人教B版(2019)选择性必修第一册过关斩将全书综合测评

人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将全书综合测评 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线240x by -+=的斜率等于12-，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．122．已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ）A ．2B ．CD ．43．如果圆()()228x a y a -+-=a 的取值范围是（ ）A ．()()3,11,3--⋃B ．()3,3-C ．[]1,1-D ．[][]3,11,3--⋃ 4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 的距离与到直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，右焦点为2(2,0)F ，点P 为双曲线右支上的一点，且122122,F F PF PF F =的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =± 6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====.若在线段AB 上存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，则点D 满足（ ）A ．23AD AB B ．12AD AB =C ．AD AB = D ．AD AB =7．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 BC D 18．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与抛物线分别交于A ，B 和M ，N ，O 为坐标原点，则OAB 与OMN 的面积的倒数的平方和为（ ） A ．1B ．2C ．14D ．12二、多选题9．已知向量(1,1,),(2,1,2)a m b m =-=--，则下列结论中正确的是（ ）A ．若||2a =，则m =B ．若a b ⊥，则1m =-C ．不存在实数λ，使得λa bD ．若1a b ⋅=-，则(1,2,2)a b +=---10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是()A ．1B ．2C ．3D ．411．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）A ．E 的标准方程为2213x y -=B ．EC ．E 与双曲线22126y x -=的渐近线相同D ．直线10x -=与E 有且仅有一个公共点12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、1CC 、11A D 、11C D 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11A E AC ⊥B ．//BF 平面11ADD AC ．BF DG ⊥D ．1//AE CH三、填空题13．若直线1:10l x ay +-=与直线2:(2)820l a x y -+-=平行，则实数a 的值为______.14．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________． 15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线的交点坐标为48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，且双曲线与抛物线的一个公共点M 的坐标为0(,4)x ），则双曲线的方程为_______.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1C C 的中点，则直线BE 与平面1B BD 所成的角的正弦值为______.四、解答题17．如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC =.（1）用{,,}OA OB OC 表示EF ；（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.18．已知直线:340l x y +-=，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，，且圆心C到直线l . （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若120MQN ︒∠=，求点Q 的坐标.19．如图1，CD 是正三角形ABC 的边AB 上的高，E 是AC 的中点，现将三角形ABC 沿CD 折起，使得平面ADC ⊥平面BDC ，如图2.（1）求异面直线BC 与DE 所成角的余弦值；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？若存在，求出P 点的位置；若不存在说明理由.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l y x =与直线2:l y x =-之间的阴影部分记为W ，区域W 中动点(,)P x y 到12,l l 的距离之积为1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 穿过区域W ，分别交直线12,l l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：OAB ∆的面积恒为定值.21．如图，矩形ABCD 和梯形ABEF 所在的平面垂直，//BE AF ，90BEF ∠=，30BAF ∠=，2BF =，4AF =.（1）求证：BF AC ⊥；（2）若直线AC 与平面ABEF 所成的角等于30，求钝二面角D CF E --的余弦值.22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．参考答案1．A【分析】由直线的斜率求出参数b ，将直线方程写成截距式，再根据面积公式计算可得；【详解】 解：依题意有212b =-，所以4b =-，于是直线方程为2440x y ++=，即121x y +=--，因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1|1||2|12⨯-⨯-=. 故选：A【点睛】本题考查直线的斜率求参数的值，截距式的应用，属于基础题.2．C【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112AB C B ⋅=-，可得出关于a 的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、(),0,0B a 、()1,0,B a a 、()1,,C a a a ，()1,0,AB a a =，()10,,C B a a =--，则2112AB C B a ⋅=-=-，可得a =因此，正方体1111ABCD A B C D -.故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.3．D【详解】圆心(),a a ，半径r =d ，因为圆()()228x a y a -+-=，则圆()()228x a y y a -+-=与圆222x y +=有公共点，'''r r r r r ∴=∴-≤≤+，，即13a ≤≤，解得13a ≤≤或31a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是[][]3,11,3--⋃，故选D.4．D【分析】由线11C D 垂直平面11BB C C ，分析出1PC 就是点P 到直线11C D 的距离，则动点P 满足抛物线定义，问题解决．【详解】 解：几何体1111ABCD A B C D -是正方体，11D C ∴⊥侧面11BCC B ，111D C PC ∴⊥1PC ∴的长为P 到直线11D C 的距离，又P 到直线BC 的距离与到直线11D C 的距离相等，1PC ∴的长等于P 到直线BC 的距离，由抛物线的定义知，动点P 的轨迹是抛物线的一部分. 故选：D【点睛】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质，属于中档题．5．