初中数学动点问题归纳

x

A O Q

P B y 动点问题

题型方法归纳

动态几何特点问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线3

64

y x =-

+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点

Q 沿线段OA 运

动，速度为每秒1个单

位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，

2

当3＜t ＜8时，3／8(8)t

图

A

B C

O E F A

B

C

O

D 图 A

B

O E

F

C 图提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类①为边、为边，②为边、为对角线，③为对角线、为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市） 如图，是⊙O 的直径，弦2， ∠60º．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是延长线上一点，连结，当长为多少时，与⊙O 相切； （3）若动点E 以2的速度从A 点出发沿着方向运动，同时动点F 以1的速度从B 点出发沿方向

运

动，设运动时间为)20)((<

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，

抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射

x

y M

C D P

Q O A

B P

Q

A B

C

D

线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和

BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运

动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠60°

当△面积最大时，四边形的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从

初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B

→→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △和线

与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点段是面积为O 的三角形），解答下列问题：

（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；

O

M B

H A C x

y 图

O

M B

H A C x

y 图

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线交y 轴于点M ，边交y 轴于点H ． （1）求直线的解析式；

（2）连接，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠与∠互为余角，并求此时直线与直线所夹

锐角的正切值．

注意：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间分段分类；

第（3）问发现∠90°，∠与∠互余，画出点P 运动过程中， ∠∠的两种情况，求出t 值。 利用⊥,再求与夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，

C （0，2)．动点

D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿向终点C 运动，同时动点

E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿向终点B 运动．过点E 作上，交于点

F ，连结、．设运动时间为t 秒． (1)求∠的度数； (2)当t 为何值时，∥； (3)设四边形的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式； ②若一抛物线2

经过动点E ，当S<23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性，∥

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且 ∠60°，点B 的坐标是(0,8

3)，点

P 从点C

开始以每秒1个单位长度的速度在线段上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a ≤3）个单位长度的速度沿射线方向移动，设(08)t t <≤秒后，直线交于点D. （1）求∠的度数及线段的长；

（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （3）当4

3,33

a OD ==

时，求t 的值及此时直线的解析式；

（4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似？请给出你的结论，

B A

C

D P O

Q x

y