目标规划的图解法

x1 x2 d1 d1 10 2 x x d d 1 2 2 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2
例5 求解下面目标规划:
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 2 1 1 0 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 6 x 8 x d d 2 3 3 48 1 x , x 0, d , d 0, ( i 1, 2, 3) i i 1 2
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
R2
F
R3
R1
l1
o
A
E
D
x1
图3-2 图解法示意图
这个区域内的任一点均是该问题的满意解， 可使目标函数 min z 由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)、 (8，0)、(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
( x , x ) (, ) (, ) (, ) (., .) ( . , . )
目标规划图解法的具体演算过程与线性规划图解法类似． 第1步：根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、 硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的 方法加以考虑． 第2步：对P1级的各目标，确定解区域R1． 第3步：对下一个优先级别Pi 级各目标，确定它的最优解空间 Ri ，但必须是Ri Ri-1 ( i=2,3,…)． 第4步：在这个过程中，如果某解区域Ri 减小到一点，则 可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能． 第5步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri 减少到一点或满 足 了所有k个级别的目标为止，此时，Rk 即为这个目标规划的最 优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解．
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1
B
l3
l4
d1
l2
C
d3
解 作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点， 使单个目标达到最优值（最大值或最小值）．而目标规 划是在可行域内，首先寻找到一个使 P1级目标均满足的 区域R1，然后再在 R1中寻找一个使 P2级目标均满足或尽 最大可能满足的区域 R2 （ R1 ），再在 R2 中寻找一个满 足 P3 的各目标的区域 R3 （ R2R1 ）， …, 如此下去，直 到寻找到一个区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级的各目标， 这个Rk即为所求的解域，如果某一个Ri (1 i k)已退化 为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足 P1,…，Pi 级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许 有低于Pi级目标被满足，这纯属巧合．
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
其中： , i (i ,,,) 这种满足所有目标要求的情况，即： min z 0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
例6 用图解法求解下面目标规划问题：
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
(l 2 )
l2
d2
l3
d1
B
o
R1
l1
A (10, 0)
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x1
图3-3 图解法示意图
由于R2仅含有一个点，所以对P3级目标，我们已
经无法进一步的选择与考虑，可求得 d ， 即目标函数为：
min z P P
此例中，之所以产生解域R2退缩为一个点， 从而无法使P2，P3级目标达成，是因为P2级目标