矩阵的秩及其求法
矩阵求秩方法(一)
矩阵求秩方法(一)矩阵求秩方法什么是矩阵求秩？矩阵求秩是一种数学运算，用于确定一个矩阵的秩（rank）。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。
矩阵求秩在线性代数、计算机科学和工程学等领域中都有广泛的应用。
列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种常用的矩阵求秩方法。
它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 选取第一个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第一列交换位置。
2. 用第一列的主元将后面各行第一元素消为零。
3. 选取第二个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第二列交换位置。
4. 用第二列的主元将后面各行第二元素消为零。
5. 重复上述步骤，直到矩阵变为阶梯形矩阵。
基本行变换法基本行变换法是另一种常见的矩阵求秩方法。
它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即确保每一行的主元（第一个非零元素）为1，且每一主元所在列的其余元素都为0。
2. 将行简化阶梯形矩阵中所有主元所在行上方的元素都消为零。
奇异值分解法奇异值分解法是一种较为复杂但有效的矩阵求秩方法。
它的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后利用特殊的奇异值矩阵来确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 计算矩阵的奇异值分解，得到三个矩阵：左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
2. 统计奇异值矩阵中非零奇异值的个数，作为矩阵的秩。
其他方法除了上述提到的方法，还有其他一些矩阵求秩的方法： - 基于行列式的方法：计算矩阵的行列式，非零的子式的阶数即为矩阵的秩。
- 基于特征值的方法：计算矩阵的特征值，非零特征值的个数即为矩阵的秩。
总结矩阵求秩是一项重要的数学运算，常用于线性代数和计算机科学等领域。
列主元高斯消元法、基本行变换法和奇异值分解法是常见的矩阵求秩方法，而基于行列式和特征值的方法也有其独特的优势。
2.5 矩阵的秩及其求法
求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。
第四节 矩 阵 的 秩
例如，在矩阵
1 1 3 1
A
0 0
2 0
1 0
4
5
0
0
0
0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量 组中的每一个向量作为矩 阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量.
若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数.
2 3
,
3
3 5
,
4
7
;
1
1
1
4
1
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
5 3 6
0
8
5
4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0
0 0
1 0 E 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
2 1 所构成的二阶子式为 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
求矩阵的秩的步骤
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
矩阵的秩及其求法课件
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
求矩阵的秩的例题讲解
求矩阵的秩的例题讲解
矩阵的秩的定义
矩阵的子式：从矩阵中任意选取n行，再任意选取n列，这n 行n列的公共部分所组成的行列式就是该矩阵的一个n阶子式。
例题：
理解了矩阵的子式，现在来一起学习“矩阵的秩的定义”
矩阵的秩：
如果某矩阵
1. 至少有一个a阶子式不为0
2. 所有大于a阶的所有子式都等于0
则称该矩阵的秩为a。
PART02矩阵的秩的求法
特殊情况：奇数步遇0
解决办法：若正下方有非0的数，则换行；若正下方没有非0的数，则关注点右移
例题：
解答：
PART03矩阵的秩的公式。
矩阵秩的概念
矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵是线性代数中的重要概念，它是由若干行和列组成的矩形数组。
在矩阵中，每个元素都可以用一个行列坐标来表示。
而矩阵秩则是描述了一个矩阵所包含的信息量大小的指标。
一、定义在数学中，一个m×n（m行n列）的矩阵A的秩，也称为矩阵A的维数或者等级，通常记作rank(A)。
它表示该矩阵所包含信息量大小的指标。
简单来说，就是该矩阵所包含非零行或非零列的最大个数。
二、求解方法1. 高斯消元法高斯消元法就是将一个增广矩阵通过初等变换化为行最简形式，然后统计出非零行（列）个数即可得到该矩阵的秩。
2. 初等变换法初等变换法就是将一个矩阵通过初等变换化为行最简形式，然后统计出非零行（列）个数即可得到该矩阵的秩。
3. 行列式法对于一个n*n方阵A，在进行初等变换时如果其主对角线上有0，则可以通过行列式法将其转化为一个上三角矩阵。
此时，该矩阵的秩就等于其主对角线上非零元素的个数。
三、性质1. 对于任意矩阵A，rank(A) <= min(m,n)，其中m和n分别表示A 的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，rank(A) = rank(A^T)，其中A^T表示A的转置矩阵。
3. 对于任意矩阵A和B，有rank(AB) <= min(rank(A), rank(B))。
4. 对于任意矩阵A和B，有rank(A+B) <= rank(A) + rank(B)。
四、应用1. 线性方程组求解对于一个线性方程组Ax=b，如果rank(A)=rank([A|b])，则该方程组有唯一解；如果rank(A)<rank([A|b])，则该方程组无解；如果rank(A)<n且rank([A|b])=n，则该方程组有无限多解。
2. 线性变换求解对于一个线性变换T：V→W（其中V和W分别表示两个向量空间），其维数为dim(V)*dim(W)，而T的秩则是指T所映射出来的向量空间的维数。
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
