线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性

§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题

1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,

α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .

2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,

则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T .

3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，

则2β1+β2β3= (2,8,2)T .

二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,

则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000

即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0

k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T

线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,

则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0

即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0

所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关

四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2.

五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

解：因为β1β2+β3β4++β2n1β2n=0，

所以，向量组β1,β2,,β2n线性相关。

§2-2线性相关与线性无关（二）

一、设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关并举例说明之。

解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 00 ,b2= 01 .

a1+b1,a2+b2线性相关。

取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 .

a1+b1,a2+b2线性无关。

二、举例说明下列各命题是错误的：

1．若向量组a1,a2,,a m是线性相关的，则a1可由a2,,a m线性表示。解：取a1= 10 ,a2= 00 .

2．若有不全为0的数λ1，λ2，，λm,使

λ1a1+λ2a2+λm a m+λ1b1+λ2b2++λm b m=0

成立，则a1,a2,,a m是线性相关，b1,b2,,b m是线性相关.

解：取a1= 01 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 01 .

3．若只有当λ1，λ2，，λm全为0时，等式

λ1a1+λ2a2+λm a m+λ1b1+λ2b2++λm b m=0

才能成立，则a1,a2,,a m是线性无关，b1,b2,,b m是线性无关。

解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 .

4．若a1,a2,,a m是线性相关，b1,b2,,b m是线性相关，则有不全为0的数λ1，λ2，，λm，使λ1a1+λ2a2+λm a m=0，λ1b1+λ2b2++λm b m=0 同时成立。

解：取a1= 20 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 10 .

三、设向量组a1,a2,,a m线性相关，且a1≠0,证明存在某个向量

a k(2≤k≤m)，使a k能由a1,,a k1线性表示。

证明：因为向量组a1,a2,,a m线性相关，所以存在不全为零的λ1，λ2，,λm使得λ1a1+λ2a2++λm a m=0。设λ1，λ2，,λm中最后一个不为零的数是λk，即λk≠0，λk+1=0,λm=0，又因为a1≠0，所以，λk≠λ1。即有λk≠0(2≤k≤m)，使得λ1a1+λ2a2++λk a k=0，于是，

a k=λ1λk a1+λ2λk a2++λk1λk a k1，命题得证。

四、已知R a1,a2,a3 =2,R a2,a3,a4 =3,

证明：（1）a1能由a2,a3线性表示。（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。

证明：（1）因为R a2,a3,a4 =3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1

知a2,a3也线性无关；又因为R a1,a2,a3 =2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线性表示。

（2）反证法。假设a4能由a1,a2,a3线性表示。再利用（1）的结果，可推出a4能由a2,a3线性表示，由定理2得a2,a3,a4线性相关，与R

a2,a3,a4 =3矛盾。所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。

五、设b1=a1,b2=a1+a2,,b r=a1+a2++a r，且向量a1,a2,,a r线性无关，证明向量组b1，b2，，b r线性无关。

证明：设k1b1+k2b2++k r b r=0 ，则k1a1+k2 a1+a2 ++k r(a1+a2++a r)=0 (k1+k2++k r)a1+(k2++k r)a2++k r a r=0

而向量a1,a2,,a r线性无关，所以，k1+k2++k r=0k2++k r=0k r=0

k1=0k2=0k r=0

所以，向量组b1，b2，，b r线性无关。

§2-3 极大无关组（一）

一、证明n阶单位矩阵的秩为n.

证明：n阶单位矩阵的列向量组为e i=(0,,0,1,0,,0)T,i=1,,n, 设

k1e1+k2e2++k n e n=0, 则