样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计
用样本的均值标准差估计总体的均值标准差
与总体标准差的关系：样本标准差是总体标准差的估计值，当样本量足够大时，样本 标准差接近总体标准差。
样本量大小的影响：样本量越大，样本标准差越接近总体标准差，估计的准确性越高。
总体标准差的估计
定义：总体标准差是总体各单位标 志值与总体均值的离差平方的算术 平均数的平方根。
样本量增加对估计的影响
降低估计误差：样本量越大，估计的准确性越高，误差范围越小。 提高估计精度：样本量增加有助于更准确地估计总体参数。 降低抽样风险：样本量增加可以降低由于抽样误差导致的风险。 更稳定的结果：样本量越大，估计结果越稳定，不易受到个别异常值的影响。
Part Five
样本变异系数对估 计的影响
变异系数与总体标准差的关系
变异系数的定义：变异系数是标准差与均 值的比值，用于衡量数据的相对波动性。
变异系数对估计总体标准差的影响：样本 变异系数越小，对总体标准差的估计越准 确。
样本量对变异系数的影响：样本量越大， 变异系数越小，对总体标准差的估计越准 确。
变异系数与总体标准差的关系：总体标 准差越大，变异系数也越大，样本变异 系数对估计总体标准差的影响也越大。
样本均值和标准差对总 体均值和标准差的估计
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目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 样 本 标 准 差 和 总 体
标准差的估计
05 样 本 变 异 系 数 对 估 计的影响
02 样 本 均 值 和 总 体 均 值的估计
不准确。
Part Six
样本分布对估计的 影响
正态分布对估计的影响
理解样本平均数和总体平均数会用样本平均数估计总体平均
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
2、样本方差
(2)从甲、乙两个生产日光灯管的厂家中抽取5～6只 日光灯管进行检测，灯管的使用寿命如表:
（单位：100h）。
甲厂
9.8
9.9
10.1
10
10.2
10
乙厂
9.8
10.3 10.8
9.7
9.8
当样本数据的极差较大时数据较分散，极差较小时数据 较集中，运用极差对两组数据进行比较，可以简单方便地估 计总体的相关指标的稳定能。 当两组数据的集中程度差异不大时，还可以考察每一个样本 中的每一个数据与均值的差的平方和，此平方和越小，稳定性就 越高。由于两组数据的容量有可能不同，因此应将上述平方和除 以数据的个数。我们把由此所得的值称为这组数据的方差。
2、样本方差
思考交流 样本标准差与频率直方图有什么关系？
本节主要知识： (1)样本平均数的计算； (2)用样本平均数估计总体平均数的方法； (3)样本方差和样本标准差的计算； (4)用样本标准差估计总体标准差的方法； (5)样本频率直方图、样本平均数、样本标 准差三种方法估计总体的差异.
教材P189练习第2题．
1.样本平均数
例3 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表 （单位：h），度估算该学生的日平均睡眠时间。 睡眠时间 人数 频率
6～6.5
6.5～7
5
17
0.05
0.17
7～7.5
7.5～8
33
37
0.33
0.37
8～8.5
8.5～9 合计
6
2 100
0.06
0.02 1
1.样本平均数
总体样本参数统计量的概念及其关系
总体样本参数统计量的概念及其关系
1. 概念
总体是指研究对象的集合，总体参数指总体性质的描述量，如总
体均值、总体标准差等。
但是由于总体中所有个体的数据都可能难以
或无法获得，因此需要利用样本来推断总体。
样本是总体的一个部分，其参数统计量为样本性质的描述量，如样本平均数、样本标准差等。
通过样本参数统计量，可以估计总体参数，从而对总体进行研究。
2. 求解方法
对于样本，首先应当进行数据的收集和整理工作。
总体参数可以
通过各种不同的方法求解，常见方法为点估计和区间估计。
点估计是从样本数据计算出一个值作为总体参数的估计值。
例如
样本平均数可以被用来估计总体的均值，样本标准差可以被用来估计
总体的标准差等。
当样本充分大且随机性充分高时，点估计的可靠度
较高，但样本数据的选取和处理等过程都需要严谨和细致的操作。
区间估计是指在一定的置信度下，通过样本数据来推断总体参数
的范围。
例如在95%的置信度下，总体均值的估计值落在样本均值加减一个标准误的区间内。
相对于点估计，区间估计的可靠度更高，但相
应的计算公式和统计技巧也相对复杂。
3. 关系
样本是总体的一个部分，它以点估计和区间估计的方式，来推断总体参数。
总体参数可以随时被调整或改变，对应的样本参数也会相应地发生变化。
在实际研究中，样本参数通常是总体参数的反映，而样本的选择和处理也是推断总体参数正确性的重要因素。
因此样本参数统计量与总体参数的关系紧密相连，应当在研究中给予重视。
无偏估计
样本平均数的平均数是总体平均数的无偏估计。
S n是对总体标准差的有偏估计，S n-1是对总体标准差的无偏估计。
还要注意，“样本的标准差”、“总体的标准差”与“样本平均数的标准差”、“总体平均数的标准差”不是一回事。
无偏估计无偏估计是参数的样本估计量的期望值等于参数的真实值。
估计量的数学期望等于被估计参数，则称此为无偏估计。
