高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值
知识要点：
一、基础知识
1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。

即z=r （cos θ+ i sin θ）
其中z r = θ为复数z 的辐角。

②非零复数z 辐角θ的多值性。

以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ
叫复数z=a+bi 的辐角
因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）
③辐角主值
表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤<arg z π 唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模z r =是唯一的。

⑤z =0时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。

（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。

因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。

辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示
在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）
何量oz z 11→对应于
何量oz z 22→对应于
何量z z z z z 1221→-=对应于
与复数z 2－z 1对应的向量为oz →
显然oz ∥z 1z 2
则arg z 1=∠xoz 1=θ1
arg z 2=∠xoz 2=θ 2
arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）
①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]
如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→
显然积对应的辐角是θ1+θ2
< 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角
模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212
1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
< 1 >θθ210>→
时顺时针旋转角２oz 。

< 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。

二、基本方法
求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：
1）化复数为三角形式
如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44
-i １２（）＝１２［（－４）＋（－４
）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ
-4（k z ∈）
辐角主值为74
π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为
1 2
7
4
7
4
（）
cos sin
ππ
+i
2）直接求辐角及主值
主要是使用复数代数式、三角式的互化：
若z=a+bi （a,b∈R）
则r a b
=+
22辐角为θ则t
b
a
gθ=，θ依点z（a,b）所在象限确定。

如上例z i i
=-=-
1
244
2
4
2
4
（）
cos sin
ππ
设辐角为θ则tgθ=－1
∵点z（
2
4
2
4
,-）在第四象限∴tg θ=tg
7
4
π
θ
π
π
=+∈
7
4
2k k z
（）
而arg z=
7
4
π
3）数形结合
主要是复数运算的几何意义得到的解法。