A【分析】依题意求出c 、a ，再根据222+=a b c 求出b ，即可得到双曲线方程，从而得解；【详解】解：由题知2c =，所以124F F =，又1222F F PF =，所以22PF =，又12PF F △的周长为10，所以12410PF ++=，解得14PF =，所以1222PFPF a -==，解得1a =，又222+=a b c ，所以b =2213y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y =.故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.6．B【分析】以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面1CDB 的一个法向量为(,,)m y x x =-，结合10AC m ⋅=，和D 在AB 上，列出方程组，即可求解.【详解】因为3,4,5AC BC AB ===，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，则在直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)C ，(3,0,0)A ，(0,4,0)B ，10,()4,4B ，10,()0,4C ，1(0,4,4)CB =， 设点(,,0)D x y (03,04)x y ≤≤≤≤，则(,,0)CD x y =，设平面1CDB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0440ax by b c +=⎧⎨+=⎩， 令b x =-，则(,,)m y x x =-，若1//AC 平面1CDB ，则10AC m ⋅=，易得1(3,0,4)AC =-，所以340y x -+= ①， 由D 在AB 上，得334x y -=-，即4312x y +=②， 由①②可得3,22x y ==，即D 为AB 的中点，故12AD AB =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何的线面位置关系中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系的判定与证明的应用，以及熟练求解平面的法向量是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．D【分析】设F （－c ,0＋y ＝0的对称点为A （m ，n ），利用中点坐标公式以及直线AF＋y ＝0斜率之积为1-，求出点A ，代入椭圆方程化简即可求解. 【详解】设F （－c ,0＋y ＝0的对称点为A （m ，n ），则(1022nm c m c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，解得m ＝2c ，n =，代入椭圆方程可得22223441c c a b +=化简可得 e 4－8e 2＋4＝0， 又0＜e ＜1，解得e1. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于1-，注意01e <<，此题属于基础题.8．C 【分析】由题意设1l 的方程为1(0)x my m =+≠，与抛物线联立，结合韦达定理及焦点弦公式，可得||AB 的表达式，又可求出原点到直线1l的距离d =，则可表示出OAB 的面积OABS，利用12l l ⊥，可表示出OMN 的面积OMN S △，结合题意，即可得答案.【详解】由抛物线方程得焦点(1,0)F ，设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，代入抛物线方程，得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=，故12||2AB x x =++=()2122244m y y m +++=+.又原点到直线1l的距离d =，所以12OABS=()241m += 因为12l l ⊥，则OMNS== 所以()()22222111144141OABOMNm SS m m +=+=++. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线几何性质，抛物线焦点弦问题，设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，可大大简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 9．AC 【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D 选项错误. 【详解】对于A 中，由||2a =2=，解得m =，故A 选项正确； 对于B 中，由a b ⊥，可得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误；对于C 中，若存在实数λ，使得λa b ，则121(1)2m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，显然λ无解，即不存在实数λ，使得λab ，故C 选项正确；对于D 中，若1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，于是(1,2,2)a b +=--，故D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10．AB 【分析】先得到P 的轨迹方程为圆，与直线()1y k x =+有交点，得到k 的范围，得到答案. 【详解】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以P ，圆点C ，两切点构成正方形=PC 即22(2)8x y -+=P 在直线()1y k x =+上，圆心距d =≤计算得到k -≤≤ 故答案选AB 【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到P 的轨迹方程是解题的关键. 11．ACD 【分析】设双曲线方程为221(0)mx ny mn +=<，代入点，求得,m n 的值，得到双曲线的方程，可判定A 选项正确；根据离心率的定义，可判定B 选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C 选项正确；联立方程组，结合0∆=，可判定D 选项正确. 【详解】设双曲线方程为221(0)mx ny mn +=<，由已知得92136111m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得131m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故双曲线的标准方程为2213x y -=，故A 选项正确；由离心率e==B选项错误；因为曲线E的渐近线方程为3y x x==，又由双曲线22126y x-=的渐近线方程为3y x==±，故C选项正确；联立221013xxy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理得220y-+=，由2(420∆=--⨯=，所以直线10x-=与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．BCD【分析】设正方体的棱长为1，以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建系，写出所需点的坐标，可求得所需向量的坐标，逐一检验各个选项即可得答案.【详解】设正方体的棱长为1，以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(1,0,1),1,,0,(0,1,0)2A E C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1110,1,,(0,1,1),0,,122F C H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,0,1,(1,0,0),(1,1,0)2G A B ⎛⎫⎪⎝⎭， 则1111110,,1,(1,1,1),1,0,,,0,1,0,,12222A E AC BF DG CH ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1112A E AC ⋅=-，所以1A E 与1AC 不垂直，故A 错误； 显然平面11ADD A 的一个法向量(0,1,0)v =.所以0BF v ⋅=，所以//BF 平面11ADD A ，故B 正确；0BF DG ⋅=，所以BF DG ⊥，故C 正确；1A E CH =-，所以1//A E CH ，故D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查利用空间向量判断线线垂直、线线平行、线面平行，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 13．