应用数理统计试题

应用数理统计复习题

1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.

解：设两样本均值分别为,X Y ，则1

~(0,)2

X Y N -

2.

其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2

2

22(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+

令EX

X =，得5ˆ6

θ=. （2）最大似然估计：

得5

ˆ6

θ

= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2

σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤

10,,2,1 =i 。算出

给定检验水平0.05 α

=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？

附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0

|

|/X T S n

m -=

将已知数据代入，得2t =

=

所以接受0H 。

4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显着水

解：

0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显着的.

5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得

0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =.

（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01

ˆˆˆy x ββ=+； （2）对回归系数1β做显着性检验（0.05α

=）.

解：（1）1

25.5218

ˆ84.39750.3024

xy xx

l l β=

=

=

所以，ˆ35.238984.3975y

x =+ （2）1ˆ2432.456684.397525.5218278.4805e

yy xy

Q l l β=-=-⨯= 拒绝原假设，故回归效果显着. 6.

（2） 找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3） 写出第4号实验的数据结构模型。 解：

（2） “算一算”的较优生产条件为221A B C （3） 4号实验的数据结构模型为

2214y a b c με=++++，24~(0,)N εσ

7.设总体1122~(,),~(,)p p G N G N μμ∑∑，样品为X .已知

1 1.02.25.4μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，

2 4.25.56.8μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1

2.300.250.470.250.600.040.470.040.60-⎛⎫

⎪∑= ⎪

⎪⎝⎭，123 1.83.67.0x X x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

（1） 求线性判别函数()X μ； （2） 对样品X 的归属做判别.

解：（1）1

12 2.300.250.47 3.28.8()0.250.600.04 3.3 2.80.470.040.60 1.4 2.5αμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪=∑-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

123()()8.8( 2.6) 2.8( 3.9) 2.5( 6.1)T X X x x x μαμ=-=------；

（2）()8.8(0.8) 2.8(0.3) 2.50.9 5.630X μ=-⨯--⨯--⨯=> 所以，1X G ∈.

8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(0.05)α= 解：设正面出现的概率为

p ，则

20.052.56(1)χ<，故接受0H ，可以认为该枚硬币是均匀的.

9.设总体的密度函数(1)

(;),,0p x c x x c c θ

θθθ-+=>>，c 为已知参数，0θ>为未知参数.当样本容量为n

时，求θ的C R -下界.

解：ln (;)ln ln (1)ln p x c x θθθθ=+-+

22

2ln (;)1

()p x I E θθθθ

⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭. 所以，θ的C R -下界为2

1()nI n

θθ=.

10.假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为,1,2,,i i i y x i n βε=+=，2~(0,)i N εσ且相互独立，

求β的最小二乘估计.

解：令 2

1

()

n

i

i

i Q y x β==

-∑

解得 1

21

ˆn

i i

i n

i

i x y

x

β

===∑∑.

11.设121,,

,,n n X X X X +是来自2

(,)N μσ的样本，1

1n

n i i X X n ==∑，

2

2

1

1()1n n

i n

i S X X n ==--∑，试求常数C ，使得1n c n X X t c S +-=服从t 分布，并指出分布的自由度. 解：2

2

1~(0,)n n X X N n

σσ+-+

，

2

22

(1)~(1)n

n S n χσ

--

故~(1)n

t t n =

-

，c =

12.总体~(,2)X U θθ，其中0θ>是未知参数，1,

,n X X 是取自该总体的样本，X 为样本均值，证明：

2

ˆ3

X θ

=是参数θ的无偏估计和相合估计. 证明：2ˆ3E E X θ⎛⎫=

⎪⎝⎭＝2

223

32EX θθθ+==

所以ˆθ

是θ的无偏估计. 所以ˆθ

是θ的相合估计. 13.总体2

~(,)X N μσ，2

σ已知，问样本容量n 取多大时才能保证μ的置信水平为95％的置信区间的长度不大于k .

解：μ的置信水平为1α-

的置信区间为1/21/2

[x u x u αα---+

14.设1,

,n X X 是来自(,4)N μ的样本，考虑如下假设检验问题

若拒绝域为{3}W X =≥，样本容量16n =时，求该检验犯两类错误的概率. 解：(3|2)P X αμ=≥=

11(2)=-Φ=-Φ；