概率论与数理统计 学习指导(,)
大三学生的概率论与数理统计复习指南
大三学生的概率论与数理统计复习指南概率论与数理统计是大学数学课程的重要内容，也是许多专业考试的重点。
作为大三学生，复习概率论与数理统计对于提高学习成绩和应对考试非常重要。
本文将为大三学生提供一份概率论与数理统计的复习指南，帮助大家系统地复习这门课程。
一、概率论复习1. 概率的基本概念与性质概率的基本概念包括随机试验、样本空间、事件等，复习时应该对这些概念有清晰的理解。
同时，了解概率的性质，如非负性、规范性、可列可加性等。
2. 随机变量与分布函数随机变量是概率论的核心概念，有离散随机变量和连续随机变量两种类型。
复习时应了解随机变量的定义和性质，并熟练掌握常见离散和连续随机变量的分布函数、概率质量函数或概率密度函数。
3. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、标准差等。
复习时应了解这些特征的定义和计算方法，并能够通过特征判断随机变量的性质。
4. 大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论的两个重要定理，分别描述了随机变量的平均值和总和的性质。
复习时应掌握这两个定理的概念和应用。
5. 统计量与抽样分布统计量是样本数据的函数，常用的统计量有样本均值、样本方差等。
抽样分布则是统计量的分布，复习时应了解常见统计量的定义和性质，以及抽样分布的概念和计算方法。
6. 参数估计与假设检验参数估计与假设检验是统计推断的基本方法，复习时应了解点估计、区间估计和假设检验的基本步骤和应用场景，并能够应用常见的估计方法和检验方法解决问题。
二、数理统计复习1. 统计数据的描述统计数据的描述包括测度数据和分类数据的处理方法。
复习时应了解测度数据的计数、频率、累积频率等描述方法，以及分类数据的频数、频率和统计图形等描述方法。
2. 统计数据的整理与分组整理和分组是统计数据处理的基础，复习时应熟悉数据整理和分组的步骤，并了解各种分组方式的选择和应用。
3. 统计图表与统计指标统计图表能够直观地表达数据的分布和规律，常见的统计图表有直方图、饼图、箱线图等。
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
考研数学概率论与数理统计复习指南
考研数学概率论与数理统计复习指南考研数学中，概率论与数理统计是一个重要的组成部分。
对于许多考生来说，这部分内容既有趣又具有一定的挑战性。
为了帮助大家更有效地复习这门课程，下面将为大家提供一份全面的复习指南。
一、教材与参考资料的选择首先，选择一本适合自己的教材至关重要。
经典的教材如浙江大学盛骤等编写的《概率论与数理统计》，内容全面，讲解详细，适合大多数考生。
除了教材，还需要配备一些参考资料。
比如李永乐的《复习全书》，其中概率论与数理统计部分的题目具有一定的代表性和难度，可以帮助我们巩固知识点，提高解题能力。
另外，张宇的《概率论 9 讲》也是不错的选择，对于一些重点和难点的讲解较为深入。
二、知识点的梳理1、随机事件与概率要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
掌握概率的定义、性质和计算方法，特别是古典概型和几何概型的概率计算。
2、随机变量及其分布这是概率论的核心内容之一。
要掌握离散型随机变量和连续型随机变量的概念、分布列和概率密度函数。
常见的分布如二项分布、泊松分布、正态分布等，要牢记它们的特点和参数，以及如何计算相关的概率。
3、多维随机变量及其分布对于二维随机变量，要理解联合分布、边缘分布和条件分布的概念，以及它们之间的关系。
掌握二维正态分布的性质和相关计算。
4、随机变量的数字特征期望、方差、协方差和相关系数是重要的数字特征。
要理解它们的定义、性质和计算方法，并且能够运用这些数字特征来描述随机变量的特征。
5、大数定律和中心极限定理这部分内容相对较抽象，但也是考试的重点。
要理解大数定律和中心极限定理的基本思想和结论，能够运用它们来解决相关的问题。
6、抽样分布要掌握常见的统计量，如样本均值、样本方差等的分布，以及它们与总体分布之间的关系。
7、参数估计包括点估计和区间估计。
要掌握矩估计法和最大似然估计法两种点估计方法，以及如何构造区间估计。
8、假设检验了解假设检验的基本思想和步骤，能够对常见的参数进行假设检验。
《概率论与数理统计》学习指导
《概率论与数理统计》学习指导一、教学目的与课程性质、任务。
教学目的：本课程为学生讲授概率论与数理统计的基本概念、基本方法、基本技巧和基本理论。
主要培养学生对随机数学理论的掌握和实际问题的分析与理解能力，尽量引导学生针对实际随机现象进行科学的分析，从而达到增强学生动手能力和提高学生数学思维能力。
二、教学要求概率论与数理统计是在理论基础上实践性很强的课程,它主要讲授随机现象统计规律性的一门数学科学。
要求学生能够奠定较扎实的概率论理论基础，同时也能利用随机变量及其分布有关理论知识讨论数理统计中的有关统计推断问题。
要求学生能对现实中的工程实际问题、保险问题、金融问题、可靠性问题等方面利用合理的概率论和数理统计有关理念予以解释和分析。
在教学环节上,对学生的学习提出“掌握”和“了解"两个层次上要求，所谓“掌握”,是指学生在课后，必须能将所学内容用自己理解后的数学术语复述出来，这是将所学知识熟练应用到实践中的基础。
所谓“了解”，是要求学生对所学内容有初步的认知，不要求完全复述出来，但在遇到相关问题时要求能够辨识。
教学以课堂讲授为主，辅之以课堂具体的事例分析等方式.三、教学进度表四、教学内容与讲授方法五、课程的重点内容及习题（一) 课程的重点内容（二) 课程的习题（71道题)［2]第一章随机事件与概率P28—31 2、6、10、11、13、14、15、16、18、20第二章条件概率与独立性P53—56 2、4、6、7、10、12、13、17、18、23、25第三章随机变量及其分布P88—92 3、5、7、9、10、15、16、17、24、27、30第四章多维随机变量及其分布P124—128 1、3、5、7、13、15、20、26第五章随机变量的数字特征P155-159 2、5、11、13、15、1720、21、23、25、28、29第七章数理统计的基本概念P200-203 6、8、9、10、12、13、15第八章参数估计P224—227 1、2、4、5、8、19、20第九章假设检验P254—257 1、3、5、7、8六、本课程的几点说明1. 本课程的板书为中英文目的是了解概率论与数理统计常用词汇、为将来外文文献的阅读与相关问题研究打下扎实的基本功.2。
《概率论与数理统计》学习指导
第十讲 第十一讲
随机变量函数的分布、习题
讲述教学.
IV 多维随机变量、分布函数，边缘分 类比教学： 通过将多维随 布函数，二维离散型与连续型随机变量 机变量与随机变量相类比, 不难引出多维随机变量的 新概念.
第十二讲
二维均匀分布，随机变量的独立性，n 维随机变量。
启发式教学：与一维均匀 分布类比 ; 随机变量的独 立性来源于随机事件的独 立性.
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讲课顺序 第十六讲
教学内容 相关系数的性质、矩的概念、习题，
授课方法 启发式：相关系数性质的 证明过程可看出其思想含 义.
第十七讲
VI 切比晓夫不等式与大数定律、 中心 启发式教学 +讲述教学 :通 极限定理简介， 过具体工程事例与概率概 念 的 精 确 解 释 ,以 及 二 项 概 率 的 一 般 近 似 出 发 ,来 掌握大数定律、中心极限 定理基本内容.
第十三讲
两个随机变量和的分布，习题 V、离散型随机变量的数学期望
启发式教学：举例说明两 个随机变量和的分布(离散 与连续型 ),并用事例说明 数学期望的实际含义与重 要性.
