第三讲平均数、标准差和变异系数
变异系数 平均值 标准差
变异系数平均值标准差变异系数、平均值和标准差是统计学中常用的三个描述性统计量，它们可以帮助我们更好地理解数据的分布和变异程度。
在本文中，我们将分别介绍这三个统计量的概念、计算方法以及它们在实际应用中的意义。
首先，让我们来了解一下变异系数。
变异系数是用来衡量数据变异程度的一个指标，它的计算公式是标准差除以平均值，通常以百分比的形式表示。
变异系数的数值越大，表示数据的变异程度越高；反之，数值越小，表示数据的变异程度越低。
在实际应用中，变异系数可以帮助我们比较不同数据集的变异程度，从而更好地进行数据分析和决策。
接下来，让我们来介绍平均值。
平均值是一组数据的总和除以数据的个数，它是描述数据集中心位置的一个重要指标。
平均值可以帮助我们了解数据的集中趋势，通常用来代表整个数据集的中心位置。
在实际应用中，平均值经常被用来进行数据的比较和分析，是统计学中最基本的描述性统计量之一。
最后，让我们来讨论标准差。
标准差是衡量数据离散程度的一个指标，它表示一组数据的离散程度或者波动程度。
标准差的计算方法是先计算每个数据与平均值的差值，然后求这些差值的平方和的平均值，最后再取平方根。
标准差的数值越大，表示数据的离散程度越高；反之，数值越小，表示数据的离散程度越低。
在实际应用中，标准差经常被用来衡量数据的风险和波动性，是金融领域和科学研究中常用的一个重要指标。
在实际应用中，变异系数、平均值和标准差经常是一起使用的。
它们可以帮助我们更全面地了解数据的特征和分布，从而更好地进行数据分析和决策。
通过对这三个统计量的合理运用，我们可以更准确地把握数据的特点，为实际工作和研究提供有力的支持。
综上所述，变异系数、平均值和标准差是统计学中常用的三个描述性统计量，它们分别衡量了数据的变异程度、中心位置和离散程度。
在实际应用中，它们可以帮助我们更好地理解数据的特征和分布，为数据分析和决策提供重要的参考依据。
希望本文对读者对这三个统计量有更深入的理解和运用有所帮助。
第3章 平均数、标准差与变异系数
复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
第三章平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
并且可以作为代表与同类资料比较，平均数主要包括有：算术平均数（arithmetic mean ）中位数（median ）众数（mode ）几何平均数（geometric mean ）调和平均数（harmonic mean ）一、算术平均数资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。
根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
(一)直接法样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值： x 1、x2、…、xn ，（3-1）【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均数。
由于 Σx =500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n =10得：（二）加权法对于样本含量 n ≥30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数： （3-2）式中： x i —第i 组的组中值；f i —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此将f i 称为是x i 的“权”，加权法也由此而得名。
n x n x x x x n i i n ∑==+++=121 .5(kg)528105285∑===n x x ∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i i ki i i k k k 11212211【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg ）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表利用（3—2）式得：计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。
平均数标准差与变异系数
总体的平均数为：
N
xi N i1
式中，N表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总 体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏 估计量。
统计学中常用样本平均数（ x）作为总体平
均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是 总体平均数μ的无偏估计量。
二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。
利用（3—7）式求年平均增长率 G= lg 1[1 n(lxg 1lgx2 lgxn)] =lg-1[（-0.368-0.398–0.602）] =lg-1（-0.456）=0.3501 即年平均增长率为0.3501或35.01%。
四、众 数
资料 中出现次数最多的那个观测值或次数最多一 组的组中值，称为众数，记为M0。
数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法Байду номын сангаас
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表 来计算中位数，其计算公式为：
Md
L
i f
(nc) 2
式中：L — 中位数所在组的下限； i — 组距； f — 中位数所在组的次数； n — 总次数； c — 小于中数所在组的累加次数。
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一 次发情间隔时间 整理成次数分布表如表 3—2 所示， 求中位数。
公式为：
k
x
f1x1f2x2fkxk f1f2fk
i1 k
fixi fi
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i iki i i k k k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
第三章平均数、标准差与变异系数
三、几何平均数
★n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的 方根，称为几何平均数，记为G。
★主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析， 畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水 产养殖的增长率，抗体的滴度，药物的效价， 畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术 平均数更能代表其平均水平。
