最新人教版高三数学(文)第一轮复习函数的单调性与最值公开课教学设计

函的单调性与最值

一、

知识梳：（阅读教材必修1第27页—第32页）

1．对于给定区间D 上的函)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，

都有12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函; 当12x x <时，都有

12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函.

2．判断函单调性的常用方法：

（1）定义法： （2）导法： （3）利用复合函的单调性; (4) 图象法. 3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2

121在⇔>--上是

增函；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2

121在⇔<--上是减函.

4.设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函.

5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函;

)(x f 增)(x g 减,则)()(x g x f -是增函;)(x f 减)(x g 增,则差函)()(x g x f -是减函.

6．基本初等函的单调性

（1）一次函y kx b =+. 当0k >在(),-∞+∞上是增函；当0k <在(),-∞+∞上是减函

（2）二次函2(0)y ax bx c a =++≠.

当0a >在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函；在,2b a ⎡⎫

-

+∞⎪⎢⎣⎭上是增函； 当0a <在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函；在,2b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

上是减函；

（3）反比例函(0)k

y k x

=

≠.

当0k >在(),0-∞上是减函，在()0,+∞上是减函；当0k <在(),0-∞上是增函，在

()0,+∞上是增函。

（4）指函(0,1)x y a a a =>≠.当1a >在(),-∞+∞上是增函；当01a <<在

(),-∞+∞上是减函。

（5）指函log (0,1)a y x a a =>≠当1a >在()0,+∞上是增函；当01a <<在()0,+∞上是减函。 7.函的最值

对于函y=f(x)，设定义域为A ，则

（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。

（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。 二、题型探究

【探究一】：判断证明函的单调性 例1：试判断函2()1

x

f x x =-在区间（0，1）上的单调性.

例2：下列函中，在区间]0,(-∞上是增函的是（ ） （A ）842+-=x x y （B ） )(log 2

1x y -= （C ）1

2

+-

=x y （D ）x y -=1 探究二：抽象函的单调性

例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函。

例4：函f(x)对任意a 、b ，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明：f(x)是R 上的增函； (2)若f(4)=5,解关于m 的不等式f(3<3.

探究三：与单调性有关的参问题

例5：若函()y f x =在R 单调递增，且2()()f m f m >-，则实m 的取值范围是

（ ）

.A (),1-∞- .B ()0,+∞ .C ()1,0- .D (),1-∞-()0,+∞

探究四、函的单调性与最值 例6：求下列函的值域 1、 y ＝－x 2－6x －5 2、 y=x+ 3、

4、 ,表示不超过x 的最大整

例7：12．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a . w w w .x k b 1.c o m

①当a＜0时，由图①可知，

f(x)

＝f(0)＝－1，

min

f(x)

＝f(2)＝3－4a.

max

②当0≤a＜1时，由图②可知，

f(x)

＝f(a)＝－1－a2，

min

f(x)

＝f(2)＝3－4a.

max

③当1≤a≤2时，由图③可知，

f(x)

＝f(a)＝－1－a2，

min

f(x)

＝f(0)＝－1.

max

④当a＞2时，由图④可知，

f(x)

＝f(2)＝3－4a，

min

f(x)

＝f(0)＝－1.

max

综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；

当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；

当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.

三、方法提升

1、函的单调性只能在函的定义域内讨论，函在给定的区间的单调性反映函在区

间上函值的变趋势，是函在区间上的整体性质，但不一定是函在定义域内上的整体性质，函的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；2、求函的单调区间，首先请注意函的定义域，函的增减区间都是定义域的子区