第十四讲 第十五讲
连续型随机变量的数学期望，随机变量 讲述教学。 函数的数学期望，数学期望的性质 方差的概念及其性质、协方差和相关系 启发式：回顾数学期望的 数， 概念；讲清方差、协方差 和相关系数的概念、性质 及数学含义;
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《概率论与数理统计》学习指导
课程名称：概率论与数理统计 英文名称：Probability and Statistics 开课院系：远程教育学院 开课学时：36 学 分：3
授课对象：远程教育学院高起本计算机科学与技术、金融学专业学生
概率论与数理统计学习指导
《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第一章随机事件及其概率.................... 错误!未定义书签。
第二章随机变量及其分布.................... 错误!未定义书签。
第三章多维随机变量及其分布................ 错误!未定义书签。
第四章随机变量的数字特征.................. 错误!未定义书签。
第五章大数定律和中心极限定理.............. 错误!未定义书签。
第六章数理统计的基本概念.................. 错误!未定义书签。
第七章参数估计............................ 错误!未定义书签。
第八章假设检验............................ 错误!未定义书签。
第五章 大数定律和中心极限定理内 容 提 要1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式22{}P X σμεε-≥≤或22{}1P X σμεε-<>-成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定理:设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，数学期望)(i X E 和方差)(i X D 都存在，且C X D i <)(),2,1(Λ=i ，则对任意给定的0>ε，有1}|)]([1{|lim 1=<∑-=∞→εni i i n X E X n P . （2）贝努利大数定理:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率A n A /依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.3、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定理:设ΛΛ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2Λ=≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y ni i ni i n ∑-=∑-===11)(的分布函数)(x F n 满足⎰=≤=∞--∞→∞→xtn n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:设ΛΛ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2Λ=≠=i X D i i σ .记 ∑==ni i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→∑-=++ni ii nX E B δδμ, 则随机变量nni in i i ni i ni i n i i n B X X D X E X Z ∑-∑=∑∑-∑======11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∑-∑=∞--==∞→∞→x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ. 当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==ni n i ni i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1(Λ=n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有⎰=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞--∞→x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑 难 分 析1、依概率收敛的意义是什么依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法. 2、大数定律在概率论中有何意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律. 3、中心极限定理有何实际意义许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据. 4、大数定律与中心极限定理有何异同相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当 时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例 题 解 析例1．设X 为连续型随机变量，c 为常数，0>ε，求证εε||}|{|c X E c X P -≤≥-分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证.证 设X 的密度函数为)(x f ，则⎰=≥-≥-εε||)(}|{|c x dx x f c X P||1)(||1)(||)(||||c X E dx x f c x dxx f c x dx x f c x c x -=⎰-=⎰-≤⎰-≤∞∞-∞∞-≥-εεεεε例2．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,相关系数为,则根据切比雪夫不等式有≤≥-}6{Y X P .解121. 由于 ,0)(=-Y X E ,32)(=-+=-DXDY DY DX Y X D XY ρ 故≤≥-}6{Y X P 12/136/3=.例3．设在独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为1/4.问是否用的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间分析 在1000次试验中事件A 发生的次数)4/1,1000(~B X ,且2/375)4/11(4/11000,2504/11000=-⨯⨯==⨯=DX EX 而 }50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 利用Chebychev 不等式得}50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 925.050)(12=-≥X D所以可用的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间. 解 如分析所述，由Chebychev 不等式即可得例4．分布用切比雪夫不等式与隶美弗—拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在~之间的概率不小于90%．解 设X 为n 次掷硬币正面出现的次数，则),(~p n B X ，其中21=p （1）由切比雪夫不等式知{}n n X P n X P n X P 1.0|5.0|1.0|5.0|6.04.0≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤n n n n X D 25101.0411)1.0()(122-=⋅⨯-=-≥ 令 %.90251≥-n则得250≥n ． （2） 由隶美弗-拉普拉斯的中心极限定理，得：}6.04.0{≤≤nXP.95.0)5(%901)5(21)5.01.0(225.05.06.025.05.025.05.04.0{}6.04.0{≥Φ⇒≥-Φ=-Φ≈-≤-≤-=≤≤=n n n n nn n nn X n n n P n X n P查表知：6.15≥n． 6864.67≥⇒≥n n例5． (1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为,又知为使系统正常运行,至少必须有85个元件工作,求系统的可靠度;(2)上述系统假如由n 个相互独立的元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行,问n 至少为多大时才能保证系统的可靠度不小于.解 (1)设⎩⎨⎧=个元件损坏第个元件没有损坏第i i X i ,0,1,S 为系统正常运行时完好的元件个数,于是∑==1001i i X S 服从)9.0,100(b ,因而.91.09.0100,909.0100=⨯⨯===⨯=npq DS ES 故所求的概率为.952.0351990859901)85(1)85(=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-==≤-=>S P S P S P(2)此时)9.0,(~n b S ,要求95.0)8.0(≥≥n S P ,而.3313.09.08.03.09.01)8.0(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≥n n n n n n n S P n S P 故95.03≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ,查表得,5.24,65.13≥⇒≥n n 取n =25 例6． 一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(,Λ=i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划105（伏）的概率.解 记∑==201i i V V ，因2021,,,V V V Λ是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且20,,2,1,12100)(,5)(Λ=====i V D V E i i i σμ 由独立同分布中心极限定理知),3500,100()1210020,520(201N N V V n i i =⨯⨯−−→−∑=∞→= 故.3483.0)39.0(1)3/500100105(1)105(1)105(=Φ-=-Φ-=≤-≈>V P V P例7．假设n X X X ,.,21Λ是来自总体X 的简单随机样本；已知),4,3,2,1(==k EX k k α证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 121近似服从正态分布，并指出其分布参数.分析 此题主要考查对中心极限定理的理解与运用.解 依题意知n X X X ,,,21Λ独立同分布，从而其函数22221,,,n X X X Λ也是独立同分布，且)(11)1(,1,)(,224122122122242242222αααααα-=∑=∑==∑=-=-======n DX n X n D DZ EX n EZ EX EX DX EX EX n i i n i i n n i i n i i i i由中心极限定理nZ U n n /)(2242ααα--=的极限分布为标准正态分布，即当n 充分大时，n Z 近似地服从参数为),(2242nααα-的正态分布.例8．设随机变量,1,n i X i ≤≤独立同分布，且分布密度为)(x f ，记}{1x X P p n i i ≤∑==，当n 充分大时，则有A. p 可以根据)(x f 计算； B . p 不可以根据f (x)计算；C. p 一定可以用中心极限定理近似计算；D. p 一定不可以用中心极限定理近似计算解 由于,1,n i X i ≤≤独立同分布，它们的联合概率密度等于各边缘密度的乘积.因此p 可以如下计算：⎰⎰=≤++n n n xxx dx dx x f x f p n ΛΛΛΛ111)()(1由于不知道.1,n i X i ≤≤的期望和方差是否存在，故无法判断能否用中心极限定理. 综上所述，选A.测 试 题一、填空题１．随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计≤≥-}2|{|）（X E X P ．２．设随机变量X 和Y 的期望都是２，方差分别为１和４，而其相关系数为，则根据切比雪夫不等式≤≥-}6|{|Y X P ．３．设n X 是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次实验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→εp n X P n n lim ． ４．