高等数学课件：2_1导数(Derivatives)
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导数的概念课件
导数的概念课件导数的概念课件数学作为一门抽象而又具有普适性的学科，其中的导数概念在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
导数的概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
本文将以课件的形式介绍导数的概念，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
在导数的定义中，我们引入极限的概念，即当自变量趋向于某一点时，函数在该点处的斜率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义可以从函数图像的角度进行理解。
导数表示了函数图像在某一点处的切线斜率。
当导数为正时，函数图像在该点处上升；当导数为负时，函数图像在该点处下降；当导数为零时，函数图像在该点处达到极值点。
三、导数的计算方法导数的计算方法有多种，常见的包括基本函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。
这些计算方法可以帮助我们快速求解复杂函数的导数。
四、导数的应用导数在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在数学中，导数可以用于求解函数的极值点、判断函数的增减性和凹凸性等问题。
在物理学中，导数可以用于描述物体的运动状态，如速度和加速度等。
五、导数的图像导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的变化规律。
通过绘制函数图像和导数图像，我们可以观察函数的极值点、拐点和增减性等特征。
六、导数的局限性导数作为函数变化率的描述，虽然在很多情况下非常有用，但也有其局限性。
导数无法描述函数在间断点处的变化，也无法描述函数的非光滑性。
此外，导数还受到计算精度的限制，对于复杂函数的导数计算可能存在误差。
七、总结导数作为微积分的基础概念，在数学和物理学中有着重要的应用。
通过本课件的介绍，我们对导数的概念、几何意义、计算方法和应用有了更深入的了解。
同时，我们也了解到导数的局限性，这将有助于我们在实际问题中正确应用导数概念。
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学课件：chap2_1导数
f x h f x
x hn xn
lim
h0
h
h0
h
lim Cn1 xn1h Cn2 xn2h2 hn
h0
h
lim h0
nxn1
Cn2 xn2h hn1
nxn1
即: ( xn ) nxn1
一般地,当 n 为任意实数 时,上面的公式也成立.
(x ) lim (x h) x
此时对区间I内的任一点 x ,都对应着 f 的一个确定的
导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为
原来函数 f 的导函数,记为 f (x) , y(x) 或 df (x) 或 dy
即:
f x lim y lim f x h f x
dx
dx
x0 x h0
h
二者关系:
f x0
f x x x0
h0
h
h0
h
lim
h0
1 x
log a
1 h
h x
1 1 x ln a
x
即:
log a
x
1 x ln a
特别地: ln x 1
x
例 5. (ax ) ax ln a (a 0, a 1),
(ex ) ex.例6.设f
x
sin x ln(1
x)
x0 ,
求 f 0.
x0
解:
f(0)
根据导数的定义求导数,可以归结为三步: “算增量,求比值,取极限”
例1. 求函数 f x c (c 为常数)的导数.
解: f x lim f (x h) f (x) lim c c 0
h0
h
h0 h
即: (c) 0
高等数学2-1
(1) y ( x 1) x2 x 2 不可导点个数（ ）
外：非零点 内：零点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）y cos x sin 2x 的不可导点是（ ）
（A）
4
（B）
2
外：非零点
（C） （D）3
2
内：零点
③抽象函数求极限 大思路：洛必达法则或导数定义 细节：不能超越题目条件书写符号！
lim
h0
h
存在，其值一定为 f ( x)
双侧 真导数定义！
动点
lim f ( x 2h) f ( x h) 存在，其值未必 f ( x)
h0
h
双侧 假导数定义！
【注解】真假导数的极限有下面关系
真
假
lim f ( x h) f ( x) A
h0
h
lim f ( x 2h) f ( x h) A
【注解1】上述结论的图形解读
纯绝对值
y x a : （书上重点例题）
在 x a 处连续但不可导
( x )（绝对值外）
y (x a) x a :
在 x a 处连续 且可导！
y y xa
oa
x
y
oa
x
【注解2】利用上结论可快速判断某些带
绝对值 函数在 x a 处的可导性。
【练习】
1， 2 2 处不可导！
lim y x0 x
研究 y 的近似计算—— 微分
y ？
幂低
（1）微分定义： 线性主部！ 幂高 若函数增量 y A( x ) x o( x ), 称 y 在 x 处可微。记 dy A( x )x 为微分。即 y dy o(x), y dy
【注解】若 y 是自变量时，
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分
其极限值即为函数f x在点x0处的导数
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00
导数PPT课件
7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )
《高等数学》导数PPT课件
察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
《高等数学》课件2-1微商的概念
02 可导函数的极值点满足一阶导数为零，二阶导数 不为零。
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
《高等数学》上册(课件全集)第2章 导数及微分
根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为
对应的法线方程为
当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.
２.2 初等函数的求导法则
1.导数的基本公式 前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定 义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助 这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的 导数基本公式如下：
为Δ y=f(x0+Δ x)－f(x0).当Δ x→0时，若比值Δ yΔ x 的极限存在，则称函数y=f (x)在点
x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f′(x0)，
即
也记作
如果极限
不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导.
内所经过的路程为Δ s，
即
则在时间段Δ t内的平均速度
显然，时间段Δ t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平 均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当Δ t→0，平均速度v的极
限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即
2.导数的定义
定义 设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δ x(Δ x≠0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)
如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在， 那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏 导数，记作
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f 0 x
x
f 0 lim x0
x 0 x
x
lim
1,
x0 x
f 0
lim x0
f 0 x
x
f 0 lim x0
x 0 x
x lim 1.
x0 x
f0 f0
f x x 在 x 0 处不可导.