矩阵的秩及其求法求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
矩阵的秩及求法
矩阵的秩及求法矩阵是线性代数中重要的概念，它有许多重要的性质和应用。
其中，矩阵的秩可以用来描述一个矩阵的性质，是矩阵理论中的重要概念之一。
本文将介绍矩阵的秩及求法。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数，可以用来判断矩阵的特征和性质。
矩阵的秩可以分为列秩和行秩，两者是相等的。
当矩阵的行秩或列秩为r时，称该矩阵的秩为r，用rank(A)表示。
矩阵的秩可以看作是矩阵中某个部分的线性独立数量，它可以影响到方程组的解的数目，同时也可以影响到矩阵的行列式的值，因此矩阵的秩是矩阵理论中非常重要的一个概念。
求矩阵的秩是矩阵理论中常见的问题之一，有许多的求法。
下面我们将介绍几种常用的求法。
2.1 高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种常用方法。
具体操作步骤如下：1）将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U。
2）计算矩阵U中非零行的数量，这个数量就是矩阵A的秩。
例如，对于如下的矩阵：$$\left[ \begin{matrix}1&2&1\\2&2&-1\\-1&-1&2\end{matrix} \right]$$非零行的数量为3，因此该矩阵的秩为3。
2.2 奇异矩阵判定法奇异矩阵是指矩阵的行列式为0的矩阵。
如果一个矩阵是奇异矩阵，则其秩为小于矩阵的维数。
因此，我们可以通过判断矩阵的行列式是否为0来快速判定矩阵是否是奇异矩阵。
其行列式可以计算得到：$det(A)=-1$，因此该矩阵不是奇异矩阵，秩为3。
2.3 矩阵的基变换法我们可以进行列基变换，将其转化为：3. 总结矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数。
我们可以通过高斯消元法、奇异矩阵判定法、矩阵的基变换法等方法来求解矩阵的秩。
在实际问题中，矩阵的秩有着重要的应用价值，例如矩阵的逆矩阵等。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。
先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。
将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。
现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
特别地规定了零矩阵的秩等于0。
举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。
由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。
学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。
矩阵的子式定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
规定零矩阵的秩为零。
矩阵的秩基本性质：①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m, n)②R(AT)=R(A)③若A~B，则R(A)=R(B)④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)矩阵的秩常用性质：max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) 特别地，当B = b 为非零列向量时，有R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．⑦R(AB)≤min{R(A), R(B)} ．⑧若Am×nBn×l = O，则R(A)＋R(B)≤n。
3.2 矩阵的秩
非零元为对角元素的3阶行列式
2 0 0 1 3 0 3 2 = 4
24 0,
B =
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从例 1可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数
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铃
二、初等行变换法求秩
1 3 1 2 例2．求矩阵 A= 2 1 2 3 的秩。 3 2 1 1 1 4 3 5 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 7 4 7 0 7 4 7 2 1 2 3 解：A= ， 0 7 4 7 0 0 0 0 3 2 1 1 0 7 4 7 0 0 0 0 1 4 3 5 所以R(A)=2。
2 2 6
1
3
1
1 1
4 5 1
～
+3
8
～
r3 r 2
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因为R(A)=2,
所以
5 = 0, = 5, 即 1 = 0, = 1.
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课堂练习 P58 29
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矩阵秩的本质
A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数.
线性代数-1.矩阵的秩及其求法
1
例2 设 A 为 n 阶方阵且 r (A)=n 2,求 r (A*).
解 由 r ( A) n 2 知：A的所有n 1阶子式全为零， 故 A* 0，从而r ( A*) 0.
a 1 例3 设A 1 1 1 1 1 a 1 1 ，若r ( A) 3，求a. 1 a 1 1 1 a
矩阵的秩及其求法
1. 利用定义求矩阵的秩
利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩. 例1 设A (aij ) nn 为非零矩阵，Aij为aij的代数余子式，
若aij＝Aij，求r ( A).
解 因为A 0，所以至少有一个元素aij 0；
将 | A | 按第 i 行展开，有
1 0 2 例5 设 A 为 4 3 阶矩阵且 r (A) 2 ， B 0 2 0 . 求 r (AB). 1 0 3
r3 r1
解 因为 B
1 0 2 0 2 0 , 0 0 5
所以 r ( B) 3，即 B 为满秩阵，
2 | A | aij Aij aij 0, j 1 j 1 n n
故 r ( A) n.
