电磁场与电磁波(第5章时变电磁场)
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q d’
d
r1 q
q a q, d
d a2 d
第4章 时变电磁场
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
E(r) (r )
静磁场：B A
已知电位表达式可以用E(r) (r )求场强E
已知电场强度也可以求电位（P）
等于边界电流面密度。
1、E1t E2t
nˆ (E1 E2 ) 0
2、B1n B2n
3、D1n D2n s
nˆ B1 B2 0 nˆ (D1 D2 ) s
4、H1t H2t Js
nˆ H1 H2 Js
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
大学电磁场与电磁波第五章5.6时变电磁场的唯一性定理
的初始值，并且在 t ≥ 0 时，给定边界面S
上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0
时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
惟一性定理的证明
利用反证法对惟一性定理给予 证明。假 设区域内的解不是惟 一的，那么至少存在两组解 E1、H1和 E2、H2 满足同样的麦克斯韦
E0
=
−µ
∂H 0 ∂t
∇ ⋅ (ε E0 ) =0
根据坡印廷定理，应有
∫ ∫ ∫ −
S
(E0
×
H
0
)
⋅
en
dS
=
d dt
V
(1µ
2
Байду номын сангаас0
2
+
1 2
ε
E0
2
)dV
+
σ
V
2 E0 dV
根据 E0 和 H0 的边界条件，上式左端的被积函数为
(E0
×
H
0
)
⋅
en
S
=
(en
× E0 ) ⋅ H0
S
=
(H0
×
en
)
⋅
E0
S
=
0
所以
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
µ
H0
2
+
1ε
2
2 E0 )dV +
σ
V
2 E0 dV = 0
由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得
∫ ∫ ∫ V
(1 µ
2
H0
2
+
1 2
ε
2 E0 )dV +
电磁场与电磁波(第4版)第5章部分习题参考解答
5.1 在自由空间中，已知电场3(,)10sin() V/m y E z t e t z ωβ=−G G，试求磁场强度。
(,)H z t G解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3π(,)10cos( V/m 2y E z t e t z ωβ=−−G G这是一个沿方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为z +90−D 。
与之相伴的磁场为300311π(,)(,)10cos(210πcos() 2.65sin() A/m120π2z z y x x H z t e E z t e e t z e t z e t z ωβηηωβωβ=×=×−−=−−−=−−G G G G G G G5.2 理想介质（参数为0μμ=、r 0εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，已知其电场瞬时值表达式为9(,)377cos(105) V/m y E x t e t x =−G G试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与(,)E x t G相伴的磁场；(3) 该平面波的平均功率密度。
(,)H x t G 解：(1) 理想介质中的均匀平面波的电场E G应满足波动方程2220EE tμε∂∇−=∂G G据此即可求出欲使给定的E G满足方程所需的媒质参数。
方程中222929425cos(105)y y y y y E E e E e e t x x∂∇=∇==−−∂G G G G 221892237710cos(105)y y y E E e e t t x∂∂==−×−∂∂G G G x = 故得91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με−−+×−即18189425251037710με−==×× 故181882r 0025102510(310) 2.25εμε−−×==×××=其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿x +方向传播的均匀平面波，其相速为98p 10210 m/s 5v k ω===× 而8p 310v ====×故2r 3() 2.252ε==(2) 与电场相伴的磁场E G H G 可由0j E ωμ∇×=−H G G求得。
5.5时变电磁场的能量与能流5.7 波动方程
S dS
s
s (er
I2 2 2b3
) erdS
I2 2 2b3
2bl
I 2l b2
I2R
由上式可知，从导线表面流入的电磁能量转化为导体内部的热损 耗。坡印廷定理得以验证。
5.7 波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程组限定形式为
w
(r,t)
we
(r,t)
wm
(r,t)
1 2
D(r , t )
E(r,t)
1 2
B(r, t )
H (r, t)
可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，空间各点能量密
度的改变引起电磁场能量的流动，即电磁能量在空间传输形成电磁能
流。
2. 坡印廷定理
设如下图所示的区域 V 中，媒质是线性且各向同性的，则此区域
因此，坡印廷定理从场的观点，描述了时变电磁场中能量的守恒 和转换关系。
3. 坡印廷矢量（能流密度矢量）
为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入坡印廷矢量 S ，定义 为：
S EH
（W/m2）
S的方向：由式可知，S 与 E 及 H 垂直，又知 E H ，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 和 H 与 S 构成右旋关系，如 图示。
H J E
t
E H
t
两边取旋度 E H
t
H 0
E
将矢量恒等式 E E 2E
得 E 2E H
t
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第一章矢量分析
第二章静电场
第三章恒定电流的电场和磁场
第四章静态场的解
第五章时变电磁场
第六章平面电磁波
第七章电磁波的辐射
第八章导行电磁波
附录一重要的矢量公式
附录二常用数学公式
附录三量和单位
电磁场与电磁波第二版（周克定著）：内容提要
全书共分八章,内容包括:矢量分析、静电场、恒定电流的`电场和磁场、静电场的解、时变电磁场、平面电磁波、电磁波的辐射及导行电磁波。
本书内容精练,概念清晰,语言流畅,注重实践性与新颖性。
为便于学习使用,书中安排有较
多的例题。
本书可作为高等学校本科相关专业“电磁场与电磁波”课程的教材,也可作为有关科技人员的自学参考书。
电磁场与电磁波第二版（周克定著）：图书目录
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电磁场与电磁波（第三版）课后答案第5章