由上讨论可知, 函数在一点连续并不一定在该点可导,
故连续是可导的必要条件,但不是充分条件.
2,
∴ 切线方程为 y 2 2 (x ) ， 22 4
即4x4 2y40 ；
法线方程为 y 2 2(x ) ，
2
4
即4x2 2y20 。
4 连续与可导的关系
定理：如果函数 f (x) 在点 x 可导，则函数 f (x) 在点 x
处连续。
证明：∵ y f (x) 在点 x 可导，∴
lim y x0 x
f
x
2 x 1，
3 x2 ,
x x
11 , 求
f x .
例
7．设
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x 0 ，其中 k为常数且 k N ，
0, x 0
判定 f (x) 在点x0 处是否可导。
解：∵ f (0) lim
f (0 x)
f (0)
lim
(x)k sin 1 x
x0
x
x0 x
lim (x)k1sin 1 ,
如果函数 f (x) 在开区间(a, b) 内每一点都可导，则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内可导。
如果函数 f (x) 在开区间(a, b) 内可导，且在a 点 存在 右导数，在b点 存在左导数，则称f (x) 在闭区间[a, b] 上可导。
定义 2 若 f (x) 在区间I (开或闭，有限或无限)上
x0
x
∴当 0 k 1时， f (x) 在点x 0 处不可导，
当k 1 时， f (x) 在点 x 0 处可导，且f (0) 0 。
例 8.求曲线 y sin x 在点( , 2 ) 处的切线方程和法线方程。 42
解：∵ y cosx ,
y x
2, 2
4
∴切线的斜率为k1
2 2
,法线斜率为 k 2
f
x0
f lim
x 0
x0 x f x
x0
f lim
x x0
x f ( x0 ) , x x0
右导数:
f
x0
f lim
x0
x0 x f x
x0
f lim
x x0
x f ( x0 ) . x x0
f 在x0
处可导
f'
(
x0
)
f'
(
x0
).
2．函数 f (x) 的导函数
x x x
二、 导数的概念
定义1 设函数 f 在N x0 内有定义,自变量 x 在 x0 的增
量为x ，相应地函数增量为y .如果极限
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
存在,则称函数 f 在 x0 处可导,并称此极限值为
f 在点 x0处的导数,记为f (x0 ),即
即 (sin x) cosx.
类似可得 (cos x) sin x.
例 4．求函数 y loga x ( a 0, a 1) 的导数。
即
(loga
x)
1 xln
a
， (ln x) 1 x
例 5．求函数 y ax ( a 0, a 1) 的导数。
即 (ax )ax ln a ，(ex)ex.
例 6. 设
3.求导数举例 根据导数的定义求导数,可以归结为三步: “算增量,求比值,取极限” 例 1．求函数 f (x) C( C 为常数 ) 的导数。
即 (C) 0 .
例 2．求幂函数 f (x) x (x 0, R) 的导数。
即 (x )x1 (R) 。
(
1 x
)
1 x2
( x ) 1 2x
例 3．求 f (x) sin x 的导函数及它在x 0 和x 处的导数。 2
f x0
lim
x 0
f
x0
x
x
f
x0
dy
或记为
,
dx x x0
y x x0
若极限不存在,则称 f 在 x0 处不可导。
注
1. f x0 lim x 0
f
x0
x
x
f
x0
lim f x f x0
x x0
x x0
导数f x0 也称为f 在x0的变化率
2.导数的几何意义：
y
yx
o
yx
x
例10.
设
f
x
ax
f x0
曲线 y f x 在点 x0 , y0 处
的切线的斜率。
（1）切线方程： y y f (x )( x x ) ；
（2）法线方程：
y
y
f
1 ( x
) (x x )
（若
f
(x ) 0
）；
3.导数的物理意义：
S t0
路程为S(t)的 变速直线运动的瞬时
4. 左导数:
速度 V (t0 )
可导，则对 x I ，都唯一确定一个导数值 f (x) ，
因而 f (x) 是定义在 I 上的一个函数，称它为 f (x)
在 I 上的导函数。记为 f (x) ( 或 y 或 dy )，即 dx
f (x) lim f (xx) f (x) lim f (t) f (x)
x0
x
tx t x
注意 导函数 f (x) 与导数 f (x ) 的区别和联系 区别：导函数 f (x) 为一函数， f (x ) 为一数值； 联系： f (x ) 就是导函数f (x) 在点x x 的函数值。
f
(x )
存在，
∵
lim y
x0
lim (
x0
y x
x)
lim
x0
y x
lim x
x0
f
(x )0
0,
∴ f (x) 在点 x 处连续。
注意 :连续是可导的必要条件但不是充分条件。
可导
连续
例9. 函数 f x x 在 x 0处连续, 但在 x 0
处不可导.
事实上,
f 0
lim x0
第二章 一元函数微分学及其应用
§1 导数(Derivatives)
1.1 导数的概念 一、背景 1．变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其运动方程为S S(t) ， 其中t 是 时间，S 是 位移，求物体在 t 时刻的瞬时 速度。
2.平面曲线的切线的斜率
（1）切线的定义 设 L 是一条平面曲线， 在L上 取定 一点P ，
另取一动点Q ，作割线 PQ。当动点 Q 沿曲线
L趋向于定点P 时， y
割线 PQ的极限位
切线 割线
TQ
L
y f (x)
置 PT 就称为曲线
P
L在点P 处的切线。 o
x
（2）切线的斜率
y
定点 P(x , y ) ， 动点 Q(x x, y y) ，
切线
T
割线
Q
y f (x)
y
P
x
jq
o x