注：我们一般在两个地方用到Aij；一是行列式按行（列）展开； 另一个是A *； 若在A *中用，这时题目常常与求逆有关.
A aij
33
* T O,aij Aij 0, A ____ . aij Aij A A .
－3 由于 A 的 3 阶子式 1 1
1 －3 1
1 1 ＝－16 0， r ( A) 3，故a 3. －3
一般地，若
a b b b b a b b An b b b a
求矩阵的秩的简便方法
求矩阵的秩的简便方法
以下是 6 条关于求矩阵的秩的简便方法：
1. 嘿，你知道吗，有一种方法就像在矩阵的世界里点亮一盏明灯，那就是通过观察行与行之间的关系呀！比如说，看这矩阵[1 2 3; 2 4 6; 3 6 9]，是不是一眼就能发现有些行之间存在倍数关系呀，这就能帮我们快速找到秩啦！
2. 哇塞，还有一种神奇的方法呢，那就是利用行列式呀！就好比在迷宫中找到关键的钥匙。
像矩阵[1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]，它的行列式不为零，那它的秩不就是 3 嘛，是不是超简单！
3. 嘿呀，还有一个妙招，那就是化简矩阵呀！把它变得像剥洋葱一样清晰。
就像[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过化简后，一下子就能看出秩来啦，你不觉得很神奇吗？
4. 告诉你哦，通过子矩阵也能找到秩呢！就好像在一堆拼图里找到关键那几块。
例如矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，找几个特定的子矩阵研究一下，秩就乖乖现身啦！
5. 哇哦，还有一种超有趣的方法呢，就是看矩阵的线性无关行向量的数量呀！好比数星星一样。
比如矩阵[1 0; 0 1; 1 1]，很容易就能看出有两个线性无关行向量，那秩就是 2 呀，有意思吧！
6. 嘿，你尝试过通过初等变换来找矩阵的秩吗？这就如同在matrix 的海洋里畅游，把它变得简单易懂。
像是矩阵[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过初等变换后，秩就一目了然啦！
总之，求矩阵的秩有很多简便又有趣的方法，只要多去尝试和探索，就能轻松掌握啦！。
1.5矩阵的秩与方阵的逆
r3 k
1 0 E5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k 0 0 0 0 1
的秩．
1.5.1矩阵的秩及其求法
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例4：设 A ，求矩阵 A 及矩阵 , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 2 4 8 0 解：B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 1 2 2 r 0 0 ~ 3 0 0 4 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
0 0 c 3 c5 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0
线性代数
1.5矩阵的秩与方阵的逆
1.5.1矩阵的秩及其求法
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这k 行 k 列交叉处的元素， 按照原来的位置构成的 一个k 阶行列式，称为矩 阵 A 的一个 k 阶子式．
k k C C 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 m n
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第五节：矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的
阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而
为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全
为0 ,
称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解
由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。
()
n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1
10145641321A 182423=C C 43334=C C 101
22--=
D 1
0156
43213-=D n m ⨯k
n k m c
c ()
n
m ij a A ⨯=0,
r D ≠()().
T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000007204321B 0
2
021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭2
123508153000720
000
0E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3
R E =
例2 设 如果 求 a .
解
或 例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 则 注： 只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的 k 倍。
是行列式运算的性质。
求矩阵A 的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。
例4 求
解 R(A ) = 2
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R a
a a
A 1111
1
1=0)1)(2(2
=-+=a a 1=∴a 2-=a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=K K K K A 1
11111111111()3=A R
=K 3-()3
11111113(1)(3)111
111K A K K K K K
=+=-+B A →)
()(B R A R =j i r r ↔.1i r k .2j
i kr r +.3⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=211163124201A ().A R −−→
−-1
22r r A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000021104201
例5
三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时， 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见： 对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E , 又根据初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,
由此得到下面的定理. 定理3 设A 是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩矩阵A ，它的行最简形是 n 阶单位阵 E . 例如
A 为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5 R (AB ) R (A ),
R (AB ) R (B ), 即R (AB ) min{R (A )，R (B )}
设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 性质3 如果 R (A )= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B 均为 矩阵，则 例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E
∴ R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n 而 R （ E-A ）=R （ A-E ）
∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n
μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----+-→01504430211
1μλλ,
2)(=A R 1
,5==∴μλ0
1,05=-=-∴μλ(),n A R =(),n A R <()0
≠⇔=A n A R .
,,,21s P P P E
A P P P P s s =-121, ()E
A n
A R ~= ()n
E A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→100010001()3
=∴A R ≤
≤≤
n m ⨯t n ⨯).
()()(AB R n B R A R ≤-+.
)()(n B R A R ≤+n m ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。