设A'=g(X1,X2,...,Xn)是未知参数A的一个点估计量，若A'满足E(A'）= A则称A'为A的无偏估计量，否则为有偏估计量。
注：无偏估计就是系统误差为零的估计。
其中的自由度不再是原有的样本量，需要看情况减去应该在此进一步解释,无偏估计量无偏性估计值在待估参数的真值附近摆动，对待估参数的真值无偏倚。
从分析测试的观点看，无偏性意味着测定的准确度。
总体参数的无偏估计量的意义为：样本估计量（平均数、变异数、方差等）的数学期望等于母体真值。
一个估计量若是无偏的，则其概率分布的期望值就等于它所估计的参数。
无偏性并不是说我们用任何一个特定样本得到的估计值等于d，甚或很接近0。
而是说，如果我们能够从总体中抽取关于Y的无限多个样本，并且每次都计算一个估计值，那么将所有随机样本的这些估计值平均起来，我们便得到。
由于在大多数应用中，我们仅使用一个随机样本，所以这个思维实验有些抽象。
无偏估计量对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。
这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量定义无偏估计量，数学期望等于被估计的量的统计估计量。
设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若E(^θ)=θ，对一切θ∈Θ，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。
无偏估计量的定义是：设（ξ∧）是ξ的一个估计量，若E（ξ∧）=ξ，则称ξ∧是ξ的无偏估计量下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。
因为ξ8、ξ8、ξ8 都是取自参数为λ的泊松总体的样本。
总体标准差和样本标准差
总体标准差和样本标准差在统计学中，标准差是一种用来衡量数据分散程度的统计量。
它可以帮助我们了解数据集中的数据点与平均值的偏离程度。
在实际应用中，我们常常会遇到总体标准差和样本标准差这两个概念。
它们在统计分析中有着不同的用途和计算方法。
本文将对总体标准差和样本标准差进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
总体标准差是指对整个数据集进行计算得到的标准差，它用希腊字母σ表示。
总体标准差的计算公式如下：σ = √(Σ(xi μ)² / N)。
其中，xi代表每个数据点，μ代表数据集的平均值，Σ代表求和，N代表数据点的个数。
总体标准差的计算方法是先计算每个数据点与平均值的偏离程度的平方，然后将这些平方值相加，再除以数据点的个数，最后取平方根得到标准差。
样本标准差是指对数据样本进行计算得到的标准差，它用希腊字母s表示。
样本标准差的计算公式如下：s = √(Σ(xi x)² / (n 1))。
其中，xi代表每个数据点，x代表数据样本的平均值，Σ代表求和，n代表数据点的个数。
样本标准差的计算方法与总体标准差类似，不同之处在于除数是n-1而不是N，这是因为在计算样本标准差时，我们使用样本的平均值而不是总体的平均值，因此需要对自由度进行修正。
总体标准差和样本标准差的区别主要在于计算方法和用途上。
总体标准差适用于对整个数据集进行分析，而样本标准差适用于对数据样本进行分析。
在实际应用中，我们往往只能获得数据样本而不是整个数据集，因此样本标准差更为常用。
另外，由于样本标准差的计算方法中包含了对自由度的修正，因此在样本较小的情况下，样本标准差能够更准确地估计总体标准差。
总体标准差和样本标准差在统计分析中有着重要的作用。
它们可以帮助我们衡量数据的离散程度，进而进行合理的数据分析和决策。
在实际工作中，我们可以根据具体的情况选择合适的标准差来进行数据分析，以更好地理解数据的特征和规律。
综上所述，总体标准差和样本标准差是统计学中重要的概念，它们分别适用于对整个数据集和数据样本的分析。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
2.2 用样本估计总体教案 A第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1. 通过实例体会分布的意义和作用.2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，第 1 页为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2.决定组距及组数；3.将数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.探究2：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图的不同看法进行交流……）接下来请同学们思考下面这个问题：思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见教材P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）（二）频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.思考：1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把第 3 页这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.