一元二次方程解法及其经典练习题
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
一元二次方程100道计算题练习(含答案)
一元二次方程100道计算题练习(含答案)1、(x+4)=5(x+4)解：将等式两边展开，得到x+4=5x+20，移项化简得4x=-16，因此x=-4.2、(x+1)=4x解：将等式两边展开，得到x+1=4x，移项化简得3x=1，因此x=1/3.3、(x+3)=(1-2x)2解：将等式两边展开，得到x+3=1-4x+4x2，移项化简得4x2-4x-2=0，因此x=1+√3或x=1-√3.4、2x2-10x=3解：将等式两边移项化简，得到2x2-10x-3=0，利用求根公式得到x=(5+√37)/2或x=(5-√37)/2.5、(x+5)2=16解：将等式两边展开，得到x2+10x+25=16，移项化简得x2+10x+9=0，因此x=-1或x=-9.6、2(2x-1)-x(1-2x)=0解：将等式两边展开，得到4x-2-x+2x2=0，移项化简得2x2+3x-2=0，因此x=1/2或x=-2.7、x2+6x-5=0解：利用求根公式得到x=(-6±√56)/2，化简得到x=-3+√14或x=-3-√14.8、5x2-2/5=0解：将等式两边乘以5，得到25x2-2=0，移项化简得到x=±√(2/25)=±2/5.9、8(3-x)2-72=0解：将等式两边移项化简，得到8(3-x)2=72，化简得到(3-x)2=9，因此x=0或x=6.10、3x(x+2)=5(x+2)解：将等式两边移项化简，得到3x(x+2)-5(x+2)=0，因此(3x-5)(x+2)=0，因此x=5/3或x=-2.11、(1-3y)2+2(3y-1)=0解：将等式展开化简，得到9y2-18y+9+6y-2=0，移项化简得到9y2-12y+7=0，利用求根公式得到y=(6±√12)/9.12、x2+2x+3=0解：利用求根公式得到x=(-2±√(-8))/2，因为无实数解，所以方程无解。
《一元二次方程的解法》典型例题及解析
《一元二次方程的解法》典型例题及解析1．以配方法解3x2+4x+1 = 0时，我们可得出下列哪一个方程式( )A．(x+2) 2= 3 B．(3x+)2 =C．(x+)2 =D．(x+)2 =答案：D说明：先将方程3x2+4x+1 = 0的二次项系数化为1，即得x2+x+= 0，再变形得x2+x+()2 =()2−，即(x+)2 =，答案为D．2．想将x2+x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数( )A． B． C．D．答案：D说明：题目所给的式子中x2系数为1，因此，要将它配成一个完全平方式只需加上一次项系数一半的平方，即，所以答案为D．3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A．x2−9x+100 = 0 B．5x2+7x+5 = 0C．16x2−24x+9 = 0 D．2x2+3x−4 = 0答案：D说明：方程x2−9x+100 = 0中b2−4ac = 81−400<0；方程5x2+7x+5 = 0中b2−4ac = 49−4×5×5 = 49−100<0；方程16x2−24x+9 = 0中b2−4ac = 576−4×16×9 = 0；方程2x2+3x−4 = 0中b2−4ac = 9+32 = 41>0，所以方程2x2 = 3x−4 = 0有两个不相等的实数根，故选D．4．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A．4(x−1)2−49 = 0 B．(x−2)(x−3)+(3−x) = 0C．x2+(2+1)x+2= 0 D．x(x−)+1 = 0答案：B说明：A中方程整理为一般形式为4x2−8x−45 = 0，这里b2−4ac = 64+720 = 784>0；B中方程整理为一般形式为：x2−6x+9 = 0，这里b2−4ac = 36−36 = 0；C中方程b2−4ac = 21+4−8= 21−4>0；D中方程整理为一般形式为x2−x+1 = 0，这里b2−4ac = 5−4 = 1>0；所以只有方程(x−2)(x−3)+(3−x) = 0有两个相等实数根，答案为B．5．下列方程4x2−3x−1 = 0，5x2−7x+2 = 0，13x2−15x+2 = 0中，有一个公共解是( )A．x =B．x = 2 C．x = 1 D．x = −1 答案：C说明：方程4x2−3x−1 = 0可变形为(4x+1)(x−1) = 0，方程5x2−7x+2 = 0可变形为(x−1)(5x−2) = 0，方程13x2−15x+2 = 0可变形为(x−1)(13x+2) = 0，所以这三个方程的公共解为x = 1，答案为C．6．用适当的方法解下列一元二次方程．(1)(x+4)2−(2x−1)2 = 0(2)x2−16x−4 = 0(3)2x2−3x−6 = 0(4)(x−2)2 = 256(5)(2t+3)2 = 3(2t+3)(6)(3−y)2+y2 = 9(7)(1+)x2−(1−)x = 0解：(1)平方差公式分解因式，方程变形为[(x+4)+(2x−1)][(x+4)−(2x−1)] = 0，化简后即3(x+1)(5−x) = 0，因此，可求得x1 = −1，x2 = 5．(2)用配方法，方程可变形为(x−8)2 = 68，两边开方化简可得x = 8±2(3)用公式法，b2− 4ac = (−3)2−4×2×(−6) = 57，所以x =(4)方程两边直接开方，得x−2 = ±16，即x1 = 18，x2 = −14(5)方程可化为(2t+3)(2t+3−3) = 0，即2t(2t+3) = 0，解得t1 = 0，t2 = −(6)方程变形为(y−3)2+y2−9 = 0，(y−3)[(y−3)+(y+3)] = 0，即2y(y−3) = 0，解得y1 = 0，y2 = 3(7)用因式分解法，方程可变形为x[(1+)x−1+] = 0，所以x1 = 0，x2 === 2−3扩展资料一元二次方程，数学史上的一场论战中世纪的欧洲，代数学的发展几乎处于停滞的状态，其真正的起步，始于公元1535年的一场震动数学界的论战．大家知道，尽管在古代的巴比伦或古代的中国，都已掌握了某些类型一元二次方程解法．但一元二次方程的公式解法，却是由中亚数学家阿尔·花拉子米于公元825年给出的．