《新步步高》北师大版数学(文)大一轮复习文档：高考专题突破一.doc
【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc
高考专题突破一高考中的导数应用问题■Ｉ考点自测快速解答自查自纠1.(2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()A.(—I —1)U(O,1)B.(-1,O)U(1, +oo)C.(—8, -1)U(-1,O)D.(O,1)U(1, +8)答案Afix' 解析因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(￥金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0<x<l时，g(x)> g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当x<-l时，g(x)<g(—l)=0o￥<0o/(x)>0.?A综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.2.若函数^x)=kx~\wc在区间(1, +呵上单调递增，则￡的取值范围是()A.(—8, —2]B.( —8, — 1]C.[2, +8)D.[l, +8)答案D 解析由于.广(x)=?—￡心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—￡三0在(1, + oo)上恒成立.由于&丄,而0<丄<1,所以k2\.X X即k的取值范围为[1, +-).3.函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是()A.O B」 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +-),_ . , 1 6x2—2x+l且./ (x)=6x+~— 2= - ,由于x>0, 中/ = 一20<0,所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a答案1解析 / (X)=3?X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.(1, XI))处的切线方程为j-(a+2)=(l+3a)(x-l).将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a,解得a=l.2 °25. ____________________ 设函数y(x)=e "Ji，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护w誓吟恒成立，则正数k的取值范围是.答案［1, +°)解析因为对任意X］,兀2丘(0, +°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦k k /(X2)min因为g(x)=亍，所以g‘ w=e2_x(l—x).当0<x<l 时，g‘ (x)>0；当x>l 时，g‘ (x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.X/(x)=e2x+丄N2c(x>0).X当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.Ji V所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'又￡>0,所以kM\.题型分类对接高考深度剖析题型一利用导数研究函数性质例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r).⑴讨论/(X)的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/?的定义域为(0, +-), f (x)=g—a?即心X2+2Xx+1(兀+1)2—x+1若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(￡ +oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单调递增，在+?>)上单调递减.(2)由(1)知，当G WO时，./(X)在(0, +8)无最大值；当Q>0时，.几￥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I￡+Q(1—￡)=—lno+a—1.因此层>2a~2等价于\na+a-i<0.令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，g(l)=0.于是，当0GV1 时，g(a)<0；当时，g(a)>0.因此，G的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式f (x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.跟踪训练1已知Q GR,函数f[x)=(—x2+ax)c x (xR, c为自然对数的底数).(1)当。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第三章 高考专题突破一 第2课时 导数与方程
第2课时 导数与方程求函数零点个数例1 设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，当m ≥1时，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数． 解 令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数． F ′(x )＝－(x －1)(x －m )x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数， 注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0； 若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增， 注意到F (x )的极小值F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0， 所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．将本例条件“m ≥1”改为“m ≥0”，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数．解 由例题解法知m ≥1时，两函数图象有一个交点； 当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x >0有唯一零点；当0<m <1时，0<x <m 或x >1时，F ′(x )<0；m <x <1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m <0， 所以F (x )的极小值F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )>0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0， 所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点．思维升华 (1)可以通过构造函数，将两函数图象的交点问题转化为函数零点问题．(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．跟踪训练1 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R ，讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3的零点的个数．解 由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知 ①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．根据函数零点情况求参数范围例2 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝2f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 解 由g (x )＝2f (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x ，设h (x )＝x ＋2ln x ＋3x(x >0)，所以h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.所以x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x⎝⎛⎭⎫1e ，11(1，e)又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3e ＋e ＋2. 且h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e <0. 所以在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上，h (x )min ＝h (1)＝4， h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，若方程在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不等实根，则4<a ≤e ＋2＋3e ， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，e ＋2＋3e . 思维升华 方程根或函数零点的个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想．跟踪训练2 已知函数g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b 在[1,4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围．解 g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x.在[1,4]上，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：g (x )极小值＝g (2)＝ln 2－b －2， 又g (4)＝2ln 2－b －2，g (1)＝－54－b .若方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln 2－2<b ≤－54.故实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤ln 2－2，－54.1．已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间； (2)判断f (x )的零点个数．解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝(x )′ln x ＋x ·1x ＝x (ln x ＋2)2x，令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2， 所以f (x )的单调减区间为(0，e －2)，单调增区间为(e －2，＋∞)． (2)由(1)得f (x )min ＝f (e －2)＝a －2e ，若a >2e ，则f (x )min >0，f (x )无零点；若a ＝2e ，则f (x )min ＝0，f (x )有一个零点；若a <2e，则f (x )min <0，f (x )在(0，e －2]上单调递减，在[e －2，＋∞)上单调递增， 当a ≤0时，在(0，e －2]上有f (x )＝a ＋x ln x <a ≤0，∴f (x )在区间(0，e －2]上无零点，在[e －2，＋∞)上有f (e －2a )＝a (1－2e －a )≥0，f (x )在区间[e －2，＋∞)上有一个零点；当0<a <2e时，有0<4e a -<e －2，424e ,e a af a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭易证当x >0时，e x >x 2成立，∴4e a f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>a －4a ⎝⎛⎭⎫2a 2＝0，又f (e －2)<0，f (1)＝a >0，∴f (x )在(0，e －2]上有一个零点，在(e －2，＋∞)上有一个零点． 综上，当a >2e 时，f (x )无零点，当a ≤0或a ＝2e 时，f (x )有一个零点，当0<a <2e 时，f (x )有2个零点．2．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋c 有三个零点，求实数c 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)， 由f ′(x )>0可得x >2或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数， 在(－1,2)上是减函数，所以函数f (x )的极大值为f (－1)＝76＋c ，极小值为f (2)＝c －103.而函数f (x )恰有三个零点，故必有⎩⎨⎧76＋c >0，c －103<0，解得－76<c <103，所以使函数f (x )恰有三个零点的实数c 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－76，103. 3．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a >0，函数f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12x 2－a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.①a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②a >0时，由f ′(x )>0，得x >a ， f ′(x )<0，得0<x <a .即f (x )在(0，a )上单调递减， 在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减， 在(a ，＋∞)上单调递增．(2)当a >0时，由(1)知f (x )在(0，a )上单调递减， 在(a ，＋∞)上单调递增， ①若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增， f (1)＝12，f (x )在区间(1，e)上无零点．②若1<a <e ，即1<a <e 2时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增， f (x )min ＝f (a )＝12a (1－ln a )．∵f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝12>0，f (a )＝12a (1－ln a )<0，f (e )＝12e 2－a >0，∴e<a <12e 2.③若a ≥e ，即a ≥e 2时，f (x )在(1，e)上单调递减，f (1)＝12>0，f (e)＝12e 2－a <0，f (x )在区间(1，e)上有一个零点．综上，f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e ，12e 2.4．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，13上无零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1－2ln x ，x >0， 则f ′(x )＝1－2x ＝x －2x，由f ′(x )>0，得x >2，由f ′(x )<0，得0<x <2.