary Element Method, BEM)：一种半解析方法;4)有限体积方法(Finite Volume Method, FVM)：把空间划分成有限尺度的体积单元，连续体通过这些在空间上固定的体积单元，单元的空间位置不变;5)无网格方法(Meshless Method)：只布置结点，不需要划分单元网格，有权函数。
微观层次的数值模拟方法包括：1)第一原理法(First Principle Simulation)：量子力学方法，直接计算原子的电子结构;2)元胞自动机方法(Cellular Automata)：把空间用元胞演化、元胞的局部相互作用来描述复杂的、全局的系统。
3)蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method )：把颗粒运动定义为随机过程，用势能的变化来判断颗粒运动能否被接受。
数学的数值模拟方法
数学的数值模拟方法数学的数值模拟方法指的是通过使用计算机对数学问题进行近似求解的方法。
这种方法是数学与计算机科学交叉领域的重要研究方向，广泛应用于科学、工程、金融等众多领域。
本文将介绍数学的数值模拟方法的基本原理、常用技术和应用领域。
一、基本原理数学的数值模拟方法是基于数值计算理论和方法的基础上建立起来的。
它首先将数学问题转化为数值计算问题，然后利用计算机进行近似求解。
数值计算理论包括数值逼近、数值微分、数值积分等内容，是数值模拟方法的理论基础。
在数值模拟方法中，最常用的技术之一是数值逼近。
数值逼近是通过一系列离散点的函数值来近似表示原函数的方法。
常见的数值逼近方法包括插值法、最小二乘法等。
另一个重要的技术是数值积分，它可以将连续的函数积分转化为离散的求和运算，从而可以利用计算机进行求解。
二、常用技术在数学的数值模拟方法中，有许多常用的技术可以帮助解决各种数学问题。
以下介绍几种常见的技术：1. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程离散求解的方法。
它将函数的导数用差分近似表示，并利用这种近似来求解微分方程。
有限差分法在科学、工程领域中广泛应用，如流体力学、热传导等问题的数值求解。
2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种将连续问题转化为离散问题求解的方法。
它将求解域划分为多个小单元，在每个小单元内使用简单的近似函数来表示原始方程，然后利用有限元法求解这些近似函数。
有限元法在结构分析、流体力学等领域有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛法（Monte Carlo Method）：蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值模拟方法。
它通过进行大量的重复试验来估计问题的概率或统计特性。
蒙特卡洛法在金融、物理、统计学等领域中应用广泛，如随机投资组合优化、计算圆周率等问题。
三、应用领域数学的数值模拟方法在科学、工程、金融等领域具有广泛的应用。
数值模拟方法及其应用研究
数值模拟方法及其应用研究近年来，随着计算机的发展，数值模拟方法在各种科学领域中得到了广泛应用，由于其高度的精度和可靠性，越来越多的研究者开始使用这种方法来探究各种问题。
本文将探讨数值模拟的常用方法和其在各领域中的应用。
一、数值模拟方法数值模拟是一种基于数学模型和计算机模拟的方法，对现实世界中各种物理现象进行数值仿真。
它使用计算器和计算机直接计算数学模型或物理模型在各种条件下的数值结果，以便预测、分析或优化现实中的物理现象。
数值模拟方法的应用是多种多样的，主要分为以下几类：1.有限元法有限元法是一种常见的数值模拟方法，广泛应用于机械、航空、工程软件等领域。
它通过分割复杂的物理系统为多个简单的部件，建立简单的方程组，再通过计算机程序解决这些方程组，得到物理系统的全局性质，并对系统进行模拟。
它可以用于计算粘性、流体力学或热传导等复杂的物理现象。
2.有限体积法有限体积法是一种广泛应用于流体力学、热辐射转移、生物物理学、大气科学等领域的数值模拟方法。
该方法将物理系统分割成小体积，在每个体积中求解物理方程组，再通过求解几何体积上的通量来计算所求性质。
这种方法通常比有限元法更加适合于处理大变形、大变化和非线性模拟。
3.蒙特卡罗法蒙特卡罗法是一种随机数方法的计算方法，用于求解各种问题，如热传导、粒子运动、缺陷形成等。
该方法基于独立、随机采样的原则，通过模拟随机变量的分布来进行采样，从而实现精确的估计。
它以模拟实验的方式来模拟问题，对一些难以计算的物理模型和问题进行有效的计算。
二、数值模拟的应用1.工程学数值模拟方法在工程领域中得到了广泛应用，如机修、建筑、工业、航空等都需要使用数值模拟方法来模拟和解决各种问题。
有限元法、有限体积法、蒙特卡罗法等均在该领域中得到了广泛应用，例如在机械制造中使用有限元分析来测试工件的可靠性，或者在建筑学中使用有限体积法来模拟流体力学现象。
2.生物医学数值模拟方法在生物医学领域中得到了广泛应用，如生理学研究、药物研发、检测和诊断等。