设随机变量ΛΛ,,,1n X X 相互独立同分布，且具有有限的均值与方差，0)(,)(2≠==σμi i X D X E ，随机变量σμn n X Y ni i n -∑==1的分布函数)(x F n ，对任意的x ，满足P x F n n =∞→)(lim { }= ．５．设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立同分布，且0)(=n X E ，则=∑<=∞→)(lim 1ni i n n X P ．二、选择题６．设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且}1|{|}1|{|21<-><-μμY P X P ，则必有( )．(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ<； (D) 21μμ>．７．设随机变量序列}{n X 相互独立，],[~n n U X n -，Λ,2,1=n ，则对}{n X ( )．(A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律； (C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律．８．设随机事件A 在第i 次独试验中发生的概率为i p ，n i ,,2,1Λ=．m 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对于任意正数ε恒有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<∑-=∞→εni i n p n n mP 11lim ( )． (A)１； (B) ０； (C)21； (D)不可确定． ９．设ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下述选项中成立的是( )．(A) )(lim 1x x n X Pn i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ； (B) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→； (C) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λ； (D) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ． 10．设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立同分布， 0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，且)(4i X E 存在，则对任意0>ε，下述选项中正确的是( )．(A) 11lim 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (B) 11lim 212≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (C) 11lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (D) 01lim 212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ． 三、解答题11．某年的统计资料表示，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数． （1）写出X 的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值． 12．某单位设置一电话总机，共有200架分机．设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的．设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话．问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用13．设5021,,,X X X Λ是相互独立的随机变量，且都服从参数为03.0=λ的泊松分布，记∑==501i i X Y ，试计算}3{≥Y P ．14．一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度．第六章 数理统计的基本概念内 容 提 要1、总体与样本在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为)(x F 的随机变量X 中随机地抽取的相互独立的n 个随机变量，具有与总体相同的分布，则n X X X ,,,21Λ称为从总体X 得到的容量为n 的随机样本.一次具体的抽取记录n x x x ,,,21Λ是随机变量n X X X ,,,21Λ的一个观察值，也用来表示这些随机变量.2、统计量设n X X X ,,,21Λ是总体X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数),,,(21n X X X f Λ称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有（1）样本均值（2）样本方差（3）样本标准差（4）样本k 阶原点矩（5）样本k 阶中心矩 2、经验分布函数设n x x x ,,,21Λ是总体X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：**2*1n x x x ≤≤≤Λ，称它为顺序统计量.则称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=+**1**2*1*1,1,,1,0)(n k k n x x x x x nk x x x n x x x F ΛΛ为经验分布函数（或样本分布函数）.3、一些常用统计量的分布（1）2χ分布设)1,0(~N X ，n X X X ,,,21Λ是X 的一个样本，n 的2χ分布，记作)(~22n χχ.（2）t 分布设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且YX ,n 的t 分布，记作)(~n t t .t 分布又称为学生分布.（3）F 分布设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且Y X ,),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F .4、正态总体统计量的分布设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21Λ是X 的一个样本，则 （1）样本均值X 服从正态分布，有),(~2nN X σμ（2）样本方差（3）统计量设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，1,,,21n X X X Λ是X 的一个样本， 2,,,21n Y Y Y Λ是Y 的一个样本，两者相互独立.则（1）统计量（2）当21σσ=时，统计量2)1()1(21222211-+-+-=n n S n Sn S w ；（3）统计量（4）统计量疑难分析1、数理统计的研究对象和目的是什么“数理统计学”是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带随机性影响的数据，它的具体含义包括以下几层意思：1）能否假定数据有随机性，是区别数理统计方法与其他数据处理方法的根本点。
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学同步练习参考答案练习 1-11. （1）是；（2）是；（3）是.练习1-21. （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中ie =‘出现i 点’1,2,,6i =L ，246{,,}A e e e =;（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =;（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)};{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =;（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；1.2. 5.0,,q p +,p ).(1q p +-6 .0.6, 0.1. 7.0.3,0.6.8. 1.p - 9.,1.p q r p r +-+- 10.0.1,0.1.练习1-41. 0.054.2. (1 )0.662; (2) 0.0354.3.(1) 112；（2）1.20 4.（1）365;365rrP （2） 41.965. 0.01107.6.1.12607.7147,,1515308.2!.(2)!nn n ⋅9.797.9A10. 491.10⎛⎫- ⎪⎝⎭11.3.1012.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073.13. 0.0602.练习1-51. 3.52. 0.121.3. 0.25.4. (1)1;3(2) 1.25. 0.2.练习1-6 1．2.32.76.3. 0.6148.4.(1) 0.862; (2)0.058; (3)0.8286.5.(1) 1;1n k-+(2) 1.n6.0.645.7.0.64.8.(1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或6:16:3.9.（1）5;12（2）24.7510.(1) 0.10034; (2) 0.0038.11.(C).练习1-71.0.5，0.5.2.证明略.3. 0.902.4. (1) 0.5; (2) 0.4.5.(1)0.84;(2)6.6. (1)0.0168;(2) 0.1557; (3) 0.8587.7.(1) 0.3087;(2)0.371.8.(1)0.9;(2)0.887.9. 0.542.练习2-1, 2-2 1．X的分布列为2．{}2.3125,100.32.c P X X=<≠=3．分布列为{}1112P X -<≤=,{}5116P X -≤<=.4．(1)12a =; (2)2023(31)a =⋅-; (3)14a =.5．1927. 6． 0.9972. 7． 0120.80.80.80.810.04740!1!2!e -⎛⎫-++≈ ⎪⎝⎭. 8． 2λ=,{}42240.09024!P X e -==≈.练习2-31. 6k =, 0, 0.784. 2.2a π=3.12c =, 11e-. 4. 0.578125.5. 100a =, {}21503P X >=, 3280.296327P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.6. 45.7. 0.268. 8.0.60.5488e -≈.练习2-41. A.2. B.3. C.4. (1) 0.2; (2) {}0.5P X >={}050.5P X <≤=;(3)0, 1,0.5, 11,()0.7, 12,1 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 分布函数()F x 的图像略.5. 0.5.6.,0,2()1,0.2x xe x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩7.220, 0,, 01,2()21, 12,21,2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩8. (1) 1A =; (2)11124P x ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭,18239P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭;(3)2,01,()0,.x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他9. (1)11,2A B π==; (2)1122P x ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭; (3)22()14f x x =+.10. 0.682.练习2-51． (1) 31Y X =+的分布列为(2)2Y X =的分布列为2. (1) 3A =; (2)23(1),11,()80,Y y y f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； (3)01,()0,Y y f y ≤≤=⎪⎩其他.3. (1)()21ln 2,0,()0,0;y Y y f y y -⎧>=≤⎩(2)14,1,()0,1;y Y y f y y -->=≤⎩(3) 22,0,()0,0.yY y f y y ->=≤⎩练习4-14．