商人过河数学模型

商人过河数学模型

专业信息与计算科学班级姓名罗彪学号

1、问题重述3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？

2、问题分析商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

3、模型假设1、每个商人和随从都会划船；2、只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；3、所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；

4、船在渡河的过程中不受外界环境的影响。

4、模型的建立与求解1、模型建立~第k次渡河前此岸的商人数，~第k次渡河前此岸的随从数, =0,1,2,3;

k=1,2,… …=(, , ck )~过程的状态，其中, , ck 分别表示对应

时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c取值1表示

即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行S ~ 允许状态集合，

S={(x , y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3 ,y=0,1,2,3; x=y=1,2}~第k

次渡船上的商人数~第k次渡船上的随从数=(, )~决策，D={(u , v)| ,, =0,1,2} ~允许决策集合k=1,2,… …因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是=+~状态转移律求∈D(k=1,2, …n), 使∈S, 并按转移

律由=(3,3,1)到达状态=(0,0,0(1))。2、模型求解本模型使用MATLAB软件编程求解，运行结果如下>> chouxiang输入商人数

目:3输入仆人数目:3输入船的最大容量:2ans = 0 011 01 03 022211313 0323133Matlab程序function foot=chouxiang %程序

开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量sr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数目:);c=input(输入船的最大容量:); if pr>srsr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数

目:);c=input(输入船的最大容量:); end %状态数组生成

zt=1; % 状态数组存放在矩阵“A”中,zt为插入新元素的行标初

始为1for i=sr:-1:0 for j=pr:-1:0 if ((i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0)|(i==sr))

%(i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0)|(i==sr))为可以存在

的状态的约束条件 A(zt,1:3)=[i,j,1]; % 表示此岸安全

A(zt+1,1:3)=[i,j,0]; zt=zt+2; end j=pr;end;end;%决策生成

jc=1; for i=0:c for j=0:c if (i+j<=c)&(i+j>0)

% 满足条件 D={(u,v)|1<=u+v<=c,u,v=0,1,2}

d(jc,1:3)=[i,j1]; %表示从此岸到彼岸 d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %表示从彼岸到此岸 jc=jc+2; end end j=0; end %将状态数

组生成抽象矩阵 k=(1/2)*size(A,1);

CX=zeros(2*k,2*k);a=size(d,1); for i=1:2*k for j=1:a

c=A(i,:)+d(j,:)

; x=find((A(:,1)==c(1))&(A(:,2)==c(2))&(A(:,3)==c(3))) ; v(i,x)=1; % x为空不会改变v的值 end end %dijstra方

法x=1; y=size(A,1);m=size(v,1);T=zeros(m,1); T=T、^-

1;lmd=T; P=T; S=zeros(m,1); S(x)=1; P(x)=0;

lmd(x)=0;k=x;while(1)

a=find(S==0); aa=find(S==1); if size(aa,1)==m break; end for j=1:size(a,1)

pp=a(j,1); if v(k,pp)~=0 if T(pp)>(P(k)+v(k,pp))

T(pp)=(P(k)+v(k,pp)); lmd(pp)=k; end end end

mi=min(T(a)); if mi==inf break; else d=find(T==mi);

d=d(1); P(d)=mi; T(d)=inf; k=d; S(d)=1; endendif

lmd(y)==inf foot=can not reach; return;endfoot(1)=y;g=2;

h=y;while(1)

if h==x break; end foot(g)=lmd(h); g=g+1;

h=lmd(h);end foot=A(foot,:);foot(:,3)=[];

5、模型评价与推广1、模型的优点: 采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；模型的求解运用了强大的matlab 软件，结果可信度高，便于推广；2、模型的缺点: 没有找到商人数﹑随从数及船的容量之间的数量关系；没有考虑到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从。3、该商人、随从过河模型可以完美解决此类商仆过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。