圆锥曲线与方程知识点复习及例题

第二章 圆锥曲线与方程

§2.1椭圆:知识梳理

1、椭圆及其标准方程

（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

（2）.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）

（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.

（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12

2

22=+b

y a x , 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长

轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，

(2).离心率： a c e =2

21b a

=- 0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0

时，椭圆就越接近于圆.

(3)椭圆的焦半径： ex a MF +=1，ex a MF -=2.2

a =2

b +2

c

典例剖析

(4).椭圆的的外部点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的部2200221x y a b

⇔+<

(5).焦点三角形21F PF ∆经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅等关系．

§2.1.1椭圆及其标准方程:典例剖析

题型一 椭圆的定义应用

例1

题型二 椭圆标准方程的求法

例2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22

-，求椭圆的标准方程

§2.1.2椭圆的简单的几何性质 典例剖析

题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等． 例 1 已知椭圆2

2

(3)(0)x m y m m ++=>的离心率3

2

e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

例2 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A ．

2

2

B ．212-

C ．22-

D ．21-

例3 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．

§2.2双曲线:知识梳理

1、双曲线及其标准方程

（1）双曲线的定义：平面与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）

的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若

1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为

“差的绝对值”.

（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y

项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质

（1）.双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==e 越

大，开口越大.

（2）.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b

y ±=或表示为02222=-b

y a x .若已知双曲线

的渐近线方程是x n

m

y ±

=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

双曲线焦半径应用举例

双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x 0，y 0)在双曲线

22a x －22

b

y = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。

一、求双曲线的标准方程

例1、 设F 1、F 2是双曲线22a x －22

b

y = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准

线，离心率e=

23，P(－3

28

,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。

分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.

解：由双曲线的第二定义知：d =

3

2

| PF 1|，又| PF 1| =－(e x 0+ a) = 14－a, | PF 2| =－(e x 0－a) = 14＋a,由已知得：d ＋| PF 2| = 2| PF 1|，即3

2

(14－a)＋(14