2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2蝗制课时分层作业含解析新人教A版必修

课时分层作业(三十六) 弧度制
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B ．323
C.16π
3
D ．32π3
D [1 920°＝5×360°＋120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋2π3 rad ＝32π3 rad.] 2．在0到2π范围内，与角－4π
3终边相同的角是( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D ．4π3
C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π
3
，故选C.]
3．下列表示中不正确的是( )
A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }
B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭⎬
⎫α＝π
2＋k π，k ∈Z
C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π
2，k ∈Z
D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
α＝
π
4＋2k π，k ∈Z
D [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }，故A 正确；
对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
α＝
π
2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；
对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合
为⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫α＝π
2＋k π，k ∈Z ，
故合在一起即为
{
α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
α＝
π2＋k π，k ∈Z ＝
⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭⎬
⎫α＝k π
2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
α＝
π
4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]
4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限
D ．第一象限
D [因为－2π＜－5＜－3π
2
，所以α是第一象限角．]
5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2
，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．1或4
C [因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为1
2×4×r ＝2，解得r ＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为4
1＝4.故选C.]
二、填空题
6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．
A ＝π
5，B ＝π3，C ＝
7π
15
[因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，
所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π
15.]
7．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ －π2
＋2k π＜θ＜π
2＋2k π，k ∈Z
[y 轴对应的角可用－π2，π
2表示，所以
y
轴右侧角的集合为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
－π2
＋2k π＜θ＜π
2＋2k π，k ∈Z
.] 8．已知扇形OAB 的圆心角为5
7π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________．
35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为5
7
π，
∴弧长l ＝5
7
πr ，
∵扇形的周长为5π＋14，∴5
7
πr ＋2r ＝5π＋14，
解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2
＝12×57π×49＝35π2.]
三、解答题
9．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π
6，
又π＜7π6＜3π
2
，
∴α与7π
6
终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π
6＋2k π(k ∈Z )，
又－5π≤γ＜0，
∴当k ＝－3时，γ＝－29
6π；
当k ＝－2时，γ＝－17
6π；
当k ＝－1时，γ＝－5
6
π.
10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π
3 rad.
(2)由(1)可知α＝π
3 rad ，r ＝10，
∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π
3，
∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π
3
，
而S △AOB ＝12·AB ·53＝1
2×10×53＝253，
∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3－3.
11．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1
D ．2
sin 1
D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1
sin 1＝
2
sin 1
.] 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2
)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公
式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π
3，
半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)( )
A ．6平方米
B ．9平方米
C ．12平方米
D ．15平方米
B [如图，由题意可得：∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π
3，∠DAO
＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD ＝AO ·sin π3＝4×3
2＝23，可得：弦＝2AD ＝2×23＝43，所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22
)＝43＋2≈9(平
方米)．]
13．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.
[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，
∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]
14．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α
4终边相同的角是________．
2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α
4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，
此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10
.]
15．如图所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
[解] AA 1︵
所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2
；
A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2
＋
1×π2＋3×π3＝
9＋23
π
6
(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm 2
)．。