材料力学考研综合精彩试题

综合题1 图示结构均用235Q 钢制成，材料的弹性模量GPa 200=E ，在梁端截面B 处有一重量为P 的物体自B 正上方高度h 处自由下落，已知：kN 10=P ，mm 0001=l ，mm 1=h ，梁的横截面惯性矩3/2Al I =，杆BC 的横截面积为A ， 杆BC 为大柔度杆，其直径mm 30=d ，试求点B 的铅垂位移。

解：变形协调)/()3/()(N 3N EA l F EI l F P =-2/N P F =m m 4035.0)/(N st ==EA l F ΔkN 8.85])/21(1[2/1st d =++=Δh P PkN 48.78/πkN 9.422/22cr d Nd ==<==l EI F P Fm m 303.0)/(Nd d ==EA l F w B2 图a 所示杆AC 与弹簧相连，受到重量为P 的重物自高h 处自由下落的冲击。

杆AC 长为l ，横截面面积为A ，材料弹性模量为E ，弹簧刚度为k N/mm ，在未受冲击时弹簧不受力。

试导出C 处的最大动位移max d δ的计算公式。

解：图b,平衡 P F F B A =+ ])/21(1[)//()/()]/(1/[/)/(2/1st st d st δδδδh k l EA PEA l F EA kl P F kF EA l F A A B A ++=+==+==3图示截面为2mm 2575⨯=⨯h b 的矩形铝合金简支梁，跨中点C 增加1弹簧刚度为kN/m 18=k 的弹簧。

重量N 250=P 的重物自C 正上方高mm 50=h 处自由落下，如图a 所示。

若铝合金梁的弹性模量GPa 70=E 。

试求：（1）冲击时，梁内的最大正应力。

（2）若弹簧如图b 所示放置，梁内最大正应力又为多大？解：m 5034.0/)48/(3a st,=+=k P EI Pl δMPa 24)4/(a st,==W Pl σ97.2211ast,da =++=δhKMPa 4.712497.2da =⨯=σ 弹簧受压力k F （静荷时）k F EI l F P k k /)48/()(3=-,N 149=k F ,101=-k F P NMPa 70.9)4/()(b st,=-=W l F P k σmm 28.8/b st,==k F k δ,616.4b d,=KMPa 8.44st d db =⋅=σσK4 图a 所示重量为kN 2=P 的重物，自高度mm 10=h 处自由下落冲击直径为d 的圆横截面杆组成的水平框架上的点C 处。

已知弯曲刚度2m kN 6.133⋅=EI ，m 1=a ，切变模量E G 4.0=（E 为材料的弹性模量）。

试求截面C 的最大铅垂位移。

解：0)2(22p2=-+-=GI aPa M EI aP EI a M C C C θ Pa M C 187=(I I 2p =)， Pa Pa M T C BA 912-=-=(顺) mm 158.41852.7636763223233333p323st,==++-=⋅-+-=EIPa EI Pa EI Pa EI Pa EI Pa a GI a T EI a P EI a M EI a P ΔBA C CCmm2.1441.3158.441.3)/21(1d,2/1st,d =⨯==++=C C ΔΔh K5图a 所示两端固定的超静定梁横截面为矩形，高为h ，宽为b ，材料的弹性模量为E ，重量为P 的重物自梁中点C 处正上方高0h 处自由落下。

试求冲击时的最大动应力m ax d σ。

(a) (b)解：忽略轴力影响，有静定基如图b,用迭加法022)2(22=-=EI l M EI l P CC θ Pl M C 81=，Pl M A 81=EIPl EI l M EI l P ΔC C 1922)2(3)2(2323=-= 2130210d )]/(3841[1)21(1Pl EIh Δh K C++=++=])3841(1[4321302d d PlEIh bh PlW M K C ++==σ6 图a 所示梁AB 用梁CD 加强，E 、D 间通过一刚体接触,两梁的弯曲刚度均为EI 。

重为P 的重物自B 处正上方高h 处以初速度0v 下落，冲击梁AB 。

P 、0v 、l 为已知，试求：(1) 若已知重物自由下落时的动荷因数2/1st d )/21(1Δh K ++=，用此式如何导出有初速度0v 时的d K ； (2) 求梁AB 的最大动弯矩。

(a) (b)解：2/11d )/21(1B h K δ++=2/12}/)]2/([21{1B g v h δ+++= D E F F =)()()('ED D ED E E F w F w P w =-)3/()3/()6/(5333EI l F EI l F EI Pl ED ED =- 4/5P F ED =BDEA C PF EDEIPl l EI l F EI l F EI l P ED ED B 813)23(3)2(3233=+-=δ2/1320d )]13/()2(81[1g Pl v gh EI K +++=d PlK M E =,4/3d PlK M A =,max M M E =})]13/()2(81[1{21320max g Pl v gh EI Pl M +++=7 图a 所示半径为R ，弯曲刚度为EI 的等截面薄圆环在直径AB 两端作用一对突加载荷F ，试求AB 间相对动位移。