2435;32;31． 5．0；2． 6．3；2．7．121;31;31-． 8．18.4．练习4-24．8；0.2． 5．2；41． 6 7．4．练习4-38． (1) 21221)(x ex f -=π22221)(y ey f -=πp =0 (2) 不独立．9．18110. (1)(2)1515(3)12. (Ⅰ)n 11-； （Ⅱ）n1-； （Ⅲ）2113.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y),cov(Y X =32 )4,21(-F练习5-14．221d t xt--⎰； 0.５．５．≤94．6．0.983 8． 7． 0.997 7． 8． 0.952 5．练习6-34． 0.829 3．5． (1) 0.2628；(2) 0.2923；(3) 0.5785． 6． 0；n 31． 7．0.6744． 8．220,()00y n Y y f y y σ-⎧>=⎪⎪<⎩.9．λ；n λ；λ． 10． (1) 0.99；(2)4152σ．11． 35．12．（1）1n n -；（2）1n-．练习7-11．A ．2．矩估计值：ˆx θ=，极大似然估计值：ˆx θ=． 3．矩估计量：ˆln X θ=，极大似然估计量：12ˆmin{,,,}nX X X θ=L ． 4．矩估计值：ˆ0.67θ=，极大似然估计值：9ˆ13θ=．5．1X X -；1ln nii nX=∑；12min{,,,}nX X X L ．6．ˆ3X θ=． 7．(1)2ˆXλ=；(2)2ˆXλ=．8．(1)ˆx x cθ=+，ˆX X cθ=+；(2)1ˆln ln nii nx n cθ==-∑，1ˆln ln nii nXn cθ==-∑．9．(1) ˆX μ=，ˆθ=(2)12ˆmin{,,,}n X X X μ=L ，ˆˆX θμ=-． 10．(1)ˆ2X θ=，(2)2ˆ().5D nθθ=练习7-21．D ． 2．2． 3．2σ4．A5．215ˆ()9D μσ=，225ˆ()8D μσ=，231ˆ()2D μσ= 6．1n X +7．112n a n n =+，212nb n n=+ 8．(1)1ˆ22X θ=-；(2) 不是无偏估计量，因为22(4)E X θ≠．练习7-31．C ． 2．C ．3．(992.16, 1007.84)． 4．(2818.54, 3295.46)． 5．22224()u n Lασ≥．6． (1) (68.11, 85.089)；(2) (190.33, 702.01)． 7．(1)(5.608，6.392)；(2)(5.558，6.442)．8．(4.098，9.108)． 9．(-0.002，0.006)． 10．(0.45，2.79)．练习8-11． A2． 第一类错误(弃真错误)；第二类错误(取伪错误)． 3．ˆXT =，t 分布，自由度1n -．4． C5． 可以认为包装机不正常工作． 6． 接受．7． 厂家的声称属实． 8． 可以认为无系统误差． 9． 可以．10．认为电池的寿命不比该公司宣称的短． 11．可以认为其平均电阻有明显的提高． 12．拒绝．13．可以认为无显著差异．练习8-21．222(1)ˆn S χσ-=；221/2/2(0,(1)][(1),)n n ααχχ---+∞U ．2．D3．不正常．4．与通常无显著差异．5．不能．6．可以认为溶液水分含量不合格．练习8-31．(1) 接受0H；(2) 接受0H．2．无显著差异．3．接受．4．接受．5．认为X Y和的方差无明显差异．6．未达到公布的疗效．7．接受H0．。
概率论与数理统计学习指导 参考答案
自测练习题参考答案第一章 自测练习题A1. （1）∅ （2）互逆事件 （3）0.7 （4）0.88 （5）132. （1）D （2）C (3) D (4) B (5) A3. 解 因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，故()()()()0.40.30.60.1P AB P A P B P A B =+-=+-= ，从而()()()()()0.40.10.3P AB P A B P A AB P A P AB =-=-=-=-=。
4. 解 设i A 表示事件“第i 次取到的卡片上标有奇数”，1,2i =。
则 （1）13()5P A =， （2）2121232233()()()54545P A P A A P A A ⨯⨯=+=+=⨯⨯， （3）12121323()()(|)5410P A A P A P A A ==⋅=。
5. 解 设 A 表示“该种动物由出生活到10岁”，B 表示“该动物由出生活到12岁”，显然有B A ⊂，从而()()0.56(|)0.7()()0.8P AB P B P B A P A P A ====。
6. 设,,A B C 分别表甲、乙、丙独立地破译密码，E 表示密码被译出，则E A B C = 。
由,,A B C 的独立性，有()()1()1()P E P A B C P A B C P ABC ==-=-1()()()1[1()][1()][1()]P A P B P C P A P B P C =-=----423315345=-⨯⨯=。
7. 解 设i B 表示“第一次任取的3个球中有i 个新球”，0,1,2,3i =，A 表示“第二次取出的3个球全是新球”，由题意可得393312(), 0,1,2,3i i i C C P B i C -⋅==，39312(|), 0,1,2,3ii C P A B i C -==。
由全概率公式可得31842756108358420441()()(|)2202202202202202202202203025i i i P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑自测练习题B1. (1) B (2) C (3) C (4) C (5) A2. (1)1p - (2)925 (3) 0.75 (4) 1(1)n p -- (5) 17253. 解 由已知，()()0P AB P AC ==，又A B C A B ⊂，故()0P A B C =。
精品课件-概率论与数理统计学习指导及习题解析(马继丰)-第5章
1
ห้องสมุดไป่ตู้lim
n
P
n
n k 1
Xk
1
第 5 章 大数定律和中心极限定理
2.
定理1： （林德贝格—勒维中心极限定理）设相互独立
P X E(X )
DX 或
2
P X E(X )
1
D
X
2
成立， 称上式为切比雪夫不等式。
第 5 章 大数定律和中心极限定理
2) 定理： 设相互独立的随机变量序列X1， X2， …， Xn， … 分别具有均值E(X1)， E(X2)， …， E(Xn)， …及方 差D(X1)， D(X2)， …， D(Xn)， …， 若存在常数C， 使 D(Xk)≤C(k=1， 2， …)， 则对于任意给定的ε>0， 有
Xk
0
1
取常数列an=0， 则有
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
an
1
第 5 章 大数定律和中心极限定理
（2） 因为
E
Yn
E
2
nn 1
n k 1
kX k
2
nn 1
n k 1
kE
Xk
2
nn 1
n
k 1
k
2
nn 1
n
1
2
n
D Yn
D
n
2 n
1
n
kX k
k 1
22
n2 n 12
《概率论与数理统计》学习指导(5,6)
《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第一章随机事件及其概率.................................. 错误！未定义书签。
第二章随机变量及其分布.................................. 错误！未定义书签。
第三章多维随机变量及其分布........................... 错误！未定义书签。
第四章随机变量的数字特征 .............................. 错误！未定义书签。
第五章大数定律和中心极限定理 .. (2)第六章数理统计的基本概念 (9)第七章参数估计 ................................................ 错误！未定义书签。
第八章假设检验 ................................................ 错误！未定义书签。
第五章 大数定律和中心极限定理内 容 提 要1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式22{}P X σμεε-≥≤或22{}1P X σμεε-<>-成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定理:设 ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，数学期望)(i X E 和方差)(i X D 都存在，且C X D i <)(),2,1( =i ，则对任意给定的0>ε，有1}|)]([1{|lim 1=<∑-=∞→εni i i n X E X n P . （2）贝努利大数定理:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率A n A /依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.3、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y ni i ni i n ∑-=∑-===11)(的分布函数)(x F n 满足⎰=≤=∞--∞→∞→xtn n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2 =≠=i X D i i σ .记 ∑==ni i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→∑-=++ni ii nX E B δδμ, 则随机变量nni in i i ni i ni i n i i n B X X D X E X Z ∑-∑=∑∑-∑======11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∑-∑=∞--==∞→∞→x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ. 当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==ni n i ni i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有⎰=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞--∞→x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑 难 分 析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法. 2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律. 3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据. 4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当 时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例 题 解 析例1．设X 为连续型随机变量，c 为常数，0>ε，求证εε||}|{|c X E c X P -≤≥-分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证.证 设X 的密度函数为)(x f ，则⎰=≥-≥-εε||)(}|{|c x dx x f c X P||1)(||1)(||)(||||c X E dx x f c x dxx f c x dx x f c x c x -=⎰-=⎰-≤⎰-≤∞∞-∞∞-≥-εεεεε例2．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式有≤≥-}6{Y X P .解121. 由于 ,0)(=-Y X E ,32)(=-+=-DXDY DY DX Y X D XY ρ 故≤≥-}6{Y X P 12/136/3=.例3．设在独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为1/4.问是否用0.925的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间？