故f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)因为当x →0时，f (x )→＋∞，所以f (x )<0在区间⎝⎛⎭⎫0，13上不可能恒成立， 故要使函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，13上无零点， 只要对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，f (x )>0恒成立， 即对x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，a >2－2ln xx －1恒成立． 令h (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， 则h ′(x )＝2ln x ＋2x－2(x －1)2，再令m (x )＝2ln x ＋2x－2，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， 则m ′(x )＝－2(1－x )x 2<0，故m (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上为减函数． 于是m (x )≥m ⎝⎛⎭⎫13＝4－2ln 3≥0. 从而h ′(x )≥0，于是h (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上为增函数， 所以对x ∈⎝⎛⎭⎫0，13有h (x )<h ⎝⎛⎭⎫13＝2－3ln 3， 所以a 的取值范围为[2－3ln 3，＋∞)．5．(2020·贵州遵义第一次统考)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝－13x 3＋ax －34.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)记max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，若F (x )＝max{f (x )，g (x )}(x >0)，且函数y ＝F (x )恰有三个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)g (x )＝－13x 3＋ax －34的定义域为R ，g ′(x )＝－x 2＋a .①当a ≤0时，g ′(x )≤0，所以g (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)； ②当a >0时，令g ′(x )>0，得x ∈(－a ，a )， 令g ′(x )<0，得x ∈(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，综上得，当a ≤0时，g (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调递减区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调递增区间为(－a ，a )． (2)F (x )＝max{f (x )，g (x )}(x >0)， f (x )＝ln x 的唯一一个零点是x ＝1， ∴g ′(x )＝－x 2＋a (x >0)，由(1)可得，①当a ≤0时，g (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)， 此时y ＝F (x )至多有两个零点，不符合题意． ②当a >0时，令G (x )＝g (x )＋34， 则G (x )＝－13x 3＋ax 的图象关于点(0,0)对称，即g (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫0，－34中心对称， 注意到ln x 在(1，＋∞)上恒正， F (x )要有3个零点，则g (x )必须在(0,1)上取到2个零点，如图，∴极大值g (a )>0，且g (1)<0，则有⎩⎨⎧g (1)<0，g (a )>0⇒⎩⎨⎧－13＋a －34<0，－13(a )3＋a ·a －34>0⇒34<a <34＋13， 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，34＋13.。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第七章 不等式 2
1．“三个二次”的关系(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(2,3] D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 答案 C解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}， 则(∁R P )∩Q ＝(2,3]，故选C.3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 答案 2解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}． 所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． 答案 (－1,1)解析 由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0 得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4) 答案 (1)D (2)B解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. 命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是____________． 答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立． 只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1)A (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．13．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图像在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件． a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a .∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为( ) A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52答案 D解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52，所以选D. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________． 答案 {x |a <x <1a} 解析 原不等式即(x －a )(x －1a)<0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝________. 答案 －2 解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0， 依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞) B ．(－32，12) C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞) D ．(－12，32) 答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图像可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第五章 平面向量 54
1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的射影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5，2)，C (－1，－4)，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵AB →＝(2，－2)，CB →＝(6,6)， ∴AB →·CB →＝12－12＝0，∴AB →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析 设D 为AC 的中点， 如图所示，连接OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝________.答案 2解析 (BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2.题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC的内心．思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx＝±3.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．(2015·江西重点中学盟校第一次联考)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点， 则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.题型三 向量的综合应用例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3解析 (1) 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图像可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.(2)由图像可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 3解析 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，则ω， φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析 由E 为该函数图像的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像可以看作是由y ＝sin ωx 的图像向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．[方法与技巧]1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． [失误与防范]1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6.即点P 的轨迹是抛物线．3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 由题意可得PC →＝2AP →，所以P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )，易知S △P AB ＝13S △ABC ，即S △P AB ∶S △ABC ＝1∶3. 4．在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA →|BA →|＝2，则AB 边的长度为( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 B解析 由题意画示意图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图.AC →·AB →|AB →|＝1表示AC →在AB →上的射影为1，即AD 的长为1，BC →·BA →|BA →|＝2表示BC →在BA →上的射影为2，即BD 的长为2，故AB 边的长度为3.5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π 答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (7π12，－A )， 又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2＝0， ∴A ＝712π. 6．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1∶2解析 如图所示，取AC 中点D .∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________．答案 120°解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，又∵OA →＋OB →＋OC →＝0.∴－OC →＝OB →＋OA →.∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →，可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12. ∴向量OA →，OB →的夹角为120°.8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________.答案 －252解析 设{AB →，AC →}为平面内一组基底．如图所示，O 为△ABC 的外心，设M 为BC 中点，连接OM 、AM 、OA ，则易知OM ⊥BC .又AO →＝AM →＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM →＋BC →·MO →＝BC →·AM →(其中BC →·MO →＝0)＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252. 9．设向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)，b ＝(2sin ωx ，－1)，其中ω>0，x ∈R ，已知函数f (x )＝a·b 的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)若sin x 0是关于t 的方程2t 2－t －1＝0的根，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求f (x 0)的值． 解 (1)f (x )＝a·b ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)·(2sin ωx ，－1)＝2sin ωx cos ωx －2sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. 因为T ＝4π，所以2π2ω＝4π，ω＝14. (2)方程2t 2－t －1＝0的两根为t 1＝－12，t 2＝1. 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以sin x 0∈(－1,1)， 所以sin x 0＝－12，即x 0＝－π6. 又由(1)知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π12＋π4＝2sin π6＝22. 10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34. cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4. 因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( ) A.13 B.12C ．3D ．2 答案 C解析 由OA →－4OB →＋3OC →＝0，得OA →－OB →＝3OB →－3OC →＝3(OB →－OC →)，所以－AB →＝－3BC →，所以|AB →|＝3|BC →|，即|AB →||BC →|＝3.故选C. 12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，23π答案 C解析 设a 与b 的夹角为θ.∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x .∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24， 又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，故选C.13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－34，12)∪(12，＋∞) 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m,1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )．∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34. 由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(－34，12)∪(12，＋∞)． 14．(2015·淮北模拟)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12， 故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上⎝⎛⎭⎫α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12，因此夹角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.15．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2.(1)求内角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．解 (1)|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )．∵4＋4cos(π4＋A )＝4，∴cos(π4＋A )＝0. ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，A ＝π4. (2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， 解得a ＝42，∴c ＝8.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.。
