人教版初中数学《锐角三角函数》完美版

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人教版《锐角三角函数》PPT精品课件4

t an4 5 （2） 1解、：已（知1：）αc为o锐s2角60，°且＋满sin足260°
，求α的度数。
1 3 sin 4 5 （（3011°））、11－－4522°ss、iinn33600°°cc角oo的ss33正00°°弦值、2 余弦值和正切2值如下表：
两（块1）三1角－尺2 s中in有30几°个co不s3同0的°锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？
?
30°
米
10米
例3、(1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6,BC= 3。求∠A的度数。
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 3 倍,求α.
A
B
6
3
A
C
(1)
O B
(2)
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D ，已
对解于：s过in点α与C作tanCαD，⊥角AB度于越点大D，函数值也越大； 2（、1）在R1－t△2AsBinC3中0°，c∠oCs3=09°0°，化简
＝0
（1、1）已1知－：2αs为in锐30角°，co且s3满0°足
，求α的度数。
（1）cos260°＋sin260°
应用生活
例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为
a a 两对块于三 sin角α与尺t中an有α设，几角两个度不条越同大的直，锐函角角数？边值分也别长越求大出为；这a几，个锐则角斜的正边弦值长、＝余弦值和正2 切值．2
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

28.1 锐角三角函数课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版

2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正中，∠C＝
弦，记作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan

人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)课件【经典初中数学课件】

本课时主要讲解了人教版初中数学九年级下册锐角三角函数的相关内容通过这些值能迅速说出对应锐角的度数。同时，讲解了如何熟练计算含有这些角度的三角函数的运算式。此外，还深入探讨了互为余角的两个锐角A，B正切值的关系，以及一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值之间的关系。通过仔细观察和推导，得出了这些三角函数之间的重要规律。在例题部分，详细解析了如何运用这些知识点求解实际问题，如计算特定角度的三角函数值，以及利用三角函数关系解决梯形中的角度和边长问题等。通过这些讲解和练习，旨在帮助学生深入理解和掌握锐角三角函数的相关知识，提高解题能力。

《锐角三角函数》优质教学课件初中数学5

第二步：输入角度值18；新知二利用计算器探索三角函数的性质
（1）sin35°=
，cos35°=
，
则都有sin2A＋sin2B＝____；
证明：∵ S△ABC = (3)sin67°38′24″.
屏幕显示结果 AB · sin2α · AC = sin2α，
sin18°= 0.309 016 994.
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．证明：∵ S△ABC = 12AB ·sin2α ·AC = sin122α，
S△ABC = ×12 2ABsinα ·ACcosα = sinα ·cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα.
2α
④ sin60°____2sin30°cos30°；
∴sin2α＝2sinαcosα.
例如 (1) 不同计算器操作的步骤可能不同！
6 (因为30°36′ = 30.
用计算器求sin18°的值；
(2) ∠A ≈ 81.
解：第一步：按计算器 sin 键； sin2A1＋sin2B1＝____；
9．(渗透学科知识)(娄底中考)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
B．30°＜∠A＜45° D．60°＜∠A＜90°
4．已知一次函数 y＝kx＋3 经过点( 3 ，2)，则其图象与 x 轴相交所得的锐角度数是_6_0_°_．
5．(宜宾中考)如图，A，B，C
是⊙O
上的三点， 3
若△OBC 是等边三角形，则 cos A＝_2___．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交
9．(渗透学科知识)(娄底中考)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，

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(C) 0＜cosA＜ 3 2
(D) 3＜cosA＜1 2
3.特殊角300,450,600角的三角函数值.
锐角a 三角函数
sin a
cos a
tan a
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
练一练
求下列各式的值： (1) sin230°+ cos230°－tan45°.
（2）3tan 30 tan 45 2sin 60；
求sin∠ABC的值。
构建直角三角形求三角函数值
求sin∠ABC的值。
解:过点A作AD⊥BC于D.
等腰三角形常作底边上的高线。
归纳：已知值，求角求cosB 及tanB 的值.
(C) 0＜cosA＜
(D) ＜cosA＜1
求锐角三角函数值的四种常用方法
方法
1
直接用锐角三角函数的定义求三角函数值
1.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
那么 cosA 的值等于 ( D )
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
D. 4 5
方法 2 巧设参数求三角函数值
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinB=
12 13
，
5
则tanA= 12 .
方法
3 利用等角转化法求三角函数值
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD， CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
17
E