RDCFAF B(a) (b)解：由结构、载荷对称性，C 、D 横截面剪力为零，静定基如图b ：)cos 1(2)(ϕϕ-+-=R F X M ，1-=∂∂X M0d )(12π0 =∂∂⋅-=⎰ϕϕθR X M M EI C ，)π121(-=FR XEIFR R F M M EI ΔCy 322π0 π88πd )2(1-=∂∂=⎰ϕ EIFR FR EI ΔΔCy AB 332st 149.0π4)8π(2=-==突加载荷 2d =KEIFR ΔK ΔAB AB 3st ,d d ,298.0=⋅=8图a 所示梁AB 和杆CD 均由Q235钢制成，材料的弹性模量GPa 200=E ，mm 0001=l ，mm 40=h ，mm 20=b ，mm 30=d ，重物重kN 2=P ，自高度0h 处自由落下，试求：（1） 使杆CD 中轴力达临界力时的高度0h ；（2） 杆CD 中轴力达临界力时梁内的最大动应力max d )(σ。

(a) (b)解：杆CD P 133λλ>=kN 5.78/π22cr ==l EI FCD C l w ∆=，EAlF EI l F P N 3N 48)(=-kN 6985.1)48/(22N =+=Al I P Al F若cr N d F F K =，则 5.39/N cr d ==F F K2/1st 0d )/21(1Δh K ++=，2/]1)1[(2d st 0--=K Δhmm 10405.12N st -⨯==EAlF Δ，mm 4.100=h MPa 7.26)6//()(/)22(2N d N d max d,=-=⋅-⋅=bh l F P K W lF P K σ9图示结构中，C ，D 处均为球铰。

刚架ABC 的横截面惯性矩4cm 14.1147=z I ，弯曲截面系数3cm 508=W ，圆截面杆CD 直径mm 40=d ，二者材料相同，弹性模量GPa 200=E ，许用应力MPa 160][=σ，若m 1=l ，稳定安全因数3st =n ，杆CD 可视为大柔度杆。

试确定许用载荷][M 值。

(a) (b)解：CD F B F C M B l l w l ∆=+-)(,,,θθEAFll EI l Fl EI Fl l EI Ml z z z =⋅+-)3(3 M/l I Al MAl F z719.03432=+=6max 10160/719.0//⨯≤===W M W Fl W M B σ m kN 113][⋅=M (按强度)kN 7.82)/(/][2st 2st cr cr ===l n EI n F F πl M /719.0= m kN 115][⋅=M （按稳定） 许可载荷m kN 113][⋅=M11 图示平面结构，刚性横梁AB 与圆横截面直径相同的杆1和2均由Q235钢制成，弹性模量GPa 200=E ，直径均为mm 26=d ，杆长mm 3001=l 。

试求此结构的临界载荷cr F 。

解：杆11731=λ，212cr /π'λσE = kN 6.46''cr 1cr ==σA F杆21402=λ，222cr /π''λσE = kN 5.53'''cr 2cr ==σA F0=∑A M ，a F a F a F 32'''cr cr cr ⨯=⨯+ kN 513/)''2'(cr cr cr =+=F F F12图示刚性横梁AD ，m 2.1=a ，杆1，2均由Q235钢制成，屈服极限MPa 235s =σ，弹性模量GPa 200=E ，横截面均为圆形，直径m m 301=d ，m m 362=d 。

试求结构的极限载荷u F 。

(a) (b)解：结构的极限状态，杆1屈服，杆2失稳 杆1：kN 1.1661s ==A F B σ杆2：3.133/42==d a λ MPa 111/π22cr ==λσEkN 1132cr cr ==A F σ a F a F a F 32u cr s ⨯=+ kN 1313/)2(cr s u =+=F F F13对于均质梁、不同材料组合梁、材料拉压弹性模量不等梁、平面曲梁，在纯弯曲时横截面上中性轴的位置均由静力学关系式确定。

试画出下列各情况下中性轴（水平方向）的位置，图中C 为形心。

图a 为均质直梁弹性弯曲；图b为均质直梁全塑性弯曲；图c 为异料组合梁弹性弯曲；图d 为-+≠E E 时的弹性弯曲；图e 为曲梁的弹性弯曲。

0>>M E E 且中心在下方初始曲率(a)(b)(c)(d)(e)解：中性轴位置均由静力学关系式0d N ==⎰AA F σ 来确定，下图中n n -表示中性轴。

(a)(b)(c)(d)(e)14 图示结构为弹性模量E ，许用应力][σ，高h 、宽b 的矩形横截面外伸梁，受均布载荷（载荷集度q 未知）作用。

试求当梁上最大正应力等于][σ时，梁AB 段中点D 的挠度值。

解：][)6//()2/(22max σσ==bh qa)3/(][][)6/()/2(2222a bh bh a q σσ=⨯⨯=)( )36/(][)12/()16/()2()2/()384/()2(5224224↓==⨯-⨯=EI a bh EI qa EI a qa EI a q w D σ15 图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为EI ，在自由端两者有一间隙Δ，今有一重量为P 的重物从高度h 处落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹形范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。