分析 在1000次试验中事件A 发生的次数)4/1,1000(~B X ,且2/375)4/11(4/11000,2504/11000=-⨯⨯==⨯=DX EX而 }50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 利用Chebychev 不等式得}50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 925.050)(12=-≥X D所以可用0.925的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间.解 如分析所述，由Chebychev 不等式即可得例4．分布用切比雪夫不等式与隶美弗—拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在0.4~0.6之间的概率不小于90%．解 设X 为n 次掷硬币正面出现的次数，则),(~p n B X ，其中21=p （1）由切比雪夫不等式知{}n n X P n X P n X P 1.0|5.0|1.0|5.0|6.04.0≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤n n n n X D 25101.0411)1.0()(122-=⋅⨯-=-≥令 %.90251≥-n则得250≥n ． （2） 由隶美弗-拉普拉斯的中心极限定理，得：}6.04.0{≤≤nXP .95.0)5(%901)5(21)5.01.0(225.05.06.025.05.025.05.04.0{}6.04.0{≥Φ⇒≥-Φ=-Φ≈-≤-≤-=≤≤=n n n n nn n nn X n n n P n X n P查表知：6.15≥n． 6864.67≥⇒≥n n例5． (1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10,又知为使系统正常运行,至少必须有85个元件工作,求系统的可靠度;(2)上述系统假如由n 个相互独立的元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行,问n 至少为多大时才能保证系统的可靠度不小于0.95.解 (1)设⎩⎨⎧=个元件损坏第个元件没有损坏第i i X i ,0,1,S 为系统正常运行时完好的元件个数,于是∑==1001i i X S 服从)9.0,100(b ,因而.91.09.0100,909.0100=⨯⨯===⨯=npq DS ES 故所求的概率为.952.0351990859901)85(1)85(=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-==≤-=>S P S P S P(2)此时)9.0,(~n b S ,要求95.0)8.0(≥≥n S P ,而.3313.09.08.03.09.01)8.0(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≥n n n n n n n S P n S P 故95.03≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ,查表得,5.24,65.13≥⇒≥n n 取n =25 例6． 一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(, =i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划105（伏）的概率.解 记∑==201i i V V ，因2021,,,V V V 是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且20,,2,1,12100)(,5)( =====i V D V E i i i σμ 由独立同分布中心极限定理知),3500,100()1210020,520(201N N V V n i i =⨯⨯−−→−∑=∞→= 故.3483.0)39.0(1)3/500100105(1)105(1)105(=Φ-=-Φ-=≤-≈>V P V P例7．假设n X X X ,.,21 是来自总体X 的简单随机样本；已知),4,3,2,1(==k EX k k α证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 121 近似服从正态分布，并指出其分布参数.分析 此题主要考查对中心极限定理的理解与运用.解 依题意知n X X X ,,,21 独立同分布，从而其函数22221,,,n X X X 也是独立同分布，且)(11)1(,1,)(,224122122122242242222αααααα-=∑=∑==∑=-=-======n DX n X n D DZ EX n EZ EX EX DX EX EX n i i n i i n n i i n i i i i由中心极限定理nZ U n n /)(2242ααα--=的极限分布为标准正态分布，即当n 充分大时，n Z 近似地服从参数为),(2242nααα-的正态分布.例8．设随机变量,1,n i X i ≤≤独立同分布，且分布密度为)(x f ，记}{1x X P p n i i ≤∑==，当n 充分大时，则有A. p 可以根据)(x f 计算； B . p 不可以根据f (x)计算；C. p 一定可以用中心极限定理近似计算；D. p 一定不可以用中心极限定理近似计算解 由于,1,n i X i ≤≤独立同分布，它们的联合概率密度等于各边缘密度的乘积.因此p 可以如下计算：⎰⎰=≤++n n n xxx dx dx x f x f p n 111)()(1由于不知道.1,n i X i ≤≤的期望和方差是否存在，故无法判断能否用中心极限定理. 综上所述，选A.测 试 题一、填空题１．随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计≤≥-}2|{|）（X E X P ．２．设随机变量X 和Y 的期望都是２，方差分别为１和４，而其相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式≤≥-}6|{|Y X P ．３．设n X 是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次实验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→εp n X P n n lim ．４．设随机变量 ,,,1n X X 相互独立同分布，且具有有限的均值与方差，0)(,)(2≠==σμi i X D X E ，随机变量σμn n X Y ni i n -∑==1的分布函数)(x F n ，对任意的x ，满足P x F n n =∞→)(lim { }= ．５．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布，且0)(=n X E ，则=∑<=∞→)(l i m 1ni i n n X P ．二、选择题６．设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且}1|{|}1|{|21<-><-μμY P X P ，则必有( )．(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ<； (D) 21μμ>．７．设随机变量序列}{n X 相互独立，],[~n n U X n -， ,2,1=n ，则对}{n X ( )．(A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律； (C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律．８．设随机事件A 在第i 次独试验中发生的概率为i p ，n i ,,2,1 =．m 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对于任意正数ε恒有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<∑-=∞→εni i n p n n mP 11lim ( )． (A)１； (B) ０； (C)21； (D)不可确定． ９．设 ,,,,21n X X X 相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下述选项中成立的是( )．(A) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λλ； (B) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→； (C) )(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λ； (D) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ． 10．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布， 0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，且)(4i X E 存在，则对任意0>ε，下述选项中正确的是( )．(A) 11lim 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (B) 11lim 212≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (C) 11lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn i i n X n P ； (D) 01lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn i i n X n P ． 三、解答题11．某年的统计资料表示，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数．（1）写出X 的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值． 12．某单位设置一电话总机，共有200架分机．设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的．设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话．问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？13．设5021,,,X X X 是相互独立的随机变量，且都服从参数为03.0=λ的泊松分布，记∑==501i i X Y ，试计算}3{≥Y P ．14．一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度．第六章 数理统计的基本概念内 容 提 要1、总体与样本在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为)(x F 的随机变量X 中随机地抽取的相互独立的n 个随机变量，具有与总体相同的分布，则n X X X ,,,21 称为从总体X 得到的容量为n 的随机样本.一次具体的抽取记录n x x x ,,,21 是随机变量n X X X ,,,21 的一个观察值，也用来表示这些随机变量.2、统计量设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数),,,(21n X X X f 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有（1）样本均值（2）样本方差（3）样本标准差（4）样本k 阶原点矩（5）样本k 阶中心矩2、经验分布函数设n x x x ,,,21 是总体X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：**2*1n x x x ≤≤≤ ，称它为顺序统计量.则称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=+**1**2*1*1,1,,1,0)(n k k n x x x x x nk x x x n x x x F 为经验分布函数（或样本分布函数）.3、一些常用统计量的分布（1）2χ分布设)1,0(~N X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，n 的2χ分布，记作)(~22n χχ.（2）t 分布设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且Y X,n 的t 分布，记作)(~n t t .t 分布又称为学生分布.（3）F 分布设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且Y X ,),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F .4、正态总体统计量的分布设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则 （1）样本均值X 服从正态分布，有),(~2nN X σμ（2）样本方差（3）统计量设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，1,,,21n X X X 是X 的一个样本， 2,,,21n Y Y Y 是Y 的一个样本，两者相互独立.则（1）统计量（2）当21σσ=时，统计量2)1()1(21222211-+-+-=n n S nS n S w ；（3）统计量（4）统计量疑难分析1、数理统计的研究对象和目的是什么？“数理统计学”是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带随机性影响的数据，它的具体含义包括以下几层意思：1）能否假定数据有随机性，是区别数理统计方法与其他数据处理方法的根本点。
