2015年高考北京文科数学试题及答案(word解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，文1，5分】若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B =（ ）

（A ）{}32x x -<< （B ）{}52x x -<< （C ）{}33x x -<< （D ）{}53x x -<< 【答案】A

【解析】{}32A B x x =-<<，故选A ．

（2）【2015年北京，文2，5分】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）

（A ）()()2

2

111x y -+-= （B ）()()2

2

111x y +++= （C ）()()2

2

112x y +++=（D ）()()2

2

112x y -+-= 【答案】D

【解析】由已知得，圆心为()1,1，半径为2，圆的方程为()()2

2

112x y -+-=，故选D ．

（3）【2015年北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）

（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -=

【答案】B

【解析】函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分

层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该

样本的老年教师人数为（ ）

（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300

【答案】C

【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016

9009

=；设样本中老年教师的

人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相

等，即32016

9

x =，解得180x =，故选C ．

（5）【2015年北京，文5，5分】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否

313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否3138216a =⨯=，4k =，

31164a =<−−→是输出4k =， 故选B ． （6）【2015年北京，文6，5分】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，

//a b ．而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ⋅=-，故

“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A ．

（7）【2015年北京，文7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥

最长棱的棱长为（ ）

类别 人数

老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300

俯视图

侧（左）视图

正（主）视图1

1

1

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】C

【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，

222223SA SC AC SC AB BC =+=++=，故选C ．

（8）【2015

加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日

12 35000 2015年5月15日

48 35600 注：“ ） （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升． 而这段时

间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米． 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48

1008600

⨯=升，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。 （9）【2015年北京，文9，5分】复数()i 1i +的实部为 ． 【答案】1-

【解析】复数i(1i)i 11i +=-=-+，其实部为1-．

（10）【2015年北京，文10，5分】3

2-，12

3，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5

【解析】3

1

218

-=<，1

2331=>，22log 5log 423>>>，所以2log 5最大．

（11）【2015年北京，文11，5分】在ABC ∆中，3a =，6b =，23

A π

∠=，则B ∠=______．

【答案】

4

π 【解析】由正弦定理，得

sin sin a b A B =

，即63=，所以2sin B =，所以4B π

∠=． （12）【2015年北京，文12，5分】已知()2,0是双曲线22

21y x b

-=（0b >）的一个焦点，则b = ．

【答案】3 【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =． （13）【2015年北京，文13，5分】如图，ABC ∆及其内部的点组

成的集合记为D ，(),R x y 为D 中任意一点，则23z x y =+ 的最大值为_______． 【答案】7

【解析】依题意，23z x y =+在点()2,1A 处取得最大值7．

（14）【2015年北京，文14，5分】高三年级267位学生参加期末 考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全

年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从 这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 ．

y x

C 0,2()

A 2,1()

B 1,0()

O y

x

C 0,2()

A 2,1()

B 1,0()

O