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sin
A
A的对边斜边
a c
正弦
锐角三角函数
sinA，sin30°，sinα，sin∠1，sin∠BAC
小试牛刀
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求sinA.
B
5
3
A
┌
4
C
sinA
小试牛刀
含30°角的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
角而言，它的对边与斜边的比不变的规律.
难点：直角三角形中，探究正弦定义的过程,对于同一个锐
sin60° 含30°角的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA .
sin45°
复习小结
正弦的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA .
30°
A 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求sinA.
C 含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
C1 C2
含30°角的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。
角而言，它的对边与斜边的比不变的规律.
在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，叫做这个锐角的正弦。
相似
AA相似
∠A的对边/斜边
B3
B2 B1 B
5 3
A
C C1 C2 C3
相似
∠A≈37° AA相似
∠A的对边/斜边
B
A
┌C
∠A的对边/斜边
在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，叫做这个锐角的正弦。

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正12弦．是一在直直角角三三角角形形的中两定边义长的分，别反为映6和了8直，角求三该角三形角边形与中角较的小关锐系角. 的正弦值．正由弦勾是股在定直理角得三AB角2形=A中C定2+义B的C2，=反2B映C了2.直角三角形边与角的关系.
第例2如8，章当锐∠A角＝三3角0°函时数，我们有
行喷灌. 现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°，为使出水口的高度由人勾教股版定· 数理学得· A九B年2=级A（C2下+）BC2=2BC2.
例现1测得如斜图坡，的在坡R角t△(∠AABC)为中3，0∠°，C=为9使0°出，水求口si的nA高和度为sin3B5的m值，. 需要准备多长的水管？
为 35 m，需要准备多长的水管？所正以弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.
A例．如s，in当A∠＝A3＝sin30A°′时，B我．们sin有A＝sin A′ 现能测根得据斜正坡弦的概坡念角正确(∠进A 行)为计3算0°。，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2.
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA =
．
理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)。
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
A．sin A＝3sin A′ B．sin A＝sin A′
正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.

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5
A．3
B．6
C．9
D．12
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达标检测反思目标
3．下列各式中不正确的是（ B）． A．sin 2 600 cos2 600 1
B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55°
D．tan45°>sin45°
2a 2
tan 60 3a 3
60°
a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2
45°
2a 2
tan 45 a 1 a
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合作探究达成目标
仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?
合作探究达成目标
小组讨论1:在例3中的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？
【反思小结】含特殊角三角函数值的计算中，一要注意运算顺序和法则；二要注意特殊角三角函数值的准确代入．
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【针对练一】
1.计算：
（1）2 cos45°；（2）1-2sin30°cos30°.
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 三角函数
sin a cos a tan a
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30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2

初中人教版数学九年级下册28.1【教学课件】《锐角三角函数》

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应用新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值。
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应用新知
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应用新知
例3：求下列各式的值：
2 2
cos 45 tan 45。（1）cos 60 sin 60 ；（2） sin 45
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
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探究新知
正弦函数概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住sinA，即
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第二十八章●第一节
锐角三角函数
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问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？
⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ ⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系？
问题2 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时，人脚的感觉最
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探究新知
问题6 如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？
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探究新知
问题7 我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角。如用计算器求sin18°的值。第一步：按计算器sin键；第二步：输入角度值18。屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994。再如已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A。第一步：依次按计算器2nd F、sin键；第二步：然后输入函数值0. 501 8。屏幕显示答案： 30.119 158 67°。（按实际需要进行精确）

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第二十八章锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用（2）
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一、新课引入
四、归纳小结
1、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做_仰_角__角，在水平线下方的角叫做_俯__角__角．
2、学习反思： ______________________________________ ______________________________________.
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五、强化训练
解：依题意可知，在Rt∆ADC中
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所以树高为：20.49+1.72=22.21
Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出（即）
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三、研读课文
解:在上图中，FQ是⊙O的切线，
知
是直角三角形，
识
点
∴ ______
一
∴弧PQ的长为 _2_0_7_1__
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系