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3＋2 解 由已知得，数列{an}的通项公式
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
－1，…，写出数列{an}的通项 ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…
题型分类
思想方法
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题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中，a1＝1，
当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝anSn－12.
(1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an＝Sn－Sn－1 (n≥2) 后，再同除 Sn－1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
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【例 1】 已知数列{an}是 3＋2
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 先写出通项，然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解．
基础知识
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∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1. (2)∵bn＝2nS＋n 1＝2n－112n＋1
＝122n1－1－2n1＋1，
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新步步高北师大数学文大一轮复习文档：高考专题突破一
1.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A.3f (1)<f (3)B.3f (1)>f (3)C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3) 答案 B解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )x －f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3).故选B. 2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)答案 D解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1. 即k 的取值范围为[1，＋∞).3.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A.0B.1C.2D.无数个答案 A解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x， 由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1).将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.5.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________.答案 [1，＋∞)解析 因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)max f (x 2)min. 因为g (x )＝e 2x e x ，所以g ′(x )＝e 2－x (1－x ).当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e.又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0). 当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12， 又k >0，所以k ≥1.题型一 利用导数研究函数性质例1 (2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a 取得最大值，最大值为f⎝⎛⎭⎫1a＝ln1a＋a⎝⎛⎭⎫1－1a＝－ln a＋a－1.因此f⎝⎛⎭⎫1a＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此a 的取值范围为a ≥32.题型二 利用导数研究不等式问题例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立.(1)解 任意x ∈(0，＋∞)，有 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞)). f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立. 思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解.(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1. (1)解 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x >0)， 则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2. 所以当x ≠1时，h ′(x )<0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0. 即f (x )>ln x x －1. 题型三 利用导数研究函数零点或图像交点问题例3 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数. 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x， 则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. ∵当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g (x )有两个零点. 思维升华 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.解(1)由已知得，f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R恒有f′(x)>0，此时f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当a>0时，f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，此时f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a).(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数f(x)的图像有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f (x )的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1).(时间：70分钟)1.(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ∈R ). (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数.由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞. 2.已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈[0，π2]. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x <b 对x ∈(0，π2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 解 (1)由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间(0，π2)上f ′(x )＝－x sin x <0， 所以f (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x>a ”等价于“sin x －ax >0”； “sin x x <b ”等价于“sin x －bx <0”. 令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立， 当c ≥1时，因为对任意x ∈(0，π2)，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间(0，π2)上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立”当且仅当 g (π2)＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立； 当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 3.某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与(x －214)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.解 (1)设5858－u ＝k (x －214)2， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k (10－214)2，解得k ＝2. ∴u ＝－2(x －214)2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11).(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9).令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减.∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.4.已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个.解 (1)a ＝2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1).令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值. 所以y ＝x 3＋x 2－x －2＝0的解只有一个.即y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点只有一个. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (x )的草图如图所示，h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a＝－527时恰有两个公共点. 5.已知函数f (x )＝x ＋a e x . (1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x ).(1)解 易得f ′(x )＝－x －(1－a )e x， 由已知得f ′(x )≥0对x ∈(－∞，2)恒成立，故x ≤1－a 对x ∈(－∞，2)恒成立，∴1－a ≥2，∴a ≤－1.(2)证明 a ＝0，则f (x )＝x e x . 函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0).令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x ∈R ，则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －001e x x -000(1)e (1)e .ex x x x x x +---= 设φ(x )＝(1－x )0e x －(1－x 0)e x ，x ∈R ， 则φ′(x )＝0-e x －(1－x 0)e x ， ∵x 0<1，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0， ∴当x <x 0时，φ(x )>0，当x >x 0时，φ(x )<0， ∴当x <x 0时，h ′(x )>0，当x >x 0时，h ′(x )<0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴x ∈R 时，h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x ).。
高中数学步步高大一轮复习讲义文科压轴题目突破练解析几何
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练出高分
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则椭圆 E 的离心率为
( A)
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eated解w析ith由A题sp意os可e知.S，lid∠eFs1fPoFr2 .是N直ET角3，.5且Client Profile 5.2.0 tan∠PCFo1Fp2＝yr2ig，h∴t ||2PPFF0120||＝4-22，0又1|1PFA1|s＋p|oPFse2| Pty Ltd.
