大学物理习题课1
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体电荷密度 电荷密度
r
dE
P
面电荷密度
线电荷密度
dq dV dq dS
来自百度文库
dS
dq dl
dl
解题步骤：
1.把带电体看作是由许多个电荷元dq组成，dq
dV
dS dl
dq视为点电荷，从库仑定律求出 dE ；
2. 因各电荷元产生的 dE 方向不一定相同，
建立适当的坐标系，求分量dEx ,dEy ,dEz ， 3.积分：
（2 ）设 F+ 、F- 分别表示正、负带电 导线单位长度所受的电场力，则有
E
o
E
F E
2 i 2 0 r0
2 F E i 20r0
x
r0
相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
3 半径为 R 、电荷线密度为 1 的一个均匀带电圆 环，在其轴线上放一长为 、电荷线密度 为 2 的 均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处， 如图所示，求该直线段受到的电场力。
0 0 2 2 Ex co s d 4 0 R 4 0 R 0
2 0 Ey sin d(sin ) 0 0 4 0 R
y
dq
d Ex O d E d Ey
R
d
x
0 i 故O点的场强为： E E x i 4 0 R
沿X轴正向
12.7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ．试 求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
解：（1）建立坐标系．在平面薄板上取一 宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 dλ = σd x，根据无限长直线带电线的场强公式
dE d 2 0 r
y b O dx a P x
Ex
求出 E的大小，并指明方向。
Q
dE x
Ey
Q
dE y
Ez
dE
Q
z
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点 产生的场强为： 0co s d dq dl dE 4 0 R 2 4 0 R 2 4 0 R 它沿x、y轴上的二个分量为： dEx=－dEcos , dEy=－dEsin 对各分量分别求和
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强． x dx 为了便于观察，将薄板旋转建立 坐标系．仍然在平面薄板上取一 r 宽度为dx的带电直线，电荷的线 z 密度仍然为dλ = σd x，带电直线 O d Qθ dE 在Q点产生的场强为 b y d dx dE 2 0 r 2 0 (d 2 x 2 )1 2 x = d tanθ，则dx = ddθ/cos2θ dd d dE 因此 2 2 0 d sec cos 2 0 cos 沿z轴方向的分量为 dEz dE cos d 2 0 积分得
b Ez d arctan( ) 2 0 0 2d arctan( b / 2 d )
arctan( b / 2 d )
--------- ②, 场强方向沿z轴正向．
[讨论] （1）薄板单位长度上电荷为λ = σb， ① 式的场强可化为 E
ln(1 b / a) 2 0 a b/a
p
x
x
r0
解：（1）设点P在两导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负 带电导线在P点的电场强度，则有 E E E
E
o x
p
x
o
E p
E
p
x
r0
x
x
o
x
r0
r0
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x( r0 x) 1 1 r0 E E E i i 20 x x r0 20 x( x r0 )
2
X
Ex dEx
2 0 ( x 2 R 2 )3 2
1Rx
圆环上电荷元 在轴线上 x 处产生场强关于轴 线对称 E 0 在 x 处取一电荷元 dq/=2 dx ，它受的电场力为
dF Ex dq 2 0 ( x 2 R 2 )3 2
12 Rxdx
12 R 1 1 F dF [ 2 ] 2 12 2 0 R (l R )
Pe E 3 4 0 r
E
r0 2 0 r
d
i
叠加原理
E Ei
E 2 0
Ez
2 0 d
这是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得
Ez 2 0
--------- ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．
讨论 理想模型 点电荷
r >> d
l
d
Q
r
r
r r
E
Q 4 0 r
2
r0
电偶极子 r >>
Pe
l
无限长 带电线 r << L L 无限大 带电面 r << d
2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电 荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度 （设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析：（ 1）在两导线构成的平面上 任一点的电场强度为两导线单独在 此所激发的电场的叠加。 （2）由F = qE，单位长度导线所受 o 的电场力等于另一根导线在该导线 处的电场强度来乘以单位长度导线 所带电的量，即：F = E应该注意： 式中的电场强度 E 是除去自身电荷 外其它电荷的合电场强度。
dx
2 0 (b / 2 a x)
其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以 P点产生的场强为
E 2 0
1 dx b/2a x b / 2
b/2
b/2
ln(b / 2 a x) 2 0 b / 2 b -------- ① ln(1 ) 2 0 a 场强方向沿x轴正向．
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式， 场强公式变为 -------- ③ E 2 0 a 这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
arctan(b / 2d ) Ez 2 0 d b / 2d
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式， 场强公式变为
习题讨论课1 真空中的静电场
矢量场
E Ei
i
场强叠加原理
点电荷系场强
i n E
i 1
4 0 ri
qi
3
ri
若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示
把带电体看作是由许多个电荷元组成，
dq
Q
dV
然后利用场强叠加原理。 dq E dE r 2 0 Q Q 4 0 r
1 R 0
x
2 dE
X
解：设坐标原点在圆 环中心，X轴沿圆环轴 线方向如图，在圆环 上取一电荷元 ：dq = 1 d ，它在轴线上 x 处产生场强
1dl dE 4 0 ( x 2 R 2 )
1 xdl dEx 2 2 32 4 0 ( x R )
R
0
1 dq’ x dx
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x(r0 x)
E E
o x
p
x
o
E p
E
E
p
E
x
o
x
r0
x
x
r0
r0
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x( r0 x )