地下水数值模拟 第三讲 地下水数值模拟原理及建模方法和步骤_xiugai
N Hn i, j i, j1
(Wi, j
Ei, j
Si, j
Ni, j
)
H
n i,
j
i,
j
Ai, j
Ci,
j
H
n i,
j
]/
Ci, j
不等距矩形网格有限差分 y
(i,j+1)
法：以二维承压水流为例（续3）
(i-1,j)
(i,j) (i+1,j)
节点（i,j）的均衡区
如果 H 取tn+1时刻的值
Hn i, j1
H
n i,
j
y j y j1
xi1
2
xi1
(KM
)i, j1/ 2
Hn i, j1
H
n i,
j
y j1 y j
xi1
2
xi1
i,
j
Ai, j
ei, j
H n1 i, j
H
n i,
j
tn1 tn
Ai, j
Aij:节点(i,j)均衡区的面积
e 表示：当水头下降一个单位时，从单位底面积饱水空隙介质中 释放的水量（体积）
xi1
2
xi1
i,
j
Ai,
j
ei, j
H n1 i, j
H
n i,
j
tn1 tn
Ai, j
H 可取tn+1或 tn时 刻的值
Aij:节点(i,j)均衡区的面积
e 表示：当水头下降一个单位时，从单位底面积饱水空隙介质中 释放的水量（体积）
不等距矩形网格有限差分 y
(i,j+1)
法：以二维承压水流为例（续1）
数值模拟的理论与方法
数值模拟的理论与方法在现代科学研究中，数值模拟已经成为一种不可替代的工具。
它可以利用计算机对物理、化学、生物等领域的各种现象进行模拟和预测，为科研人员提供重要的理论分析和决策依据。
本文将介绍数值模拟的理论和方法，并讨论其在不同领域中的应用。
一、数值模拟的理论基础数值模拟的理论基础主要包括有限元方法(FEM)、有限差分法(FDM)、谱方法(SPM)等。
有限元方法是一种常用的数值模拟方法，其原理是将实际问题转换为一系列有限元，建立有限元方程组求解得到解。
有限元方法广泛应用于工程、力学、材料等领域。
有限差分法是另一种广泛运用的数值模拟方法，其原理是将空间分为网格，利用差分公式近似求出偏微分方程的解。
谱方法是一种利用特殊函数的展开式将实际问题离散化的方法，具有较高的精度和收敛速度。
二、数值模拟的方法数值模拟的方法可以分为建模、网格生成、求解和后处理等几个步骤。
建模是数值模拟的第一步，其目的是将实际问题转化为数学模型。
建模涉及到问题的边界条件、初始条件等，需要根据实际问题进行选择和确定。
网格生成是指将数学模型离散化成网格，目的是将实际问题转化为数值计算问题。
网格生成的好坏直接影响数值模拟结果的精度和效率。
常用的网格生成方法有三角形网格生成法、四面体网格生成法等。
求解是指根据前面所述的数学模型进行计算，求解得到物理量和数学量等的数值解。
求解过程中需要根据问题的复杂程度选择合适的数值方法，比如前文提到的有限元方法、有限差分法等。
后处理是将求解得到的数值解转换为实际问题的物理量，进行分析和预测的过程。
后处理的方法包括时间序列分析、等值线分析、谱分析等。
三、数值模拟的应用数值模拟在各个领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，康普顿散射、光子物理、量子场论等都需要利用数值模拟方法进行研究。
在化学中，分子模拟、反应动力学等也是利用数值模拟方法进行研究的核心手段。
在生物医学中，数值模拟可以帮助研究心血管疾病、肿瘤治疗等问题。
数值模拟方法
数值模拟方法数值模拟方法是一种通过计算机模拟实际系统的数学方法，它在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
数值模拟方法可以通过建立数学模型，利用计算机进行数值计算，得到系统的行为和性能，从而为实际问题的分析和解决提供有效的手段。
本文将介绍数值模拟方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值模拟方法的基本原理是将实际系统抽象为数学模型，通过数学方程描述系统的行为规律，然后利用计算机进行数值计算，得到模型的解析解或数值解。
数值模拟方法主要包括有限元方法、有限差分方法、有限体积方法等。
其中，有限元方法是一种将连续系统离散化的方法，它将实际系统分割为有限个单元，通过单元之间的相互作用来描述整个系统的行为；有限差分方法是一种将微分方程转化为差分方程进行求解的方法；有限体积方法是一种将微分方程转化为积分方程进行求解的方法。
这些方法在实际应用中各有优缺点，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行数值模拟。
数值模拟方法在工程领域有着广泛的应用，例如在结构力学中，可以利用有限元方法对结构进行强度和刚度分析，为结构设计提供依据；在流体力学中，可以利用有限体积方法对流体流动进行模拟，为流体工程设计提供支持；在热传导领域，可以利用有限差分方法对热传导过程进行模拟，为热工程设计提供指导。
此外，数值模拟方法还在地球科学、生物医学、材料科学等领域有着重要的应用价值。
总之，数值模拟方法是一种重要的科学计算方法，它通过建立数学模型，利用计算机进行数值计算，为实际问题的分析和解决提供了有效的手段。