解析 设C点opPy(xr0i，ghy0t)．20依0题4意 -2得01，1焦A点spFo(2s,e0)，Pty Ltd.
x0＋2＝5， y20＝8x0，
于是有 x0＝3，y20＝24；
a2＋b2＝4， a92－2b42＝1， 由此解得 a2＝1，b2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是 y＝±bax＝± 3x.
0 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是
(A )
A．(4,6)
B．[4,6)
C．(4,6]
D．[4,6]
解 析 因 为 圆 心 (3E，va－lu5)a到tio直n线on4lxy－. 3y － 2 ＝ 0 的 距 离 为 eated|4×w3it－hC34oA×2＋pspy－3ro2i5gs－eh.t2S|2l＝i0d50e，4s -f2o0r1.N1EATsp3o.5seClPietyntLtPdr.ofile 5.2.0
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第六章 数列 64
求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一 分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， 故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2.当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52， n 为奇数.思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n .解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二 错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.思维升华 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．(2015·天津蓟县第二中学第一次模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34. 解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)， 即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1 ＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(2n －1)2n ＋1＋2. 题型三 裂项相消法求和 命题点1 形如a n ＝1n (n ＋k )型例3 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.(1)解 由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0， 解得S 1＝－3或2， 即a 1＝－3或2， 又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0， 则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)．所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n . 又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明 当n ＝1时， 1a 1(a 1＋1)＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a n (a n ＋1)＝12n (2n ＋1)＜1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13. 所以对一切正整数n ， 有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析 由f (4)＝2可得4a ＝2， 解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k＝1k(n ＋k －n )，1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0， ①式两边同除以S n －1·S n ， 得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴S n ＝12n －1.(2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.四审结构定方案典例 (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .(1)S n ＝－12n 2＋nk ――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大――→根据S n 结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n ＝n2n －1――→根据数列结构特征确定求和方法T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――→错位相减法求和 计算可得T n 规范解答解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立， 综上，a n ＝92－n .[6分](2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[7分]②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.[11分] 故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分] 温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n 2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．(3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和．[失误与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 017等于( )A ．31 009－2B ．2×31 007 C.32 014－12D.32 014＋12答案 A解析 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－31 0091－3＋3(1－31 008)1－3＝31 009－2. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n ) (n ∈N ＋)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n答案 A解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为( ) A ．1－n ＋22n ＋1 B ．2－n ＋42n ＋1 C ．2－n ＋42n D ．2－n ＋22n ＋1 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎨⎧ a 1＝32，d ＝12，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2， 所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 4．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82 答案 B解析 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 4＝1，a 12＝3，a 95＝5，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.答案 298解析 由题意可得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，所以a 4＝1＝a 1，a 12＝3＝a 3，a 95＝5＝a 2，所以数列{a n }的前100项和S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋1＝198.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________．答案 －13解析 由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2 013，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1 013，a 2＝1 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1 013，依次可得a 5＝－1 000，a 6＝13， 由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0，∴S 2 015＝S 5＝－13.8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1的值等于________． 答案 1解析 由a n ＋1＝a 2n ＋a n ，得1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2 015－1a 2 016＝2－1a 2 016.又a n ＋1＝a 2n ＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝a 2n >0，所以{a n }是正项递增的数列．又因为a 3＝2116>1，所以a 2 016>1，即0<1a 2 016<1，所以⎣⎡⎦⎤2－1a 2 016＝1.9．(2015·玉林、贵港联考)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42. 10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n (n ∈N ＋)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(2)证明 由a n ＝2n (n ∈N ＋)，得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122 ＝564(n ∈N ＋)．即对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1. 12．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0答案 D解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 016＝6×336，∴S 2 016＝0.13．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________． 答案 16解析 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18 ＝－65d ＋95d ＝35d ＜0， 所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.14．在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________． 答案 100101解析 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n ⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列， ∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101. 15．(2015·山东)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意．(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章 立体几何 82
1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(×)(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)1．下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．3．在如图所示的几何体中，AA′∥BB′∥CC′，则由A、B、C、A′、B′、C′六点可确定的平面个数为()A．5 B．8C．11 D．12答案 C4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为()A．平行B ．异面C ．相交但不垂直D ．垂直 答案 A解析 ∵A 1D ∥B 1C ，PQ ⊥A 1D ，∴PQ ⊥B 1C .又∵PQ ⊥AC ，∴PQ ⊥平面AB 1C .∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥BD 1，同理B 1C ⊥BD 1，∴BD 1⊥平面AB 1C ，∴PQ ∥BD 1. 5.如图所示，已知在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是______，AE 和BG 所成角的大小是________． 答案 45° 60°解析 ∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角即∠EGF ，tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF ＝45°， ∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF＝60°.题型一 平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． 证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，如图所示．则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE＝12AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．题型二 判断空间两直线的位置关系例2 (1)(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)D(3)②④解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(3)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中， ①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .题型三 求两条异面直线所成的角例3 (1)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________________． 答案 60°解析 取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ， 在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求， 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32， 故∠AB 1E ＝60°.