数据结构 (6)
数据结构-6 树和二叉树
第六章树和二叉树一．选择题1. 以下说法错误的是。
A.树形结构的特点是一个结点可以有多个直接前趋B.线性结构中的一个结点至多只有一个直接后继C.树形结构可以表达(组织)更复杂的数据D.树(及一切树形结构)是一种"分支层次"结构2. 如图6-2所示的4 棵二叉树中，不是完全二叉树。
图6-2 4 棵二叉树3. 在线索化二叉树中，t 所指结点没有左子树的充要条件是。
A. t->left == NULLB. t->ltag==1C. t->ltag==1 且t->left==NULL D .以上都不对4. 以下说法错误的是。
A.二叉树可以是空集B.二叉树的任一结点最多有两棵子树C.二叉树不是一种树D.二叉树中任一结点的两棵子树有次序之分5. 以下说法错误的是。
A.完全二叉树上结点之间的父子关系可由它们编号之间的关系来表达B.在三叉链表上，二叉树的求双亲运算很容易实现C.在二叉链表上，求根，求左、右孩子等很容易实现D.在二叉链表上，求双亲运算的时间性能很好6. 如图6-3所示的4 棵二叉树，是平衡二叉树。
图6-3 4 棵二叉树7. 如图6-4所示二叉树的中序遍历序列是。
A. abcdgefB. dfebagcC. dbaefcgD. defbagc图6-4 1 棵二叉树8. 已知某二叉树的后序遍历序列是dabec，中序遍历序列是debac，它的前序遍历序列是。
A. acbedB. decabC. deabcD. cedba9. 如果T2 是由有序树T 转换而来的二叉树，那么T 中结点的前序就是T2 中结点的。
A. 前序B.中序C. 后序D. 层次序10. 某二叉树的前序遍历结点访问顺序是abdgcefh，中序遍历的结点访问顺序是dgbaechf，则其后序遍历的结点访问顺序是。
A. bdgcefhaB. gdbecfhaC. bdgaechfD. gdbehfca11. 将含有83个结点的完全二叉树从根结点开始编号，根为1号，后面按从上到下、从左到右的顺序对结点编号，那么编号为41的双亲结点编号为。
数据结构(朱战立)章 (6)
Move Disk 2 from Peg A to Peg C Move Disk 1 from Peg B to Peg C Move Disk 3 from Peg A to Peg B Move Disk 1 from Peg C to Peg A Move Disk 2 from Peg C to Peg B Move Disk 1 from Peg A to Peg B Move Disk 4 from Peg A to Peg C Move Disk 1 from Peg B to Peg C Move Disk 2 from Peg B to Peg A Move Disk 1 from Peg C to Peg A
" from peg "， fromPeg， " to peg
/*把n-1个圆盘从auxPeg借助fromPeg移至
29
towers(n-1，auxPeg，toPeg，fromPeg); }设计一个测试主函数如下： ＃include <stdio.h> void main(void) {
Towers(4， 'A'， 'C'， 'B'); }程序运to Peg B
26
Move Disk i from Peg X to Peg Y 这样， 汉
诺塔问题的递归算法可设计如下： void towers(int n，
char fromPeg， char toPeg， char auxPeg)
{
if(n＝＝1)
/*递归出口*/
{
printf("%s%c%s%c＼n"， "move disk
并不是每个问题都适宜于用递归算法求解。 适宜于用递归 算法求解的问题的充分必要条件是：
数据结构-6_真题-无答案
数据结构-6(总分99,考试时间90分钟)一、单项选择题在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。
1. 具有12个记录的序列，采用冒泡排序最少的比较次数是( )A. 1B. 144C. 11D. 662. 任何一个带权的无向连通图的最小生成树( )A. 只有一棵B. 有一棵或多棵C. 一定有多棵D. 可能不存在3. 在一棵具有5层的满二叉树中，结点总数为( )个。
A. 33B. 32C. 31D. 304. 在循环双链表的p所指结点之后插入s所指结点的操作是( )A. P—＞next=s；B. p—＞next=s；s—＞prior=p；p—＞next—＞prior=s；p—＞next—＞prior=s；s—＞prior=p；s—＞next=p—＞next；s—＞next=p—＞nextC. s—＞prior=p；D. s—＞prior=p；s—＞next=p—＞next；s—＞next=p—＞next；p—＞next=s；p—＞next—＞prior=s；p—＞next—＞prior=s；p—＞next=s；5. 在下面的程序中，语句S的执行次数为( ) for(i=1;i＜=n-1;i++) {for(j=n;j＞=i;j--) {S; }6. 若用冒泡排序法对序列18,14,6,27,8,12,16,52,10,26,47,29,41,24从小到大进行排序，共要进行( )次比较。
A. 33B. 45C. 70D. 917. 用数组A[0..N-1]存放循环队列的元素值，若其头尾指针分别为front和rear，则循环队列中当前元素的个数为( )A. (rear-front+mod mB. (rear-front+1)mod mC. (rear-front-1+mod mD. (rear-fronmod m8. 若已知一个栈的输入序列为1,2,3…,n，其输出序列为P1，P2，…，Pn。