概率论与数理统计自学指导书 (1)
《概率论与数理统计》自学指导书一、课程编码及适用专业课程编码：114011211总学时：48面授学时：16自学学时：32适用专业：理工科函授本科各专业二、课程性质《概率与数理统计》是应用非常广泛的数学学科，其理论和方法的应用遍及所有科学技术领域、工农业生产、医药卫生以及国民经济的各个部门。
本课程是理工科函授本科各专业的重要课程。
属于理工类专业的数学基础课程。
三、本课程的作用概率论研究随机现象的统计规律性；数理统计研究样本数据的收集、整理、分析和推断的各种统计方法。
本课程在教学过程中主要培养学生运用概率统计独特的思维方式分析问题和解决问题的能力，并为后续专业课程的学习和未来的工作实践，提供必备的研究随机性问题的数学基础。
四、学习目的与要求《概率与数理统计》分两部分，前四章是概率论部分，主要包括事件及其概率，随机变量及其概率分布，随机变量的数字特征，极限定理和大数定律，其中心内容是随机变量及其分布；后三章是数理统计部分，主要包括统计推断的三个内容，即抽样分布、参数估计和假设检验。
具体要求有如下几点：（一）掌握各章的主要内容，主要是定理、公式与结论。
（二）重点学习基本概念、基本理论和基本方法。
（三）尽量多的了解概率统计中丰富的实际背景、特有的思维方式、广泛的应用范围。
（四）把学习的重点放在对概念、定理和方法的直观理解和数学表达上。
（五）掌握解题的方法和思想，寻找解题的思路。
（六）积极思考，掌握蕴含于课程中的综合技巧性和应用性。
（七）对各章节及概率与数理统计的结构要熟悉。
五、本课程的学习方法学习本课程的关键应该着眼于应用，要用好统计方法，除了与问题有关的专业知识外，对统计概念的直观理解，以及对方法的理论根据的认识和准确的数学表达也是很重要的。
在学习过程中要熟悉各章的知识结构，归纳提炼各章节之间的联系，对于各章节的问题的来源，明确解决问题的思想方法方法，学习时以学习和理解各种统计方法为主，把握整体结构，多做习题，通过深入的独立思考，对所学内容有切实的掌握，并在一定程度上能灵活运用，从题目中掌握主要内容以及常用的解题思路和方法。
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
同步练习参考答案练习 1-11. （1）是；（2）是；（3）是.练习1-21. （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 246{,,}A e e e =;（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =;（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)};{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =; （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------.（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L .2. （1）ABC ; （2）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ；（5）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U .3. （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3）123123123A A A A A A A A A U U ； （4）121323A A A A A A U U .4.(C)5. 甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中. 6.,,.ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC C BC ABC ++++++++ 7. 略. 8. 略.练习1-31. 0.3.2. 2. 30%.3. 3. 5/8.4. 4. )()(AB P A P -.5. 5.0,,q p +,p ).(1q p +- 6 .0.6, 0.1. 7. 0.3,0.6. 8. 1.p -9.,1.p q r p r +-+- 10.0.1,0.1.练习1-41. 0.054.2. (1 )0.662; (2) 0.0354.3.(1) 112；（2）1.204.（1） 365;365rrP （2） 41.965. 0.01107.6.1.12607. 7147,,1515308.2!.(2)!n n n ⋅9. 797.9A 10. 491.10⎛⎫- ⎪⎝⎭11.3.1012.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073. 13. 0.0602.练习1-51. 3.52. 0.121.3. 0.25.4. (1)1;3 (2) 1.25. 0.2.练习1-61．2.3 2.76. 3. 0.6148.4.(1) 0.862; (2)0.058; (3)0.8286.5. (1)1;1n k -+ (2) 1.n 6. 0.645. 7. 0.64.8. (1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或 6:16:3. 9. （1）5;12（2）24.7510. (1) 0.10034; (2) 0.0038. 11. (C).练习1-71.0.5，0.5.2.证明略.3. 0.902.4. (1) 0.5; (2) 0.4.5.(1)0.84;(2)6.6. (1)0.0168;(2) 0.1557; (3) 0.8587. 7.(1) 0.3087;(2)0.371.8.(1)0.9;(2)0.887.9. 0.542.练习2-1, 2-21．X2．{}2.3125,100.32.c P X X =<≠= 3．分布列为{}1112P X -<≤=, {}5116P X -≤<=. 4．(1) 12a =; (2)2023(31)a =⋅-; (3) 14a =. 5．1927. 6． 0.9972. 7． 0120.80.80.80.810.04740!1!2!e-⎛⎫-++≈ ⎪⎝⎭. 8． 2λ=, {}42240.09024!P X e -==≈.练习2-31. 6k =, 0, 0.784.2. 2a π=. 3. 12c =, 11e -.4. 0.578125.5. 100a =, {}21503P X >=, 3280.296327P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.6.45. 7. 0.268.8. 0.60.5488e -≈.练习2-41. A.2. B.3. C.4. (1) 0.2; (2) {}0.5P X >={}050.5P X <≤=; (3) 0, 1,0.5, 11,()0.7, 12,1 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 分布函数()F x 的图像略.5. 0.5.6. ,0,2()1,0.2xxe x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 7.220, 0,, 01,2()21, 12,21,2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩8. (1) 1A =; (2) 11124P x ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭, 18239P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭;(3) 2,01,()0,.x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他9. (1) 11,2A B π==; (2) 1122P x ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭; (3) 22()14f x x =+.10. 0.682.练习2-5(2) 2Y =2. (1) 3A =; (2) 23(1),11,()80,Y y y f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其他；(3) 01,()0,Y y f y ≤≤=⎪⎩其他.3. (1) ()21ln 2,0,()0,0;y Y y f y y -⎧>=≤⎩(2) 14,1,()0,1;y Y y f y y -->=≤⎩(3) 22,0,()0,0.yY y f y y ->=≤⎩练习4-14．2435;32;31．5．0；2． 6．3；2．7．121;31;31-． 8．18.4．练习4-24．8；0.2． 5．2；41． 67．4．练习4-38． (1) 21221)(x ex f -=π22221)(y ey f -=πp =0 (2) 不独立．9．181 10. (1)(2) 151512. (Ⅰ)n 1-； （Ⅱ）n-； （Ⅲ）213. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y ),cov(Y X =32 )4,21(-F练习5-14．221d t xt --⎰； 0.５．５．≤94． 6．0.983 8． 7． 0.997 7． 8． 0.952 5．练习6-34． 0.829 3．5． (1) 0.2628；(2) 0.2923；(3) 0.5785．6． 0；n31． 7．0.6744． 8．220,()00y n Y y f y y σ-⎧>=⎪⎪<⎩.9．λ；nλ；λ．10． (1) 0.99；(2) 4152σ． 11． 35． 12．（1）1n n -；（2）1n-．练习7-11．A ．2．矩估计值：ˆx θ=，极大似然估计值：ˆx θ=． 3．矩估计量：ˆln X θ=，极大似然估计量：12ˆmin{,,,}n X X X θ=L ． 4．矩估计值：ˆ0.67θ=，极大似然估计值：9ˆ13θ=． 5．1XX -；1ln nii nX=∑；12min{,,,}n X X X L ．6．ˆ3X θ=． 7．(1) 2ˆXλ=；(2) 2ˆXλ=． 8．(1) ˆx x cθ=+，ˆX X c θ=+；(2) 1ˆln ln nii nx n cθ==-∑，1ˆln ln nii nXn cθ==-∑．9．(1) ˆX μ=，ˆθ= (2) 12ˆmin{,,,}n X X X μ=L ，ˆˆX θμ=-． 10．(1) ˆ2X θ=，(2) 2ˆ().5D nθθ=练习7-21．D ． 2．2． 3．2σ 4．A5．215ˆ()9D μσ=，225ˆ()8D μσ=，231ˆ()2D μσ= 6．1n X + 7．112n a n n =+，212n b n n =+8．(1) 1ˆ22X θ=-；(2) 不是无偏估计量，因为22(4)E X θ≠．练习7-31．C ． 2．C ．3．(992.16, 1007.84)． 4．(2818.54, 3295.46)． 5．22224()u n Lασ≥．6． (1) (68.11, 85.089)；(2) (190.33, 702.01)． 7．(1)(5.608，6.392)；(2)(5.558，6.442)． 8．(4.098，9.108)． 9．(-0.002，0.006)． 10．(0.45，2.79)．练习8-11． A2． 第一类错误(弃真错误)；第二类错误(取伪错误)． 3． ˆXT =，t 分布，自由度1n -． 4． C5． 可以认为包装机不正常工作． 6． 接受．7． 厂家的声称属实． 8． 可以认为无系统误差． 9． 可以．10．认为电池的寿命不比该公司宣称的短． 11．可以认为其平均电阻有明显的提高． 12．拒绝．13．可以认为无显著差异．练习8-21．222(1)ˆn S χσ-=；221/2/2(0,(1)][(1),)n n ααχχ---+∞U ．2．D3．不正常．4．与通常无显著差异． 5．不能．6．可以认为溶液水分含量不合格．练习8-31．(1) 接受0H ；(2) 接受0H ． 2．无显著差异． 3．接受． 4．接受．5．认为X Y 和的方差无明显差异． 6．未达到公布的疗效． 7．接受H 0．。
魏宗舒《概率论与数理统计》学习指导讲义
.
