知识讲解_三角函数的性质及其应用_基础

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三角函数的基本性质知识点总结

三角函数的基本性质知识点总结一、正弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，其对边与斜边之比，即sin A = 对边/斜边。

2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA，对称轴为原点。

4. 周期性：正弦函数的周期是360°或2π，即sin(A + 360°) = sinA。

5. 正弦函数的图像：根据正弦函数的性质，可以绘制出正弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动。

二、余弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，其临边与斜边之比，即cos A = 临边/斜边。

2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA，对称轴为y轴。

4. 周期性：余弦函数的周期是360°或2π，即cos(A + 360°) = cosA。

5. 余弦函数的图像：根据余弦函数的性质，可以绘制出余弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动，与正弦函数的图像相似但形状相对位移。

三、正切函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，其对边与临边之比，即tan A = 对边/临边。

2. 定义域和值域：正切函数的定义域是除去所有使得临边等于零的实数，值域是全体实数集。

3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-A) = -tanA，对称轴为原点。

4. 周期性：正切函数的周期是180°或π，即tan(A + 180°) = tanA。

5. 正切函数的图像：根据正切函数的性质，可以绘制出正切函数的图像，在0°到180°的范围内，图像呈现周期性的波动。

三角函数知识点

三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

知识讲解三角函数的性质及其应用基础 (1)

三角函数的性质及其应用编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法1.五点作图法：作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2．图象变换法：（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x =的图象；（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到sin()y A x ϕ=+的图象；（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。

要点诠释：由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.图象的作法三角函数的性质及其应用图象的性质考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕω-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2Tπω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。

三角函数知识点归纳

单调增区间可由2k － ≤x＋≤2k ＋，k∈z解得；
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋，k∈z解得。
在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
如函数的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数的图像和三角函数模型的简单应用
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
② ；问：；；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案：）
④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

三角函数及其应用

三角函数及其应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。

在数学和物理学等学科中，三角函数被广泛应用于各种问题的求解和描述中。

本文将介绍三角函数的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。

一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的值定义为对边与斜边的比值。

在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的对边长度为a，则正弦函数被定义为sinθ = a/h。

2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一种常用的三角函数，它的值定义为邻边与斜边的比值。

同样在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的邻边长度为b，则余弦函数被定义为cosθ = b/h。

3. 正切函数（tan）正切函数是另一个常见的三角函数，它的值定义为对边与邻边的比值。

在直角三角形中，正切函数被定义为tanθ = a/b。

这些基本的三角函数在数学中有许多重要的性质与关系，如同一锐角的正弦与余弦的平方和为1，正弦函数与余弦函数之间存在一个倒数关系等。

这些性质和关系为三角函数的应用提供了坚实的理论基础。

二、三角函数的应用1. 解决三角形问题三角函数在解决三角形相关问题中发挥着重要作用。

例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数求解该三角形的其他边长和角度。

这在测量学、建筑学和导航等领域中是非常常见的应用。

2. 信号处理与波动模型三角函数在信号处理和波动模型中有广泛的应用。

例如，在音频处理中，正弦函数可以用来描述声音的波动。

在电子通信中，可以利用三角函数描述和分析调制信号的频谱特性。

这些应用使得三角函数成为了数字信号处理和通信工程的重要基础。

3. 物理学中的运动描述在物理学中，三角函数也被广泛用于描述物体的运动。

例如，一个振动的物体可以用正弦函数来描述其位置随时间的变化。

同样地，一段直线运动可以用余弦函数来描述物体的位置随时间的变化。

这些应用使得三角函数在物理学建模和运动分析中具有重要地位。

三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案－π6考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

三角函数基础知识

三角函数基础知识三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

本文将介绍三角函数的基础知识，包括正弦、余弦和正切等常用三角函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

对于任意实数x，其正弦值可以表示为sin(x)，即sin(x) = A/C，其中A是x点在单位圆上垂直于x轴的投影长度，C是单位圆的半径。

正弦函数有以下一些重要特点：1. 周期性：sin(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)。

2. 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称，即图像关于原点对称。

3. 取值范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，即sin(x) ≤ 1，sin(x)≥ -1。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数相似的一个函数。

对于任意实数x，其余弦值可以表示为cos(x)，即cos(x) = B/C，其中B是x点在单位圆上与x轴的夹角的邻边长度。

余弦函数与正弦函数有相似的性质：1. 周期性：cos(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)。

