微分方程建模学习

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；

2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；

3.解微分方程；

4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。 下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。

最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为

t

t y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有

t

t y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程

y r dt

dy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设0t t =时的人口总数为0y ，则不难求得该方程的特解为 )(00t t r e y y -⋅= (4.2) 即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对1700—1961达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！

2.放射性元素衰变模型

放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。根据这一原理，我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律。

设放射性元素t 时刻的质量)(t m m =，则其衰变速度就是dt

dm ，于是可得 m dt

dm λ-= (4.3) 其中0>λ是比例常数，可由该元素的半衰期（质量蜕变到一半所需要的时间）确定；λ前置负号表明放射性元素的质量m 是随时刻t 递减的。

如果在初始时刻（0=t ）放射性元素的质量0m m =，则可求得该方程的特解为

t e m t m λ-⋅=0)( (4.4)

这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的。

为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际，还必须确定上式中的比例常数λ。这时，我们可以假设放射性元素的半衰期为T ，从而有

T e m m λ-⋅=002

解之，得T

2ln =λ，于是反映放射性元素衰变规律的（4.4）式又可以表示为 t T e

m t m 2ln 0)(-⋅= (4.5)

并由此可解得 )

(ln 2ln 0t m m T t = (4.6) 它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量0m 衰减到)(t m 所需要的时间。

放射性元素的衰变规律常被考古、地质方面的专家用于测定文物和地质的年代，其中最常用的是C 14

（碳-12的同位素）测定法。 这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰

击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的C 14，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到了各种动植物的体。对于具有放射性的C 14来说，不论是存在于空气中还是生物体，它都在不断地蜕变。由于活着的生物通过新代不断地摄取C 14，因而使得生物体的C 14与空气中的C 14有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，随着新代的停止，尸体的C 14就会不断地蜕变而逐渐减少，因此根据C 14蜕变减少量的变化情况并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的时间。

下面，我们就来看一个运用C 14测定法确定年代的具体实例：

1972年8月，出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动世界）。经测定，出土的木炭标本中C 14的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度为38.37次/分；如果C 14的半衰期取为5568年（注：C 14的半衰期在各种资料中说法不一，分别有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢？

在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于0m 和)(t m 表示的分别是该墓下葬时和出土时木炭标本中C 14的含量，而测量到的是标本中C 14

的平均原子蜕变速度，所有我们还要对（4.6）式作进一步的修改：

对（4.4）式求导，得 )()(0t m e m t m t λλλ-=-='- 从而有

0)0()0(m m m λλ-=-='

上面两式相除，得

)

()()0(0t m m t m m ='' 代入（4.6），得

)()0(ln 2ln t m m T t ''=

(4.7) 于是，衰变时间由(4.6)式根据C 14含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据C 14衰变速

度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。

在本例中，5568=T 年，78.29)(='t m 次/分，)0(m '虽然表示的是下葬时所烧制的木炭中C 14

的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年的变化不会很大，因而可以假设现代生物体中C 14的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中C 14的衰变速度相同，即可以用新砍伐烧成的木炭中C 14的平均原子蜕变速度38.37次/分替代)0(m '。代入（4.7）可求得 203678

.2937.38ln 2ln 5568)()0(ln 2ln ≈=''=t m m T t （年）