有限差分法初步
有限差分法
有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。
是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。
把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
第五章 有限差分法 知识讲解课件
的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分
4第四讲 有限差分方法基础
3u 3 x
8
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:待定系数法
3）待定系数方法
9
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:差分算子
4) 差分算子方法 ●定义以下差分算子：
n n u u 移位算子： E x j j
（当移位为+1时可省略）
n n 1 E t1 u n E u u j t j j
1 2u 1 3u 2 x x T , E o( x ) 2 3 2 x 3! x
由于T.E.是 o( x ) 为一阶小量，故上述差商近似（差分格式） 称为一阶（精度）格式
7
(二）. 微商（偏导数）的差商近似: Taylor’s公式 类似地可得；
1 2 1 2 x
算术平均算子：
xu
n j
1 1 n n (u 1 u 1 ) (E j j 2 2 2 2
x
E
)u
n j
1 2 2) x (Ex Ex 2
1
1
n n n n 前差算子： x u j u j 1 u j ( E x 1)u j n n 1 n 后差算子： x un j u j u j 1 (1 E x )u j
x n n!
( x0 x0 x )
u x
( x0 , y0 )
u( x0 x , y0 ) u( x0 , y0 ) T .E . x
T.E.=Truncation Error
T . E.
u 采用差分格式中的记法： x
其中:
(i, j)
ui 1, j ui , j x
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
偏微分方程数值解法初步分析
偏微分方程数值解法初步分析偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一类重要方程，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
然而，由于其复杂性，解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将初步分析偏微分方程的数值解法。
一、有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常用的数值解法，通过将偏微分方程中的导数用差商代替，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
这种方法的基本思想是将求解区域进行网格化，将偏微分方程中的导数用网格点上的函数值表示，然后利用差商逼近导数，将偏微分方程离散为代数方程组。
二、有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用的数值解法，尤其适用于复杂几何形状的求解。
该方法将求解区域划分为有限个小区域，称为单元，然后在每个单元上建立近似函数，通过将偏微分方程转化为变分问题，并将变分问题进行离散化处理，得到一个代数方程组进行求解。
三、特征线方法特征线方法（Method of Characteristics）是一种适用于一阶偏微分方程的数值解法。
该方法通过求解偏微分方程的特征线方程，将偏微分方程转化为常微分方程，在每条特征线上求解，然后将各个特征线上的解进行拼接得到整个解。
四、谱方法谱方法（Spectral Method）是一种数值解法，它利用特定的基函数，如傅里叶级数、切比雪夫级数等，对偏微分方程进行展开，通过系数的求解来得到数值解。
谱方法具有高精度和高收敛速度的优点，尤其适用于解析解存在的情况。
五、数值实验与误差分析在选择适用于某个具体偏微分方程的数值解法时，通常需要进行数值实验和误差分析。
数值实验是指通过计算机模拟的方式，求解偏微分方程并验证数值解的准确性；误差分析是指对数值解与解析解的差异进行分析，从而评估数值解的精度和收敛性。
总结：本文初步分析了偏微分方程数值解法的几种常见方法，包括有限差分法、有限元法、特征线方法和谱方法。
有限差分法
有 限 差 分 法流体运动的控制方程多为偏微分方程，在复杂的情况下不存在解析解。
但是对于一些简单的情况存在解析解，偏微分方程的解析解可用精确的数学表达式表示，该表达式给出了因变量在整个定义域中的连续变化状况。
有限差分法（Finite Difference Method ,FDM ）是数值计算中比较经典的方法，由于其计算格式直观且计算简便，因此被广泛地应用在计算流体力学中。
有限差分法首先将求解区域划分为差分网格，变量信息存储在网格节点上，然后将偏微分方程的导数用差商代替，代入微分方程的边界条件，推导出关于网格节点变量的代数方程组，通过求解代数方程组，获得偏微分方程的近似解。
偏微分方程被包含离散点未知量的代数方程所替代，这个代数方程能求出离散节点处的变量，这种离散方法叫做有限差分法。
2.1有 限 差 分 逼 近2.1.1 有限差分网格 由于有限差分法求解的是网格节点上的未知量值，因此首先介绍有限差分网格。
图2.1 – 1是x-y 平面上的矩形差分网格示意图。
在x 轴方向的网格间距为△x ，在y 轴方向的网格间距为△y ，网格的交点称为节点，计算变量定义在网格节点上。
称△x 和△y 为空间步长，△x 一般不等于△y ，且△x 和△y 也可以不为常数。
取各方向等距离的网格，可以大大简化数学模型推导过程，并且经常会取得更加精确的数值解。
本章作为计算流体力学入门知识，假设沿坐标轴的各个方向网格间距分别相等，但是并不要求各方向的网格间距一致。
例如假设△x 和△y 是定值，但是不要求△x 等于△y 。
在图2.1 - 1中，网格节点在x 方向用i 表示，在y 方向用j 表示。
因此，假如（i ，j ）是点P 在图2.1 – 1中的坐标，那么，点P 右边的第一个点的就可以用（i+1，j ）表示；在P 左边的第一个点的就可以用（i —1，j ）表示；点P 上边的第一个点的就可以用（i ，j+1）表示；点P 下边的第一个点的就可以用（i ，j —1）表示。
8.有限差分法基础
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解 法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟 的数值方法。
4
2.有限差分法的数学基础
有限差分法的数学基础是用差分代替微分 用差商代替微商的意义：是用函数在某区域内的平均
变化率来代替函数的真是变化率。
而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然
16
1．差分原理
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作 一阶差分得到。 例如n 阶前差分为
y ( y )
n
n 1
[( y )] { [(y )]}
n2
{ [( f ( x x) f ( x)]}
17
1．差分原理
