必修四第一章三角函数-知识点及练习-讲义

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高一数学下必修四第一章三角函数

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角,确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

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6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π

=

，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭

. 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+，

211

22

S lr r α==.

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐

标是(),x y ，它与原点的距离是

()

0r r =>,则sin y r α=

,cos x r α=,()tan 0y

x x

α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正．

11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT .

12、同角三角函数的基本关系：()2

2

1sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭.

１３、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.

--

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.

口诀：函数名称不变,符号看象限.

()5sin cos 2π

αα⎛⎫

-=

⎪⎝⎭

，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．

()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

. 口诀：正弦与余弦互换,符号看象限.

１４、函数sin y x =的图象上所有点向左(右）平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短)到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短)到原来的1

ω

倍(纵坐标不变）,得到函数sin y x ω=的图

象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右)平移

ϕ

ω

个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短)到原来的A 倍（横坐标不变)，得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象.

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

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①振幅：A ;②周期:2π

ω

T =

；③频率:12f ω

π

=

=

T ;④相位：x ωϕ+;⑤初相：ϕ. 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时，取得最大值为max y ，则

()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+,()21122

x x x x T

=-<．

1５、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

sin y x = cos y x = tan y x =

图象

定

义域

R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值

域

[]1,1- []1,1- R

当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当()2x k k π=∈Z 时， 既无最大值也无最小值 函 数 性

质