花拉子米是把方程x2+px+q = 0配方后改写为：的形式，从而得出了方程的两个根为：在欧洲，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊的丢番图，虽然也曾得到过类似的式子，但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数，且根为正数时，方程才算有解，因而数学史上都认为阿尔·花拉子米为求得一元二次方程一般解的第一人．花拉子米之后，许多数学家都致力于三次方程公式解的探求，但在数百年漫漫的历史长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人取得实质性进展，许多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！话说当时意大利的波伦亚大学，有一位叫费洛的数学教授，也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的研究，功夫不负有心人，他终于取得了重大突破.公元1505年，费洛宣布自己已经找到了形如x3 + px = q方程的一个特别情形的解法，但他没有公开自己的成果，为的是能在一次国际性的数学竞赛中一放光彩．遗憾的是，费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去，临死前他把自己的方法传给了得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯．现在话转另外一头，在意大利北部的布里西亚，有一个颇有名气的年轻人，叫塔塔里亚（Nicolo Tartaglia，1500－1557），此人从小天资聪明，勤奋好学，在数学方面表现出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，因而一时间名闻遐迩．塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的歧视，公元1530年，当时布里西亚的一些人公开向塔塔里亚发难，提出以下两道具有挑战性的问题：（1）求一个数，其立方加上平方的3倍等于5；（2）求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大2，它们的积为1000．读者不难知道，对第一个问题，若令所求数为x，则依题意有：x3+3x2 = 5而对第二个问题，令第一个数为x，则第二、三数分别为x+2，x+4，于是依题意有：x(x+2)(x+4)=1000化简后x3+6x2+8x−1000 = 0以上是两道三次方程的求解问题，塔塔里亚求出了这两道方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震！消息传到了波伦亚，费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒，他无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定，在1535年2月22日，于意大利的米兰，公开举行数学竞赛，各出30道问题，在两小时内决定胜负．赛期渐近，塔塔里亚因自己毕竟是自学出身而感到有些紧张．他想：佛罗雷都斯是费洛的得意弟子，难保他不会拿解三次方程来对付自己，那么自己所掌握的一类方法与费洛的解法究竟相距多远呢？他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花，在临赛前八天，塔塔里亚终于找到了解三次方程的新方法，为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的八天时间，一面熟练自己的新方法，一面精心构造了30道只有运用新方法才能解出的问题．2月22日那天，米兰的大教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来．比赛开始了，双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题，但见塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到两小时的时间内，解完了的佛罗雷都斯的全部问题．与此同时，佛罗雷都斯却提笔拈纸，望题兴叹，一筹莫展，终于以0:30败下阵来！消息传出，数学界为之震动.在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡当（Girolamo Cardano，1501－1576）．卡当其人，不仅医术颇高，而且精于数学.他也潜心于三次方程的解法，但无所获．所以听到塔塔里亚已经掌握三次方程的解法时,满心希望能分享这一成果．然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲，所以并不打算把自己的成果立即发表，而醉心于完成《几何原本》的巨型译作．对众多的求教者，则一概拒之门外．当过医生的卡当，熟谙心理学的要领，软缠硬磨，终于使自己成了唯一的例外．公元1539年，塔塔利亚终于同意把秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守发现的秘密．然而卡当实际上没有遵守这一诺言．公元1545年，他用自己的名字发表了《大法》一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：“大约30年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔塔里亚进行过数学竞赛，塔塔里亚也发现了这一方法．在我的恳求下，塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明．借助于此，我找到了若干证明，因其十分困难，特叙述如下．”卡当指出：对不完全三次方程x3+px+q = 0，公式给出了它的解，这就是今天我们所说的卡当公式．《大法》发表第二年，塔塔里亚发表了的《种种疑问及发明》一文，谴责卡当背信弃义，并要求在米兰与卡当公开竞赛，一决雌雄．然而到比赛那一天，出阵的并非卡当本人，而是他的天才学生斐拉里（Ferrari L.，1522－1565），此时斐拉里，风华正茂，思维敏捷，他不仅掌握了解三次方程的全部要领，而且发现了一般四次方程的极为巧妙的解法．塔塔里亚自然不是他的对手，终于狼狈败退，并因此番挫折，心神俱伤，于公元1557年溘然与世长辞！没想到，正是这场震动数学界的论战，使沉沦了一千三百多年的欧洲代数学，揭开了划时代的新篇章！。
50道一元二次方程带解题过程
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
用配方法解下列方程：
解：(1)移项，得
x2+10x=-9.