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位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。
★当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测 值的平均数作为中位数。
★当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的 代表性优于算术平均数。
★中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。
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（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大 依次排列。
i1
或简写成 (x x) 0
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★2、样本各观测值与平均数之差的平方和 为最小，即离均差平方和为最小。
n
n
（常数a≠ x）
(xi x)2 (xi a)2
i1
i1
或简写成
2
(x x)
(x a)2
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★对于总体而言，通常用μ表示 总体平均数，有限总体的平均数为：
★几何平均数计算公式：
次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，
计算公式为：
k
x
f1x1 f2 x2 fk xk f1 f2 fk
fi xi
i 1 k
fi
fx f
i 1
其中：xi 为第i组的组中值；f i为第i组的次数；k 为分组数
★由于第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占
比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也
平均值标准差变异系数公式
平均值标准差变异系数公式平均值标准差和变异系数是统计学中常用的描述数据分布和离散程度的指标。
这些指标可以反映数据的集中趋势和离散程度，对于比较不同数据集或不同样本之间的差异具有重要意义。
平均值标准差和变异系数的计算公式分别如下所示：1. 平均值（Mean）的计算公式：平均值是一组数据的总和除以数据的个数，用来表示数据的集中趋势。
公式：mean = (x₁+ x₂+ ... + xₙ) / n其中，mean表示平均值，x₁至xₙ表示数据集中的各个数值，n表示数据的个数。
2. 标准差（Standard Deviation）的计算公式：标准差是一组数据离平均值的平均偏差，用来度量数据的离散程度。
公式：std = √[(Σ(x - mean)²) / n]其中，std表示标准差，x表示数据中的每个数值，mean表示平均值，n表示数据的个数，Σ表示求和。
3. 变异系数（Coefficient of Variation）的计算公式：变异系数是标准差与平均值之比，用来比较不同数据集或样本之间的离散程度。
公式：cv = (std / mean) * 100其中，cv表示变异系数，std表示标准差，mean表示平均值。
平均值标准差和变异系数的应用广泛，特别适用于比较不同尺度或单位的数据集。
例如，在金融领域，可以使用这些指标来比较不同投资组合的风险和回报；在生物学研究中，可以使用这些指标来比较不同实验组的差异程度；在工程领域，可以使用这些指标来比较不同产品的稳定性和可靠性。
总结起来，平均值标准差和变异系数是统计学中常用的描述数据分布和离散程度的指标。
它们可以通过简单的计算公式来获得，并且具有广泛的应用领域。
通过这些指标，我们可以更好地理解数据的特征和差异，从而做出更准确的分析和决策。
生物统计 第3章 平均数、标准差与变异系数
lg x G
f [( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ] } lg{ 1 2 n 1
1
f
lg[( x 1 )
f1
( x2 )
f2
( xn )
fn
]
f
{ f 1 lg x 1 f 2 lg x 2 f n lg x n }
四、众数
3、某病患者5人其潜伏期（天）分别为2，3，5，
8，20，求其平均潜伏期。
（二）已分组资料中位数的计算方法
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利
用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：
Md L i f ( n 2 c)
式中：
L — 中位数所在组的下限；
i — 组距；
f — 中位数所在组的次数； n — 总次数； c — 小于中数所在组的累加次数。
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【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩 到第一次发情间隔时间 整理成次数分布 表如表 3-2 所示，求中位数。
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表3-2
68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间 次数分布表
由表3-2可见：i=15，n=68，因而中位数只能 在累加头数为36所对应的“57-71”这一组，于是可 确定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—5）得：
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数， 有限总体的平均数为：
xi
i 1
N
N
（3-3）
式中，N 表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体
参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计
变异系数 标准差 平均值
变异系数标准差平均值变异系数、标准差和平均值是统计学中常用的三个概念，它们分别用来描述数据的离散程度、分布情况和集中趋势。
在实际应用中，这三个指标经常被用来分析和比较不同数据集的特征，从而帮助我们更好地理解数据的特性和规律。
本文将对变异系数、标准差和平均值进行详细介绍，并举例说明它们在实际中的应用。
首先，我们来介绍一下变异系数。
变异系数是用来衡量数据离散程度的指标，它的计算公式是标准差除以平均值，通常以百分比的形式表示。
变异系数的数值越大，说明数据的离散程度越高；反之，数值越小，说明数据的离散程度越低。
通过变异系数，我们可以比较不同数据集的离散程度，从而找出哪个数据集更加稳定或者更加波动。
其次，标准差是描述数据分布情况的重要指标。
标准差的计算方法是先求出每个数据与平均值的差值，然后将这些差值平方后求和，最后除以数据个数并取平方根。
标准差的数值越大，说明数据的分布越分散；数值越小，说明数据的分布越集中。
在实际应用中，标准差经常被用来衡量数据的波动程度，例如股票的波动率、生产线的稳定性等。
最后，平均值是描述数据集中趋势的一种统计指标。
平均值就是将所有数据相加后除以数据个数得到的结果，它代表了数据的集中趋势。