（1）由全概率公式：
.
（2）由贝叶斯公式： .
以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大.
【例8】一名工人照看 三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为 .求1小时内三台机床至多有一台需要照看的概率.
解：样本空间中所含的样本点数为 .
（1）该事件所含的样本点数是 ，故： ；
（2）在 个盒子中选 个盒子有 种选法，故所求事件的概率为： ；
（3）从 个球中取 个有 种选法，剩下的 个球中的每一个球都有 种放法，故所求事件的概率为： .
【例5】设事件 与 互不相容，且 ，求下列事件的概率： .
分析：按概率的性质进行计算.
解：（1） ；（2） ；（3） 或 ；（4） 或 ；（5） 或 ；
（6） 或 ；
（7） ；（8） .
【例3】把 个不同的球随机地放入 个盒子中，求下列事件的概率：
（1）某指定的 个盒子中各有一个球；
（2）任意 个盒子中各有一个球；
（3）指定的某个盒子中恰有 个球.
分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有 种放法， 个球共有 种不同的放法.“某指定的 个盒子中各有一个球”相当于 个球在 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在 个盒子中选 个盒子，再放球；（3）相当于先从 个球中取 个放入某指定的盒中，再把剩下的 个球放入 个盒中.
（1）掷一棵骰子，出现奇数点.
（2）投掷一枚均匀硬币两次：
1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.
概率论与数理统计学习指导
概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
随机事件和概率考查的主要内容有：(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；(3)古典概型与几何概型；(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。
要求考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。
随机变量及概率分布考查的主要内容有：(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算；(3)会求随机变量的函数的分布。
(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。
要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。
随机变量的数字特征考查的主要内容有：(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；(2)常用随机变量的数学期望和方差；(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算；要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。
大数定律和中心限定理考查的主要内容有：(1)切比雪夫不等式；(2)大数定律；(3)中心极限定理。
要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。
重庆理工大学概率论与数理统计学习指导与练习册习题答案
X 0 1 2
Y
P 0.3 0.5 0.2
P
（3） P(X = 0,Y = 0) = 0.1 ¹ P(X = 0)P(Y = 0) = 0.15
0
1
0.5 0.5
\ X与Y不独立
3、解：（1）联合分布律： Y X 0 1 2
0 1 9 2 9 1 9
2
3
4
5
6
pk p （1- p) p （1- p) p （1- p) p （1- p) p （1- p) p +（1- p)
3、解：X 的分布律为：
X 3
pk 0.1
4 0.3
5 0.6
ìï0, x < 3
X
的分布函数为：
F
(x)
=
ï0.1, í0.4,
3£ x<4 4£ x<5
ïî1, x ³ 5
、
（3）
P(C)
=
Cm n
(N
- 1)n-m
Nn
1 / 15
习题二
一．填空题
1．0．8
2、 0 × 5
二．单项选择题 1、D 2、B 3、D
2
3、
3
4、B
3
4、
7
3
5、
4
三．计算题
1．
解：设
A i
：分别表示甲、乙、丙厂的产品（
i
=1，2，3）
B：顾客买到正品
P(B)
=
P(A )P(B
1
/
习题一
一．填空题
1． ABC
2、 0 × 5 3、 0 × 2 4、 0 × 6
概率论与数理统计学习指导
概率论与数理统计学习指导
研究概率论与数理统计学的学生首先要了解基本的概率论概念，如概率的定义，概率的计算，条件概率，条件概率的计算，随机事件的独立性，概率分布，期望等。
这些概念可以在离散概率和连续概率中找到应用。
接下来，研究者要深入研究数理统计学的相关知识，其中包括描述性统计学的概念，推断性统计学的概念，假设检验，回归分析，多元统计分析，时间序列等。
总之，研究概率论与数理统计学是一项非常重要的任务，需要研究者具备良好的概率论和数理统计学知识，以及熟练掌握统计软件的使用。
只有这样，研究者才能够更好地利用统计理论来解决实际问题，为社会做出贡献。
《概率统计》学习指导
《概率统计》学习指导概率统计是概率论与数理统计的简称。
概率论研究随机现象的统计规律性；数理统计研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种方法，这其中又包含两方面的内容：试验设计与统计推断。
试验设计研究合理而有效地获得数据的方法；统计推断则是对已经获得的数据资料进行分析，从而对所关心的问题做出尽可能的估计与判断。
教育部成人司1998年5月印发了《全国成人高等教育经济学主要课程教学基本要求》的通知，按照通知精神，我校选用了由耿直主编的教材——《概率统计》，该教材只包含了概率论与统计推断的基本内容，为帮助同学们能更好地学好该门课程和掌握好教材的基本内容，本文将从概率论的历史、数理统计的应用、教材中的知识点解析、典型问题解答等几个方面给予学习指导，错漏之处请同行与同学们指正。
一、概率论的历史概率论起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。
法国骑士梅累向数学神童帕斯卡（法国数学家，1625—1662）提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局﹝a < s﹞，而赌徒B赢b局﹝b < s﹞时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”，帕斯卡对此思考良久，又将其转给数学王子——费马（法国数学家，1601——1665）。
在他们的来往信件中，两人取得了一致意见，在1654年7月29日给出了正确的解法：他们从不同的理由出发得出结论：在被迫停止的赌博中，应当按每个局中人赌赢的数学期望来分配桌面上的赌注。
而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematical expectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
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概率论与数理统计学习指导(3,4)《概率论与数理统计》学习指导·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系·内容提要编目录第一章随机事件及其概率................... 错误！未定义书签。
第二章随机变量及其分布................... 错误！未定义书签。
第三章多维随机变量及其分布 (2)第四章第五章第六章第七章第八章随机变量的数字特征................................. 12 大数定律和中心极限定理............. 错误！未定义书签。
数理统计的基本概念................. 错误！未定义书签。
参数估计........................... 错误！未定义书签。
假设检验........................... 错误！未定义书签。
1第三章多维随机变量及其分布内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设X，Y为随机变量，则称它们的有序数组（X,Y）为二维随机变量. 设（X,Y）为二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F(x,y)?P{X?x,Y?y}为（X,Y）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）F(x,y)是变量x或y的非减函数；（2）0?F(x,y)?1且F(??,y)?0，F(x,??)?0，F(??,??)?0，F(??,??)?1；（3）F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续；（4）对任意点(x1,y1),(x2,y2)，若x1?x2,y1?y2，则F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)?0.上式表示随机点(X,Y)落在区域[x1?X?x2,y1?Y?y2]内的概率为：P{x1?X?x2,y1?Y?y2}.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值是有限对或可列对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量. 设(X,Y)为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为(xi,yj),i,j?1,2,?将P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)或表3.1称为(X,Y)的联合分布律. 表3.12??i?1j?1联合分布律具有下列性质：（1）pij?0；（2）??pij?1.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)对任意实数x,y有xyF(x,y)dy，则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数p(x,y)dx（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数x,y，有p(x,y)?0；（2）??dy?1；p(x,y)dx（3）在任意平面域D上，(X,Y)取值的概率P{(X,Y)?D}p(x,y)dxdy；D?2F(x,y)?p(x,y). （4）如果p(x,y)在(x,y)处连续，则?x?y4、二维随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维随机变量，则称FX(x)?P{X?x,Y}，FY(y)?P{X,Y?y}分别为(X,Y)关于X和关于Y 的边缘分布函数.