平均数和标准差
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n
(Xi X )2
S 2 i1 n 1
• 样本的标准差
n
(Xi X )2
S i1 n 1
标准分数（z-score）
Z Xi
Z Xi X S
T-score
• T = KZ + C
总体均值的假设检验
Z X / n
两总体均值之差的假设检验
Z X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
两总体均值之差的假设检验
t
X1 X2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ( 1 1 )
n1 n2 2
n1 n2
相关样本平均数差异的 显著性检验
• D＝X1－X2
t
(X1 X2)
n
Di2
n
2 Di / n
• 报告平均数？
集中量 （measures of central tendency）
• 集中量是代表一组数据典型水平或集中 趋势的量。它能反映频数分布中大量数 据向某一点集中的情况。
• 最常用的集中量——算术平均数
算术平均数（arithmetic mean）
算术平均数是所有观察值的总和除以总 频数所得之商，简称为平均数或均数。
平均数和方差的故事
• 考试成绩
67, 87, 90, 58, 88, 76, 44, 63, 95, 81, 68, 83, 77, 72, 86, 89, 81, 93, 50, 62, 82, 92, 49, 51, 56, 64, 75, 79, 80, 71
• 请问该班此次考试成 绩如何？
• 报出每人考分？
• 方差（variance）：指离差平方的算术平 均数
• 定义公式：
N
(Xi )2
2 i1
N
标准差
• 标准差（standard deviation）是指离差 平方和平均后的方根。即方差的平方根。
• 定义公式：
N
(Xi )2
i1
N
样本的方差与标准差
• 样本的方差
• 取值个数无限的数据
– 身高 – 体重 – 智商 – 时间长短 – 百分制得分 ……
四种数据水平
• 称名量表（nominal scale） 学号、房间号、邮政编码、电话号码 • 顺序量表（等级量表） （ordinal scale） 名次、等级、五分制得分 • 等距量表（interval scale） 温度计读数、百分制得分（为什么不列入
总平均数：72 三种教材的效果有无显著差异？
方差分析与平均数
• 计算（离差）平方和
k
– 组间平方和： SSA ni ( X i X t )2
i 1
k ni
– 组内平方和： SSE
( X ij X i )2
– 总平方和：
i1 j1
k ni
SST
( X ij X t )2
等比量表或顺序量表？） • 等比（比率）量表（ratio scale） 长度、时间
i1 j1
积差相关系数
• 积差相关系数：
n
(Xi X )(Yi Y )
r i1 nSX SY
二列相关相关系数的计算
rb
Xp St
Xq
pq Y
回归方程的建立
• 用最小二乘方法求回归系数
n
( X i X )(Yi Y )
bYX i1 n
(Xi X )2
n
Xi
X i1 n
N
Xi
i1
N
离差
• 离差（deviation score）
– 观察值与平均数之差
Xi Biblioteka Baidu Xi X
差异量 （measures of dispersion）
• 差异量用于表示数据的变异程度或离散 程度。
• 最常用的差异量——方差、标准差
方差和标准差
i 1
i1
n(n 1)
方差分析
• 问题 为了研究三种不同教材的质量，抽取三
个实验班分别使用其中一种教材，而对其 他因素加以控制。经过一段时间的教学后 进行测试，得到三种实验处理的数据如下：
教材A：70 74 72 68 71；平均数：71 教材B：75 80 77 68 75；平均数：75 教材C：70 72 66 72 70；平均数：70
i 1
数据的水平
• 间断型随机变量 • 连续型随机变量
• 称名量表 • 顺序量表（等级量表） • 等距量表 • 等比量表
间断型随机变量 （discontinuous scale）
• 取值个数有限的数据
– 人数 – 个数 – 名次 – 五分制得分 ……
连续型随机变量 （continuous scale）
(Xi X )2
S 2 i1 n 1
• 样本的标准差
n
(Xi X )2
S i1 n 1
标准分数（z-score）
Z Xi
Z Xi X S
T-score
• T = KZ + C
总体均值的假设检验
Z X / n
两总体均值之差的假设检验
Z X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
两总体均值之差的假设检验
t
X1 X2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ( 1 1 )
n1 n2 2
n1 n2
相关样本平均数差异的 显著性检验
• D＝X1－X2
t
(X1 X2)
n
Di2
n
2 Di / n
• 报告平均数？
集中量 （measures of central tendency）
• 集中量是代表一组数据典型水平或集中 趋势的量。它能反映频数分布中大量数 据向某一点集中的情况。
• 最常用的集中量——算术平均数
算术平均数（arithmetic mean）
算术平均数是所有观察值的总和除以总 频数所得之商，简称为平均数或均数。
平均数和方差的故事
• 考试成绩
67, 87, 90, 58, 88, 76, 44, 63, 95, 81, 68, 83, 77, 72, 86, 89, 81, 93, 50, 62, 82, 92, 49, 51, 56, 64, 75, 79, 80, 71
• 请问该班此次考试成 绩如何？
• 报出每人考分？
• 方差（variance）：指离差平方的算术平 均数
• 定义公式：
N
(Xi )2
2 i1
N
标准差
• 标准差（standard deviation）是指离差 平方和平均后的方根。即方差的平方根。
• 定义公式：
N
(Xi )2
i1
N
样本的方差与标准差
• 样本的方差
• 取值个数无限的数据
– 身高 – 体重 – 智商 – 时间长短 – 百分制得分 ……
四种数据水平
• 称名量表（nominal scale） 学号、房间号、邮政编码、电话号码 • 顺序量表（等级量表） （ordinal scale） 名次、等级、五分制得分 • 等距量表（interval scale） 温度计读数、百分制得分（为什么不列入
总平均数：72 三种教材的效果有无显著差异？
方差分析与平均数
• 计算（离差）平方和
k
– 组间平方和： SSA ni ( X i X t )2
i 1
k ni
– 组内平方和： SSE
( X ij X i )2
– 总平方和：
i1 j1
k ni
SST
( X ij X t )2
等比量表或顺序量表？） • 等比（比率）量表（ratio scale） 长度、时间
i1 j1
积差相关系数
• 积差相关系数：
n
(Xi X )(Yi Y )
r i1 nSX SY
二列相关相关系数的计算
rb
Xp St
Xq
pq Y
回归方程的建立
• 用最小二乘方法求回归系数
n
( X i X )(Yi Y )
bYX i1 n
(Xi X )2
n
Xi
X i1 n
N
Xi
i1
N
离差
• 离差（deviation score）
– 观察值与平均数之差
Xi Biblioteka Baidu Xi X
差异量 （measures of dispersion）
• 差异量用于表示数据的变异程度或离散 程度。
• 最常用的差异量——方差、标准差
方差和标准差
i 1
i1
n(n 1)
方差分析
• 问题 为了研究三种不同教材的质量，抽取三
个实验班分别使用其中一种教材，而对其 他因素加以控制。经过一段时间的教学后 进行测试，得到三种实验处理的数据如下：
教材A：70 74 72 68 71；平均数：71 教材B：75 80 77 68 75；平均数：75 教材C：70 72 66 72 70；平均数：70
i 1
数据的水平
• 间断型随机变量 • 连续型随机变量
• 称名量表 • 顺序量表（等级量表） • 等距量表 • 等比量表
间断型随机变量 （discontinuous scale）
• 取值个数有限的数据
– 人数 – 个数 – 名次 – 五分制得分 ……
连续型随机变量 （continuous scale）