数据结构第六章题目讲解
数据结构第六章题⽬讲解02⼀选择题：1、以下说法错误的是①树形结构的特点是⼀个结点可以有多个直接前趋②线性结构中的⼀个结点⾄多只有⼀个直接后继③树形结构可以表达(组织)更复杂的数据④树(及⼀切树形结构)是⼀种"分⽀层次"结构⑤任何只含⼀个结点的集合是⼀棵树2．深度为6的⼆叉树最多有( )个结点①64 ②63 ③32 ④313 下列说法中正确的是①任何⼀棵⼆叉树中⾄少有⼀个结点的度为2②任何⼀棵⼆叉树中每个结点的度都为2 ⼆叉树可空③任何⼀棵⼆叉树中的度肯定等于2 ④任何⼀棵⼆叉树中的度可以⼩于24 设森林T中有4棵树，第⼀、⼆、三、四棵树的结点个数分别是n1,n2,n3,n4,那么当把森林T转换成⼀棵⼆叉树后，且根结点的右⼦树上有（）个结点。
①n1-1 ②n1③n1+n2+n3④n2+n3+n4⼆．名词解释：1 结点的度 3。
叶⼦ 4。
分⽀点 5。
树的度三填空题⼆叉树第i(i>=1)层上⾄多有_____个结点。
1、深度为k(k>=1)的⼆叉树⾄多有_____个结点。
2、如果将⼀棵有n个结点的完全⼆叉树按层编号，则对任⼀编号为i(1<=i<=n)的结点X有：若i=1,则结点X是_ ____；若i〉1,则X的双亲PARENT(X)的编号为__ ____。
若2i>n，则结点X⽆_ _____且⽆_ _____；否则，X的左孩⼦LCHILD(X)的编号为____。
若2i+1>n，则结点X⽆__ ____；否则，X的右孩⼦RCHILD(X)的编号为_____。
4．以下程序段采⽤先根遍历⽅法求⼆叉树的叶⼦数，请在横线处填充适当的语句。
Void countleaf(bitreptr t,int *count)/*根指针为t，假定叶⼦数count的初值为0*/ {if(t!=NULL){if((t->lchild==NULL)&&(t->rchild==NULL))__ __;countleaf(t->lchild,&count);countleaf(t->rchild,&count);}}5 先根遍历树和先根遍历与该树对应的⼆叉树，其结果_____。
python的6大数据结构
python的6大数据结构Python是一种流行的编程语言，提供了多种数据结构来保存和操作数据。
在本文中，我将介绍Python中的六种常见的数据结构。
1. 列表（List）：列表是Python中最常用的数据结构之一。
它可以包含多个元素，并且元素之间可以是不同的数据类型。
列表是可变的，这意味着我们可以在列表中添加、删除和修改元素。
2. 元组（Tuple）：元组与列表类似，但是不同之处在于元组是不可变的。
这意味着一旦创建了元组，就无法修改它的元素。
元组通常用于保存多个相关的值。
3. 字典（Dictionary）：字典是一种键-值对的数据结构。
它可以根据给定的键来访问相应的值。
字典是无序的，这意味着元素的顺序是不确定的。
字典在需要根据特定键查找值的情况下非常有用。
4. 集合（Set）：集合是一组唯一元素的无序集合。
与列表和元组不同，集合不允许重复的元素。
集合提供了一些常见的数学操作，如并集、交集和差集。
5. 字符串（String）：字符串是由字符组成的序列。
在Python中，字符串被视为不可变的，这意味着我们无法修改字符串中的单个字符。
然而，我们可以使用索引和切片操作来访问和提取字符串中的子字符串。
6. 数组（Array）：数组是一种用于存储相同类型数据的数据结构。
它在处理数值计算和科学计算方面非常常见。
Python中的数组使用NumPy库进行操作和处理。
这些是Python中的六种常见数据结构。
掌握这些数据结构可以帮助我们更有效地组织和操作数据。
无论你是初学者还是有经验的Python开发者，了解这些数据结构都是非常有益的。
数据结构模拟试题6
数据结构模拟试题（六）本试卷分两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题；选择题20分，非选择题80分，满分100分。
考试时间150分钟。
第一部分选择题一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要来的，请将正确选项前的字母旗在题后的括号内。
1．每一个存储节点不仅含有一个数据元素，还包含一组指针，该存储方式是【】A．顺序存储B．链式存储C．索引存储D．散列存储2．下列算法的时间复杂度是【】for（i＝ 0； i＜ n； i＋＋）c[i][j]＝i＋j；A．O(1) B．O(n)C．O(log2n) D．O(n2)3．线性表若采用链式存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址【】A．必须是连续的B．部分地址必须是连续的C．一定是不连续的D．连续或不连续都可以4．在有n个节点的顺序表中做插入、删除运算，需平均移动节点的数目为【】A．n B．n/2C．（n-l）/2 D．（n＋l）/25．在一个链队中，假设f和r分别为队首和队尾指针，则插入s所指节点的运算时【】A． f－＞next＝s；f＝－ S；B． f－＞next＝s；r＝－ S；C． S－＞next＝r；r＝－ S；D． S－＞next＝f；f＝－ S；6．一个栈的入栈序列是1,2,3,4，则栈的不可能的输出序列是: 【】A． 3, 4, 2, l B． 3, 2, 4, lC． l, 2, 3, 4 D． 4, 3, 1, 27．设 s3＝”IAM”，s4＝”A TEACHER”，则 strcmp（s3,s4）＝【】A． "I AM " B． "I AM A TEACHER"C． "I AMA TEACHER" D． "A TEACHER"8．