随着计算机技术的不断发展，数值模拟方法在科学研究和工程应用中将发挥越来越重要的作用。
希望本文的介绍能够帮助读者对数值模拟方法有所了解，为相关领域的研究和应用提供参考。
第3讲_数值模拟方法
temporal: 时间的，evolution体)研究中最常用的方法
优势： −将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到传播 光子的本征频率，准确，高效的 −计算资源的成本低：成本低内存的台式电脑 缺点： −复杂结构或有缺陷体系是一个挑战 −如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的 本征方程，这种情况下根本无法求解形式 有限时域差分法作为电磁场数值计算的经典方法之一，也可以用 来进行光子晶体能带计算，但由于没有考虑晶格的具体形状，遇 到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确求解。
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对电磁波不反射
FDTD (Yee) 运算法则的执行
FDTD中的迭代过程
设置波源频率、偏振、传播方向等初始信息
由此，场的空间和时间演变 就可以被模拟出来了。
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iteration: 迭代
FDTD算法的复杂度和可并行性
• 时间复杂度 – 与网格个数成正比 • 空间复杂度 – 自由空间中也是与网格个数成正比 • 并行的可行性 – 串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况 下，可以同时计算多个点的场值 – 每一步计算只与附近的点有数据依赖关系
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把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化
Finite element
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sparse: 稀疏的，linear system of equations: 线性方程组
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有限元
•整个区域划分的基本子区域，称为有限元，场方程被应用到每个基元。 •不像时域有限差分法，网格单元（有限元）不一定是长方形的，可能是
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spatial: 空间的
重新整理和完成时间导数的有限差分，我们得到：
对 TE problem (Ez, Hx, Hy): Hx are stored at (i, j+1/2) Hy are stored at (i+1/2, j) Ez are stored at (i, j)
数值模拟方法
数值模拟方法数值模拟方法是一种利用计算机对实际问题进行数值求解的数学方法。
它通过建立数学模型，利用数值计算的方法对模型进行求解，从而得到问题的近似解。
数值模拟方法在科学研究、工程技术和社会经济等领域都有着广泛的应用，成为现代科学技术发展的重要工具之一。
数值模拟方法的基本思想是将实际问题抽象为数学模型，利用计算机进行数值计算，得到问题的数值解。
它可以对复杂的物理现象进行模拟，分析和预测，为科学研究和工程设计提供重要的支持。
数值模拟方法通常包括建立数学模型、离散化、数值计算和结果分析等步骤。
建立数学模型是数值模拟方法的第一步，它是将实际问题用数学语言描述出来的过程。
在建立数学模型时，需要考虑问题的物理规律、边界条件和初值条件等因素，以确保模型的准确性和可靠性。
建立好数学模型后，接下来就是进行离散化处理，将连续的数学模型转化为离散的数值计算问题。
离散化是数值模拟方法的关键步骤，它将连续的数学模型离散化为离散的数值计算问题。
通常采用有限差分、有限元、有限体积等方法进行离散化处理，将连续的空间和时间离散化为有限的网格或单元，从而转化为离散的代数方程组。
通过对离散化后的代数方程组进行数值计算，可以得到问题的数值解。
数值计算是数值模拟方法的核心内容，它是利用计算机对离散化后的代数方程组进行数值求解的过程。
数值计算方法包括常微分方程的数值解法、偏微分方程的差分格式、线性代数方程组的求解方法等。
通过数值计算，可以得到问题的数值解，并进行结果分析和验证。
结果分析是数值模拟方法的最后一步，它是对数值计算结果进行分析和验证的过程。
通过结果分析，可以评估数值解的准确性和可靠性，发现计算中的错误和不足之处，并对结果进行解释和应用。
结果分析是数值模拟方法的重要环节，它直接影响到数值模拟的有效性和可靠性。
总的来说，数值模拟方法是一种重要的数学方法，它在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。