第五章习题解答5.1真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题 5.1图所示，求三角形回路内的磁通。
解根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场2IrB e穿过三角形回路面积的磁通为d SB S32322[d ]d d 2db db zd dI I z z xxxx由题 5.1图可知，()tan63x d zx d ，故得到32d 3db dIx dxx3[ln(1)]223Ib d b d5.2通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题 5.2图所示。
计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。
解将空腔中视为同时存在J 和J 的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J 、均匀分布在半径为a 的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律d CI B l，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为2222b b bbbbr bbr br J r B J r 电流密度为J 、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为2222a a aaaar aar ar J r B J r 这里a r 和br 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。
将aB 和bB 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：22222babab a r rBJr r ()br b 圆柱内的空腔外：2022ba aar BJr r (,)b ar b r a 空腔内：22b aBJr r J d()ar a 式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。
由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
5.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J 。
dbIzx题 5.1 图Sbr ar Jboao ab题5.2图d(1) 0,r ar H e B H（圆柱坐标）(2) 0(),x y ay ax H e e BH(3) 0,x y axay H e e BH(4) 0,ar He BH （球坐标系）解根据恒定磁场的基本性质，满足0B 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。
电磁场与电磁波 第五章答案
第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。
但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。
说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。
讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。
例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。
在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。
重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。
3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。
面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。
电磁场与电磁波 曹建章第五章作业题解答
∇ ⋅ B t = ∇ ⋅ ( B1 + B 2 ) = ∇ ⋅ B1 + ∇ ⋅ B 2 = 0 ∇ ⋅ Dt = ∇ ⋅ ( D1 + D 2 ) = ∇ ⋅ D1 + ∇ ⋅ D2 = ρV 1 + ρV 2 = ρV
显然， Et、Bt、Dt 和H t 满足麦克斯韦方程组。 5-6．证明通过任意闭合曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 证明 根据麦克斯韦方程，有
Ò ∫∫ J
(S )
V
⋅ dS = −
dq dt
由于 ΔS 很小，近似认为在 ΔS 上 JV 的大小相等和方向相同，当 Δh→0 时，得到
∫∫ J Ò
(S )
V
⋅ dS = J1n ∆S − J 2 n ∆S =− ∂ρ d ( ρ S ∆S ) = − S ∆S dt ∂t ∂ρ S ∂t ∂ρ S ∂t
T
2π / ω
∫
0
cos 2 (ω t − kz )dt
2π / ω
2650 1 1 = ez (ωt − kz ) + sin 2 (ωt − kz ) 2π 2 4 0 = ez 2650 π = e z 1325 (W / m 2 ) 2π
题 5-8 图
（3）任一时刻流入平行六面体中的净功率为
n
ε1 , µ1 , σ1
∆S
J1n ϑ1
J1 , D1
ε 2 , µ2 , σ 2
J 2 , D2
P
ϑ2
J2n
∆h
ρS
题 5-12 图
n ⋅ ( J1 − J 2 ) = −
∂ρ S ∂t
∂D ∂D 或者 n ⋅ J1 + 1 = n ⋅ J 2 + 2 ∂t ∂t
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。
导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。
当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为2)2(042x Q F επ-=静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2)2(042x Q f επ=在移动过程中，外力f 所作的功为d Q d dx dx Q dx f 016220162επεπ=⎰∞⎰∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq8/2επ。
也可以用静电能计算。
在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：d Q d Q Q d Q Q q q W 082)2(04)(21)2(042122211121επεπεπϕϕ-=-+-=+=移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。
因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为dq8/2επ。
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。
在（-a ，d ）处，镜像电荷为-q ，在（错误！链接无效。
）处， 镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜像电荷为-q 。