设s3＝”IAM”， s4＝”A TEACHER”，则strcmp（s3,s4）＝【】A．0 B．小于0C．大于0 D．不确定9．数组与一般线性表的区别主要在【】A．存储方面B．元素类型一致C．逻辑结构方面D．不能进行插入、删除运算10．二维数组A[4][4]，数组的元素起始地址loc[0][0]＝1000，元素长度为2,则loc[2][2]]为【】A．l000 B．l0l0C．l008 D．l02011．设T是一棵树，T1是对应于T的二叉树，则T的后根次序遍历和T1的次序遍历相同【】A．先根 B．中根C．后根 D．都不同12．对于一棵满二叉树，m个树叶，n个节点，深度为h，则【】A．n＝h＋m B．h＋m＝2nC．m＝h-1 D．n＝2h-l13．将一棵有100个节点的完全二叉树从上到下，从左到右依次对节点进行编号，根节点的编号为1，则编号为49的节点的左孩子编号为【】A．99 B．98C．50 D．4814．有6个节点的无向图至少有条过才能确保是一个连通图【】A．5 B．6C．7 D．815．若一组记录的排序码为（46，79，56．38．40、84），则利用堆排序的方法建立的初始堆为【】A．79,46,56,38,40,84 B． 84,79,56,38,40,46C．84,79,56,46,40,38 D． 84,56,79,40,46,3816．用某种排序方法对线性表（25，8421，47，15，27，68，35，20）进行排序时，元素序列的变化情况如下：【】(l) 25,84,21,47,15,27,68,35,20(2) 20,l5,2l,25,47,27,68,35,84(3) l5,20,2l,25,35,27,47,68,84(4) l5,20,2l,25,27,35,47,68,84则采用的排序方法【】是平均长度为4。
数据结构第6章习题答案
第6章树和二叉树习题解答一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分）（√）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。
（√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
（×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
（×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。
（应当是二叉排序树的特点）（×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。
（应2i-1）（×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。
（×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。
（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。
（正确。
用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。
由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。
）即有后继链接的指针仅n-1个。
（√）10. 〖01年考研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5二、填空（每空1分，共15分）1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。
2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和26-1 =32个叶子。
注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。
3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。
（注：用⎣ log2(n) ⎦+1= ⎣ 8.xx ⎦+1=94.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。
数据结构第六章
K
L
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F） 其中：root 被称为根结点， F 被称为子树森林
6.2 二叉树
定义
定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树 (n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树 的互不相交的二叉树构成 二叉树，度为2的树? 特点
树和二叉树
树是一类重要的非线性数据结构，以分支 关系描述数据元素之间的层次结构 6.1 树 定义: 树(tree)是n(n≥0)个结点的有限集。在任意一棵非
空树中：
有且仅有一个特殊的结点，称为树的根结点(root)
当n>1时，除根结点之外的其余结点可分为
m(m>0)个 互不相交的有限集合T1,T2,……Tm，其 中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树 (subtree)