2. 偶函数性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称。

3. 取值范围：余弦函数的值域为[-1, 1]，即cos(x) ≤ 1，cos(x)≥ -1。

三、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数，对于任意实数x，其正切值可以表示为tan(x)，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。

正切函数有以下一些特点：1. 周期性：tan(x)具有周期π，即对于任意实数x，有tan(x + π) = tan(x)。

2. 奇函数性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称，即图像关于原点对称。

3. 取值范围：正切函数的取值范围为整个实数集。

四、三角函数的应用三角函数在许多实际问题中都有广泛的应用。

三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)

(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将

数学中的三角函数概念及其应用

数学中的三角函数概念及其应用三角函数是解决三角形相关问题的数学工具。

三角函数的概念通常可用一些基本函数来表示，比如正弦、余弦、正切。

这些函数在数学中广泛应用，对于计算和推导都有很大帮助。

一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数在一个直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角，其对边与斜边的比值，记作sin。

即sin=a/c。

在三角形中，角度越小，正弦值越小。

也就是说，sin0=0，sin90=1。

知道sin的定义，我们可以推导出sin的周期与奇偶性质。

由于正弦函数是个周期函数，周期为2π。

另外，正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

2. 余弦函数余弦函数是指对于一个锐角，其邻边与斜边的比值，记作cos。

即cos=b/c。

在三角形中，角度越小，余弦值越大。

也就是说，cos0=1，cos90=0。

与正弦函数类似，可以推导出余弦函数的周期与奇偶性质。

余弦函数同样是周期为2π的函数，但它是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

3. 正切函数正切函数是指对于一个锐角，其对边与邻边的比值，记作tan。

即tan=a/b。

在三角形中，角度越小，正切值越小。

也就是说，tan0=0，tan90=undefined。

正切函数的周期同样为π，但是它的奇偶性质不同于之前的两个函数。

正切函数为奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

二、三角函数的应用1. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中最常见的应用就是计算直角三角形中缺失的数值。

比如，在已知两边以及一个角度的情况下，可以求解第三边的长度；在已知三个角度的情况下，可以确定三角形是否为直角三角形。

2. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理中应用广泛。

例如，当一个物体作周期运动时，其运动轨迹可以用正弦或余弦函数来表示。

这里，周期总是与角频率相关。

用正弦函数表示物体的位移函数，与角频率ω有关，即y=Asin(ωt+φ)。

而用余弦函数表示，则与角频率的关系为y=Acos(ωt+φ)。

三角函数基础知识点

三角函数基础知识点三角函数是数学中的一个重要分支，它研究了三角形的角和边之间的关系。

它在解决几何问题、物理问题、工程问题等方面有着广泛的应用。

本文将介绍三角函数的基础知识点，包括三角函数的定义、性质、基本关系、常用公式等。

一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan。

这些函数将一个角映射为一个比值，该比值与三角形的边的长度有关。

1. 正弦函数sin:正弦函数是一个周期函数，定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinA = a/c。

2. 余弦函数cos:余弦函数也是一个周期函数，定义为一个角的邻边与斜边的比值，即cosA = b/c。

3. 正切函数tan:正切函数也是一个周期函数，定义为一个角的对边与邻边的比值，即tanA = a/b。

二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数是周期函数，周期为360度或2π弧度。

即sin(x + 360n) = sin(x)、cos(x + 360n) = cos(x)、tan(x + 180n) = tan(x)。

2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

3.交替性：正弦函数和余弦函数在一些点上交替变换，即sin(x + π) = -sin(x)、cos(x + π) = -cos(x)。

正切函数在一些点上没有定义，即tan(x + π) = tan(x)。

三、三角函数的基本关系1.三角函数之间的关系：sin²A + cos²A = 1，这是三角恒等式之一，可以利用勾股定理推导出来。

2.三角函数的互换关系：sin(x) = cos(90° - x)cos(x) = sin(90° - x)tan(x) = 1/tan(90° - x)3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))四、常用三角函数公式1.加法公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 2.减法公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 3.和差与倍角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))以上是三角函数基础知识的介绍，了解这些知识点对于理解三角函数的性质和应用是非常重要的。

三角函数性质与应用例题和知识点总结

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结三角函数是高中数学中重要的概念之一，涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数等常用函数。

在此将对三角函数的知识点进行归纳总结，包括定义、性质和应用等方面。

1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，用sin表示。

在单位圆上，正弦函数的值等于半径落在单位圆上的点的y坐标。

- 定义：sinθ = y / r，其中θ表示角度，y表示对边的长度，r表示斜边的长度。

- 基本性质：周期为2π，函数值介于-1和1之间，奇函数（满足f(-θ) = -f(θ)）。

- 特殊性质：正弦函数在[0, π/2]区间上是递增的，在[π/2, π]区间上是递减的，在[π, 2π]区间上是递增的。

- 应用：电磁波、震动、信号处理等领域。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是一个周期函数，用cos表示。

