练习册题目

1、二重积分22||||1ln()x y x y dxdy +≤+⎰⎰的正负号为 .2、32123ln(),(),()D D DI x y d I x y d I x y d σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，D ：xoy 面上由直线10,0,2x y x y ==+=和1=+y x 围成321,,I I I 三者的大小为 . 二、计算题1、求锥面z =22z x =所割下部分的曲面面积.2、计算2221limcos()xy De x y dxdy γπγ-→+⎰⎰，其中积分域D 为：222x y γ+≤.3、计算积分2110x y I dy e dx =⎰⎰.三、物体由半径为4和8的两个同心球面所围成，其上任一点的密度与该点到球心的距离成反比，且已知离球心为5处的密度为1，求该物体的质量四、设物体占有空间区域,ΩΩ由曲面z z ==围成，试分别用直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分(,,)I f x y z dv Ω=⎰⎰⎰化为三次积分.五、在半径为R 的均匀半球旁，拼上一个底半径为R ，高为h ，密度相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与球的底圆重合，问h 为多大时，拼得的整个物体的重心恰在球心上六、计算32222sin()Vx y z dV ++⎰⎰⎰，其中Ω0,0z x y ≤≥≥所确定的区域同步训练10.1——曲线积分与曲面积分一、填空题1、设平面曲线L 为下半圆周，y =曲线积分22()L x y ds +=⎰ .2、设平面曲线L 为22x y ax +=则曲线积分L xds =⎰ . (用质心求)3、设空间曲线2222x y z a L x y z ++=⎧⎨++=⎩曲线积分222()L x y z ds ++=⎰ .二、选择题1、设L 是从)0,1(A 到)2,1(-B 的线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰ .A 、2B 、22C 、2D 、02、设L 为下半圆周222(0)x y R y +=≤，将曲线积分(2)L I x y ds =+⎰化为定积分的正确结果是 .A 、20(cos 2sin )R t t dt π-+⎰ B 、02(cos 2sin )R t t dt π-+⎰C 、02(sin 2cos )R t t dt π-+⎰D 、3222(sin 2cos )R t t dt ππ+⎰3、设OM u u u u r是从)0,0(0到)1,1(M 的直线段则与曲线积分OMI =⎰u u u u r 不相等的积分是.A 、120xe⎰B 、120ye⎰C 、20u du ⎰D 、10e ⎰三、计算题1、22()L x y ds +⎰,其中L 为曲线)20()cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x2、设L 是由41(3)(16x y y y =+≤≤给出，求66L xy ds y-⎰3、⎰，其中L 为极坐标)0(πθθρ≤≤=a 的弧段。

(a>0)同步训练10.2一、填空题1、L 是从(1,6)沿6=xy 到点(3,2)曲线段，则()x y L e ydx xdy ++=⎰ .2、设L 为122=+y x 沿逆时针方向一周则2xL e dy =⎰Ñ .3、L 是从A(1,0)到B(0,1)的直线段则化为对弧长的曲线积分(,)(,)L P x y dx x y dy θ+⎰ = . 二、选择题1、设L 是从点(0,0)沿折线1|1|y x =--至点A(2,0)的折线段，则曲线积分L ydx xdy -+⎰等于 .A 、0B 、1-C 、2D 、2-2、设L 是有界闭区域的逐段光滑沿逆时针方向的边界，τϖ为L 沿逆时针方向的切线向量，则[cos()cos()]L x i y j ds ττ+⎰vvv v Ñ(ds 是弧微分)等于 .A 、L xdx ydy +⎰ÑB 、L xdy ydx +⎰ÑC 、L xdx ydy -⎰ÑD 、L xdy ydx -⎰Ñ3、设L 是从1(1,)2A 沿曲线22y x =到点)2,2(B 的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y-⎰的值等于 .A 、-3B 、0C 、32D 、3三、计算题1、 求曲线积分2()L x y dy +-⎰式中L 是曲线2x y =从(1,1)到(2,4)一段 2、 求22L y dx x dy +⎰，其中L 是cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩的上半部沿顺时针方向3、 计算曲线积分22Lxdy ydxx y-+⎰Ñ，其中L 沿曲线221x y +=沿逆时针方向一周。