证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点，2i-1 = 20 = 1； 假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有2j-1 个结 点,那么，第i-1层至多有2i-2个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即2i-2 2 = 2i-1 故命题得证 k 性质2：深度为k的二叉树至多有 2 1 个结点(k1) 证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是
基本操作 P ：
插入类：
InitTree(&T) // 初始化臵空树 CreateTree(&T, definition) // 按定义构造树 Assign(T, cur_e, value) // 给当前结点赋值 InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为 结点p的第i棵子树
数据结构第六章图理解练习知识题及答案解析详细解析(精华版)
图1. 填空题⑴设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。
【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。
⑵任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。
【解答】其自身⑶图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。
【解答】邻接矩阵，邻接表【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。
⑷已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n+e)【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。
⑸已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。
【解答】求第j列的所有元素之和⑹有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。
【解答】出度⑺图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。
【解答】前序，栈，层序，队列⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。
⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。
【解答】回路⑽在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。
【解答】vi, vj, vk【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。
数据结构试卷及参考答案_6
数据结构试卷（六）一、选择题(30分)1．设一组权值集合W={2，3，4，5，6}，则由该权值集合构造的哈夫曼树中带权路径长度之和为（）。
(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 452．执行一趟快速排序能够得到的序列是（）。
(A) [41，12，34，45，27] 55 [72，63](B) [45，34，12，41] 55 [72，63，27](C) [63，12，34，45，27] 55 [41，72](D) [12，27，45，41] 55 [34，63，72]3．设一条单链表的头指针变量为head且该链表没有头结点，则其判空条件是（）。
(A) head==0 (B) head->next==0(C) head->next==head (D) head!=04．时间复杂度不受数据初始状态影响而恒为O(nlog2n)的是（）。
(A) 堆排序(B) 冒泡排序(C) 希尔排序(D) 快速排序5．设二叉树的先序遍历序列和后序遍历序列正好相反，则该二叉树满足的条件是（）。
(A) 空或只有一个结点(B) 高度等于其结点数(C) 任一结点无左孩子(D) 任一结点无右孩子6．一趟排序结束后不一定能够选出一个元素放在其最终位置上的是（）。
(A) 堆排序(B) 冒泡排序(C) 快速排序(D) 希尔排序7．设某棵三叉树中有40个结点，则该三叉树的最小高度为（）。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 68．顺序查找不论在顺序线性表中还是在链式线性表中的时间复杂度为（）。
(A) O(n) (B) O(n2) (C) O(n1/2) (D) O(1og2n)9．二路归并排序的时间复杂度为（）。
(A) O(n) (B) O(n2) (C) O(nlog2n) (D) O(1og2n)10. 深度为k的完全二叉树中最少有（）个结点。
(A) 2k-1-1 (B) 2k-1(C) 2k-1+1 (D) 2k-111.设指针变量front表示链式队列的队头指针，指针变量rear表示链式队列的队尾指针，指针变量s指向将要入队列的结点X，则入队列的操作序列为（）。
数据结构课后习题答案第六章
所以
n=n1+2×n2+…+m×nm+1 由（1）（2）可知 n0= n2+2×n3+3×n4+…+(m-1) ×nm+1
（2）
八、证明：一棵满 K 叉树上的叶子结点数 n0 和非叶子结点数 n1 之间满足以下关 系:n0=(k-1)n1+1。 证明：n=n0+n1
n=n1k+1 由上述式子可以推出 n0=(k-1)n1+1 十五、请对右图所示的二叉树进行后序线索化，为每个空指针建立相应的前驱或 后继线索。