在单位圆上，余弦函数的值等于半径落在单位圆上的点的x坐标。

- 定义：cosθ = x / r，其中θ表示角度，x表示邻边的长度，r表示斜边的长度。

- 基本性质：周期为2π，函数值介于-1和1之间，偶函数（满足f(-θ) = f(θ)）。

- 特殊性质：余弦函数在[0, π/2]区间上是递减的，在[π/2, π]区间上是递增的，在[π, 2π]区间上是递减的。

- 应用：振动、周期性现象、热传导等领域。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个周期函数，用tan表示。

正切函数的值等于正弦函数值与余弦函数值的比值。

- 定义：tanθ = y / x，其中θ表示角度，y表示对边的长度，x表示邻边的长度。

- 基本性质：周期为π，正切函数在部分区间上为单调递增或递减函数。

- 特殊性质：正切函数的定义域为除x = (2k+1)π/2（k为整数）之外的实数集，值域为负无穷到正无穷。

- 应用：电路分析、光学、几何等领域。

4. 弧度制度转换关系：角的度量单位有角度和弧度两种。

三角函数的基本性质与像知识点总结

三角函数的基本性质与像知识点总结三角函数是数学中的重要概念，在几何图形、物理问题等领域都有广泛应用。

本文将对三角函数的基本性质和像知识点进行总结和归纳。

一、正弦函数与余弦函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

这意味着函数图像关于y轴对称。

3. 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

函数图像在y轴上下波动，最大值为1，最小值为-1。

4. 单调性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到2π（或0°到360°）的区间内，正弦函数在0到π（或0°到180°）单调递增，余弦函数在0到π/2（或0°到90°）单调递减。

二、正切函数与余切函数的基本性质1. 周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π（或180°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

这意味着函数图像关于原点对称。

3. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为实数集，但由于存在奇点，即函数在某些角度上无定义，因此需注意避开这些奇点。

值域为全体实数。

4. 单调性：正切函数和余切函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到π/2（或0°到90°）的区间内，正切函数和余切函数均单调递增。

三、三角函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式：sin(x+π)=-sin(x)，sin(x+2π) = sin(x)。

2. 余弦函数的诱导公式：cos(x+π)=-cos(x)，cos(x+2π) = cos(x)。

三角函数的概念与性质详解

三角函数的概念与性质详解三角函数是数学中的重要概念，与三角学密切相关。

它们可以用于解决各种与角度、三角形以及周期性现象相关的问题。

本文将详细介绍三角函数的概念及其性质，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、三角函数的定义与概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。

在直角三角形中，正弦函数的定义为：一个锐角的对边与斜边的比值。

在数学中，正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360°），其值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用cos表示。

在直角三角形中，余弦函数的定义为：一个锐角的邻边与斜边的比值。

余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360°），其值域同样在[-1, 1]之间。

3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个常见函数，通常用tan表示。

在直角三角形中，正切函数的定义为：一个锐角的对边与邻边的比值。

正切函数是一个无穷函数，其值域为全体实数。

二、三角函数的重要性质1. 周期性如前所述，正弦函数和余弦函数的周期都是2π（或360°）。

这意味着正弦函数和余弦函数在经过一个完整的周期后，其值将重复。

2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

这意味着正弦函数在原点对称，而余弦函数在y轴上对称。

3. 关系公式三角函数之间存在一些重要的关系公式，如：①正切函数与正弦函数和余弦函数的关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)②余切函数与正弦函数和余弦函数的关系：cot(x) = cos(x) / sin(x)③正弦函数和余弦函数的平方和关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这些关系公式在计算中具有重要的作用。

三角函数及其应用

三角函数及其应用三角函数是中学数学中的必修内容，是对于任何学习数学的人来说，都是相当重要的一部分。

三角函数指的是正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数，这四种函数的图像都是由周期的波形组成的。

在数学中，三角函数的应用十分广泛，不仅可以用于计算几何中的角度问题，还可以应用于机械、电学、天文学等各个领域。

下面将从三角函数的定义、性质、应用等方面进行论述。

一、三角函数的定义在直角三角形中，对于角度$\theta$，我们可以定义三角函数的值，正弦函数$sin\theta$、余弦函数$cos\theta$、正切函数$tan\theta$、余切函数$cot\theta$，每一种函数都可以表示角度$\theta$的某种性质。

