控制力矩

αr = 0 θr = − H ω2 /M
物理解释
子午面
M u1 v2
O
v2 ——方位视运动 u1 ——进动（控制力矩）
W θr
E 水平面
M′
稳定位置的物理意义：控制力矩使主轴进动的角速度 正好等于子午面转动的角速度。
实例：
纬度ϕ°（北纬） 罗经类型
0 0 0
20
30
40
50
60
70
80
下重式摆式罗经θr 液体连通器式罗经θr
物理解释：
子午面
u1 u1 v2 v1 v2 θr v1 进动 u1 v2 M v2 v1 u1
O
视运动：北纬东片，南纬西偏； 东升西降，南北一样。 v1 u1 v2
v2
W
v1 v2 u1 v2 u1
v2u1 v1 v1
E 水平面 v1 ——高度视运动 v2 ——方位视运动 u1 ——进动控制力矩
第三节 控制力矩及稳定位置
一、控制力矩MYC的产生 1. 下重式——安许茨系列罗经
陀螺球（罗经灵敏部分），液体中悬 浮， Z 动量矩H 指北（X轴正向）
X
H
G O
a = 8 mm
P = mg 视频
控制力矩的产生
Z0 Z
X N Y
H
θ
MYC G
F2
S
θ
F1
a
（W）
P = mg
F1= mg⋅sinθ F2= mg⋅cosθ
MYC = − M⋅θ
M′
结论：陀螺仪主轴等幅椭圆摆动是主轴视运动 和主轴进动共同作用的结果。
1. 椭圆扁率：椭圆的短半轴和长半轴之比。
θ0 e = α0 =
Hω1 M
可知，当罗经结构参数 H、M 及所在纬度ϕ 一定， e 是个常量，且与摆动的振幅无关。 通常， e 取1/20～1/30，表明： ① 摆式罗经作等幅摆动时其主轴偏离水平面的高度角 甚小于偏离子午面的方位角。 ② 某种原因导致罗经主轴在高度上变化Δθ，则引起方 位上的变化Δα为Δθ 的25～30倍，反之亦然。
θ
O
H
θ
P = mg
视频
① 控制力矩MYC大小 若容器截面积为S，则 V = 2RS⋅tgθ 若液体密度为ρ，则多余液体重量为 P = 2RSρg ⋅tgθ 力臂为r =R⋅cosθ，则多余液体产生的控制力矩为 MYC = 2R2Sρg ⋅sinθ 又2R2Sρg 对于给定液体连通器而言是常量，可用M表示， 同时实际上很小，有sinθ ≈ θ ，并考虑其符号，则 MYC = Mθ ② 控制力矩MYC变化规律 ★ θ = 0，则MYC = 0，即主轴不产生进动 ★ θ ＞0，则MYC ＞0，Y轴正向（西）， H →西进动 主轴（X 轴正向）→东 进动 ★ θ ＜0，则MYC ＜0，Y轴负向（东）， H →东进动 主轴（X 轴正向） →西 进动
1. 水平轴（长轴）阻尼法：缩小α 外力矩加在水平轴（长轴）上，方向指向子午面 ——安许茨系列罗经 M
W
O
E
M′ 外力矩最大效应超前控制力矩90°，即 MYC最大，MYD = 0 MYC = 0， MYD最大
2. 垂直轴（短轴）阻尼法：缩小θ 外力矩加在垂直轴（短轴）上，方向指向水平面 ——斯伯利、阿玛-勃朗系列罗经 M
三、陀螺仪主轴等幅椭圆摆动
经分析，可得到以 α、θ 为变量的方程：
α α0
2
+
θ−θr θ0
2
=1
从方程可见，陀螺仪主轴指北端的运动轨迹为： 以 α = 0、θ = θr 为中心， α0、θ0 为长短轴的椭圆。
M
子午面
θ0
W
θr α0
O M′
E
水平面
结论：陀螺仪主轴偏离稳定位置后， 围绕稳位置做等幅椭圆摆动。
视频