四十三、编写一递归算法，将二叉树中的所有结点的左、右子树相互交换。 【分析】 依题意，设 t 为一棵用二叉链表存储的二叉树，则交换各结点的左右子树的
运算基于后序遍历实现：交换左子树上各结点的左右子树；交换右子树上各结点 的左右子树；再交换根结点的左右子树。
【算法】 void Exchg(BiTree *t){ BinNode *p; if (t){ Exchg(&((*t)->lchild)); Exchg(&((*t)->rchild)); P=(*t)->lchild; (*t)->lchild=(*t)->rchild; (*t)->rchild=p; } }
(4)编号为 i 的结点的有右兄弟的条件是什么? 其右兄弟的编号是多少? 解：
(1) 层号为 h 的结点数目为 kh-1 (2) 编号为 i 的结点的双亲结点的编号是：|_ (i-2)/k _|+1(不大于(i-2)/k 的最大整数。也就是(i-2)与 k 整除的结果.以下/表示整除。 (3) 编号为 i 的结点的第 j 个孩子结点编号是：k*(i-1)+1+j; (4) 编号为 i 的结点有右兄弟的条件是(i-1)能被 k 整除
数据结构第6章图习题解析
数据结构第6章图习题解析第六章图习题解析1⼀、选择题1、设⽆向图的顶点个数为n，则该⽆向图最多有条边。
A、n-1B、n（n-1）/2C、n（n+1）/2D、0E、n22、在下列两种求图的最⼩⽣成树的算法中，算法适合于求边稀疏的⽹的最⼩⽣成树。
A、PrimB、Kruskal3、下⾯的叙述中不正确的是。
A、关键活动不按期完成就会影响整个⼯程的完成时间B、任何⼀个关键活动提前完成，将使整个⼯程提前完成C、所有关键活动都提前完成，则整个⼯程将提前完成D、某些关键活动若提前完成，将使整个⼯程提前完成4、采⽤邻接表存储的图，其深度优先遍历类似于⼆叉树的。
A、中序遍历B、先序遍历C、后序遍历D、按层次遍历5、采⽤邻接表存储的图，其⼴度优先遍历类似于⼆叉树的。
A、按层次遍历B、中序遍历C、后序遍历D、先序遍历6、具有n个顶点的有向图最多有条边。
A、nB、n（n-1）C、n（n+1）D、n27、⼀个n个顶点的连通⽆向图，其边的个数⾄少为。
A、n-1B、nD、nlog2n8、下列说法中，正确的有。
A、最⼩⽣成树也是哈夫曼树B、最⼩⽣成树唯⼀C、普⾥姆最⼩⽣成树算法时间复杂度为O（n2）10、判定⼀个有向图是否存在回路，除了可以利⽤拓扑排序的⽅法外，还可以利⽤。
A、求关键路径的⽅法B、求最短路径的Dijkstra⽅法C、深度优先遍历算法D、⼴度优先遍历算法11、在⼀个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为s，则所有顶点的⼊度之和为。
A、sB、s-1C、s+1D、n12、在⼀个⽆向图中，若两个顶点之间的路径长度为k，则该路径上的顶点数为。
A、kB、k+1C、k+2D、2k13、⼀个有n个顶点的⽆向连通图，它所包含的连通分量个数为。
A、0B、1C、nD、n+114、对于⼀个有向图，若⼀个顶点的⼊度为k1、出度k2，则对应邻接表中该顶点单链表中的结点数为。
A、k1B、k2C、k1-k2D、k1+k215、对于⼀个有向图，若⼀个顶点的⼊度为k1、出度k2，则对应逆邻接表中该顶点单链表中的结点数为。
数据结构_第六章_图_练习题与答案详细解析(精华版)
图1. 填空题⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。
【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。
⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。
【解答】其自身⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。
【解答】邻接矩阵，邻接表【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。
⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n+e)【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。
⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。
【解答】求第j列的所有元素之和⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。
【解答】出度⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。
【解答】前序，栈，层序，队列⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。
⑼ 如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。
【解答】回路⑽ 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。
【解答】vi, vj, vk【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。
数据结构第六章：树和二叉树
性质2：深度为 的二叉树至多有 个结点(k≥ 性质 ：深度为k的二叉树至多有2 k 1 个结点 ≥1)
证明：由性质 ，可得深度为k 证明：由性质1，可得深度为 的二叉树最大结点数是