(2)空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小． 解 如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ， 则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．(1)如图所示，在三棱柱ABC—A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案(1)B(2)C解析(1)连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.(2)如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．14．构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．答案 A温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．[方法与技巧]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．[失误与防范]1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 在如图所示的长方体中， 不妨设l 2为直线AA 1，l 3为直线CC 1， 则直线l 1，l 4可以是AB ，BC ；也可以是AB ，CD ；也可以是AB ，B 1C 1； 这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.3．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⃘α，a ⃘β，且a 在α，β内的投影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面答案 D解析 依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3) 答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于2.故选A.5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255 B.55 C.45 D.35答案 B解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B.6．给出以下四种说法：(设α、β表示平面，l 表示直线，A 、B 、C 表示点)①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则l α；②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l ⃘α，A ∈l ，则A ∉α；④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合．则上述说法中正确的个数是________．答案 3解析 ①②④正确；如图所示，可知③错误．7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个．8．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78 解析 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．答案 无数解析 方法一 在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二 在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．10.如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．(1)解 ∵AE EB ＝CF FB ＝2，∴EF ∥AC ， ∴EF ∥平面ACD ，而EF 平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH .∴AH HD ＝CG GD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14， ∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH 平面ABD ，又P ∈FG ，FG 平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．12．(2015·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．答案①解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→….它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N＋)．设黑、白二蚁走完第2 015段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白蚁的距离是________．答案 2解析白蚁走的路程为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，完成一个循环，黑蚁走的路程为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA, 完成一个循环，2 015＝6×335＋5，则白蚁走到B点，黑蚁走到D 点，B 、D 间的距离为 2. 14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值．解 如图，连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝(52a )2＋(52a )2－a 22·52a ·52a＝35.15.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线． 证明 连接BD ，B 1D 1，如图． 则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ，B 1D 平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1， ∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线．。
新步步高高考数学北师大理一轮复习 第章 系列4选讲 1 课时1相似三角形的判定及有关性质 课件
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 平行截割定理的应用
例1 如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O， 过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F， 与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.
解析答案
(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于
点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且 EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度. 解 ∵AD∥BC， ∴OODB＝BACD＝2102＝53， ∴OBDB＝58. ∵OE∥AD，∴OADE＝OBDB＝58. ∴OE＝58AD＝58×12＝125， 同理可求得 OF＝38BC＝38×20＝125，∴EF＝OE＋OF＝15.
答案
2
考点自测
1.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD.
证明 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA， 故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB. 由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.
123
解析答案
2.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度.
§14.1 几何证明选讲
课时1 相似三角形的判定及有关性质
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的 线段也 相等 . 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 . 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 . 2.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对 应线段成比例 .
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题
高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题三角函数的图象和性质例1 已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)，其中ω>0，函数f (x )＝m ·n ＋3，若函数f (x )图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意可得f (x )＝m ·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3＝2sin ωx cos ωx －(2cos 2ωx －1)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4. 由题意知，T ＝2π2ω＝π，得ω＝1， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (2)将f (x )的图象向左平移π4个单位长度， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象， 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12， 得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的图象． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，∴4x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤11π12，9π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤22， 故函数g (x )的值域为[－2，1]．思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．跟踪训练1 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)把函数y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位长度， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.例2 (12分)(2019·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．规范解答解 (1)由题设及正弦定理，得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．[2分] 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，[3分] 故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.[5分]因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.[6分] (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34a .[8分] 由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.[10分] 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.所以0°<120°－C <90°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32.[12分]第一步：利用正弦定理将边角关系转化为角之间的关系；第二步：通过角之间的关系sin A ＋C 2＝sin B 转化为cos B 2＝sin B ，进而求出B ； 第三步：将三角形的面积转化为只含一个变量的函数S ＝34a ； 第四步：利用正弦定理把a 转化为a ＝32tan C ＋12，然后通过题中条件求出C 的范围，进而得出a 的范围，最后得出面积S 的范围．跟踪训练2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3. 在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2， 所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1. 又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3. 三角函数和解三角形的综合应用例3 (2020·贵州适应性考试)已知函数f (x )＝sin x 3＋cos x 3，x ∈[0，π]，设f (x )的最大值为M ，记f (x )取得最大值时x 的值为θ.(1)求M 和θ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若a ＝22，b ＝210，B ＝θ，求c 的值．解 (1)已知f (x )＝sin x 3＋cos x 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4， 因为0≤x ≤π，所以π4≤x 3＋π4≤7π12， 所以当x 3＋π4＝π2， 即x ＝3π4时，f (x )max ＝2， 故M ＝2，θ＝3π4. (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c 2－2×22×⎝⎛⎭⎫－22c ＋8＝(210)2， 即c 2＋4c －32＝0，解得c ＝4或c ＝－8(舍去)，故c ＝4.思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3 已知函数f (x )＝4sin x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6. (1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的两边长a ，b 分别为函数f (x )的最小值与最大值，且△ABC 的外接圆半径为324，求△ABC 的面积． 解 (1)f (x )＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ＋ 3 ＝2sin x cos x －23sin 2x ＋ 3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3， ∴32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴函数f (x )的值域为[3，2]．