通过平均值，我们可以大致了解数据的中心位置，从而对数据集的整体特征有一个直观的认识。
在实际应用中，平均值经常被用来比较不同数据集的大小、分析数据的趋势等。
综上所述，变异系数、标准差和平均值是统计学中常用的三个指标，它们分别用来描述数据的离散程度、分布情况和集中趋势。
通过对这三个指标的分析，我们可以更好地理解数据的特性和规律，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对大家对变异系数、标准差和平均值有更深入的理解，并在实际应用中发挥更大的作用。
第3章 平均数、标准差与变异系数
• 极差（全距） 极差 = 最大值 - 最小值
只利用了资料中最大值和最小值，不能准 确表达资料中各个观察值的变异程度。
• 平均离差
d xx n 1
离均差
(x x)
它不能表示整个资
(x x) 0 料中所有观察值的 总偏离程度
标准差S
x x 使用不方便，在统 S (x x)2 /(n1) 计学中未被采用
• xi —各组组中值； • fi —各组次数；
二、离散趋势
• 资料的另一方面的特征是变异程度。如： A 组资料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均数为： 5 B 组资料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均数为： 5 这里的平均数 5 对于 A 组资料的代表性好？还 是对于 B 组资料的代 表性好？ 可见，只表明了数据的集中程度是远远不够的， 还需要进一步说明数据的变异程度。只有通过变 异程度的描述，才知道代表值的代表性。表示数 据变异特征的数值叫变异数。常用的变异数有： 极差、平均离差、方 差、标准差、变异系数等。
Md
L
i f
( n c) 12 12 (164 25) 23.8(小时)
2
58 2
众数（Mode）
• 资料中出现次数最多的那个数或频数最多 一组的组中值，记为Mo。
50只小鸡出壳天数的频数分布表
出壳天数 频数（f） fx
19
2
38
20
3
60
21
10
210
22
24
528
23
第3章 平均数、标准差与变异系数
• 数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋 势。
• 表示数据集中趋势的指标有多个，如平均 数（算术平均数、几何平均数）、中位数、 众数，使用最多的是算术平均数。
第三讲平均数、标准差和变异系数
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，
2 ( x x ) /( n 1) 于是，我们 采 用统计量
表示资料的
变异程度。 统计量 S2=
2 ( x x ) /( n 1) 称为均方（mean square,
S CV 100 % x
变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、 不同尺度下各样本变异程度的比较。
【例7】 已知某甲品种猪平均体重为 190kg，
标准差为10.5kg，而乙品种猪平均体重为196kg，
第二节 变异数
平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样 本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有 一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现 外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况， 才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至 描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的 统计数。常用的描述变异程度指标有： 1、极差（range） 2、方差（variance） 3、标准差（standard deviation） 4、变异系数（variation coefficient）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
众数 = 9
Hale Waihona Puke 没有众数4、几何平均数几何平均数: 如有n个观察值，其相乘积开n次方 ，即为几何平均数(geometric mean)，用G代表。 其计算公式如下：
G n x1 x2 x3 xn ( x1 x2 x3 xn )
【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗， 测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计 算结果。
第三章平均数、标准差和变异系数
3.1.5 调和平均数
集中趋势的度量
例：用某药物救治12只中毒的小鼠，它们的存活天 数记录如下：8、8、8、10、10、7、13、10、9、 14，另有两只一直未死亡，求平均存活天数。
H 12 / (1/ 8 1/ 8 1/ 9 1/ 1/ ) 11.14
由于数据极端右偏态，用调和平均 数较为合理。
离散趋势的度量 3.2.2 标准差公式的来源
1.离均差=（x- x ） 2.离均差之和= ∑（x- x）=0
虽然离均差可以衡量变 异程度，但是离均差之 和为0，所以不是理想的 指标3.离均源自平方和 SS= ∑(x- x )2
为了合理地计算平均差异，用平方和的办法来消除离均差的 正负号，离均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不 同样本的观察值个数不同，所以离均差平方和也不是理想指 标
总体平均数记为
3.5.1 算术平均数 计算公式：
集中趋势的度量
x x x x
1 n
1
x
2
n
xi
n
x ：第i个观察值或变数 i
n：观察值或变数的个数
∑：求和符号（sigma）
Σ的性质
一、直接法
集中趋势的度量
例2.1：5头猪的体重分别为70、72、80、83、 88kg，问 5头猪的算术平均数是多少？
集中趋势的度量
对于频数分布的资料，公式如下：
Md
Lmd
i fm
(n C) 2
Lmd：中位数所在组的组下限； fm：中位数所在组的频数； C：从第一组到中位数所在组前一组的累计频数 n：样本含量； i：组距；
例：表2－5
3.1.2 中位数（Md）
第三章平均数标准差与变异系数
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次
数分布表来计算中位数，其计算公式为：
i n M d L ( c) f 2
式中： L — 中位数所在组的下限； i — 组距； f — 中位数所在组的次数； n — 总次数； c — 小于中数所在组的累加次数。
第一节 平均数
第一节 平均数
算术平均数的重要特性 样本各观察值与其平均数的差数(简称离均差)的 总和等于 0x 。 ) (x
( x1 x ) ( x2 x ) ( x3 x ) ( xn x ) ( x1 x2 x3 xn ) nx ( x1 x2 x3 xn ) ( x1 x2 x3 xn ) n n 0
9.97 9.31
10.00
9.95 8.57
众数 中位数 均值
9，10，10，11 5，10，10，15 1，2， 18，19 左偏分布