以正弦函数为例，当我们拥有一个弧度为$\theta$的圆，该圆的半径长度为1，它的水平坐标点和纵坐标点分别为$x$和$y$，则正弦函数的值就是$y$。

这里需要注意的是，正弦函数的值是一个介于-1到1之间的实数。

二、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为$2\pi$，即$sin(x+2\pi)=sin x$，$cos(x+2\pi)=cos x$。

因此，当我们绘制正弦函数和余弦函数的图像时，只需要在一个周期内绘制即可，将该周期复制多次即可得到图像的全部样貌。

2.换元性：由于三角函数之间存在一些关系，所以在计算过程中，我们可以通过换元来改变函数的形式，从而简化计算。

以正弦函数和余弦函数为例，有以下换元公式：$sin(\pi-x)=sin x$$cos(\pi-x)=-cos x$$sin(-x)=-sin x$$cos(-x)=cos x$3.奇偶性：正弦函数是奇函数，即$sin(-x)=-sin x$，而余弦函数是偶函数，即$cos(-x)=cos x$。

这种奇偶性在计算中经常用到，例如将要计算的三角函数改写为正弦函数或余弦函数的形式，然后利用函数的奇偶性简化计算。

4.性质关系：三角函数与三角函数之间存在一些关系，例如下面这些公式：$sin^2 x+cos^2 x=1$$tan x=\dfrac{sin x}{cos x}$$1+tan^2 x=sec^2x$$cot x=\dfrac{1}{tan x}=\dfrac{cos x}{sin x}$三、三角函数的应用在数学中，三角函数应用十分广泛，尤其是在计算几何、机械和电学等领域。

三角函数的周期与性质知识点总结

三角函数的周期与性质知识点总结三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学、物理和工程等领域具有广泛的应用。

本文将总结三角函数的周期和性质知识点，帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数的周期与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。

其图像呈现周期性变化，周期为2π。

这意味着，在0到2π的范围内，正弦函数的图像会重复出现。

正弦函数具有以下性质：1. 正弦函数的取值范围介于-1和1之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

2. 正弦函数在x = 0, π, 2π等点处达到最小值或最大值。

3. 正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

4. 正弦函数是周期函数，具有平移对称性，即sin(x + 2π) = sin(x)。

二、余弦函数的周期与性质余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

余弦函数的图像也具有周期性变化，周期同样为2π。

余弦函数的周期性与正弦函数类似，但两者的相位差为π/2。

余弦函数具有以下性质：1. 余弦函数的取值范围同样介于-1和1之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

2. 余弦函数在x = π/2, π, 3π/2等点处达到最小值或最大值。

3. 余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

4. 余弦函数是周期函数，具有平移对称性，即cos(x + 2π) = cos(x)。

三、正切函数的周期与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，表示为tan(x)。

正切函数的图像没有固定的周期，它的图像在每个π的间隔内重复出现。

正切函数具有以下性质：1. 正切函数的取值范围为整个实数集，即tan(x)的值可以是任意实数。

2. 正切函数在x = π/2, 3π/2, 5π/2等点处不存在定义，因为在这些点处其值趋近于正无穷或负无穷。

3. 正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。

4. 正切函数的图像具有周期性变化，tan(x + π) = tan(x)。

初中三角函数知识点归纳总结

初中三角函数知识点归纳总结三角函数作为初中数学的重要数学分支，在高数中也有广泛的应用。

本文致力于归纳总结初中三角函数中的知识点，涵盖了三角函数的基本概念、一元三角函数的性质、三角函数的反函数以及三角函数的应用等内容。

结合本文中的知识点，期待能够帮助读者更好的理解三角函数，并能够应用本知识点解决真实问题。

关键词：三角函数；一元三角函数；反函数；应用1、三角函数基本概念三角函数简称为“三角函数”，是以三角形的边长或者角度为变量，用函数表达式表示的一类函数，它以三角关系作为主要的计算依据，它的具体应用，是指在分析三角形的多种性质时，对边长和角度的各种变化，建立起两者间的一种关系，形成一类函数的总称。

三角函数的概念是常用的梯形和正弦图的概念，因为弧度是从图中比例等分出来的，所以它也是科学计算中重要的一环。

2、一元三角函数性质一元三角函数具有以下性质：（1）期性：即同一函数在某一个周期内，其函数值不断重复，周期具有恒定的长度；（2）称性：即在函数图像上，以原点为中心，关于这条直线对称；（3）偶性：即函数图像关于原点对称，而不关注它的上升或下降的方向；（4）形性：即一元三角函数的图像形状为正弦波或余弦波，随着变量的变化而变化；（5）度变换：即当数轴的起点移动，函数值的大小会有所变化，也就是三角函数当中的变角公式。