三、例题精析例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.cm ）例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++， 又因为频率＝.第二小组频数样本容量所以，12150.0.08===第二小组频数样本容量第二小组频率 （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、课堂小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、评价设计1．P81习题2.2 A组1、2.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.二、探究新知（一）众数、中位数、平均数探究（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供第 5 页关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.（图略见教材73页图2.2-6）思考：2.02这个中位数的估计值，及样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）图2.2-6显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）（二）标准差、方差１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176cm ，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态.例如，在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲，.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ74图2.2-7）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：第 7 页（１） 算出样本数据的平均数x .（２） 算出每个样本数据及样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （３） 算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方.（４） 算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差.（５） 算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：s ≥0.当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数.2．方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.三、例题精析例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.（1）５，５，５，５，５，５，５，５，５（2）４，４，４，５，５，５，６，６，６（3）３，３，４，４，５，６，６，７，７（４）２，２，２，２，５，８，８，８，８分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：（图见教材Ｐ76）四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ）：甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.3825.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.4225.45 25.35 25.41 25.39乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.3625.34 25.49 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.3125.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数及标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值.解：四、课堂小结1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数.（2）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.五、评价设计P81 习题 2.2 A组 3、4.教案 B第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境，导入新课我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.二、新课探知（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1. 计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2. 决定组距及组数；第 9 页cm ） 3. 将数据分组；4. 列频率分布表；5. 画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）一画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134C ｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图：（3134cm 的男孩出现的，所以我们估计身高小 （1趋势. （2把数据抹掉了.曲线 1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.（见教材P69）（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用茎叶图表示，你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？解：“茎”指的是中间的一列数，表示得分的十位数；“叶”指的是从茎的旁边生长出来的数，分别表示两人得分的个位数.画这组数据的茎叶图的步骤如下第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；第二步，茎是中间的一列数，按从小到大的顺序排列；第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.甲乙8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 91 5 0从图中可以看出，乙运动员的得分基本上是对称的，页的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数为36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶主要集中在茎1，2，3上，中位数是26.由此可以看出，乙运动员的成绩更好. 另外i，从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定.练习：在ＮＢＡ的2010赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33学生画出茎叶图（略）三、巩固练习为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（见下页图示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.第 11 页（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.08 24171593=+++++，又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以，121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、布置作业P71练习1、2、3.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境导入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.二、新课探究（一）众数、中位数、平均数初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，第 13 页。
总体标准差与样本标准差的换算公式
总体标准差与样本标准差是统计学中常见的两个概念，它们分别用来描述整体数据集和部分数据样本的离散程度。
在实际应用中，我们经常需要将总体标准差和样本标准差进行换算以满足不同的统计需求。
本文将介绍总体标准差与样本标准差的概念，以及它们之间的换算公式。
一、总体标准差与样本标准差的概念1.总体标准差是用来衡量整体数据集离散程度的指标，它的计算公式为：σ = √(Σ(xi-μ)²/n)其中，σ表示总体标准差，Σ表示总和，xi表示每个数据点，μ表示整体数据的均值，n表示总体数据的个数。
2.样本标准差是用来衡量部分数据样本离散程度的指标，它的计算公式为：s = √(Σ(xi-x̄)²/(n-1))其中，s表示样本标准差，Σ表示总和，xi表示每个数据点，x̄表示样本数据的均值，n表示样本数据的个数。
需要注意的是，在样本标准差的计算公式中，分母为n-1而不是n，这是为了更准确地估计总体标准差。
二、总体标准差与样本标准差的换算公式总体标准差与样本标准差之间存在着一定的换算关系，为了方便在实际应用中进行转换，我们可以使用以下公式进行换算：1.从总体标准差到样本标准差的换算公式：s = σ * √(n/(n-1))其中，s表示样本标准差，σ表示总体标准差，n表示样本数据的个数。
2.从样本标准差到总体标准差的换算公式：σ = s * √((n-1)/n)其中，σ表示总体标准差，s表示样本标准差，n表示样本数据的个数。
三、总体标准差与样本标准差换算公式的应用在实际统计分析中，我们可能需要在总体标准差和样本标准差之间进行转换，例如在进行假设检验或者构建置信区间时。
以下是一个应用示例：假设我们有一份总体数据，已知总体标准差为5。
现在我们从这份总体数据中随机抽取了一个样本，样本容量为25，样本标准差为4。