通过建立数学模型、离散化、数值计算和结果分析等步骤，可以对实际问题进行数值模拟，得到问题的数值解。
数值模拟方法和反演
第三篇数值模拟方法和反演引言已知场源分布和地下介质的物性分布，要求计算地表或地下场的分布，这就是地球物理勘探的正演问题，它是地球物理勘探资料解释的基础。
反过来根据所测到的地表或地下场的分布以及场的分布，来推断地下介质的特性分布，就是地球物理勘探中的反演问题，它就是对地球物理勘探资料的解释。
地球物理的正演问题，除了少数简单物性分布可用场论中的经典方法解析求解外，极大部分都需要用数值模拟方法求解。
这些方法包括有限单元法、有限差分法和边界元法。
有限差分法（Finite Difference Method—FDM）是从地球物理场所满足的偏微分方程和边界条件出发，将微分方程转变为差分方程。
其研究步骤是：首先将研究区域按一定方式离散化，例如对二维断面可以将研究范围划分为一系列小的长方形单元，然后在每个单元内假设物性均匀，地球物理位、场呈线性变化，因而微分方程中的微分就可用差分来代替，于是就可以建立一组线性差分方程，最后求解此线性方程组即得到相应的位、场分布。
有限单元法（Finite Element Method—FEM）也是从地球物理场所满足的偏微分方程和边界条件出发，根据微分方程的解与泛函极小问题的等价性，将微分方程和其边界条件转化为相应泛函的变分问题。
其研究步骤仍然是将研究的区域按一定方式划分离散化，例如对二维情况，可以将断面分割成一系列小的长方形单元或三角形单元，同样设单元内位、场呈线性变化，物性参数均匀，这是泛函是各节点位、场的二次函数，利用求极小的必要条件，即泛函对各节点位、场的变分为零，二次函数的变分为一次函数，由此可得到一个线性方程组，解此线性方程组便可求得各节点的位、场值。
有限元法由于可采用三角形网络划分研究区域，所以能比较容易弯曲的物性界面和起伏地形，这是它比有限差分法优越之处。
当然有限差分法也可通过较密的网格剖分来近似地模拟弯曲的物性界面和起伏地形，但这时要增加计算工作量。
边界单元法（Boundary Element Method-BEM）是在有限单元法以后发展起来的一种数值方法。
数值模拟方法
i Pii 1 Qi
离散化方法
i Pii 1 Qi
bi Pi ai ci Pi 1 d i ci Qi 1 Qi ai ci Pi 1
a11 b12 d1 P1 b1 a1 Q1 d1 a1
bN 0 PN 0 QN N
离散化方法
有限体积法
T T
W w P e E
x
W w P e E
x
离散化方法
有限体积法
TE TP dT k ke dx e dx e TP TW dT k kw dx w dx w
Sdx Sx
w
e
离散化方法
有限体积法
TE TP TP TW ke kw Sx 0 dx e dx w
t s w
离散化方法
0 0 PP P P
t
xy J e J w J n J s
Sc SPP xy
J e J x dy
e
J w J x dy
w
J n J y dy
n
J s J y dy
s
离散化方法
连续性方程
Fx Fy 0 t x y
i 1
a11 b12 d1
i 2
a22 b23 c21 d 2
i 3
a33 b34 c32 d3
离散化方法
W 1 i-1 P i E i+1 N
i N 1
aN 1N 1 bN 1N cN 1N 2 d N 1
dx)w dx)e
w
W P x
e
E
x
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Fourier transform: 傅立叶变换，dense: 密集的，resolve: 分辨
3. 有限元法(FEM)
• FEM:一种求解偏微分方程组的数值方法
•最初应用于结构力学和热力学理论，可以追溯到1950年代
•1960年代末其应用首次出现在电磁学著作中，但1980年代前并 未被广泛采用。
9 benchmark: 基准对比试验
•通常，时域有限差分法、有限元法是最受欢迎的用于复杂纳米结构 建模的方法（特别是非周期性的） 优势： −灵活地对几乎任意复杂几何形状建模 −时域有限差分法可以很容易地给出场的时间演化 −强于建模和描述近场响应 缺点： −繁重的计算负荷：计算时间长和巨大的内存成本（10+G） −几乎不适用于远场的计算 •傅立叶模态法FMM是周期结构(光栅)建模最常用的方法 优势： −快速（几秒钟完成一次计算），准确，高效的 −计算资源的成本低：成本低内存的台式电脑 −强于对光栅的远场响应建模 缺点： 复杂的图案结构建模是一个挑战（如球阵列） −不适合用于非周期结构建模
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x
x 3v
x 而一般取： t 2c
c：为光速，自由空间中： c
min(x, y, z ) 当△ x, △ y, △z不相等时： t 2c
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• 在给定位置x0处的 f(xi,tn)≡fin 的泰勒级数展开:
