2015年高考北京文科数学试题及答案(word解析)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学(文科)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)【2015年北京,文1,5分】若集合{}52A x x =-<<,{}33B x x =-<<,则A B =( )

(A ){}32x x -<< (B ){}52x x -<< (C ){}33x x -<< (D ){}53x x -<< 【答案】A

【解析】{}32A B x x =-<<,故选A .

(2)【2015年北京,文2,5分】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是( )

(A )()()2

2

111x y -+-= (B )()()2

2

111x y +++= (C )()()2

2

112x y +++=(D )()()2

2

112x y -+-= 【答案】D

【解析】由已知得,圆心为()1,1,半径为2,圆的方程为()()2

2

112x y -+-=,故选D .

(3)【2015年北京,文3】下列函数中为偶函数的是( )

(A )2sin y x x = (B )2cos y x x = (C )ln y x = (D )2x y -=

【答案】B

【解析】函数2sin y x x =为奇函数,2cos y x x =为偶函数,ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数,故选B . (4)【2015年北京,文4,5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分

层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该

样本的老年教师人数为( )

(A )90 (B )100 (C )180 (D )300

【答案】C

【解析】由题意,总体中青年教师与老年教师比例为160016

9009

=;设样本中老年教师的

人数为x ,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相

等,即32016

9

x =,解得180x =,故选C .

(5)【2015年北京,文5,5分】执行如图所示的程序框图,输出的k 的值为( )

(A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B

【解析】13322a =⨯=,1k =,3124a =<−−→否313224a =⨯=,2k =,3144a =<−−→否

313428a =⨯=,3k =,3184a =<−−→否3138216a =⨯=,4k =,

31164a =<−−→是输出4k =, 故选B . (6)【2015年北京,文6,5分】设a ,b 是非零向量,“a b a b ⋅=”是“//a b ”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件

(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>,由已知得cos ,1a b <>=,即,0a b <>=,

//a b .而当//a b 时,,a b <>还可能是π,此时||||a b a b ⋅=-,故

“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件,故选A .

(7)【2015年北京,文7,5分】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥

最长棱的棱长为( )

类别 人数

老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300

俯视图

侧(左)视图

正(主)视图1

1

1

(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 【答案】C

【解析】四棱锥的直观图如图所示:由三视图可知,SC ⊥平面ABCD ,SA 是四棱锥最长的棱,

222223SA SC AC SC AB BC =+=++=,故选C .

(8)【2015

加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015年5月1日

12 35000 2015年5月15日

48 35600 注:“ ) (A )6升 (B )8升 (C )10升 (D )12升 【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量48V =升. 而这段时

间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48

1008600

⨯=升,故选B . 第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分。 (9)【2015年北京,文9,5分】复数()i 1i +的实部为 . 【答案】1-

【解析】复数i(1i)i 11i +=-=-+,其实部为1-.

(10)【2015年北京,文10,5分】3

2-,12

3,2log 5三个数中最大数的是 . 【答案】2log 5

【解析】3

1

218

-=<,1

2331=>,22log 5log 423>>>,所以2log 5最大.

(11)【2015年北京,文11,5分】在ABC ∆中,3a =,6b =,23

A π

∠=,则B ∠=______.

【答案】

4

π 【解析】由正弦定理,得

sin sin a b A B =

,即63=,所以2sin B =,所以4B π

∠=. (12)【2015年北京,文12,5分】已知()2,0是双曲线22

21y x b

-=(0b >)的一个焦点,则b = .

【答案】3 【解析】由题意知2,1c a ==,2223b c a =-=,所以3b =. (13)【2015年北京,文13,5分】如图,ABC ∆及其内部的点组

成的集合记为D ,(),R x y 为D 中任意一点,则23z x y =+ 的最大值为_______. 【答案】7

【解析】依题意,23z x y =+在点()2,1A 处取得最大值7.

(14)【2015年北京,文14,5分】高三年级267位学生参加期末 考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全

年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从 这次考试成绩看,

①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ;

②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 .

y x

C 0,2()

A 2,1()

B 1,0()

O y

x

C 0,2()

A 2,1()

B 1,0()

O

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