(1)x²+10x+9＝0 ;
配方，得
x2+10x+5²=-9+5²，
(2)x²+6x-4＝0;
(3)x²+4x+9＝2x+11.
(x+5)²=16.
由此可得
x+5=±4,
x1=-1，x2=-9.
随堂练习
用配方法解下列方程：
解：(2)移项，得
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
之间有什么关系?
( )²
4.x²+px+____=(x+__)²
.
一元二次方程练习题-含答案(解法20题-题海111题)
一元二次方程练习题-含答案(解法20题-题海111题)经典解法20题（1）(3x+1)^2=7（2）9x^2-24x+16=11(3) (x+3)(x-6)=-8(4) 2x^2+3x=0(5) 6x^2+5x-50=0 (选学）(6)x^2-4x+4=0 （选学）(7)（x-2）^2=4（2x+3）^2（8）y^2+2√2y-4=0（9）（x+1）^2-3（x+1)+2=0（10）x^2+2ax-3a^2=0（a为常数）海量111题1)x^2-9x+8=0(2)x^2+6x-27=0(3)x^2-2x-80=0(4)x^2+10x-200=0(5)x^2-20x+96=0(6)x^2+23x+76=0(7)x^2-25x+154=0(8)x^2-12x-108=0(9)x^2+4x-252=0(10)x^2-11x-102=0(11)x^2+15x-54=0(12)x^2+11x+18=0(13)x^2-9x+20=0(14)x^2+19x+90=0(15)x^2-25x+156=0(16)x^2-22x+57=0(17)x^2-5x-176=0(18)x^2-26x+133=0(19)x^2+10x-11=0(20)x^2-3x-304=0(22)x^2+13x-48=0(23)x^2+5x-176=0(24)x^2+28x+171=0(25)x^2+14x+45=0(26)x^2-9x-136=0(27)x^2-15x-76=0(28)x^2+23x+126=0(29)x^2+9x-70=0(30)x^2-1x-56=0(31)x^2+7x-60=0(32)x^2+10x-39=0(33)x^2+19x+34=0(34)x^2-6x-160=0(35)x^2-6x-55=0(36)x^2-7x-144=0(37)x^2+20x+51=0(38)x^2-9x+14=0(39)x^2-29x+208=0(40)x^2+19x-20=0(41)x^2-13x-48=0(42)x^2+10x+24=0(44)x^2-8x-209=0(45)x^2+23x+90=0(46)x^2+7x+6=0(47)x^2+16x+28=0(48)x^2+5x-50=0(49)x^2+13x-14=0(50)x^2-23x+102=0(51)x^2+5x-176=0(52)x^2-8x-20=0(53)x^2-16x+39=0(54)x^2+32x+240=0(55)x^2+34x+288=0(56)x^2+22x+105=0(57)x^2+19x-20=0(58)x^2-7x+6=0(59)x^2+4x-221=0(60)x^2+6x-91=0(61)x^2+8x+12=0(62)x^2+7x-120=0(63)x^2-18x+17=0(64)x^2+7x-170=0(66)x^2+13x+12=0(67)x^2+24x+119=0(68)x^2+11x-42=0(69)x^20x-289=0(70)x^2+13x+30=0(71)x^2-24x+140=0(72)x^2+4x-60=0(73)x^2+27x+170=0(74)x^2+27x+152=0(75)x^2-2x-99=0(76)x^2+12x+11=0(77)x^2+17x+70=0(78)x^2+20x+19=0(79)x^2-2x-168=0(80)x^2-13x+30=0(81)x^2-10x-119=0(82)x^2+16x-17=0(83)x^2-1x-20=0(84)x^2-2x-288=0(85)x^2-20x+64=0(86)x^2+22x+105=0(88)x^2-4x-285=0(89)x^2+26x+133=0(90)x^2-17x+16=0(91)x^2+3x-4=0(92)x^2-14x+48=0(93)x^2-12x-133=0(94)x^2+5x+4=0(95)x^2+6x-91=0(96)x^2+3x-4=0(97)x^2-13x+12=0(98)x^2+7x-44=0(99)x^2-6x-7=0 (100)x^2-9x-90=0 (101)x^2+17x+72=0 (102)x^2+13x-14=0 (103)x^2+9x-36=0 (104)x^2-9x-90=0 (105)x^2+14x+13=0 (106)x^2-16x+63=0 (107)x^2-15x+44=0 (108)x^2+2x-168=0(110)x^2-6x-55=0 (111)x^2+18x+32=0答案（1）(3x+1)^2=7解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= (±√7-1)/3（2）9x^2-24x+16=11解：9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= (±√11+4)/3 ∴原方程的解为x1=(√11+4)/3 x2=(-√11+4)/3(3) (x+3)(x-6)=-8解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
初中数学解一元二次方程经典练习题(含答案)
初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。
一元二次方程10道例题
一元二次方程10道例题一、直接开平方法例1：解方程(x - 3)^2=16解析：对于方程(x - 3)^2 = 16，根据直接开平方法，我们得到：x-3=±4当x - 3=4时，x=4 + 3=7；当x-3=-4时，x=- 4+3=-1。
所以方程的解为x_1 = 7，x_2=-1。
二、配方法例2：解方程x^2+6x - 7 = 0解析：在方程x^2+6x-7 = 0中，1. 移项得x^2+6x=7。
2. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+6x + 9=7 + 9，得到(x + 3)^2=16。
3. 然后用直接开平方法，x+3=±4。
- 当x+3 = 4时，x=1。
- 当x + 3=-4时，x=-7。
所以方程的解为x_1=1，x_2 = - 7。
三、公式法例3：解方程2x^2-5x+3=0解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
在方程2x^2-5x + 3=0中，a = 2，b=-5，c = 3。