3、三角函数的反函数反函数是从一元三角函数表达式可以转换出来的另一种函数表达式，它可以将三角函数变为一元函数。

反函数的定义域与三角函数的值域是一样的，它们满足一定的关系：若y=sin(x)，那么x=arcsin(y)另外，反函数的函数图像为三角函数的反函数图像，而其值域及定义域也发生变化。

4、三角函数的应用三角函数在实际生活中被广泛应用，其中主要有以下几类：（1）在工程计算中，三角函数被应用于包括桥梁弯曲、汽车启停机制、空气动力学等；（2）在地理学中，三角函数可以用于测量地球表面的面积，以及确定某地点与另一地点的距离；（3）在天文学中，三角函数可以用于计算行星的位置和轨道，以追踪行星的运行；（4）在电子技术中，三角函数可以用于计算滚动电机的半径和角度；（5）在机器学习中，三角函数也可以用于衡量两个点之间的距离。

三角函数基本知识点

三角函数基本知识点三角函数是中学数学中的一个重要概念，是研究角和角度的函数关系的数学工具。

它是高中数学的基础，也是理工科学习的重要基础知识点。

本文将重点介绍三角函数的基本概念、性质和应用。

一、三角函数的基本概念1.角度和弧度制度量：角度是研究角的大小的度量单位，以°表示；弧度是角的大小的度量单位，以弧长与半径相等的单位弧长表示。

2. 基本三角函数：常用的三角函数有正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ，它们分别表示角θ的正弦值、余弦值和正切值。

三角函数的定义可以通过单位圆在平面直角坐标系中的投影来理解。

3. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ；正切函数的最小正周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。

二、三角函数的性质1. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。

2.三角函数的正负关系：在单位圆上，正弦函数在0到π/2之间为正，余弦函数在0到π之间为正，正切函数在0到π/2之间为正。

3. 三角函数的周期关系：对于正弦函数和余弦函数，sin(θ+2kπ)=sinθ，cos(θ+2kπ)=cosθ，其中k为整数；对于正切函数，tan(θ+πk)=tanθ，其中k为整数。

4.三角函数的互等关系：通过对三角函数的定义进行代数运算，可以得到一些重要的三角函数互等关系，如正切函数与正弦函数、余弦函数的关系等。

三、三角函数的应用1.三角函数在几何图形中的应用：三角函数在三角形的边与角、面积和高、周长和半周长等方面有广泛应用，如利用正弦定理和余弦定理求解三角形的边长和角度。

2.三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有许多应用，如在匀速圆周运动中，利用正弦函数和余弦函数可以描述物体的位置、速度和加速度等随时间变化的关系。

三角函数基础知识点

三角函数基础知识点三角函数是数学中的重要概念，是研究三角形及其相关性质的有力工具。

下面将整理三角函数的基础知识点。

一、三角函数的定义1. 正弦函数：定义为对于任意实数x，都有sin(x) = y，其中y为以x为角度的单位圆上的点的纵坐标。

2. 余弦函数：定义为对于任意实数x，都有cos(x) = y，其中y为以x为角度的单位圆上的点的横坐标。

3. 正切函数：定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)。

4. 余切函数：定义为cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)。

5.值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数和余切函数的值域为整个实数集。

二、三角函数的性质1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π；正切函数和余切函数的周期都是π。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)；余切函数是奇函数，即cot(-x) = -cot(x)。

3.正交性：正弦函数和余弦函数在同一角度的情况下，它们的积分等于0。

4.互补性：正弦函数和余弦函数在同一角度的情况下，它们的平方和等于15.三角恒等式：(1) 正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin^2(x) + cos^2(x)= 1(2) 正切函数和余切函数的平方差等于1，即tan^2(x) - cot^2(x)= 1(3) 正切函数可以用正弦函数和余弦函数表示，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。

(4) 余切函数可以用正弦函数和余弦函数表示，即cot(x) = cos(x) / sin(x)。

6.三角函数的图像性质：正弦函数和余弦函数的图像是连续的周期函数；正切函数和余切函数的图像有无数个奇点。

三、三角函数的应用1.几何应用：三角函数可以用于求解三角形的各种性质，例如计算边长、角度、面积等。