2- 【分析】根据两直线平行，可得1221A B A B =，代入数据，可求得a 的值，分别检验a 取不同值时，两直线知否重合，即可得答案. 【详解】两直线平行有1221A B A B =，即18(2)a a ⨯=-， 解得4a =或2a =-.当4a =时，1:410l x y +-=，2:2820410l x y x y +-=⇒+-= ，两直线重合，故舍去；当2a =-时，1:210l x y --=，2:2410l x y -+=，两直线平行， 因此实数a 的值为2-.故答案为：-2 【点睛】本题考查两直线平行的条件的应用，易错点为：需检验所求a 值，是否使直线重合，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.14．2【分析】过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝，BM ＝，CN ＝，DN ＝，MN ＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝． 【详解】过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝，BM ＝，CN ＝，DN ＝，MN ＝1． 由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝， ∴||＝． 故答案为 【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量a 的模2||a a =.15．221520x y -=【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得83p =，2ba=，求得(3,4)M 代入双曲线的方程，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程． 【详解】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-， 由题意可得423p =，即83p =，2ba=，即2b a =① 又M 的坐标0(x ，4)，可得00161623px x ==， 解得03x =，将(3,4)M 代入双曲线的方程可得229161a b -=②由①②解得a =b =即有双曲线的方程为221520x y -=．故答案为：221520x y -=．【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，化简整理的运算能力，属于中档题．16【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量法计算即可求解. 【详解】以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，1(2,2,2)B ，(0,2,1)E ， 所以1(2,2,0),(0,0,2)BD BB →→=--=，(2,0,1)BE →=-.设平面1B BD 的一个法向量为n (x,y,z)→=，则10,0,n BD n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,x y z --=⎧⎨=⎩令1y =，则(1,1,0)n →=-, 所以cos ,BE n →→〈〉5||||BEBE n n →→→→⋅==. 设直线BE 与平面1B BD 所成的角为θ，则sin |cos ,|5n BE θ→→=〈〉=.故答案为：5【点睛】本题主要考查了线面角的向量求法，考查了运算能力，属于中档题. 17．（1）112223EF OA OB OC =--+；（2）42-. 【分析】（1）由E 是AB 的中点，F 在OC 上，得到12(),23OE OA OB OF OC =+=，进而结合向量的基本定理，即可求解； （2）由（1）分别求得1||||32OE OA OB =+=，227||33BF OC OB =-=，以及 53OE BF ⋅=-，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC =， 所以12(),23OE OA OB OF OC =+=， 于是21112()32223EF OF OE OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+. （2）由（1）得12(),23OC OBOE OA OB BF OF OB ⋅-=+=-=，因此11||||22OE OA OB =+==， 2||3BF OC OB =-3==， 又因为125()233OE BF OA OB OC OB ⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪⎝⎭， 所以向量OE 与向量BF所成角的余弦值为5||||3OE BF OE BF -⋅===. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.18．（1）22(2)3x y ++=；（2）点Q 的坐标为(2,2)-或48,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）设圆心(,0)(0)C a a <，代入点到直线的距离公式，结合题意，即可求得a 值，即可得答案；（2）根据题意可得60MQC ︒∠=，在Rt MQC 中，可求得2CQ =，设()00,Q x y ，根据题意，列出方程，即可求得Q 的坐标.【详解】（1）依题意设圆心(,0)(0)C a a <，=2a =-或10a =， 由于0a <，所以2a =-， 因此圆的方程为22(2)3x y ++=.（2）因为120MQN ︒∠=，所以60MQC ︒∠=.在Rt MQC 中，CM =，所以2CQ =.设()00,Q x y ，则有0340,2,x y +-=⎧= 解得0022x y =-⎧⎨=⎩或004585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此点Q 的坐标为(2,2)-或48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，圆的几何性质，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题. 19．（1）34；（2）线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，此时13BP BC =. 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出BC 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线BC 与DE 所成角的余弦值； （2）假设在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，设()01BP BC λλ=≤≤，求出向量AP 和DE 的坐标，由AP DE ⊥得出0AP DE ⋅=，可求得λ的值，进而可得出结论. 【详解】（1）在图1中，CD 为ABC 的边AB 上的高，则CD AB ⊥，即CD AD ⊥，CD BD ⊥， 在图2中，仍有CD AD ⊥，CD BD ⊥， 平面ADC ⊥平面BDC ，平面ADC平面BDC CD =，AD ⊂平面ADC ，AD ∴⊥平面BCD ，故以D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设折起前ABC 的边长为()0a a >，则()0,0,0D 、,0,02a B ⎛⎫⎪⎝⎭、0,,02C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,44a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,0,2a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,02a BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，4a DE ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以2338cos ,42aBC DE BC DE a BC DE a ⋅<>===⋅⋅， 因此异面直线BC 与DE 所成角的余弦值为34； （2）假设在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，设()01BP BC λλ=≤≤，则,,0,,02222a a BP BC a a λλλ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,022a a λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ,0,,0,222222aa aa a a AP ABBP λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， AP DE ⊥，则002224a a a a APDE λ⎛⎫⋅=-⨯-⨯=⎪⎝⎭，整理得310λ-=，解得13λ=， 故线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，此时13BP BC =. 