我们希望根据这个样本数据来估计总体标准差。
根据上述的换算公式，我们可以使用以下步骤进行计算：1.从样本标准差到总体标准差的换算公式：σ = 4 * √((25-1)/25) = 4 * √(24/25) ≈ 3.84根据这个样本数据，我们估计总体数据的标准差为3.84。
12.2.2用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差
方差越小，数据的波动越小。
例2、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲： 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙： 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
如：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ４ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7，x乙 7 思考：两人射击的平均成绩是一样的.那么两个 人的水平就没有什么差异吗?若有差异你能说明 其水平差异在那里吗？
(1) s
( x1 x2 xn ) x
(3)数据kx1，kx2， ，kxn的平均数为k x,方差为k s .
2 2
(4)数据kx1 b，kx2 b， ，kxn b的 平均数为k x+b,方差为k s
2 2
练习： 1.在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的 指标是 （ A ）A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
10.6 用样本均值、标准差估计总体均值、标准差
标准差越大，则数据的离散程度越大； 反之，数据的离散程度越小．
教材 P 143 习题10.6 第1，2题；
答： 这些参加语文考试的学生平均成绩约为85分。
在初中，我们学过n个数据x1，x2， …，xn的方差为
1 n
x
n i 1
i
x
2
1 n 其中， x xi . n i 1
它表示这些数据偏离平均数的大小，也就是反映这 些数据的偏差程度，方差越大，说明这组数据的波 动越大。
同样，对于总体ξ，反映所有个体与总体均 值之间偏离程度的数字特征，称为总体方差， 记为D(ξ). D(ξ)越大，说明个体与总体均值的偏离越大。 总体方差是总体的又一个重要数字特征。 对于总体ξ，从中随机地抽取一个容量为n的样本 （ξ1, ξ2, ξ3 … ξn），则称
1 n i n i 1
称为样本均值。 通常，我们用样本均值来估计总体均值。
例1 从参加语文考试的学生中，抽取30名学生 的成绩，分数如下： 90, 84, 84, 86, 87, 98, 78, 82, 90, 83 86, 95, 84, 71, 78, 61, 94, 88, 77, 100
以上30名学生的语文成绩是从所有参加考试的学生的语文成绩组成的总体中抽取的一个样本容量为30的样本这个样本均值为这些参加语文考试的学生平均成绩约为85分
概 统计 率 10.6 用样本均值、标准差估计总 体均值、标准差
统计 概率
在一次语文考试中， 考生有20000多名，我们 想了解这20000多名考生的平均成绩， 但如果将他
们的成绩全部加在一起再除以考生总数，十分麻烦。
这时，可以采取用样本估计总体的方法，即从中抽 取部分考生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有 考生的平均成绩。
95%置信区间估计的表达式
95%置信区间估计的表达式95%置信区间估计是在统计学中用来估计一个总体参数的方法。
它是通过计算样本平均数和样本标准差来估计总体平均数和总体标准差的过程。
具体来说，对于总体平均数的估计，95%置信区间表示为：$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$其中，$\bar{x}$ 是样本平均数，$t_{\alpha/2, df}$ 是 $t$ 分布表中 $\alpha/2$ 置信水平的自由度为 $df$ 的分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。
这个公式可以用来估计总体平均数的置信区间。
对于总体标准差的估计，95%置信区间表示为：$$s \cdot \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, df}}} \leq \sigma \leq s \cdot\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, df}}}$$其中，$\chi^2_{\alpha/2, df}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2, df}$ 分别是 $\chi^2$ 分布表中 $\alpha/2$ 和 $1-\alpha/2$ 置信水平的自由度为 $df$ 的分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。
这个公式可以用来估计总体标准差的置信区间。
对不起，我在上一条中的最后给出的公式并不完整。