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变 量的差商。 一阶向前差商为
三种格式意义？
19
1．差分原理
20 20
1．差分原理
T T(x+ Δ x ) T(x) T(x- Δ x ) dT/dx [T(x+ Δ x )-T(x)]/ Δ x [T(x+ Δ x )-T(x- Δ x )]/2 Δ x [T(x)-T(x- Δ x )]/Δ x
x- Δ x
x
x+ Δ x
y f ( x x ) f ( x ) x x
一阶向后差商为
y f ( x) f ( x x) x x
18
1．差分原理
一阶中心差商为
1 1 f ( x x) f ( x x) y 2 2 x x
或
y f ( x x ) f ( x x ) x 2 x
X
21
1．差分原理
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
《有限差分法初步》课件
4. 三维有限差分法
1
三维有限差分法流程Fra bibliotek解释三维有限差分法的计算流程和步骤。
2
三维热传导方程的有限差分解法
探索如何利用有限差分法解决三维热传导方程。
3
显式法与隐式法
分析三维有限差分法中显式法和隐式法的性能和适用范围。
5. 有限差分法的误差和稳定性分析
1 截断误差
介绍有限差分法中的截断误差及其对计算结 果的影响。
显式法与隐式法
比较一维有限差分法中的显式法和隐式法的优缺点。
一维热传导方程的有限差分解法
探讨如何用有限差分法解决一维热传导方程。
3. 二维有限差分法
二维有限差分法流程
详细介绍二维有限差分法的计算 流程。
二维热传导方程的有限差 分解法
深入研究如何利用有限差分法解 决二维热传导方程。
显式法与隐式法
比较二维有限差分法中的显式法 和隐式法的应用场景。
2 稳定性分析
讨论有限差分法的稳定性问题及其对数值计 算的重要性。
6. 总结
有限差分法应用的优势和不足
总结有限差分法在实际应用中的优点和局限性。
发展前景
展望有限差分法在未来的应用前景和发展方向。
7. 参考文献
1. 引用的相关文献1 2. 引用的相关文献2
有限差分法初步
这是一份关于有限差分法的PPT课件，从引言到有限差分法的具体应用进行 了全面而深入的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一方法。
1. 引言
有限差分法是一种计算数学方法，广泛应用于解决偏微分方程等问题，本节 介绍有限差分法的概述和使用场景。
2. 一维有限差分法
一维有限差分法流程
介绍一维有限差分法的整体流程和步骤。
04有限差分法.ppt
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
有限差分法基础
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
离散网格点
x0 x1 x2 x3
xn-1 xn
差商代替微商
令
h M , xi ih
得到差分格式
ui1
2ui h2
ui1
ui
fi
u0 uM 0
得到的线性方程组
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi ,点tn )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t
x
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
0
0
1.0 100 0
100 0
0
1.5 100 200 -100 100 0
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
100
0.8 0.9 1.0
00
100
0 100 100
100 0
100
-100 200 100
差分法的基本理论
1.相容性
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Tin1)
37.5 68.8 100
45.3 68.8 100
热传导方程的求解
如仍取 10 2 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取t 1.0 ，则最终的差分方程：
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
有限差分法介绍
∆t ∆τ
τ =k
t ik − t ik −1 ∆t ≈ ∆x ∆τ
∆ ∆t ≈ ( ) ∆x ∆x
x =i
x=i
≈
t ik − t ik−1 ∆x
∆2t 中心差分 ∆ x2
x =i
1 ∆t ∆t ≈ ( − ) ∆x ∆x x=i+1 ∆x x=i−1
2 2
t ik+1 − t k t ik − t ik−1 t ik+1 − 2t ik + t ik−1 1 i ≈ ( − )= ∆x ∆x ∆x ∆x2
x=i
t
k +1 i
−t =a ∆τ
k i
t ik++11 − 2t ik + 1 + t ik−+11 ∆x2
k +1 i
t = (1 + 2Fo) t
k i
− Fo ( t
k +1 i +1
+ t
k +1 i −1
)
10.3 有限差分法
例10-15 P170
小 结
一、本课的基本要求 1．掌握显式差分方程、隐式差分方程的优缺点。 2．会利用有限差分法计算固体不稳定导热温度场。 二、本课的重点、难点 本课的重点、 重点：利用有限差分法计算固体不稳定导热温度场。 难点：利用有限差分法计算固体不稳定导热温度场。 三、作业 习题P173 10-23（课外上机）
有限差 商
微分方程
差分方程
∆t ∆2 t =a 2 微商—差商→ ∆τ ∆x
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
10.3 有限差分法
2．有限差分法 ．
10.3 有限差分法
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（iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式
下面分别予以说明:
1．区域离散化
所谓离散化，就是把几何上连续的区域用一系列 网格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何 区域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的 网格，如图2.2，用五条水平网线与五条垂直网线 把矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为“节 点”，节点与节点的距离称之为步长，x方向的步
(x) 2 同阶的小量。
结论：
由于用差商代替微商必然带来截断误差，相应地用 差分方程代替微分方程也必然带来截断误差。这是 有限差分法固有的。因此，在应用有限差分法进行 数值解时，必须对差分的构成及其对方程造成的误 差引起注意。
二、从微分形式出发的差分格式
图2.2给出了一个简单边界值问题。
y
L2
dT dx
1 2
T (x x) T (x)
x
T
(x)
T(x x
x)
T (x x) T (x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
将Taylor级数写成：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
(x)3
T
(x)
2
O((x)4 )
（2.7）
3!