人教版数学《锐角三角函数》课件3

一叫做仰角，在_水__平___线下方的角叫做俯
角．
人教版数学《锐角三角函数》课件3
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知识点二从函数的图象获取信息
例4 热气球的探测器显示，从热气球
看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋
知离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼
识的水平距离为120 m.这栋高楼有多高
人教版数学《锐角三角函数》课件3
第二十八章锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用（2）
人教版数学《锐角三角函数》课件3
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一、新课引入
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用哪个关系？请计算出来.
人教版数学《锐角三角函数》课件3
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五、强化训练
1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=___1_00_____米. 2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
练一练
如下左图，某人想沿着梯子
爬上高4米的房顶，梯子的倾斜
练
角（梯子与地面的夹角）不能
一
32
大于60°，否则就有危险，那
练么梯子的长至少为多少米.
解：如图所示，依题意
A
可知∠B=600
52
B
C
答：梯子的长至少3.5米

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99.0 m
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
9.【例 4】某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚 A 处测得这座楼房的楼顶 B 点的仰角为 60°，沿山坡往上走到 C 处再测得 B 点的仰角为 45°.已知 OA＝200 m，此山坡的坡比 i＝21，且 O， A，D 三点在同一条直线上．
第二十八章锐角三角函数
第7课时《锐角三角函数》单元复习
知识要点
知识点一：锐角三角函数的定义及相关计算 (1)直角三角形中的边角关系：已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°： ①三边关系： a2＋b2＝c.2(勾股定理) ②两锐角关系： ∠A＋∠B＝9.0°
a
b
③边角关系：sin A＝ c ，sin B＝ c ；
3
小结：本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键.
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
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12.长春新地标——摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶 AD 与地面的距离 CD 等于 34 m，摩天轮⊙O 与楼顶 AD 近似相切，切点为 G，测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54 m，求摩天轮的最高点到地面 BC 的距离． (结果精确到 0.1 m，参考数据： sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，tan 67°≈2.36)
800 C.sin α m D.ta8n00α m
精典范例
6.【例 1】在△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝54，则 tan B＝( B )
A.34
B．34
3 C.5
D．54
小结：准确理解锐角三角函数定义是解决此类问题的关键.
变式练习
10.如图，在边长均为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C， D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 O，则 tan∠AOD＝ 2 .
(1)9 m (2)至少29 m
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
4.如图，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，∠C＝45°，△ABC
的面积是
225＋25 2
3 .
知识点四：解直角三角形的应用 (1)与圆相关； (2)与仰角、俯角相关； (3)与方位角相关； (4)与坡度、坡角相关.
5.如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 m 到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为( D ) A．800sin α m B．800tan α m
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
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(1)求楼房 OB 的高度； (2)求小红在山坡上走过的距离 AC(不取近似值)．
(1)200 3 m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)200
15－ 3
5
m
小结：解决此类题型的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用以及辅助线的作法.
2 (2)cos245°－2tcaons3300°°＋ 3sin 60°. 5 3
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
8.【例 3】如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点 A(8,0)， O(0,0)，B(0,6)，点 D 是⊙P 上的一个动点，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，求 tan∠BOD 的值．
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
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★13.日照间距系数反映了房屋的日照情况，如图 1，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶H－H1，其中 L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H1 为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图 2，山坡 EF 朝北，EF 长为 15 m，坡度 i＝1∶ 0.75，山坡顶部平地 EM 上有一高为 22.5 m 的楼房 AB，底部 A 到点 E 的距离为 4 m.
b
a
cos A＝ c ，cos B＝ c ；
a
b
tan A＝ b ，tan B＝ a .
(2)特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值.
对点训练
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝53，BC＝6，则 AB 的长
度为 10 .
2．计算：
2 2 sin
45°＋2sin
30°cos
45°.
12＋
2 2
知识点二：解直角三角形 (1)已知一边一角解直角三角形； (2)已知两边解直角三角形．
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，解这个直角三角形．
∠A＝60°，AC＝4，BC＝4 3
知识点三：解斜三角形在作辅助线构造直角三角形时，尽量不要破坏特殊角．
7.【例 2】计算： (1)4sin 30°－ 2cos 45°＋ 6tan 60°； 1＋3 2 (2)2cos 30°＋tan 60°－2tan 45°·tan 60°. 0 小结：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键.
11.计算： (1) 4＋|1－ 3|＋tan 45°－2sin 60°；
人教版初中数学《锐角三角函数》完美版1
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(1)求山坡 EF 的水平宽度 FH； (2)欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD，已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，楼 CD 的底部 C 距点 F 至少多远？