(第i层的最大结点数 ) = ∑ 2 i 1 = 2 k 1 ∑
i =1 i =1
k
k
10
性质3：对任何一棵二叉树 ，如果其终端结点数(即 性质 ：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数 即 叶节点)为 度为2的结点数为 的结点数为n 叶节点 为n0，度为 的结点数为 2，则n0=n2+1 证明： 为二叉树 中度为1的结点数 为二叉树T中度为 证明：n1为二叉树 中度为 的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 所以：其结点总数 又二叉树中，除根结点外， 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入； 分支进入； 为分支总数， 设B为分支总数，则n=B+1 为分支总数 又：分支由度为1和度为 的结点射出，∴B=n1+2n2 分支由度为 和度为2的结点射出， 和度为 的结点射出 于是， 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 ∴n0=n2+1
7
结点A的度：3 结点 的度： 的度 结点B的度：2 结点 的度： 的度 结点M的度：0 结点 的度： 的度 结点A的孩子： ， ， 结点 的孩子：B，C，D 的孩子 结点B的孩子 的孩子： ， 结点 的孩子：E，F 树的度： 树的度：3 E K 结点A的层次： 结点 的层次：1 的层次 结点M的层次 的层次： 结点 的层次：4 L B F A C G H M
数据结构第六章参考答案
习题61．填空题（1）n个顶点的无向图，最多能有（___________）条边。
答案：[n*(n-1)]/2（2）有n个顶点的强连通图G最多有（___________）条弧。
答案：n*(n-1)（3）有n个顶点的强连通图G至少有（___________）条弧。
答案：n（4）G为无向图，如果从G的某个顶点出发，进行一次广度优先遍历，即可访问图的每个顶点，则该图一定是（___________）图。
答案：连通（5）若采用邻接矩阵结构存储具有n个顶点的图，则对该图进行广度优先遍历的算法时间复杂度为（___________）。
答案：O（n2）（6）n个顶点的连通图的生成树有（___________）条边。
答案：n-1（7）图的深度优先遍历类似于树的（___________）遍历；图的广度优先遍历类似于树的（___________）遍历。
答案：前序层序（8）对于含有n个顶点e条边的连通图，用普里姆算法求最小生成树的时间复杂度为（___________）。
答案：O（n2）（9）已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（___________）。
答案：O（n+e）（10）一棵具有n个顶点的生成树有且仅有（___________）条边。
答案：n-12．单选题（1）在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。
A. 1/2B. 1C. 2D. 4（2）在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度数之和为S，则所有顶点的度数之和为（）。
A. SB. S－1C. S+1D. 2S（3）具有n个顶点的有向图最多有（）条边。
A. nB. n(n-1)C. n(n+1)D. 2n（4）若一个图中包含有k个连通分量，若按照深度优先搜索的方法访问所有顶点，则必须调用（）次深度优先搜索遍历的算法。
A. kB. 1C. k-1D. k+1（5）若一个图的边集为{<1，2>，<1，4>，<2，5>，<3，1>，<3，5>，<4，3>}，则从顶点1开始对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列可能为（）。
数据结构6
int binSearch(int a[],int n,int k) { int low,high,mid; low=0; high=n-1; while ( low<=high ) { mid=(low+high)/2; if (a[mid]==k) return(mid) ; else if(a[mid]<k) low=mid+1 ; else high=mid-1 ; } return(-1); }
通过在初始为空的树中不断插入数x来建立二叉排序树，步骤： 通过在初始为空的树中不断插入数x来建立二叉排序树，步骤： （1）若二叉排序树为空，则插入结点应为根结点 若二叉排序树为空， （2）若二叉排序树非空，根据关键字比较的结果确定是在左 若二叉排序树非空， 子树还是在右子树中继续查找插入位置， 子树还是在右子树中继续查找插入位置，直至某个结点的 左子树或右子树空为止，则插入结点应为该结点的左孩子 左子树或右子树空为止， 或右孩子。 或右孩子。
二、查找算法及实现
在给定的二叉排序树t中查找给定待查关键字k 在给定的二叉排序树t中查找给定待查关键字k： 从根结点出发 1.如果树t为空，那么查找失败。算法结束；否则， 1.如果树t为空，那么查找失败。算法结束；否则，转2。 如果树 2.如果t >data等于k 则查找成功。算法结束。否则转3 2.如果t->data等于k，则查找成功。算法结束。否则转3。 如果 等于 3.如果k<t->data，那么t=t->lchild(到左子树查找)， 3.如果k<t->data，那么t=t->lchild(到左子树查找) 如果k<t t=t 到左子树查找 (1)。 t=t到右子树查找）， ），转 转(1)。否则 t=t->rchild （到右子树查找），转 （1）。