当(X,Y)为离散型随机变量，则称pi.??pij(i?1,2,?)p.j??pij (j?1,2,?)分别为j?1i?1??(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.当(X,Y)为连续型随机变量，则称(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度函数. pX(x)p(x,y)dy,pY(y)p(x,y)dx分别为5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布3设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为P{X?xi,Y?yj}?pij,P{X?xi}?pi.,P{Y?yj}?p.j(i,j?1,2,?)，则当P{Y?yj}?p.j?0时，称P{X?xi,Y?yj}P{Y?yj}pijpi.j固定，且P{X?xi|Y?yj}??pijp.j,i?1,2,?为Y?yj条件下随机变量X的条件分布律.同理，有P{Y?yj|X?xi}?,j?1,2,?（2）连续型随机变量的条件分布设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：p(x,y),pX(x),pY(y).则当pY(y)?0时，在p(x,y)和pX(x)的连续点处，(X,Y)在条件Y?y下，X的条件概率密度函数为：pX|Y(x|y)?p(x,y)p(x,y).同理，有pY|X(x|y)?. pY(y)pX(x)6、随机变量的独立性设F(x,y)及FX(x)、FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数x,y有F(x,y)?FX(x)?FY(y)则称随机变量X与Y相互独立.设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是pij?pi.p.j(i,j?1,2,?). 设(X,Y)为二维连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是对任何实数x,y，有p(x,y)?pX(x)pY(y).7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为p(x,y)，Z??(X,Y)是X,Y的函数，则Z的分布函数为FZ(z)??(x,y)?z??p(x,y)dxdy.（1）Z?X?Y的分布若(X,Y)为离散型随机变量，联合分布律为pij，则Z的概率函数为：PZ(zk)??p(xi,zk?xi)或PZ(zk)??p(yj,zk?yj).ij若(X,Y)为连续型随机变量，概率密度函数为p(x,y)，则Z的概率函数为：pZ(z)p(x,z?x)dxp(z?y,y)dy.（2）Z?X的分布Y若(X,Y)为连续型随机变量，概率密度函数为p(x,y)，则Z的概率函数为： 4??. pZ(z)yp(yz,y)dy疑难分析1、事件{X?x,Y?y}表示事件{X?x}与{Y?y}的积事件，为什么P{X?x,Y?y}不一定等于P{X?x}?P{Y?y}？如同仅当事件A、B相互独立时，才有P(AB)?P(A)?P(B)一样，这里P{X?x,Y?y}依乘法原理P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y|X?x}.只有事件P{X?x}与P{Y?y}相互独立时，才有P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，因为P{Y?y|X?x}?P{Y?y}.2、二维随机变量(X,Y)的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由p(x,y)?pX(x)?pY|X(y|x)知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果X、Y相互独立，则P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，即F(x,y)?FX(x)?FY(y).说明当X、Y独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量X、Y相互独立，是指组成二维随机变量(X,Y)的两个分量X、Y中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有P(AB)?P(A)?P(B).两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量(X,Y)的两个分量X、Y是同一试验E的样本空间上的两个一维随机变量，而A、B也是一个试验E1的样本空间的两个事件.因此，若把“X?x”、“Y?y”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.例题解析例1 设某班车起点站上的乘客数X服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0?p?1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数，求二维随机变量(X,Y)的分布律．解5P(X?n,Y?m)?P(Y?m|X?n)P(X?n)?? ?n?nn?me??p(1?p)??n,0?m?n,n?0,1,2,?n!?m?例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为22222??c(R?x?y),x?y?R;f(x,y)??222?x?y?R?0,试求（1）系数c；(2)(X,Y)落在圆x2?y2?r2(0?r?R)内的概率．解??(1)1f(x,y)dxdy?x2?y2?R222??c(R?x?y)dxdy?cR??R2?cx2?y2?R222??x?ydxdyR2???cR3?c?0?0d?d?(令x??cos?,y??sin?)2?R3c?R3?c?R?c?333所以c?3?R(2) 设D?(x,y):x2?y2?r2,3??P?(X,Y)?Dc(R?x2?y2)dxdyD?r3?3r22r2?c??Rr?22(1?)3?3RR注: 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于f(x,y)通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错．例3 考虑一元二次方程x2?Bx?C?0，其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q．解方程x2?Bx?C?0有实根的充要条件是判别式??B2?4C?0或C?B2/4，由条件知，0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以p?19/36，使方程有重根的充要条件是B2?4C，满足此条件的基本事件个数为0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此q?2/36?1/18例4 设随机变量(X,Y)均匀分布于以(1,0),(0,1),(?1,0),(0,?1)四项点所构成的正方形中，求X与Y的边缘密度函数．解?1/2,|x|?|y|?1f(x,y)??0,其它?6?x?111?x?0时，fX(x)1o当－f(x,y)dyx?1dy?x?1 2??x?11当0?x?1时，fX(x)dy??x?1 ?f(x,y)dy??x?12所以?1?|x|,?1?x?1; fX(x)??0,其它?2o类似1o可得?1?|y|,?1?y?1 fY(y)??0,其它???2/(1?x?y)3,x?0,y?0例5 随机变量(X,Y)的密度函数为p(x,y)??，求X?1条件下Y的条件分布?0,其它?密度.分析：通过(X,Y)的联合密度和边缘密度函数，来求在X?1条件下Y条件分布密度.?解：当x?0时，有pX(x)??02/(1?x?y)3dy?1/(1?x)2，故??8/(2?y)3,y?0 pY|X(y|x?1)?p(1,y)/pX(1)0,y?0..例6 在(0,a)线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在(0,a)上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数．（0,a）解设抛掷两点的坐标分别为X和Y，则X与Y相互独立，且都服从上的均匀分布，故(X,Y)的联合概率密度为2??1/a,0?x?a,0?y?a; f(x,y)0,其它?记两点距离为Z，则Z?|X?Y|的分布函数为FZ(z)?P(|X?Y|?z)当z?0时，显然FZ(z)?0；当0?z?a时，FZ(z)?P(|X?Y|?z)?1??1?2aa?z(a??202a?20??zdy?ay?zdxy?z)dy?z(2a?z)a2当z?a时，FZ(z)?1故两点距离Z的分布函数为?0,z?0??z(2a?z)FX(z)??,2?a??1,a?a0?z?a;例7 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为??0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布．解设Xi(i?1,2,3)为第i个电子元件无故障工作的时间，则X1,X2,X3是独立同分布的随机变量，其分布函数为7??1?e??x,x?0F(x)???0,x?0?记G(t)为了T的分布函数，则当t?0，G(t)?0；当t?0时，G(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(X1?t,X2?t,X3?t)?1?[1?F(t)]3?1?e?3?t??1?e?3?t,t?0所以G(t)???t?0?0,即电路正常工作时间T服从参数为3?的指数分布．例8 设随机变量X与Y独立同分布，其概率密度为?2?x2e,0?x f(x)0,其它?求随机变量Z?X2?Y2的概率密度．解由于X与Y独立同分布，故(X,Y)的联合概率密度为?4?(x2?y2),?ef(x,y)?fX(x)fY(y)?0,其它?0?x??,0?y??当z?0时，显然FZ(z)?0 当z?0时，2??x?y?z2f(x,y)dxdy?z??24?x?y?z22?(x??e222?y2)dxdy?4??02d??0e??d??1?e?z故Z?X2?Y2的概率密度为??0,z?0;? fZ(z)?F(z)???2ze,z?0?1??0例9.已知随机变量X~??,P{Y??1/2}?1，又n维向量a1,a2,a3线性无关。