图5-1 5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为]2)22(2[04R D DRq D D qR Q q F --+=επ其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。
证明：使用镜像法分析。
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波复习第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：面积元：，体积元：(2）柱坐标系长度元:，面积元，体积元：(3)球坐标系长度元：,面积元：,体积元：2、三种坐标系的坐标变量之间的关系(1）直角坐标系与柱坐标系的关系（2）直角坐标系与球坐标系的关系（3）柱坐标系与球坐标系的关系3、梯度(1）直角坐标系中：（2）柱坐标系中：（3）球坐标系中:4。
散度(1）直角坐标系中：（2）柱坐标系中:(3)球坐标系中：5、高斯散度定理：,意义为：任意矢量场的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合面上的通量。
6，旋度（1）直角坐标系中：（2）柱坐标系中：（3）球坐标系中：两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，②标量场梯度的旋度恒为零，7、斯托克斯公式:第二章静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。
描述静电场的基本变量是电场强度、电位移矢量和电位。
电场强度与电位的关系为：。
2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布.其电场强度和电位的计算公式如下:（1)点电荷分布(2）体电荷分布（3)面电荷分布（4）线电荷分布3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为在线性、各向同性介质中，本构方程为:4、电介质的极化（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：。
（2)介质表面的极化面电荷密度为:5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即6、介质分界面上的边界条件（1）分界面上的边界条件（为分界面上的自由电荷面密度)，当分界面上没有自由电荷时，则有：,它给出了的法向分量在介质分界面两侧的关系：（I）如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧的法向分量连续；（II）如果介质分界面上分布电荷密度，的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量,这个增量等于分界面上的面电荷密度。
用电位表示：（2）分界面上的边界条件（切向分量)，电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的.由于电场的切向分量在分界面上总连续,法向分量有限，故在分界面上的电位函数连续，即.电力线折射定律:。
电磁场课后答案 第5章 时变电磁场和平面电磁波-1
& + H e jω t
]
故 S (t ) =
1 & & & & & & & & [ E × H + E × H + E × H e j 2ω t + E * × H e j 2ω t ] 4 1 & & & & = Re[ E × H + E × H e j 2 ω t ] 2
坡印廷矢量代表瞬时电磁功率流密度。 坡印廷矢量代表瞬时电磁功率流密度。
& & 由(a ), × × E = jω × H
& & & 将(b )代入,有 E 2 E = ω2εE
将(c )代入,得 & & 2 E + k 2 E = 0
( )
k = ω ε
& & 同理, 2 H + k 2 H = 0
复矢量边界条件
& & n × ( E1 E2 ) = 0 & & & n × ( H1 H 2 ) = J s & & & n ( D1 D2 ) = ρ s & & n (B B ) = 0
[
jω t
] = y ω
k
E 0 cos( ω t kz
0
π
2
)
η0
E0
sin( ω t kz )
ω
k
0
ω 0 = ω 0ε
=
0
0 = η ε0
0
14
复数形式Maxwell方程组 §5.2 复数形式 方程组
电磁场与电磁波试卷及复习提纲
《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚一、 填空题1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位是___________；真空中介电常数的单位是____________。
2、静电场→E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。
→E 的方向是从电位_______处指向电位______处。
3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。
只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。
位移电流存在于____________和一切___________中。
4、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n＝_________；电流密度→J 的法向分量J 1n －J 2n =___________。
5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→E , ____________________=→H 。
二、计算题1、（15分）在真空中，有一均匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。
求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。
2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ，在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。
3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。
在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。
4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。
求中心点O 处的磁感应强度→B 。
大学电磁场与电磁波第五章5.9正弦时变电磁场中的平均能量与功率
二次式的时间平均值
在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的
平均值，即
∫ ∫ 平均电场能量密度 = weav
1 T
T
= 0 we dt
1 T
T
1
E
⋅
D
dt
02
∫ ∫ 平均磁场能量密度 = wmav
1 T
T
= 0 wm dt
1 T
T
1
H
⋅
B
dt
02
∫ ∫ 平均能流密度矢量
= Sav
其中E0、H0 和
解:(1w) = we +
k 为常数。求：(1)