【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法求解动点问题，考查计算能力，属于中等题.20．（1）22122x y -=（2）2【解析】 试题分析：（Ⅰ）由点到直线距离公式直接把已知表示出来，并化简可得方程；（Ⅱ）直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，即直线l 与轨迹C 相切，因此可求出当l 与x 垂直（即斜率不存在）时，AOB ∆面积，当l 斜率存在时，可设其方程为y kx m =+，与双曲线方程联立方程组，由0∆=可得222(1)0m k =->，再设出1122(,),(,)A x y B x y ，由直线相交可求得1212,,,x x y y （用,k m 表示），计算AOB ∆面积可得结论. 试题解析：1=，()()2x y x y +-=.因为点P 在区域W 内，所以x y +与x y -同号，得()()222x y x y x y +-=-=，即点P 的轨迹C 的方程为22122x y -=.（Ⅱ）设直线l 与x 轴相交于点D ，当直线l 的斜率不存在时，OD =AB =，得122OAB S AB OD ∆=⋅=. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()2221220k x kmx m --++=，由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知()()222244120k m k m ∆=--+=， 得()22210m k =->，得1k >或1k <-. 设()12,A x y ，()22,B x y ，由y kx m y x =+⎧⎨=⎩得11m y k =-，同理，得21my k =+. 所以121||2OABS OD y y ∆=-= 22122111m m m m k k k k -==-+-. 综上，OAB ∆的面积恒为定值2.21．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）证明出BF AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可得出BF ⊥平面ABCD ，进而可得出BF AC ⊥；（2）证明出BC ⊥平面ABEF ，可得出直线AC 与平面ABEF 所成的角为30BAC ∠=，可求得BE 、EF 的长，然后以点B 为坐标原点，BA 、BF 、BC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得钝二面角D CF E --的余弦值.【详解】（1）证明：在ABF 中，由正弦定理可得sin sin BF AFBAF ABF=∠∠，所以sin 4sin 30sin 12AF BAF ABF BF ⋅∠∠===，因此90ABF ∠=，即BF AB ⊥.又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，BF ⊂平面ABEF ，所以BF ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以BF AC ⊥； （2）由于ABCD 是矩形，所以CB AB ⊥， 又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，所以CB ⊥平面ABEF ，故直线AC 与平面ABEF 所成的角为BAC ∠，所以30CAB ∠=.因为AB ==，所以tan302CB AB =⋅=.//BE AF ，则EBF AFB ∠=∠，又90BEF ABF ∠=∠=，ABF FEB ∴△△. BE BFBF AF ∴=，可得22214BF BE AF ===，EF ∴== 以B 为原点，BA 、BF 、BC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()D 、()0,0,2C 、()0,2,0F、1,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()DC =-，()2DF =--，1,,222CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2CF =-，设平面DCF 的一个法向量为(),,m x y z =，由00m DC m DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则有0220y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，取1y =，得0x =，1z =，所以()0,1,1m =.设平面CFE 的一个法向量为(),,n a b c =，由00n CE n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则有12022220a b c b c ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩，取1b =，得1c =，3a =-()3,1,1n =-.所以cos ,525n m n m m n<>===⋅⋅⋅，故钝二面角D CF E --的余弦值为. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．(1) 2212x y += (2) 存在点1(0,)2D ，使得AD BD k k +为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆22221x y a b +=，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2可得222224,c a csin a b c π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可的结果；（2）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2212860k xkx +++=，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得()()64222133AD BD k k m m kk k ---+==，只需令210m -=，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得222,224,c a csin a b c π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，221b c ==， 所求椭圆方程为2212x y +=．（2）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2212860k x kx +++=，则()22264241216240k kk∆=-+=->，解得2k <-或2k >．设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122812k x x k +=-+，122612x x k=+， 设存在点()0,D m ，则11AD y mk x -=，22BD y m k x -=，所以()12211212AD BD y x y x m x x k k x x +-++=()()12121222kx x m x x x x +-+=()6423k k m --=．要使AD BD k k +为定值，只需()642684k k m k k mk --=-+ ()221m k =-与参数k 无关，故210m -=，解得12m =， 当12m =时，0AD BD k k +=． 综上所述，存在点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得AD BD k k +为定值，且定值为0．。