我在这里给出完整的公式：对于总体平均数的估计，95%置信区间表示为：$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$其中，$\bar{x}$ 是样本平均数，$t_{\alpha/2, df}$ 是 $t$ 分布表中 $\alpha/2$ 置信水平的自由度为 $df$ 的分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。
样本均值标准差
样本均值标准差在统计学中，样本均值和标准差是两个重要的概念，它们在描述数据分布和比较不同样本之间的差异性时起着关键作用。
本文将对样本均值和标准差进行详细的介绍和解释。
首先，让我们来了解一下样本均值。
样本均值是指在一组数据中，所有数据值的总和除以数据的个数。
通常用符号x表示。
计算样本均值的公式为：x = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n。
其中，x₁、x₂、...、xn代表数据集中的各个数据值，n代表数据的个数。
样本均值可以反映出数据的集中趋势，是描述数据集中心位置的重要指标。
在实际应用中，样本均值经常被用来代表整个数据集的中心位置。
接下来，我们来介绍一下标准差。
标准差是描述数据的离散程度或者波动性的指标，它衡量了数据值与样本均值之间的平均偏离程度。
标准差的计算公式为：σ = √[(Σ(xi x)²) / (n 1)]其中，Σ代表求和符号，xi代表各个数据值，x代表样本均值，n代表数据的个数。
标准差的数值越大，说明数据的波动性越大；反之，标准差的数值越小，说明数据的波动性越小。
样本均值和标准差都是描述数据特征的重要统计量，它们可以帮助我们更好地理解数据的分布特征和差异性。
在实际应用中，我们经常需要计算样本均值和标准差，并利用它们进行数据分析和决策。
在统计学中，样本均值和标准差还经常用于比较不同样本之间的差异性。
通过比较不同样本的均值和标准差，我们可以判断它们是否来自同一总体，或者它们之间是否存在显著的差异。
这对于实验研究和数据分析具有重要意义。
除了用于比较不同样本之间的差异性，样本均值和标准差还可以帮助我们进行假设检验和推断统计。
在假设检验中，我们可以利用样本均值和标准差来判断总体参数的取值范围，从而进行统计推断和决策。
总之，样本均值和标准差是统计学中两个重要的概念，它们在数据分析、假设检验、推断统计等方面都具有重要的作用。
掌握样本均值和标准差的计算方法和应用技巧，对于提高数据分析能力和统计推断水平具有重要意义。
样本平均值的标准差
样本平均值的标准差在统计学中，样本平均值的标准差是一个重要的概念，它可以帮助我们衡量数据的离散程度，了解数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，我们经常需要计算样本平均值的标准差，以便进行数据分析、推断和决策。
本文将介绍样本平均值的标准差的计算方法、意义和应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、样本平均值的标准差的计算方法。
样本平均值的标准差是衡量样本数据离散程度的一种统计量，它可以反映数据集中趋势和分散程度。
计算样本平均值的标准差的方法如下：1. 首先，计算样本的平均值。
样本平均值的计算公式为，平均值 = 总和 / 样本数量。
2. 然后，计算每个数据与平均值的偏差。
偏差是指每个数据与平均值之间的差值。
3. 接下来，计算偏差的平方和。
将每个偏差的平方相加，得到偏差平方和。
4. 最后，计算偏差平方和的平均值，并取其平方根。
这个值就是样本平均值的标准差。
二、样本平均值的标准差的意义。
样本平均值的标准差反映了样本数据的离散程度，它越大表示数据的分散程度越大，反之则表示数据的集中程度越高。
标准差可以帮助我们了解数据的稳定性和可靠性，从而进行数据分析和推断。
另外，样本平均值的标准差还可以用来比较不同样本之间的差异。
当我们需要比较两个或多个样本的离散程度时，可以通过比较它们的标准差来判断哪个样本的数据更为稳定或可靠。
三、样本平均值的标准差的应用。
样本平均值的标准差在实际应用中有着广泛的应用，特别是在质量控制、市场调研、风险评估等领域。
下面我们将介绍一些常见的应用场景：1. 质量控制，在生产过程中，我们通常会抽取样本来检验产品的质量。
通过计算样本平均值的标准差，可以了解产品质量的稳定性，及时发现生产过程中的问题，并采取相应的措施进行调整和改进。
2. 市场调研，在市场调研中，我们需要收集大量的数据来了解消费者的需求和偏好。
通过计算样本平均值的标准差，可以了解不同产品或服务在市场上的受欢迎程度，为企业的营销策略和产品定位提供参考依据。
用样本的均值标准差估计总体的均值标准差课件
实例一：某班级学生的身高数据
总结词：准确估计
详细描述：通过收集某班级学生的身高数据，我们可以计算出样本的均值和标准 差，并使用这些统计量来估计整个班级学生的平均身高和身高差异。这种方法基 于大数定律，当样本量足够大时，样本均值和标准差将接近总体均值和标准差。
实例二：某地区居民的收入数据
总结词：参考价值
抽样分布的概念和性质
概念
抽样分布指的是从总体中随机抽取一 定数量的样本后，这些样本统计量（ 如均值、方差等）的分布情况。
性质
抽样分布具有随机性、近似性等特点 ，其分布情况与总体分布情况密切相 关。
大数定律和中心极限定理
大数定律