10.00 10.00 10.00 对称分布
5.11 右偏分布 2.49
第一节 平均数
六、百分位数 当研究资料的观测值不呈正态分布，或不能确定 其分布类型，常用百分位数（percentiles）作为统 计指标。百分位数就是把观测值按大小顺序排列起 来，处在某个百分位上的数值。实际上中位数即为
n 1
称为均方，又称样本方差，记为
自由度的理解
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定 后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一 个数据则不能自由取值 3. 例如，样本有 3个数值，即 x1=2， x2=4， x3=9， 则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个 数据可以自由取值，另一个则不能自由取值， 比如 x 1 =6， x 2 =7，那么 x 3则必然取 2，而不能取 其他值 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来 解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当 用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏 估计量
平均数标准差与变异系数
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，
于是，我们 采 用统计量 (x x)2 / n 1 表示资料的
变异程度。
统计量 (x x)2 / n 1称 为 均 方 （ mean
square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）
一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资 料平均数的计算。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝 重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下， 求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
利用（3—2）式得：
x fx 4520 45.2(kg) f 100
即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为 45.2kg。
（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大 依次排列。
1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置
的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
x Md= (n1) / 2
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位
数，即：
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
中位数= 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
中位数= 5
3、众数
众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称
为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即 为众数。
众数可能不存在 可能有多个众数 多用于属性数据
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决 离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。
先将各 个离 均差平方，即 ( xx )2 ，再求
离均差平方和 ， 即 (xx)2 ，简称平方和，记
为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平来自一、平均数的意义和种类
平均数(average)是数据的代表值，表示资料中 观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与 另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情 况。
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均 数主要包括有： 1. 算术平均数（arithmetic mean） 2. 中位数（median） 3. 众数（mode） 4. 几何平均数（geometric mean） 5. 调和平均数（harmonic mean）
第三章 平均数、标准 差和变异系数
平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观 测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数
（variation coefficient）反映资料的离散性，即 观测值分散变异的性质。
第一节 平均数
一、平均数的意义和种类 二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、算术平均数的作用 五、总体平均数
1、算术平均数
算术平均数: 一个数量资料中各个观察值的总和 除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数
(arithmetic mean)，记作 x 。因其应用广泛，常简称
平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观 察值。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均数 = 5
1234567
一、极差
极差(range)，又称全距，记作R，是资料中 最大观察值与最小观察值的差数。
极差虽可以对资料的变异有所说明，但它 只是两个极端数据决定的，没有充分利用 资料的全部信息，而且易于受到资料中不 正常的极端值的影响。所以用它来代表整 个样本的变异度是有缺陷的。
二、方差
为了正确反映资料的变异度，较合理的方 法是根据样本全部观察值来度量资料的变 异度。这时要选定一个数值作为共同比较 的标准。平均数既作为样本的代表值，则 以平均数作为比较的标准较为合理，但同 时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情 况，为此这里给出一个各观察值偏离平均 数的度量方法。
Σ
组 中 值 (x )
次 数 (f )
75
2
90
7
105
7
120
14
135
17
150
20
165
24
180
21
195
13
210
9
225
3
240
2
255
1
140
2 2 0 6 5 / 1 4 0 = 1 5 7 .6 1