四、证明题：设平面上光滑曲线L 的弧长为S ，(,),(,)P P x y Q Q x y ==是定义在L 上的连续函数，设maxM =，证明L Pdx Qdy MS +≤⎰同步训练10.3一、填空题1、设(,)f x y 在2214x y +≤具有二阶连续的偏导数，L 是2214x y +=顺时针方向，则[3(,)](,)x y L y f x y dx f x y dy ''++⎰Ñ的值等于 . 2、L 是任意简单闭曲线且⎰=+Ly dy x f xdx e 0])([2，则=)(x f .3、L 是从点)1,1(--A 沿322=++y xy x 经点)2,1(-至点)1,1(B 的曲线段则曲线积分⎰=+++Ldy y x dx y x )2()2( .二、选择题1、设L 表示围线)11(12≤≤--=x x y 的正向，则⎰++L y x ydyxdx 2222等于A 、0B 、2πC 、-2πD 、2ln 42、闭区域D 是由简单的闭曲线L (正向)所围，),(),,(y x Q y x P 在D 上有一阶连续偏导数，则⎰=+Ldx y x Q dy y x P ),(),( .A 、⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(B 、⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q x P )(C 、⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy xQ y P )(D 、⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yPx Q )(3、闭区域D 是由简单闭曲线L (正向)所围，下列积分不等于D 面积的积分是 .A 、⎰-L ydx xdy 21B 、⎰L xdyC 、⎰L ydxD 、⎰-L ydx 三、计算题1、计算⎰++-Lx x dy x y e dx y y e )cos ()3sin (，其中L 是由点(0,0)到点(0,2)yy x 222=+的右半圆周2、计算⎰+++-=Lyx dyy x dx y x I 22)()(1||||:=+y x L 的正向3、L 是沿圆周222t y x =+逆时针方向，计算极限⎰+++→Lt dy ny mx dx by ax t )()(1lim20 (a,b,m,n 均为常数)4、设22yx ydy xdx ++(1) 验证它在不包含坐标原点和y 轴半负轴的平面上是一个函数),(y x u 的全微分(2) 求出),(y x u(3)求⎰-++)4,0()0,3(22yx ydy xdx四、试证：若简单闭曲线L 不通过y 轴)0(≠x 则所围面积为⎰+=L xy dx A 221 (L +表示积分取L 正向) 同步训练10.4一、填空题1、∑是球面2222a z y x =++，则曲面积分⎰⎰∑=ds z 2. (利用对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==ds y ds x ds z 222) 2、∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分，则⎰⎰∑=++ds z y x )( .3、∑是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-，则⎰⎰∑=xds . (用质心求)二、选择题1、∑是曲面22y x z +=被1=z 所截部分积分⎰⎰∑+ds y x )(22与下列积分相等的是 .A 、⎰⎰≤++12222)(y x dxdy y xB 、⎰⎰≤+1222y x dxdyC 、⎰⎰≤++12222)(2y x dxdy y xD 、⎰⎰≤≤-≤≤zy z z dydz z 1022、∑是抛物柱面2x y =被1=+z y 所截的第一卦限部分，则⎰⎰∑ds z y x f ),,(化成二次积分的是 .A 、⎰⎰-1012)1,,(xdy y y x f dxB 、⎰⎰-+y dz yy z y y f dy 1010414),,(C 、⎰⎰-11022),,(x dz z x x f dxD 、⎰⎰-1010),,(ydz z y y f dy3、∑是221y x z --=第四卦限部分，则与⎰⎰∑-ds y x )(不相等的是 .A 、0B 、⎰⎰∑xds 2C 、⎰⎰∑-yds 2D 、⎰⎰∑*2xds22*1y x z --=∑是第一卦限部分三、计算题1、计算⎰⎰∑+ds z 41，其中∑为22y x z +=上1≤z 的部分2、计算⎰⎰∑ds z 