在大量重复试验中，随机事件的频率趋于稳定，即频率的稳定性。大数定律是概率论和统计学中的基 本定理之一，它描述了在大量重复试验中随机事件的频率稳定性。
详细描述：在研究某地区居民的收入情况时，由于居民数量庞大，全面调查成本高昂。因此，通常会 采用抽样调查的方法，收集一部分居民的收入数据，计算样本的均值和标准差，以此作为整个地区居 民收入情况的参考。
实例三：某公司员工的满意度调查数据
总结词：改进依据
详细描述：为了了解员工对公司的满意度，公司会进行员工满意度调查。通过收集调查数据并计算样本的均值和标准差，可 以评估员工对公司的整体满意度以及满意度的差异。这些统计量可以作为公司改进服务和管理的依据，以提高员工的整体满 意度。
样本可靠性
样本应足够大，以降低随机误差，提高样本的可靠性。
用样本均值估计总体均值
无偏估计
样本均值是总体均值的无偏估计，即E(Xbar)=μ，其中Xbar表示样本均值，μ表示总体 均值。
误差范围
样本均值的误差范围受到样本大小和总体标准差的影响。
估计标准误差公式
估计标准误差公式标准误差（Standard Error，SE）是指样本统计量与总体参数之间的差异，它是用来估计样本统计量与总体参数之间的差异的一种测度。
在统计学中，标准误差是对样本统计量的不确定性的一种度量，它可以帮助我们评估样本统计量的精确度和可靠性。
估计标准误差的公式可以根据不同的统计方法和模型来进行推导和计算。
在这篇文档中，我们将介绍一些常见的估计标准误差的公式，并对它们进行简要的说明和比较。
1. 样本均值的标准误差。
样本均值的标准误差是用来衡量样本均值与总体均值之间的差异的一个指标。
当总体标准差未知且样本容量较大（通常大于30）时，可以使用样本标准差来估计总体标准差，此时样本均值的标准误差的计算公式为：\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]其中，s为样本标准差，n为样本容量。
这个公式是在总体标准差未知的情况下，使用样本标准差来估计标准误差的一种常用方法。
2. 回归系数的标准误差。
在回归分析中，回归系数的标准误差是用来衡量回归系数估计值与真实回归系数之间的差异的一个指标。
回归系数的标准误差的计算公式为：\[ SE(\hat{\beta}) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}} \] 其中，\( \hat{\sigma}^2 \)为残差平方和除以自由度的估计值，\( \sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2 \)为自变量的离差平方和。
回归系数的标准误差可以帮助我们评估回归系数的估计值的精确度和可靠性。
3. 样本比例的标准误差。
当我们对一个二项分布进行抽样调查时，我们通常关心的是样本比例的估计值与总体比例之间的差异。
样本比例的标准误差的计算公式为：\[ SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]其中，\( \hat{p} \)为样本比例的估计值，n为样本容量。
用样本平均数估计总体平均数的方法
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标准差的两个计算公式
标准差的两个计算公式一、标准差的定义。
标准差是一组数据离散程度的度量。
它反映了数据相对于平均数的分散状况。
二、总体标准差公式。
1. 若有总体数据x_1,x_2,·s,x_N，总体平均数为μ=(1)/(N)∑_i = 1^Nx_i。
- 总体标准差σ=√(frac{1){N}∑_i = 1^N(x_i-μ)^2}。
- 例如，有总体数据1,3,5，总体平均数μ=(1 + 3+5)/(3)=3。
- 首先计算(x_1-μ)^2=(1 - 3)^2=4，(x_2-μ)^2=(3 - 3)^2 = 0，(x_3-μ)^2=(5 - 3)^2=4。
- 然后∑_i = 1^3(x_i-μ)^2=4 + 0+4 = 8。
- 最后总体标准差σ=√(frac{1){3}×8}=√(frac{8){3}}。
三、样本标准差公式。
1. 对于样本数据x_1,x_2,·s,x_n，样本平均数为¯x=(1)/(n)∑_i = 1^nx_i。
- 样本标准差s=√(frac{1){n - 1}∑_i = 1^n(x_i-¯x)^2}。
- 例如，有样本数据2,4,6，样本平均数¯x=(2+4 + 6)/(3)=4。
- 先计算(x_1-¯x)^2=(2 - 4)^2 = 4，(x_2-¯x)^2=(4 - 4)^2=0，(x_3-¯x)^2=(6 - 4)^2 = 4。
- 接着∑_i = 1^3(x_i-¯x)^2=4+0 + 4=8。
- 最后样本标准差s=√(frac{1){3 - 1}×8}=√(4)=2。
总体标准差用于描述总体数据的离散程度，而样本标准差用于根据样本数据来估计总体数据的离散程度，样本标准差公式中分母为n - 1是为了使得样本标准差是总体标准差的无偏估计。
总体标准差和样本标准差
总体标准差和样本标准差总体标准差和样本标准差是统计学中常用的两个概念，它们在描述数据的离散程度和稳定性上起着重要的作用。
在实际应用中，我们经常会遇到这两个概念，因此深入了解它们的含义和区别对于正确分析数据具有重要意义。
首先，让我们来了解一下总体标准差和样本标准差的定义。
总体标准差是指在统计学中，对总体中各个数值与总体均值离差的平方的算术平均数再开方，它是总体分布离散程度的度量。