r
dE
P
面电荷密度
线电荷密度
dq dV dq dS
来自百度文库
dS
dq dl
dl
解题步骤：
1.把带电体看作是由许多个电荷元dq组成，dq
dV
dS dl
dq视为点电荷，从库仑定律求出 dE ；
2. 因各电荷元产生的 dE 方向不一定相同，
建立适当的坐标系，求分量dEx ,dEy ,dEz ， 3.积分：
（2 ）设 F+ 、F- 分别表示正、负带电 导线单位长度所受的电场力，则有
E
o
E
F E
2 i 2 0 r0
2 F E i 20r0
x
r0
相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
3 半径为 R 、电荷线密度为 1 的一个均匀带电圆 环，在其轴线上放一长为 、电荷线密度 为 2 的 均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处， 如图所示，求该直线段受到的电场力。
0 0 2 2 Ex co s d 4 0 R 4 0 R 0
2 0 Ey sin d(sin ) 0 0 4 0 R
y
dq
d Ex O d E d Ey
R
d
x
0 i 故O点的场强为： E E x i 4 0 R
沿X轴正向
12.7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ．试 求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
解：（1）建立坐标系．在平面薄板上取一 宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 dλ = σd x，根据无限长直线带电线的场强公式
dE d 2 0 r
y b O dx a P x
Ex
求出 E的大小，并指明方向。
Q
dE x
Ey
Q
dE y
Ez
dE
Q
z
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点 产生的场强为： 0co s d dq dl dE 4 0 R 2 4 0 R 2 4 0 R 它沿x、y轴上的二个分量为： dEx=－dEcos , dEy=－dEsin 对各分量分别求和
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强． x dx 为了便于观察，将薄板旋转建立 坐标系．仍然在平面薄板上取一 r 宽度为dx的带电直线，电荷的线 z 密度仍然为dλ = σd x，带电直线 O d Qθ dE 在Q点产生的场强为 b y d dx dE 2 0 r 2 0 (d 2 x 2 )1 2 x = d tanθ，则dx = ddθ/cos2θ dd d dE 因此 2 2 0 d sec cos 2 0 cos 沿z轴方向的分量为 dEz dE cos d 2 0 积分得
b Ez d arctan( ) 2 0 0 2d arctan( b / 2 d )
arctan( b / 2 d )
--------- ②, 场强方向沿z轴正向．
[讨论] （1）薄板单位长度上电荷为λ = σb， ① 式的场强可化为 E
ln(1 b / a) 2 0 a b/a
p
x
x
r0
解：（1）设点P在两导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负 带电导线在P点的电场强度，则有 E E E
E
o x
p
x
o
E p
E
p
x
r0
x
x
o
x
r0
r0
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x( r0 x) 1 1 r0 E E E i i 20 x x r0 20 x( x r0 )
2
X
Ex dEx
2 0 ( x 2 R 2 )3 2
1Rx
圆环上电荷元 在轴线上 x 处产生场强关于轴 线对称 E 0 在 x 处取一电荷元 dq/=2 dx ，它受的电场力为
dF Ex dq 2 0 ( x 2 R 2 )3 2
12 Rxdx
12 R 1 1 F dF [ 2 ] 2 12 2 0 R (l R )
Pe E 3 4 0 r
E
r0 2 0 r
d
i
叠加原理
E Ei
E 2 0
Ez
2 0 d
这是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得
Ez 2 0
--------- ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．
讨论 理想模型 点电荷
r >> d
l
d
Q
r
r
r r
E
Q 4 0 r
2
r0
电偶极子 r >>
Pe
l
无限长 带电线 r << L L 无限大 带电面 r << d
2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电 荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度 （设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析：（ 1）在两导线构成的平面上 任一点的电场强度为两导线单独在 此所激发的电场的叠加。 （2）由F = qE，单位长度导线所受 o 的电场力等于另一根导线在该导线 处的电场强度来乘以单位长度导线 所带电的量，即：F = E应该注意： 式中的电场强度 E 是除去自身电荷 外其它电荷的合电场强度。
dx
2 0 (b / 2 a x)
其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以 P点产生的场强为
E 2 0
1 dx b/2a x b / 2
b/2
b/2
ln(b / 2 a x) 2 0 b / 2 b -------- ① ln(1 ) 2 0 a 场强方向沿x轴正向．
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式， 场强公式变为 -------- ③ E 2 0 a 这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
arctan(b / 2d ) Ez 2 0 d b / 2d
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式， 场强公式变为
习题讨论课1 真空中的静电场
矢量场
E Ei
i
场强叠加原理
点电荷系场强
i n E
i 1
4 0 ri
qi
3
ri
若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示
把带电体看作是由许多个电荷元组成，
dq
Q
dV
然后利用场强叠加原理。 dq E dE r 2 0 Q Q 4 0 r
1 R 0
x
2 dE
X
解：设坐标原点在圆 环中心，X轴沿圆环轴 线方向如图，在圆环 上取一电荷元 ：dq = 1 d ，它在轴线上 x 处产生场强
1dl dE 4 0 ( x 2 R 2 )
1 xdl dEx 2 2 32 4 0 ( x R )
R
0
1 dq’ x dx
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x(r0 x)
E E
o x
p
x
o
E p
E
E
p
E
x
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x
r0
x
x
r0
r0
1 1 r0 E E E i i 20 x r0 x 20 x( r0 x )