2016年中考数学优质试题专项训练【大题】专题09【解析版】

一、解答题（共10小题，每题10分，共100 分）

1.【试题来源】2015届天津市蓟县中考一模数学试卷

如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9；（1，9）；（2）存在，（2）或（2，）；

（3）72．

【解析】

（3）若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当x=﹣8时（与点E横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段EF有公共点，那么该函数值应不大于点E的纵坐标．当x=4时（与点F的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位．

试题解析：解：（1）由抛物线的解析式知，点C（0，8），即 OC=8；

Rt △OBC 中，OB=OC•tan∠ABC=8×

1

2

=4，则 点B （4，0）． 将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得：

428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1

2a b =-⎧⎨

=⎩

， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2

+2x+8=﹣（x ﹣1）2

+9，顶点D （1，9）；

②当∠OPQ=75°时，∠OPN=135°+75°﹣180°=30°，

在Rt △OPN 中，ON=

1

2

OB=2，；

综上，存在符合条件的P 点，且坐标为（22，）； （3）由（2）的直线CD 解析式，可得：E （﹣8，0），F （4，12）．

设抛物线向上平移m 个单位长度（m ＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2

+9+m ； 当x=﹣8时，y=m ﹣72， 当x=4时，y=m ， ∴m ﹣72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴抛物线最多向上平移72个单位．

考点：二次函数综合题．

2.【试题来源】2015届湖南省株洲市天元区九年级模拟考试数学试卷

小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．

根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；

（2）小王发现客厅面积比卫生间面积大21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

【答案】（1）6x+2y+18（m2）；（2）3600．

【解析】

（2）要求总费用需要求出x ，y 的值，求出面积．题中有两相等关系“客厅面积比卫生间面积多21”“地面总面积是卫生间面积的15倍”．用这两个相等关系列方程组可解得x ，y 的值，x=4，y=2

3

，再求出地面总面积为：6x+2y+18=45，铺地砖的总费用为：45×80=3600（元）．

试题解析：（1）地面总面积为：S 卧室+S 卫生间+S 厨房+S 客厅=3×（2+2）+2y+（6-3）×2+6x=6x+2y+18， 故地面总面积为（6x+2y+18）m 2

；

（2）由题意得⎩

⎨

⎧⨯=++=-y y x y x 21518262126，解得：⎪⎩⎪

⎨⎧==23

4y x , ∴地面总面积为：451826=++y x （m 2

）．

∴铺地砖的总费用为：36008045=⨯（元）．

考点：1．一次函数的应用；2．二元一次方程组的应用． 3.【试题来源】2015届河南省周口市项城市中考一模数学试卷

如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．

（1）求证：△APB ≌△APD ；

（2）已知DF ：FA=1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当x=6时，求线段FG 的长．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）①y=3

2

x ；②线段FG 的长为5． 【解析】

试题解析：（1）证明：∵点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，∴∠DAP=∠PAB ，AD=AB ，∵在△APB 和△

APD 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=PA AP PAB DAP AB AD ，∴△APB ≌△APD （SAS ）；

①∵△APB ≌△APD ，∴DP=PB ，∠ADP=∠ABP ，∵在△DFP 和△BEP 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠EPB FPD BP DP EBP FDP ，∴△DFP ≌△BEP

（ASA ），∴PF=PE ，DF=BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴GD ∥AB ，∴

AB GD AF DF =，∵DF ：FA=1：2，∴2

1

=AB DG ，

31=AB BE ，∴23=BE DG ，∵EB DG PE DP =

，即y x

=23，∴y=3

2x ； ②当x=6时，y=

32×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵21==AB DG BF GF ，∴2

1

10=FG ， 解得：FG=5，故线段FG 的长为5．

考点：1、相似三角形的判定与性质； 2、全等三角形的判定与性质； 3、菱形的性质． 4.【试题来源】2015届浙江省宁波市江北区中考模拟数学试卷

已知：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且BD=BA ，过点B 画AD 的垂线交AC 于点O ，以O 为圆心，AO 为半径画圆．