1. 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1。
2. 把a、b、Δ的值代入求根公式，得到x=(5±√(1))/(4)。
- 当取正号时，x=(5 + 1)/(4)=(3)/(2)。
- 当取负号时，x=(5-1)/(4)=1。
所以方程的解为x_1=(3)/(2)，x_2 = 1。
四、因式分解法例4：解方程x^2-3x+2=0解析：1. 对x^2-3x + 2进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)=0。
2. 则有x-1=0或者x - 2=0。
- 当x-1=0时，x = 1。
- 当x-2=0时，x=2。
所以方程的解为x_1=1，x_2=2。
例5：解方程6x^2+x - 1=0解析：1. 对6x^2+x - 1进行因式分解，得到(2x + 1)(3x - 1)=0。
一元二次方程解法及其配套练习-精心--方法全面-例题经典
一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一: ——直接开方法适用围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同C时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1，x2可以验证，和都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ的面积等于8cm2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C ．（x-23）2=59，x 1=23x 2 D ．（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-13二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．例3．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53CAQP例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0. 解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-35．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y-+的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件． ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b 2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b 2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b 2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x2 3.当Δ=b 2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a--(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵4a 2>0，4a2＞0,当b 2-4ac ≥0时2244b aca-≥0∴（x+2b a）2)2直接开平方，得：x+2ba = 即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
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一元二次方程解法及其经典练习题
方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）
如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x
5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2．
7．.063)4(22=--x
] 方法二：配方法解一元二次方程
1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的步骤：
二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y
2、x x 4232=- 39642=-x x 、
*
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、07232=-+x x
方法三：公式法
1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）
（1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。
（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
$
二、用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、22314y y -=
3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8．
.03232=--x x
方法四：因式分解法
因式分解的方法：
（1）提公因式法：
（2）…
（3）公式法：平方差： 完全平方：
（4）十字相乘法：
一、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
4、22)2(25)3(4-=+x x
5、0)21()21(2=--+x x
6、0)23()32(2=-+-x x
二、 用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法) 1、2260x y -+= 2、x x 5322=- 3.030222=--x x 4.()()412=-+y y $
5、01072=+-x x
6、()()623=+-x x 7. 02222=+-+a b ax x 8.()()1314-=-x x x
1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
…
2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．
（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．
3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗给出答案并说明理由。