wm =
1
(
E
⋅
D
+
B
⋅
2
w和
H) =
wav ；(2)
1 2
(ε
0
E
2
S
+
和 Sav。
µ0H 2 )
1 2
ε
0
E02
cos2
(ωt
−
kz
)
+
µ0
H
2 0
cos
2
(ωt
−
kz)
由于 E xˆ= ˆEˆ0ˆe− jkz , D* xε= 0E0e jkz , H y= H0e− jkz , B* yµ0H0e jkz
为
例1 E(z) =
已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢
yE0e−
jkz，其中k
和
E0
为常数。求：（1）磁场强度复矢量H
量 ；
（2）瞬时坡印廷矢量 S
；（3）平均坡印廷矢量
第五章 时变电磁场
解：1、 I J dS 2 10r 1.5 r 2 sin d d
S
00
40 r0.5
3.9738A
r 1mm
2、因为
J
1 r2
d dr
r 2 10r 1.5
dS
H dS
S
上式右边应用散度定理可以写为
S H dS V H dV 0
左边为
D
S
J
c
t
dS
Ic
Id
I
0
证毕
例5-3 坐标原点附近区域内传导电流为 J er 10r 1.5( A / m2 ) 试求：1、通过半径 r = 1mm的球面的电流值；
B
E
l
dl
S
t
dS
B
S
dS
0
D
S
dS
q
微分形式 H J D
t E B
t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
四、麦克斯韦方程组的辅助方程—本构关系 》一般媒质本构关系 》各向同性线性媒质本构关系
D B
0E 0 ( H
P M
)
J
E
D E
电磁场与电磁波_第五章
1 2
Re[ez
|
E
|2
1
|c
|
e j
]
ez
2
1
|c
|
|
E
|2
cos
总结
• 1. 电场E、磁场H与传播方向之间相互垂直， 仍然是横电磁波(TEM)
• 2. 电场与磁场的振幅呈指数衰减 • 3. 波阻抗为复数，电场与磁场不同相位 • 4. 电磁波的相速与频率有关 • 5. 平均磁场能量密度大于平均电场能量密
•
亥姆霍兹的 解为 ：
E
ex ex
exEx Exme( E x me z
ex Exme
j ) z
e jz
z
• 式中第一个式子 ez 表示电场的振幅随传播
距离 z而呈指数衰减， 称为衰减常数，表
示每传播一个单位距离其振幅的衰减量;第二
个因子 e jz是相位因子， 称为相位常数
•
瞬时值为：E
2ExmEym
Exm2
E
2 ym
cos
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
• 在导电媒质中，由于电导率不为零，当电 磁波在其中传播时，其中必然有传导电流， 这将导致电磁能量的损耗。
• 5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
• 在均匀导电媒质中，由
•得
H
J
jE
j(
j
)E
j cE
1
E
( H ) 0
• 可见，在弱导电媒质中，除了有一定的损 耗所引起的衰减外，与理想介质中平面波 的传播特性基本相同
5.3.3 良导体中的均匀平面波
• 良导体是指 1的媒质 • 传播常数为
j ( j ) j (1 j )
时变电磁场
时变电磁场1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。
由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。
2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。
2）电场和磁场共存，不可分割。
3）电力线和磁力线相互环绕。
3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。
第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。
然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。
第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。
第八章介绍了电磁波的产生－天线。
4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。
2）基本方法：复矢量§5.1时变电磁场方程及边界条件1 1)因为t∂∂不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。
其基本方程就是Maxwell 方程。
微分形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅∇=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J B D t BE t DJ H ρρ0 积分形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sV ss Vc s c sdV t s d J s d B dV s d D sd t B l d E s d t D J l d H ρρ)(2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中HB E D με== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。
这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。
3）上面的电流J 包括传导电流E J c σ=和运移电流v J vρ= 2 边界条件：§5.2 时变电磁场的唯一性定理1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点0>t 时Maxwell 方程组有唯一的确定解。
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结论：空间中一旦建立静电荷分布，则空间中立即建立起静电场分布；反过 来，如果在静电场中我们将静电荷撤走，空间中的静电场也将立刻消失
2、时变的电荷和时变的电流源
E (r , t ) 1 4 0
(r ' , t )(r r ' )d '
| r r ' |3
5.4
一、H 的边界条件
时变电磁场的边界条件
n
H 1t
将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭 合回路，并考虑高阶小量 h 。
1
μ 2
S
l
H1
h
H dl J dS
c S
D dS t S
H 2t
H2
Js
与恒定磁场相比较
H d l J dS
c S
1、静态场的场与源的时间特性
静电场和恒定磁场对源的即时性和独立性 静电场： 恒定磁场：
E 1 4 0
(r ' )(r r ' )d '
| r r ' |3
B 0 4
J (r ' ) (r r ' ) ' d ' 3 | r r | l
E ex Em cos t
Jd D e x 0 r Em sin t t
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
J cm Em 4Em
故
J dm 1.125 103 J cm
作业：习题5.3 ，习题5.4 ，习题5.5
5.3
