有限差分法初步

x
2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T (x x) T (x x) T (x) (x)2 T (x)
2x
Baidu Nhomakorabea
3!
O(x)2
（2.11）
比较式（2.9）、（2.10）、（2.11）可看到，用不 同的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。 这些偏差都是截去了Taylor级数展开式中的高阶项而 引起的，常称“截断误差”。
dT dx
1 2
T (x x) T (x)
x
T
(x)
T(x x
x)
T (x x) T (x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
将Taylor级数写成：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
(x)3
T
(x)
2
O((x)4 )
（2.7）
3!
Taylor级数还可写成：
Tw
.
(i, j+1)
T ...
h
. (i-1, j) (i, j) (i+1, j)
(i, j-1)
x L1 q’’
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
2T 2T q 0
x2 y 2 k
（2.13）
边界条件：
x0 y0
0 y L2 0 x L1
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商
（i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式：
（i）微商（导数）的定义
若T (x) 是连续函数，则它的导数为：
dT lim T (x x) T (x) lim T （2.1）
dx x0
x
x0 x
T 式（2.1）右边 x
k
T x
h(T
T )
k T q y
（2.14） （2.15）
x L1 0 y L2
T 0 x
（2.15）
y L2 0 x L1 T Tw
（2.16）
式（2.13）、（2.14）、（2.15）、（2.16） 所示定解问题解法。
在问题的提法已经明白之后，差分 格式的构成可通过以下几步来实现： （i） 区域离散法
长表示为x ，y方向的步长表示为y 。
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。
但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数，
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x 同量级的小量 O(x) ；
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 (x) 2
同量级的小量；
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以
求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
(x) 2 同阶的小量。
结论：
由于用差商代替微商必然带来截断误差，相应地用 差分方程代替微分方程也必然带来截断误差。这是 有限差分法固有的。因此，在应用有限差分法进行 数值解时，必须对差分的构成及其对方程造成的误 差引起注意。
二、从微分形式出发的差分格式
图2.2给出了一个简单边界值问题。
y
L2
（ii） 建立区域内差分方程
（iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式
下面分别予以说明:
1．区域离散化
所谓离散化，就是把几何上连续的区域用一系列 网格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何 区域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的 网格，如图2.2，用五条水平网线与五条垂直网线 把矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为“节 点”，节点与节点的距离称之为步长，x方向的步
（2.3）
T dT
可见
与
只能是近似相等。
x dx
偏差为：0(x)
（iii）微商与差商的几何意义
图2-1 差商与微商的比较
T(x+x) T(x)
T(x-x)
dT(x) dx
T(x+x) -T(x) x
T(x+x) -T(x-x) 2x
T(x) -T(x-x) x
x-x x x+x
（iV）差商的几种表示
是有限的差商。
x
与
T 都不为零，而式（2.1）左边
dT dx
是
T x
当 x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。
在 x 没有到达零之前，T 只是 dT 的近似。
T
趋于
dT
x
dx
的过程认为是近似向精确过渡，
x
dx
用 T 代替 dT 就是精确向近似过渡。
x
dx
两者的差值 T dT 表示差商代替微商的偏差。
由上而下逐个增长，j 表示列数，由左而右逐个增长。 这种从上到下，从左到右的编排与一般书写 习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采用。
在本章中，大都采用与坐标相一致的编排方法。
图 2.1 表 示 了 差 商 与 微 商 之 间 的 关 系 。 应 当 指 出，用不同方法得到的差商去代替微商，它们 带来的偏差是不同的。
向右（前）差商：
dT T (x x) T (x)
dx
x
（2.4）
向左（后）差商：
dT T (x) T (x x)
dx
x
（2.5）
中心差商，取向右差商与向左差商的平均值：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
2!
(x)3 T (x) O((x)4 ) 3!
（2.8）
由式（2.7）可得
T (x x) T (x) T (x) x T (x)
x
2!
O(x)
（2.9）
由式（2.8）可得
T (x) T (x x) T(x) x T(x)
d 2T
T (x x) T (x) x
T (x) T (x x) x
dx2
x
T (x x) 2T (x) T (x x) (x) 2
根据式（2.7）+（2.8），可得
T
(x
x)
2T (x) (x)2
T
(x
x)
T
( x)
O(x)2
（2.12）
由式（2.12）知，二阶差商的截断误差也为与
x dx
（ii）偏差---Taylor级数展开
T (x x) T (x) x dT (x)2 d 2T dx 2! dx2
(x) n n!
d nT dxn
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T (x x) T (x) dT x d 2T
x
x
dx 2! dx2
(x)n1 d nT n! dxn