(2)依题意a ＝3，b ＝2，△ABC 的外接圆半径r ＝324，∴sin A ＝a 2r ＝3322＝63， sin B ＝b 2r ＝2322＝223， ∴cos A ＝33，cos B ＝13， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×13＋33×223＝63， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×63＝ 2.1．在△ABC 中，A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，因为A ＝60°，c ＝37a ， 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋32－2b ×3×12， 解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2．(2020·云南师大附中适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos A (b cos C ＋c cos B )＝3a .(1)求角A ；(2)若a ＝1，△ABC 的周长为5＋1，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos A (b cos C ＋c cos B )＝3a 及正弦定理得2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝3sin A ， 2cos A sin A ＝3sin A ，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32，A ＝π6. (2)∵a ＝1，a ＋b ＋c ＝5＋1，∴b ＋c ＝ 5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π6＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ＝1，∴bc ＝42＋3＝4(2－3)，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2－ 3. 3．已知函数g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ，将函数y ＝g (x )的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝f (x )的图象．(1)求函数g (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，且f (B )＝－3，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ， ∴g (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ，∴g (x )＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2) f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－1＝－3， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－1， ∵在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2B ＋π6＝3π2，即B ＝2π3. 由余弦定理得32＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3， 即a 2＋c 2＋ac ＝9，9＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12ac sin 2π3≤334， ∴△ABC 面积的最大值为334.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围． 解 (1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ，由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B .即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以sin(C ＋B )＝sin A sin B .因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，所以sin B ＝1，B ＝π2， 所以△ABC 为直角三角形．(2)因为f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12＝cos 2x －23cos x ＝⎝⎛⎭⎫cos x －132－19， 所以f (A )＝⎝⎛⎭⎫cos A －132－19， 因为△ABC 是直角三角形，所以0<A <π2，且0<cos A <1， 所以当cos A ＝13时，f (A )有最小值－19.所以f (A )的取值范围是⎣⎡⎭⎫－19，13.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sin C ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A,2b ＝sin B .△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C ) ＝12⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋34 ＝12⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋34.∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∴A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.。
步步高文科高考数学一轮复习1
§1.1 集合旳概念及其基本运算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素 （1）集合元素旳三个特征：__拟__定__性___、_互__异__性___、
__无__序__性___. （2）元素与集合旳关系是__属__于__或_不__属__于___关系，
用符号____或_____表达.
2 .
2
a
2.
综上知，当A B 时，a<-8或a≥2.
6分
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
4 则 a
1 a
1 2, 2
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时，若B A，如图,
则4 a
1 a
2
1 2 ,
a a
2 . 2
0
a
2.
综上知，当B A时， 1 a 2
4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算旳常用措施,其中利用数轴图示法要尤其注意端点 是实心还是空心.
5.要注意A B、A∩B=A、A∪B=B、 这五个关系式旳等价性.
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B.{1，4，5}
（B ）
C.{4，5}
D.{1，5}
解析 ∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∩B={2，3}.
又U={1，2，3，4，5}，
∴ U(A∩B)={1，4，5}.
2.已知三个集合U,A，B及元素间旳关系如图所示，
则( UA)∩B等于
（A ）
A.{5，6}
B.{3，5，6}
思想措施 感悟提升
措施与技巧
1.集合中旳元素旳三个性质，尤其是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验，要注重符号 语言与文字语言之间旳相互转化.
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章
§3.1 导数的概念及运算1．函数y ＝f (x )从x 0到x 1的平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x＝2.( × )2．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3 答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1ex ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又α∈[0，π)，∴α∈[3π4，π)．题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx→0ΔyΔx. (1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx )0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝0. (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；求下列函数的导数．(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .题型三 导数的几何意义例3已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(1)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，2x －y ＝0.(2)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．9 答案 D解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0))过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( ) A ．[5，＋∞) B ．[4,5] C ．[4，133] D ．(－∞，4)答案 B解析f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12 答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2.三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3； (3)y ＝sin x x n ； 解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)y ′＝(sin x x n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin x x n ＋1. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 2．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b 2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3．(2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ， 由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第十三章 几何证明及不等式 2 课时1
课时1 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系． 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程1．求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0， 整理得ρ＝2cos θ. (2)由ρ＝2cos θ， 得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2， 相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y 2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2， 即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0. 圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.故所求弦长为4 3.在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．A 组 专项能力提升 (时间：50分钟)1．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－(－2)＋1|12＋(－1)2＝522.2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32，解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求PQ 的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝5.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示， ∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系．解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第七章 不等式 4
1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案(1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0，∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( )A ．2B ．2 2C ．3D ．4(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)D (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.故选D. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6，当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2015·大同模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (1)A (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36 答案 C解析 因为a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，所以5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，因为a 5＋a 6≥2a 5a 6，所以6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，所以a 5a 6的最大值为9，选C.3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 答案 C解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52 D ．3答案 C解析 如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1 (p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74答案 C解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8．(2015·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.故选B.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．(2015·广西南宁安吉中学第五次月考)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16答案 D解析 由32＋x ＋32＋y ＝1得xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4， 即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]答案 C解析 因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，所以要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立， 即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4， 因为a 1>a 2>0，所以⎩⎨⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a2，即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]，故选C.14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12] 解析∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3， ∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章 立体几何 84