2，∑是柱面422=+y x 介于60≤≤z 的部分 3、计算曲面积分⎰⎰∑xzds ，其中∑是圆锥面22y x z +=被柱面)0(222>=+a ax y x 所截得的有限部分锥面4、求⎰⎰∑++ds yx 224411，其中∑为22y x z +=被2,1==z z 所截下部分的曲面同步训练10.5一、填空题1、∑是1=++z y x 第一卦限部分上侧，则⎰⎰∑++dxdy z y x )(= .2、∑是1=+-z y x 第四卦限的部分上侧，则⎰⎰∑=+-++-++-dxdy z y x f dzdx z y x f dydz z y x f )()(2)( .3、把对坐标的曲面积分⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(化成对面积的曲面积分等于 ，其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限部分的上侧。

二、选择题1、221y x z --=在第三卦限部分的外侧单位法向量为 .A 、}1,2,2{441122y x yx ++ B 、}1,2,2{441122y x yx -++ C 、}1,2,2{441122y x yx -++D 、}1,2,2{441122y x yx --++2、101010:≤≤≤≤≤≤∑z y x 表面外侧)(z f 在]1,0[上连续，则⎰⎰∑dxdy z f )( .A 、)0(fB 、)1(fC 、)0()1(f f -D 、)1()0(f f +3、下列曲面积分一定为0的积分是 A 、⎰⎰∑zdxdy ∑是222y x R z --=的上侧B 、⎰⎰∑zdxdy ∑是柱面10222≤≤=+z a y x 部分外侧 C 、⎰⎰∑zdxdy ∑是1=++z y x 第一卦限部分上侧D 、⎰⎰∑zdxdy ∑柱面222a z y =+ 10≤≤x 部分外侧三、计算下列各题1、计算⎰⎰+∑dxdy y x e z 22为锥面22y x z +=夹在2,1==z z 之间的外侧2、⎰⎰∑dydz xz 2，其中∑是上半球面222y x R z --=的上侧 同步训练10.6一、填空题1、设∑是球面z z y x 4222=++，Ω是由∑所围空间区域，函数),,(z y x u u =在Ω上有二阶连续偏导数，且1222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u ，又n u∂∂是函数u 在各点处沿外法线的方向导数，则积分⎰⎰∑=∂∂dS n u. 2、∑是光滑闭曲面的外侧，∑所围空间闭区域Ω，设函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上有二阶连续偏导数，则由Gauss 公式有⎰⎰∑=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(. 3、设Ω是由光滑曲面∑所围成的空间闭区域，∑取外侧把下面积分化成三重积分⎰⎰∑=dydz z y x R ),,( .二、选择题1、设∑是有界闭区域Ω的边界曲面(且逐片光滑)，V 为Ω的体积，n ϖ为∑的外法线向量，则⎰⎰+∑ds j n y i n x )]cos()cos([ϖϖϖϖ(ds 是面积元素)等于( )A 、0B 、VC 、3VD 、2V2、设Ω是由光滑曲面∑所围成的空间闭区域且体积为V ，则∑外侧的积分⎰⎰∑=-+-dxdz x y dxdy y z )()(( )A 、0B 、VC 、2VD 、3V3、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是oxy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，P ,Q,R 在3R 空间中有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是( )A 、⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx PdydzB 、⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx PdydzC 、⎰⎰∑⋃∑++21Rdxdy Qdzdx PdydzD 、⎰⎰∑⋃∑++31Rdxdy Qdzdx Pdydz三、计算题1、计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333,其中∑是22222,y x z y x z --=+=所围立体表面外侧2、计算⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑是球面2222a z y x =++的外侧。