电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件

电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为 特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。
电磁能量问题有关概念
电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度w来 描述，它表示单位体积中电磁场的能量，通常是坐标与时间的
函数，即 wwr,t
电磁场的能量流密度：电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁 场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表 示。S是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H
(
E )
t
(
H)
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
波动方程解的一般形式
求解三维方程比较困难，且解的物理意义
不易理解。下面将方程简化，再进行求解和
分析。设强度E只与z和时间t有关，其方向沿x
方向，即
EexE(z,t)
2E
2E t 2
0
2
1 2
z2E(z, t)v2t2E(z, t)0
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
位函数的微分方程
D E
H
B
H
J
D
B
J
E
B A
E
t A
t
t
A
J
( A
)
t t
A ( A) 2 A
2 A
A
0
t
2 A t 2
J
(
A
2
A
2 A t 2
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B 0
Ε
B
t
B A
(Ε
A)
0
t
E
A
t
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（A、）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A
一维波动方程
E (z ,t) E (z ,t) E (z ,t) f t v z f t v z
解的函数形式
波动方程解的诠注 电磁场的波动性
变量
现在关心函数变量 t z 。 v
考虑第一项
E(z,
t)
f
t
z v
代表的物理意义。
设f+的波形当变量 位置为z=zmax
t
z v
0
时为最大值。令波形最大值的
时间改变，从而引起电磁能量流动。
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
坡印廷定理
表征电磁能量守恒关系的定理
微分形式：
(E H)
(
1
E
D
1
H
B) E J
t 2
2
积分形式：
(E H ) dS
d
(1
E
D
1
H
B) dV
E J dV
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒
质，则有
2E
2E t 2
0
2H
2H t 2
0
电磁波动方程
推证
H
Ε
Ε
t
H
t
H
0
Ε 0
同理可得
2E
2E t 2
0
问题
若为有源空间，结果如何？
若为导电媒质，结果如何？
S
dt V 2
2
V
其中：d
(
1
E
D
1
H
B)
dV
——
单位时间内体积V
中所增加
dt V 2
2
的电磁能量
E J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；
V
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率
(E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率 S
推证 由
电磁场与电磁波第四章 时变电磁场
在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间 形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式 传播。
电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描 述，而波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变 化后得到的。
4.1 波动方程
问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
不同位函数之间的上述变换称为规范变换。
原因：未规定
A
的散度。
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原 因就是没有规定 A 的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 A 的散度使位函数满足的方程得以简 化。
J
)
t
同样
D
D
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E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
波动方程及其解的进一步说明
同理可得第二项表示沿-z方向传播的波 波动方程的解代表两个沿相反方向传播的波，具体选择视具 体情况而定
三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘
满足波动方程的电磁场，以振荡形式在空间中传播，形成电
磁波，其传播速度为v
1 ，真空中 vc 1 3108m/s
00
4.2 电磁场的位函数
向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即SSr, t
电磁能量及守恒关系
电场能量密度： we
1 2
E
D
磁场能量密度：
wm
1 2
H
B
dW
dt V
S
电磁能量密度：
w
we
wm
1 2
E
D
1 2
H
B
空间区域V中的电磁能量：W wdV (1 E D 1 H B)dV
V
V2
2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随
H Ε
J
D
t
B