Taylor级数还可写成：
由上而下逐个增长，j 表示列数，由左而右逐个增长。 这种从上到下，从左到右的编排与一般书写 习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采用。
在本章中，大都采用与坐标相一致的编排方法。
是有限的差商。
x
与
T 都不为零，而式（2.1）左边
dT dx
是
T x
当 x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。
在 x 没有到达零之前，T 只是 dT 的近似。
T
趋于
dT
x
dx
的过程认为是近似向精确过渡，
x
dx
用 T 代替 dT 就是精确向近似过渡。
x
dx
两者的差值 T dT 表示差商代替微商的偏差。
x
2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T (x x) T (x x) T (x) (x)2 T (x)
2x
3!
O(x)2
（2.11）
比较式（2.9）、（2.10）、（2.11）可看到，用不 同的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。 这些偏差都是截去了Taylor级数展开式中的高阶项而 引起的，常称“截断误差”。
x dx
（ii）偏差---Taylor级数展开
T (x x) T (x) x dT (x)2 d 2T dx 2! dx2
(x) n n!
d nT dxn
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T (x x) T (x) dT x d 2T
x
x
dx 2! dx2
(x)n1 d nT n! dxn
长表示为x ，y方向的步长表示为y 。
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。
但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数，
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x 同量级的小量 O(x) ；
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 (x) 2
同量级的小量；
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以
求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
图 2.1 表 示 了 差 商 与 微 商 之 间 的 关 系 。 应 当 指 出，用不同方法得到的差商去代替微商，它们 带来的偏差是不同的。
向右（前）差商：
dT T (x x) T (x)
dx
x
（2.4）
向左（后）差商：
dT T (x) T (x x)
dx
x
（2.5）
中心差商，取向右差商与向左差商的平均值：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
2!
(x)3 T (x) O((x)4 ) 3!
（2.8）
由式（2.7）可得
T (x x) T (x) T (x) x T (x)
x
2!
O(x)
（2.9）
由式（2.8）可得
T (x) T (x x) T(x) x T(x)
d 2T
T (x x) T (x) x
T (x) T (x x) x
dx2
x
T (x x) 2T (x) T (x x) (x) 2
根据式（2.7）+（2.8），可得
T
(x
x)
2T (x) (x)2
T
(x
x)
T
( x)
O(x)2
（2.12）
由式（2.12）知，二阶差商的截断误差也为与
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商
（i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式：
（i）微商（导数）的定义
若T (x) 是连续函数，则它的导数为：
dT lim T (x x) T (x) lim T （2.1）
dx x0
x
x0 x
T 式（2.1）右边 x
Tw
.
(i, j+1)
T ...
h
. (i-1, j) (i, j) (i+1, j)
(i, j-1)
x L1 q’’
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
2T 2T q 0
x2 y 2 k
（2.13）
边界条件：
x0 y0
0 y L2 0 x L1
（2.3）
T dT
可见
与
只能是近似相等。
x dx
偏差为：0(x)
（iii）微商与差商的几何意义
图2-1 差商与微商的比较
T(x+x) T(x)
T(x-x)
dT(x) dx
T(x+x) -T(x) x
T(x+x) -T(x-x) 2x
T(x) -T(x-x) x
x-x x x+x
（iV）差商的几种表示
k
T x
h(T
T )
k T q y
（2.14） （2.15）
x L1 0 y L2
T 0 x
（2.15）
y L2 0 x L1 T Tw
（2.16）
式（2.13）、（2.14）、（2.15）、（2.16） 所示定解问题解法。
在问题的提法已经明白之后，差分 格式的构成可通过以下几步来实现： （i） 区域离散法