fx 150 630 735 1680 2295 3000 3960 3780 2535 1890 675 480 255 22065
试验资料
上章内容回顾
计数资料（非连续）
数量性状资料
计量资料（连续变量）
质量性状资料（数量化处理）
试验资料搜集常用的方法：调查和试验
试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表 和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）
试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数 是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数
G lg 1[1 n(lx1 g lg x2lg xn)]
5、调和平均数
调和平均数:（harmonic mean）各观测 值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均 数，记为H。即
H
1
1
( 1 1
n x1
x12
x1n)
1 n
1 x
（4.6）
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
由于 Σx = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285，
n =10
得： x∑ x528552.85(mg)
n 10
即 10只害虫的平均体重为528.5 mg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算
公式为：
k
x
f1x1f2x2fkxk f1f2fk
i1 k
fixi fi
fx f
（4.2）
i1
式中： xi -第i 组的组中值； fi -第i组的次数；k -分组数
第i组的次数 fi 是权衡第i组组中值 xi 在资料中所占 比重大小的数量，因此将 fi 称为是 xi 的“权”，加权 法也由此而得名。
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度 ， 人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测 值与平均数的离差，( x)，x称为离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质 和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和 为 零，即Σ( xx) = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ ( xx)来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。
i1
或简写成
(x x)0
4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小， 即离均差平方和为最小。
x n
n
(xi x)2 (xi )2 （常数
）
i1
i1
或简写为：
(x x )2 (x )2
5、若A为任意常数，
当 x x A，则 x x A ，
(x x)2 (x x)2
当 x x • A，则 x x / A，
（1）直接法：
x ∑x 177 215 ... 159
n
140
22047 140
157.48(g )
（2）加权法：
分组数列 6 7 .5 ~ 8 2 .5 8 2 .5 ~ 9 7 .5 9 7 .5 ~ 1 1 2 .5 1 1 2 .5 ~ 1 2 7 .5 1 2 7 .5 ~ 1 4 2 .5 1 4 2 .5 ~ 1 5 7 .5 1 5 7 .5 ~ 1 7 2 .5 1 7 2 .5 ~ 1 8 7 .5 1 8 7 .5 ~ 2 0 2 .5 2 0 2 .5 ~ 2 1 7 .5 2 1 7 .5 ~ 2 3 2 .5 2 3 2 .5 ~ 2 4 7 .5 2 4 7 .5 ~ 2 6 2 .5
方和 除 以 样 本 大 小， 即 (xx)2/n，求出离
均差平方和的平均数 ；
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，
于是，我们 采 用统计 量(xx)2/n (1) 表示资料的
变异程度。
统计量 (xx)2/n (1)称为均方（mean square,
【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗， 测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计 算结果。
小区
每穗小穗数
平均数（x ）f •x
A 13 14 15 17
B 16 16 17 18 18
Σ
144
144/ 9=16
14.75
59
17.00
85
144
144/ 9=16
【例3】 140行水稻产量（P38），用两种方法求其 平均数，并比较计算结果。
(x x)2 (x x)2 / A2
当 x x / A ，则 x x • A，
(x x)2 A2 • (x x)2
6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。
x 注意：必须性状同质时， 才有代表性。
山地 丘陵 平地
甲村 面积 单产
100 100 500 400 400 500
14
平均数 = 6
2、中位数
中位数: 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察 值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间 两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时， 中位数的代表性优于算术平均数。
中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料， 先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个 数（ n为偶数），之后求平均即可。
为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的 问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝 对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数n 求 得 平 均 绝 对 离差， 即Σ|x – x |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观 测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符 号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。
乙村 面积 单产
900 160 600 500 500 600
山地 丘陵 平地
Σ
x
S AY S·AY
100 100 10000
500 400 200000
400 500 200000
1000
410000
410000/1000=410
S AY S·AY