1．直线与平面垂直a ⊥b ，b α(b 为α内的任意一条直线)a ⊥m ，a ⊥n ，m 、n α，m ∩n ＝Oa ⊥α，bα(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬⎪⎫l βl ⊥α ⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝a l βl ⊥a⇒l ⊥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × ) (5)a ⊥α，aβ⇒α⊥β.( √ )(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( ) A ．l 与平面α内的两条直线垂直 B ．l 与平面α内无数条直线垂直 C ．l 与平面α内的某一条直线垂直 D ．l 与平面α内任意一条直线垂直 答案 D解析 由直线与平面垂直的定义，可知D 正确．2．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若α⊥β，因为α∩β＝m ，b β，b ⊥m ，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又aα，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，且a ，m 共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，P A，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________________________________对．答案7解析由于PD⊥平面ABCD，故平面P AD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面P AC⊥平面PDB，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC ⊥平面P AB ，AB 平面P AB ， ∴PC ⊥AB ，又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG 平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (1)(2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． ①求证：EF ⊥平面BCG ； ②求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．①证明 由已知得 △ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .②解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. (2)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：P A ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ， 在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC 得， ∠ABC ＝30°，设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3， 所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO . 因为PD ⊥平面ABC ，CD 平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面P AB ， 又P A 平面P AB ，所以P A ⊥CD .思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． 证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P —ABCD 中， ∵P A ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(1)(2015·山东)如图，三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．①求证：BD∥平面FGH；②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明①方法一如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM平面FGH，B D⃘平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二如图，在三棱台DEF ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD平面ABED，所以BD∥平面FGH.②连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(2)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD 沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.求证：①CD⊥平面PBD.②平面PBC⊥平面PDC.证明 ①∵AD ＝AB ，∠BAD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°， 又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝45°， 又∠DCB ＝45°，∴∠BDC ＝90°， 即BD ⊥DC .∵平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面PBD .②由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP 平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDC .思维升华 面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．(2015·重庆)如图，三棱锥P ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC . (1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．(1)证明 由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE 平面P AC ，PE ⊥AC ， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB . 因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)解 设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2.从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x36－x 2＝718x36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3.体积V PDFBC ＝13·S DFBC ·PE＝13·718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3. 题型三 垂直关系中的探索性问题例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC . (1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC 平面ACE ，D F ⃘平面ACE ， ∴DF ∥平面ACE .又∵DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ， ∴DF ∥a .(2)解 线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ， 连接GD ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF .⎭⎬⎫GF ⊥CEGF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE . 又GF 平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)所示． (1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为D E⃘平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A 1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，因为DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.15．立体几何证明问题中的转化思想典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A 1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K平面A1MK，A N⃘平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK .∵四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C .[10分]∴MK ⊥B 1C .∵A 1B 1平面A 1B 1C ，B 1C 平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C .又∵MK 平面A 1MK ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .[12分]温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．[方法与技巧]1．三类论证(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a ⊥α，b α⇒a ⊥b ；④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；②判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂判定性质直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[失误与防范]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AD/∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案 D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有() A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC答案 C解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BDC，又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.3．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.4．如图，已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x,0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ＝l，则下列结论中不成立的是()A．l∥平面ABCDB．l⊥ACC．平面MEF与平面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线答案 D解析连接AC，BD，A1C1，B1D1，AC，BD交于点O，A1C1，B1D1交点于点O1.由正方体的性质知，BD∥B1D1，AC∥A1C1，AC⊥BD，A1C1⊥B1D1.因为E，F是AB，AD的中点，所以EF∥BD.因为A1P＝A1Q，所以PQ∥B1D1.所以PQ∥EF，所以PQ∥平面MEF，EF∥平面MPQ，由平面MEF∩平面MPQ＝l，EF平面MEF，所以EF∥l，而EF平面ABCD，l⃘平面ABCD.所以，l∥平面ABCD，所以选项A正确；由AC⊥BD，EF∥BD得EF⊥AC，而EF∥l，所以l⊥AC，所以选项B正确；连接MB1，MD1，O1M，则O1M∥AC1，而AC1⊥A1B，AC1⊥BD，BD∥EF，A1B∥MF，所以O1M⊥EF，O1M⊥MF，所以O1M⊥平面MEF，过直线l与平面MEF垂直的平面只能有一个，所以平面MEF与平面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；因为EF∥l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选项D不正确．5．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为() A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案 B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．6.如图，直三棱柱ABC－A 1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．答案1 2解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝2，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝12h.