五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版

勾股定理与弦图

课前预习

华盛顿的傍晚

亲爱的小朋友们：

“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：

两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2

（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2

化简整理得a2＋b2＝c2

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．

三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．

句股各自乘，并，而开方除之，即弦。

勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

()2

2222142.

ABCD S a b c ab

a b c =+=+⨯∴+=正方形

D

C

B A

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

()2

2222142.

S c a b ab

a b c =-+⨯∴+=正方形EFGH

G

F

E

H

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()11

2222

ABCD a b a b S ab c ++=

=⨯+梯形 222.a b c ∴+=

勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

勾股定理实际上包含两方面的内容：

① 如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方； ② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形． 勾股数：

满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 弦图：

知识框架

G

F

E

H

C

A

B

c

b

a

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形

3.勾股定理与弦图的联系与应用

【例1】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为

【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2

。

【例2】已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且 ∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

例题精讲

重难点

A

B

C

D

7cm A D

【例3】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

【巩固】如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台

风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

【例4】 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？

A B

C D