而样本标准差则是对样本中各个数值与样本均值离差的平方的算术平均数再开方，它是样本分布离散程度的度量。
在实际应用中，我们往往通过样本来估计总体的参数，因此样本标准差的计算更为常见。
但是需要注意的是，总体标准差和样本标准差在计算公式上有所不同，这也是它们的一个重要区别。
总体标准差的计算公式中除以的是总体的大小，而样本标准差的计算公式中除以的是样本的大小减一。
这是因为在估计总体参数时，我们通常会使用样本的无偏估计，因此需要在计算样本标准差时对自由度进行修正。
另一个重要的区别在于，总体标准差是一个确定的值，而样本标准差是一个随机变量。
这是因为样本标准差的值取决于所抽取的样本，不同的样本会得到不同的样本标准差。
因此在进行假设检验和置信区间估计时，我们需要考虑到样本标准差的不确定性，而在进行总体参数估计时，我们通常会直接使用总体标准差。
总体标准差和样本标准差在实际应用中有着不同的用途。
总体标准差通常用于描述总体的分布形状和离散程度，而样本标准差则常用于对样本数据的离散程度进行度量。
在数据分析和统计推断中，我们需要根据具体的问题选择合适的标准差来进行分析和推断。
因此，对总体标准差和样本标准差的理解和运用至关重要。
总之，总体标准差和样本标准差在统计学中有着重要的地位，它们分别用于描述总体和样本的离散程度，具有不同的计算公式和用途。
正确理解和运用这两个概念，对于正确分析和解释数据具有重要的意义。
希望本文对读者对总体标准差和样本标准差有所帮助。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
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称为样本平均值。通常我们用ξ来估计总体平均值。
1 ξ = n
ξ
i 1
n
i
知识探究 在初中我们学习过n个数的方差为
其中，
1 x n
x
i 1
n
1 ( xi x) n i 1
n
2
i
它表示这些数据偏离平均数的大小，也就是反应数据的 偏差程度。方差越大，说明这组数据的波动越大。 同样，对于总体ξ，放映所有个体与总体均值之间偏差 程度的数字特征，称为总体方差。记为D(ξ)， D(ξ)越大，说 明个体与总体均值的偏差越大。总体方差是总体的有一个重 要数字特征。 对于总体ξ，从中随机地抽取一个容量为n的样本（ ξ1， ξ2，……， ξ n），则称
样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计
情景导入 我们想了解20，000多名学生的一次语文考试平均成绩， 将他们的的数学成绩全部加在一起，再除以考生总数，十分 麻烦，这时，就可以采用样本估计总体的方法。 知识探究 总体中所有个体的平均数叫做总体均值（或总体数学期 望），如果总体用ξ表示，则E(ξ)表示总体均值，总体均值是 总体的一种药的数学特征。 从总体ξ中随机的抽取以容量为n的样本（ ξ1，ξ2，……， ξ n），则
1 s ( ξ i ξ ) n 1 i 1
2
为样本方差。
n
2
样本（ ξ1，ξ2， 样本方差为：
， ξ n）的一次观测值为
，
( x1 , x2 ,
, x n)
n 1 2 s2 ( x x ) i n 1 i 1 我们将样本方差的算术根
称为样本标准差。 通常，我们用它来估计总体标准差。
解：(1)
这10名学生的平均身高：
165 162 x 10
155
160.2
(2) 由于样本的众数为162厘米，从而可估计一个班级至少有6名女同学的身高为162厘米．从而可 估计全校身高为162厘米的女生数为：6×9=54＞48。所以该校能按要求组成花束队。
1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
例1. 有的同学认为，要了解我们学校500名学生中能够说出父母亲生日的人的比例，可以采取简单的 随机抽样的方法进行调查，但是，调查250名学生反而不及调查100名学生好，因为人太多了以后，样 本中知道父母亲生日的人的比例反而说不准，你同意吗?为什么?
例3.某地区为筹备召开中学生运动会，指定要从某校初二年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求队员的身高
一致，现随机抽取10名初二某班女生体检表(各班女生人数均超过20人)，身高如下(单位：厘米)：165 1) 求这10名学生的平均身高； (2) 问该校能否按要求组成花束队，试说明理由．
解：不同意上述说法．通常情况下，样本越大，样本的估计越接近总体的实际状况．
评注：1.数学家已经证明，随机抽样方法是科学而且可靠的。
2.基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，但随着样本容量的增加，有样本得出的特性会接 近总体的特性。
例2．某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回到湖里，过一段
时间待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有 多少条鱼?
解： 设湖里大约有x条鱼，
则 100：x＝20：200 ∴x＝1000． 答：湖里大约有1000条鱼．
评注：本题一方面考查了学生由样本估计总体的思想方法和具体做法，另一 方面考察了学
生应用数学的能力，这也是中考命题的一个重要方向．