• 因此，对空间导数，我们有:
对空间离散
•同样，对时间导数，我们有:
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analytical: 解析的，simulate: 模拟，optimization: 优化，rigorous: 严格的，numerical: 数值的
1、数值方法综述
数值方法分类:
•频域方法 & 时域方法
•域内的离散方法 & 边界离散方法
•周期性结构法 & 非周期性结构法 •近场法 & 远场法
•全矢量法 & 近似法
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FDTD 计算实例1: 探针尖端的SPP 聚焦
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FDTD计算实例2：光通过纳米双缝
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FDTD计算实例3：通过交替折射率的纳米层的反射光
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FDTD总结：
• 时域方法，适用于模拟场的空间和时间演化。 • 明确：E(H)场是从前面计算和存储H(E)场获得的，不再需解联立方程组(矩 阵) 。 • 金属的色散不得不通过适当的解析表达式估算，导致在宽频段计算中引入 了大量的误差。 • 通过激发一个宽频段脉冲的一次计算可能获得整个系统的频率响应，并计 算出傅立叶变换。
FDTD运算法则的推导
•从麦克斯韦的微分方程出发:
E H t
H E t
•所有场分量的偏微分方程都要用有限差分近似公式表示 •为了这个目的，结构应首先被离散成由有限个格点组成网格
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derivation: 推导，algorithm: 算法，partial derivative: 偏微分，mesh: 网格
这些方法各有优缺点，在应用时要根据实际场合合理地选用！
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2. 有限时域差分法(FDTD)
有限差分原理
df x0 f x0 x/ 2 f x0 x/ 2 f x0 dx x
f（x）在点p的微分用有限差分近似公式替代
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derivative: 微分，finite difference: 有限差分
•通过物理量的匹配时间得到的解决定了更高n值的网格点的数值。
•在网格点周围采用泰勒级数展开函数进行有限差分。
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数值稳定性的条件
是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即 保证数值稳定的条件如下： t 1 1 1 (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
当x=y=z的时候，即：空间步长相等的时候: t
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spatial: 空间的
重新整理和完成时间导数的有限差分，我们得到：
对 TE problem (Ez, Hx, Hy): Hx are stored at (i, j+1/2) Hy are stored at (i+1/2, j) Ez are stored at (i, j)
我们需对有限差分执行类似的步骤。
•FEM始于麦克斯韦方程组的偏微分形式。
•基本思想：虽然电磁响应在一个大的区域是复杂的，但在小的子 区域简单的近似就足够了。 •有限元法的主要原理：将复杂的问题分解成小的、简单的问题来 解决，小问题的求解过程是可知和容易的。
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partial differential equation: 偏微分方程
( Hx, Hy, Ez )
TM problem
(Ex, Ey, Hz)
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TM problem (Hz, Ex, Ey):
E 和 H的空间网 格也是错开的! Ex are stored at (i+1/2, j) Ey are stored at (i, j+1/2) Hz are stored at (i+1/2, j+1/2)
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Fourier Modal Method: 傅立叶模态法
各种方法的基准测试对比