数据结构 第6章 排序
判断某序列是否符合堆定义
只要将序列依次排成一棵完全二叉树，所有结点的 值都不大于（或不小于）其左右子树结点的值，那么该 序列就符合堆的定义。 例：序列：102、87、100、79、82、62、84
10 2 87 10 0 82
故： 此序列符 合堆定义。
84
79
62
若n个元素的排序码k1，k2，k3，…，kn满足堆，且让结点 按1、2、3、…、n顺序编号，根据完全二叉树的性质（若i为 根结点，则左孩子为2i，右孩子为2i+1）可知，堆排序实际与 一棵完全二叉树有关。若将排序码初始序列组成一棵完全二 叉树，则堆排序可以包含建立初始堆（使排序码变成能符合 堆的定义的完全二叉树）和利用堆进行排序两个阶段。
14
17
25 )
20
9
(3
14
17
20
25 )
9
第五次插入
(3
9
14
17
20
25)
图 9-1 直接插入排序示例
注意:
排正序时，要插入的元素先和有序表中最后 一个元素进行比较，即从后往前；排逆序时， 则刚相反，得从前往后进行比较。 当n很小时，直接插入排序的效率较高，时间 复杂度为o(n^2)。 正序时比较次数最少为n-1； 逆序时最大为(n+2)*(n-1)/2； 两者的平均值约为(n^2)/4。
例如，n=6，数组R的六个排序码分别为：17，3，25，14，20， 9。下面用图9-3给出冒泡排序算法的执行过程。
0 1 2 3 4 5
初始状态
（17
3
25
14
20
9)
第一趟排序
3
(17
9
25
数据结构第6章 树习题+答案
第六章 树和二叉树一、选择题1．已知一算术表达式的中缀形式为 A+B*C-D/E ，后缀形式为ABC*+DE/-，其前缀形式为( D )A ．-A+B*C/DE B. -A+B*CD/E C ．2. 设有一表示算术表达式的二叉树（见下图）， 它所表示的算术表达式是（ C ） A. A*B+C/(D*E)+(F-G) B. (A*B+C)/(D*E)+(F-G) C. (A*B+C)/(D*E+（F-G ）) D. A*B+C/D*E+F-G 3. 在下述结论中，正确的是（ D ）①只有一个结点的二叉树的度为0; ②二叉树的度为2； ③二叉树的左右子树可任意交换;④深度为K 的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。
A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①④4. 设森林F 对应的二叉树为B ，它有m 个结点，B 的根为p,p 的右子树结点个数为n,森林F 中第一棵树的结点个数是（ A ）A ．m-nB ．m-n-1C ．n+1D ．条件不足，无法确定5．设森林F 中有三棵树，第一，第二，第三棵树的结点个数分别为M1，M2和M3。
与森林F 对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数是（ D ）。
A ．M1B ．M1+M2C ．M3D ．M2+M36. 设给定权值总数有n 个，其哈夫曼树的结点总数为( D )A ．不确定B ．2nC ．2n+1D ．2n-17．一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( B )结点A ．2hB ．2h-1C ．2h+1D ．h+18. 一棵具有 n 个结点的完全二叉树的树高度（深度）是（ A ）A ．⎣logn ⎦+1B ．logn+1C ．⎣logn ⎦D ．logn-19．深度为h 的满m 叉树的第k 层有（ A ）个结点。
(1=<k=<h)A ．m k-1B ．m k -1C ．m h-1D ．m h -110. 一棵树高为K 的完全二叉树至少有（ C ）个结点A ．2k –1 B. 2k-1 –1 C. 2k-1 D. 2k11. 利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（ C ）。
数据结构 第六章-树
20
A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩 子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩 子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构， 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式， 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点， 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
1 2 3 4 5 6
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6.1 图的基本概念 6.2 图的存储表示 6.3 图的遍历 6.4 图的应用 小结 习题 实训指导
第6章 图
问题引入 假如要在n个城市之间建设可以互相连通的通信网络，
最少只需要架设n-1条线路即可。如何以最低的经济代价建 设这个通信网呢？最小生成树问题是解决这一问题的有效结 构。某一地区的一个公路网，给定了该网内的n个城市以及 这些城市之间的相通公路的距离，如何找到城市A到城市B 之间一条最近的通路？这是求解最短路径的问题。大学的每 个专业都要制定教学计划。课程在开设时间必须满足先后关 系，如何解决？可以用拓扑排序来实现。以上这些应用问题 都是与图这种数据结构相关的，本章我们就来学习图这种结 构及其在实际中的应用。