又2×2＝h22＋(2)2，所以h＝233，DE＝33.在Rt△DB1E中，B1E＝(22)2－(33)2＝66.由面积相等得66×x2＋(22)2＝22x，得x＝12.7.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．8．点P在正方体ABCD－A 1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．答案①②④解析由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1⃘平面AD1C，所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，VA－D1PC＝VP－AD1C，所以体积不变．故①正确；连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正确；因为直线AC⊥平面DB1，DB1平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.9．(2015·安徽)如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值． (1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32. 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1.所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36. (2)证明 如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ， 得PM MC ＝AN NC ＝13. 10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 、PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)∵平面P AD ∩平面ABCD ＝AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD .∴P A ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵B E⃘平面P AD，AD平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，则P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由(2)知BE∥平面P AD，∴BE⊥CD，又EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.B组专项能力提升(时间：30分钟)11．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′—BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′—BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32πB．3πC.23πD．2π答案 A 解析根据题意，如图，可知Rt△A′BD中，A′B＝A′D＝1，BD＝2，在Rt△BCD中，BD＝2，CD＝1，BC＝3，又因为平面A′BD⊥平面BCD，所以球心，就是BC的中点，半径r＝32所以球的体积为V＝4π3＝32π.故选A.3r12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．14．(2015·北京)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为V B⃘平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC 平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又OC 平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等，所以三棱锥VABC 的体积为33. 15．(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值． (1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE 平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)解 由已知得，PD 是阳马P ABCD 的高，所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD .由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE . 在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点， 所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE ＝4.。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：高考专题突破二
1．已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( ) A ．8° B ．44° C ．26° D ．40°答案 B解析 ∵sin (－50°)＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0， ∴点P (sin(－50°)，cos 130°)在第三象限． 又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.又∵点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)， ∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.2．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦⎤π12，512π 答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D.3．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1 D.2＋2 答案 C解析 建立平面直角坐标系，令向量a ，b 的坐标a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，令向量c ＝(x ，y )，则有(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |的最大值为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即2＋1.4．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(S ，a ＋b ＋c )，q ＝(a ＋b －c,1)满足p ∥q ，则tan C2等于( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 ∵向量p ＝(S ，a ＋b ＋c )，q ＝(a ＋b －c,1)，由p ∥q ，得S ＝(a ＋b )2－c 2＝2ab ＋a 2＋b 2－c 2，即12ab sin C ＝2ab ＋2ab cos C ，14sin C ＝1＋cos C ，∴sin C 1＋cos C ＝4.则tan C 2＝sin C 1＋cos C ＝4.故选D.5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图像与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 C.⎝⎛⎭⎫0，π2 D.⎝⎛⎭⎫π4，3π4答案 A解析 由函数为偶函数知φ＝π2＋k π(k ∈Z )．又因为0＜φ＜π，所以φ＝π2，所以y ＝2cos ωx .由题意知函数的最小正周期为π，故ω＝2，所以y ＝2cos 2x ，经验证知选项A 满足条件．故选A.题型一 三角函数的图像与性质例1 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2 x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，得f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12， f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π6)－1. 由－1≤sin(ωx －π6)≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．题型二 三角函数和解三角形例2 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的最小值．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2. 要使f (x )取最大值， 则sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1， 即a 2≥1.∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1. 题型三 三角函数和平面向量例3 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．(2015·湖南十三校联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2，cos 2x2，设函数f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在x ∈[0，π]时的零点．解 (1)∵m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2，cos 2x2， 函数f (x )＝m·n ，∴f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2 x2＝32sin x －1＋cos x 2＝32sin x －12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－12. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3，k ∈Z . (2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝12.∴x －π6＝π6＋2k π，或x －π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋2k π，或x ＝π＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈[0，π]，∴x ＝π3或π.∴f (x )在区间[0，π]上的零点是π3和π.(时间：70分钟)1．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (其中A >0，ω>0,0<φ<π2，x ∈R )的最小正周期为π，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解 (1)由T ＝2πω＝π，得ω＝2.因为图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以A ＝2且2sin ⎝⎛⎭⎫2×23π＋φ＝－2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)由0≤x ≤π12，得π6≤2x ＋π6≤π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取得最小值f (0)＝1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π12＝ 3. 3．(2015·江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 4．已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2 ωx －sin 2 ωx )，n ＝(3cos ωx ,1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2 ωx －sin 2 ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为π，ω＞0， ∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－1， 解得B ＝2π3(B ∈(0，π))．∵BC ＝3，sin B ＝3sin A ， 即a ＝3，b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12.∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.5．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2的部分图像如图所示． (1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值． 解 (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2，故7π6＜πx 0＋π6＜13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32， 所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3. 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1， 故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.。
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高考中的导数应用问题
u 考点自测1 ?若函数心)在R 上可导，月?满足■代Q_xf (x)>0,贝％
A.3Al)</(3)
C.3A1)=A3) 答案B
解析由于./W>h ⑴，则［竽］丄 Qfr/(0<0恒成立，因此学在R 上是单调递减函数, ???警坪，即3/(1)>/(3).故选B.
2.若函数Av)=^-lnx 在区间(1, +<-)上单调递增，则k 的取值范围是()
A.(——2]
C.[2, +oo)
答案D
解析由于/' (x)=k —^ Xx)=hr —lnx 在区间(1, +°°)上单调递增0广(x)=￡—0在(1, A A + oo)上恒成立.
由于k ￡，而0<,1，所以
即A 的取值范围为［1, +8).
3.函数Av)=3x 2 + lnx-2x 的极值点的个数是()
A.O
B.l
C.2
D.无数个
答案A 解析函数定义域为(0, +8),
由于x>0, g(x) = 6,—2x+1 中力=一20<0,
所以g(x)>0恒成立，故.广(兀)>0恒成立，即./(X )在定义域上单调递增，无极值点.
4.(2015?课标全国
I)已知函数J(x)=ax 3+x+l 的图像在点(1,如))处的切线过点(2,7),则答案1
解析f (x)=3tzx 2+l, / (l)=l + 3a, ./(1)=仇+2.
(1, ./(I))处的切线方程为y-(a+2)=(\+3a)(x-\).
将(2,7)代入切线方程，得7 — (a + 2)=l+3a,
解得Q=l. 快速解答自查自纠
D ：A1)=A3)
B ?(一— 1] D.[l, +oo)。