狭缝-凹槽衍射问题的数值分析
See Besbes et al., J. Eur. Opt. Soc.-Rapid Publ. 2, 07022 (2007) 其他基准报告看: Mode solvers for waveguides: Bienstman et al., Opt. Quantum Electron. 38, 731 (2006) Numerical methods for gratings: Neviè re and Popov, SPIE 3450, 2 (1998)
对时间离散
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•为了满足精度的要求,按半步时间交错进行E和H的更新， 解得场的时间微分，即， −在时间半步长n + ½处写H场 −时间整步长n处写E场
也被称为 “蛙跳运算法则”
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stagger: 错开
对空间微分，我们首先考虑在Z方向没有变化二维情况， 即，去除所有对应z的偏导项，得到
z y
x
TE problem
沉重的计算负荷 • 计算负荷空间和时间网格点的密度和数量 −细微特征的结构−空间网格必须非常密才能处理精细结构 −远场计算需要大量的网格点 −为了快速准确地得到光与物质相互作用的时间演化过程,需要小时间步长。
一些商业软件： FDTD Solutions, OptiFDTD, Remcom XFDTD, Zeland Fidelity, APLAC, Empire, Microwave Studio, RM Associate CFDTD
…
所有方法都是通过一定的技巧解麦克斯韦方程
•有很多方法和有用的商业软件
•但是没有一种方法（软件）可以解决所有的问题！ •用户需要很熟悉这些软件，这些技巧的原理和局限性，以及需 要分析的问题。
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frequency-domain: 频域，time-domain: 时域，discretization: 离散化，aperiodic: 非周期性的
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为什么需要严格的数值方法？
•为了了解纳米光学结构和现象的物理基础，我们需要那些往往只 适用于简单几何体或假想体的分析理论（如Mie理论）和模型（如 Fano模型）！ • 为了模拟纳米结构的电磁响应，并进行设计和优化，我们需要利用 严格的数值方法开展“数值实验”（类似于实验室实验），这种方 法花费更少，省时省力，方便，可靠…。 • 对应不同类型的纳米结构有不同的数值方法（例如，光子晶体，有 平面波展开法，时域有限差分法FDTD，传输矩阵法等） • 这一讲中，我们将介绍了一些纳米光学中常用的数值方法。详细介 绍四种最受欢迎的方法：时域有限差分法FDTD、有限元方法FEM、 FMM和平面波展开法PWM的原理和应用。
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周期性结构法
傅立叶模态法（FMM） 坐标变换法（C法） 平面波展开法 微/积分法 瑞利傅立叶法 迭代法
非周期结构法
有限时域差分法(FDTD) 有限元法(FEM) 非周期FMM 体积分法 直线法 局域本征模态法(LEMM)
Loewen and Popov, Diffraction Gratings and Applications (Marcel Dekker, 1997) Besbes et al., J. Eur. Opt. Soc.-Rapid Publ. 2, 07022 (2007)
域内的离散方法
边界离散方法
多重多极展开法(MMP)
有限元法(FEM) 辅助源法(MAS) 有限时域差分法(FDTD) 无网格边界积分方程法
Smajic et al., “Comparison of Numerical Methods for the Analysis of Plasmonic Structures”, Journal of Computational and Theoretical Nanoscience 6, 763 (2009)
研究生课程
纳米光学
(Nano-Optics)
第三讲: 数值模拟方法
中国科学院大学 材料科学与光电技术学院
董国艳
你知道吗？ …
为什么需要进行严格的数值模拟计算？
怎样选择需要的计算方法？
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本讲内容
1. 纳米光学数值方法综述 2. 有限时域差分法 (FDTD) 3. 有限元法(FEM) 4. 傅里叶模态法(FMM) 5. 平面波展开法
频域方法
矩量法 Method of Moment 有限元法 Finite Element Methods
光栅模态法： −傅立叶模态法（FMM） −坐标变换法（C法）
时域方法
有限时域差分(FDTD)谱(PSTD)