① 控制力矩MYC大小 MYC = F1⋅a = mga⋅sinθ 考虑到实际θ 角很小，故有sinθ ≈ θ （小角定理） MYC = F1⋅a ≈ mga⋅θ 因 mg、a 为常量，故 M = mga 为常量， 称之为摆式罗经的最大摆性力矩。 又考虑到方向，则
MYC = − M⋅θ
② 控制力矩MYC变化规律 ★ θ = 0，则MYC = 0，即不产生力矩 ★ θ ＞0，则MYC ＜0，Y轴负向（东） H（主轴）→ 东 进动 ★ θ ＜0，则MYC ＞0，Y轴正向（西） H（主轴）→ 西 进动
−2.′4 −3.′5 −4.′5 −5.′3 −3.′0 −4.′4 −5.′7 −6.′7
−6.′0 −6.′6 −6.′9 −7.′6 −8.′2 −8.′6
可见，陀螺仪主轴相对地理坐标系有稳定的指向， 满足航海罗经的要求（1）。 那么一旦偏离稳定位置后，是否能回到稳定位置呢？ 若不能，如何运动？
陀螺罗经找北示意图
Z0 Z H Z Z0 X H
G a
x
E W (mg)X mg
G
W mg
θ
(mg)Z E
ωe
PN
2. 液体连通器式——斯伯利系列罗经
自由陀螺仪，南北两侧挂盛液体的杯 子， 动量矩H 指南（X 轴负向）
Z R O H
X
P = mg
P = mg
控制力矩的产生
Z
R
X
r =R⋅cosθ
2. 等幅椭圆摆动周期 陀螺仪主轴指北端围绕稳定位置运动一周所需要的时间 称之为等幅摆动周期（椭圆运动周期、无阻尼摆动周期）， 大小为： H T = Mω ⋅cosϕ e 可知，等幅椭圆摆动周期T 与罗经结构参数H、M 及 所在的地理纬度ϕ 有关，而与主轴起始位置无关。 当罗经结构参数H、M 确定后，T 随纬度ϕ 增高而增 大。 为了消除摆式罗经的第一类冲击误差，在罗经的设计 纬度 ϕ0 上必须使 T0 = 84.4 min，T0 称之为舒拉周期。
W
O
E
M′ 外力矩最大效应与控制力矩一致，即 MYC最大， MZD最大 MYC = 0， MZD = 0
阻尼力矩：使陀螺仪主轴作减幅摆动所加的外力矩。 即MYD 、MZD。 阻尼设备：产生阻尼力矩的设备。
思考问题
1. 基本概念 陀螺球（灵敏部分） 稳定位置 等幅摆动、椭圆扁率、等幅摆动周期 阻尼力矩、阻尼设备 水平轴阻尼法、垂直轴阻尼法 2. 下重式、液体连通器式罗经动量矩H的指向、控制力矩 的产生及大小。 3. 陀螺仪主轴的稳定位置及其物理意义。 4. 等幅摆动的物理意义。 5. 等幅摆动椭圆扁率、周期与哪些因素有关。 6. 变等幅摆动为减幅摆动的方法。
二、陀螺仪主轴稳定位置
在北纬，陀螺仪主轴存在东偏的视运动，若要消除这个 视运动，就使之向西进动，即ωPZ = ω2，则下重式有 MYC = ω2 ⋅H = − M⋅θr 所以 此时
θr = − H ω2 /M αr = 0
对于液体连通器式H 指南， X 轴负向，故 H ＜0， 则有 − ω2 ⋅H = M θr 结论：无论是下重式还是液体连通器式，陀螺仪 主轴稳定位置均为：
四、变陀螺仪主轴等幅摆动为减幅摆动的方法
Hω1 = M 在罗经结构参数H、M 一定，纬度ϕ 一定的情况下， 椭圆扁率为常数。 椭圆扁率 e = α0 0
θ
α↓→θ↓ α↑→θ↑
Δα =（20～30）Δθ
我们知道，任何一种等幅摆动，只要附加以适当的 阻尼作用，即可变为减幅摆动。 我们可以再给陀螺仪施加一个力矩，改变主轴进动的 角速度，已达到使主轴作减幅摆动的目的。