第6章 图 G2=(V2，E2) V2={v1，v2，v3，v4} E2={<v1，v3>，<v3，v4>，<v4，v1>，<v2，v4>}
第6章 图
3) 完全图 在一个无向图中，如果每对顶点之间都有一条边相连接， 则称该图为无向完全图。因此一个含有n个顶点的无向完全 图的边数为n(n-1)/2。 在一个有向图中，如果每对顶点之间都有方向互为相反 的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。因此一个含有n 个顶点的有向完全图的弧数为n(n-1)。 4) 稠密图、稀疏图 若一个图接近完全图，则称其为稠密图；称边数很少的 图为稀疏图。
第6章 图
5) 顶点的度、入度、出度 顶点的度(degree)是图中和vi相关联的边(或弧)的数目， 通常记为TD(vi)。如图6-1G1中v1的度为2，v2 的度为3；图62G2中v1的度为3，v2 的度为1。 在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。顶点vi 的入度是指以顶点vi为终点的弧的数目，记为ID(vi)；顶点vi 出度是指以顶点vi为始点的弧的数目，记为OD(vi)。有 TD(vi)=ID(vi) + OD(vi)。例如图G2中v1的入度为1，出度为2。
第6章 图 知识要点
(1) 图的概念和术语；图的两种存储表示：邻接矩阵和 邻接表。
(2) 图的两种遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。 (3) 图的应用，包括构造最小生成树，理解Prim算法； 最短路径Dijkstra算法；AOV网与拓扑排序。
第6章 图
能力要求 能够针对实际问题的不同要求灵活应用图的多种存储方
式和运算方法，对一些实际问题采用有效途径加以解决。 图结构是一种比树结构更复杂的非线性结构，图结构是
树结构的推广。在树结构中，结点间是分支层次关系，每一 层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和 下一层的多个结点相关。而在图结构中，任意两个结点之间 都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。
第6章 图
8) 回路、简单路径、简单回路 若一条路径上的前后两个端点相同，则被称为回路或者 环(cycle)。若一条路径上除了前后端点可以相同之外，所有 顶点均不同，则称此路径为简单路径。在图6-1中，v1到v5的 两条路径都为简单路径。前后两端点相同的简单路径被称为 简单回路，或者简单环，如图6-2中的v1→v3→v4→v1。
第6章 图
可以证明，对于具有n个顶点、e条边的图，顶点vi的度 TD(vi)与顶点的个数以及边的数目满足关系：
e
n
i 1
TD(
v
i
)
/
2
第6章 图
6) 权和网 在一个图中，每条边可以标上具有某种含义的数值，此 数值称为该边的权(weight)。通常权为一个非负实数。在实际 应用中，权值可以有某种含义。比如，在一个反映城市交通 线路的图中，边上的权值可以表示该条线路的长度或者等级； 对于反映工程进度的图而言，边上的权值可以表示从前一个 工程到后一个工程所需要的天数；对于一个电子线路图，边 上的权值可以表示两个端点之间的电阻、电流或电压值。边 上带权的图称为网(network)。如果带权图的边是无方向的， 就是一个无向网，如图6-3所示；如果带权图的边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有方向的， 则就是一个有向网。
第6章 图 图6-1 无向图G1
第6章 图 图6-2 有向图G2
第6章 图
2．图的相关术语 1) 无向图 在一个图中，每个关系都没有方向的，称该图为无向图， 如图6-1所示的图G1。无向图中顶点之间的关系称为边。 2) 有向图 在一个图中，每个关系都有方向，称该图为有向图，如 图6-2所示的图G2。有向图中顶点之间的关系称为弧。
图结构可以描述各种复杂的数据对象，因此应用极其广 泛，已渗入到自然科学、社会科学和计算机科学及人文科学 等许多领域。
第6章 图
6.1 图的基本概念
1．图的定义
图(Graph)是由非空的数据(顶点)集合和一个描述顶点 之间关系(边或者弧)的集合组成的，即图G由两个集合V和 E组成，记为
G=(V，E)
第6章 图 9) 子图 对于图G=(V，E)，G'= (V'，E')，若存在V'是V的子集，
E'是E的子集，则称图G'是G的一个子图。图6-4示出了G1和 G2的两个子图G'和G"。
第6章 图 图6-3 一个无向网
第6章 图
7) 路径、路径长度
在一个图G中，从顶点vp到顶点vq之间的路径(path)是指 顶点序列vp，vi1，vi2，…，vim，vq。其中，(vp，vi1)，(vi1， vi2)，…，(vim，vq)分别为图中的边。路径长度是指路径上经 过的边的数目。例如在图6-1所示的无向图G1中，v1→v2→v5 与v1→v4→v3→v5是从顶点v1到顶点v5的两条路径，路径长度 分别为2和3。
第6章 图
其中，G表示一个图，V是图G中数据元素的集合，每一 个数据元素称为一个顶点，用vi表示；E是图G中数据元素之 间关系的集合，每一个关系称为一条边(或者弧)，用一个数 对(vi,vj)表示。如图6-1给出了一个图的示例，在该图中：
V={v1,v2,v3,v4,v5} E={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v5),(v2,v5)} 图分为无向图和有向图两类。如图6-1所示是无向图，图 6-2所示是有向图。