三、例题 例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为 求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均 坡印廷矢量
◇麦克斯韦第一方程： 安培环路定律，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。 ◇麦克斯韦第二方程 ：电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。
◇ 麦克斯韦第三方程 ：磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。 ◇ 麦克斯韦第四方程 ：高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 ◇ 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 ◇ 电流连续性方程可由麦氏方程导出。
s
则
J dS
式中
S
dq D dS J d dS dt t S S
Jd
D t
位移电流密度
设想S2上有位移电流流过，并考虑S2 的面元方向，得
S1
J dS J d dS （对上述两个不同的面S1和S2，得到相同的积分结果）
s2
一般情况下，空间可能同时存在真实电流和位移电流，则安培环路定律为
由斯托克斯定理
E dl E dS
故
c S
B E dS 0 t S
上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零
E B t
上式是法拉第电磁感应定律的微分形式
5.2
位移电流
◇ 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾。 作闭合曲线 c 与导线交链，根据安培环路定律 经过S1 面
二、E 的边界条件
当 h 0 该积分为零 因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的 形式相同，即
同样的分析可得时变场中E的边 界条件与静电场时的形式相同， 即 n E1 E2 0
分界面上电场强度 的切向分量连续
n H1 H2 = Js
三、B 的边界条件
四、D 的边界条件
◇当穿过导体的磁通发生变化时，回路中会产生感应电流，这表明回路中感应了 电动势。这就是法拉第电磁感应定律。
in
d dt
◇负号表示感应电流产生的磁场
总是阻碍原磁场的变化。 ◇电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现感应电 动势，表明导体内出现感应电场
in Ein dl
（2）导体表面电流存在于两导体相向的面
Js
z 0
n H ez H ey
z 0
Js
z d
n H e z H ey p
z d
0 d
E0 sin t k x x
0 d
E0 sin t k x x
5.5
波动方程
考虑均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
◇ 静态场和恒定场 微分形式
H J
积分形式
c
H dl
S
J dS
E 0
S
c
E dl 0
B 0
D
◇ 电流连续性方程 由
B dS 0 D dS q
S
H J
D t
两边取散度
D H J t D 0 J t
究宏观电磁现象的理论基础。 ◇本章在电磁场基本方程组的基础上给出电磁波的运动方程—波动方 程和电磁位方程，它们分别是波动理论和天线理论 的基础
5.1 5.2 5.3 5.4
法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程 时变电磁场的边界条件
5.5
5.6
坡印廷定理和坡印廷矢量
波动方程
5.7
动态矢量位和标量位
B dS
S
则
E dl
c
d B dS dt S
结论：变化的磁场将激励感应电场，感应电场是一种漩式写为微分形式
E dl
c
d B B d S dS （设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起） dt S t S
微分形式
H J D t B E t
麦克斯韦方程
积分形式
D ) dS t
c
H dl
S
(J
S
第一方程
c
E dl
B dS t
第二方程
第三方程 第四方程
B 0
D
讨论
s
S
B dS 0
D dS q
同理
得
2 E E 2 0 t
2
2 H H 0 t 2
2
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
式中 2 为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 x y z
2
而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0 x 2 y 2 z 2 t 2
式中kx为常数。
试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js。 z 解： （1）取如图所示的坐标。由
d
E 0
H t
o
x
得
e x
E E H ez 0 z x t
故
H
E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x ez x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d 1
B( r , t ) 0 4
J (r ' , t ) (r r ' ) ' d | r r ' |3 l
结论：时变的电场将激励磁场，时变的磁场也将激励电场，时变电场与时变磁 场的相互激励将形成向远方传播的电磁波
5.1
法拉第电磁感应定律及其数学方程
H E E t H E t
积分形式
c
H dl
c
S
( E
S
E dl
S
H dS t
E ) dS t
H 0
E
s
H dS 0
E dS q
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。
c
H dl
S
D J dS t
安培环路定律的积分形式
由斯托克斯定理
c
H dl
S
H dS
安培环路定律的微分形式
H J D t
关于电流 传导电流：导电媒质中，带电粒子在电场的作用下的定向运动。 J c E 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 例 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位 移电流与传导电流的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为 则位移电流密度为 其幅值为 传导电流的幅值为
c
d dt
上式对磁场中的任意回路都成立。
设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec,则总电场
E Ein Ec
沿任意闭合路径的积分
E dl Ein dl Ec dl Ein dl
c c c c
d dt
（静电场Ec沿任意闭合路径的积分为零）
磁通
n E1 E2 0 n D1 D2 0 n B1 B2 0
n H1 H2 = 0
或
E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n D2n 0
◇ 理想介质和理想导体的分界面 （ E2 0, D2 0, B2 0, H2 0 ）