三角形竞赛练习题(难)

三角形

一．选择题（共8小题）

1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）

A．3B．4 C．2D．4

2．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P 与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．非等腰三角形

3．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（）

A．38 B．39 C．40 D．41

（1）（2）（3）

4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，

AB ＝，AD＝1+，CD＝2，则BC边的长为（）

A．2﹣B ．C ．D ．

5．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则此三角形的周长是（）

A．11 B．7 C．8 D．11或7 6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（）

A ．B．4 C ．D．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1 C．2m2D．（m+1）28．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BF⊥AD，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论①AD＝BF，②CF＝CD，③AC+CD＝AB，④BE＝CF，⑤BF＝2BE，其中正确的结论的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

（6）（7）（8）

二．填空题（共12小题）

9．如图所示△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①AE＝CF；②△EPF为等腰直角三角形；③S四边形AEPF ＝；④EF＝AP；

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有（填序号）．

10．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为．

11．如图所示，点E、F分别是正△ABC的边AC、AB上的点，AE＝BF，BE，CF相交于点P，CQ⊥BE于Q，若PF＝1，PQ＝3，则BE＝．

（9）（10）（11）

12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝DB，DC＝CA，则∠BAC

＝°．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为．

（12）（13）

14．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为．

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．

（14）（16）

16．如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5．延长AB到D使BD＝AB．则CD ＝．

（17）（18）

18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB ＝3，PC＝，那么∠CPA＝度．

19．已知：AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，已知∠B＝50度，∠C＝．

（19）（20）

20．如图，已知等边△ABC边长为12，O是△ABC内任意一点，OE、OE、OF分别垂直AB、BC、AC，垂足分别为D、E、F，则OD+OE+OF的长为．

三．解答题（共11小题）

21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE，CF相交于点G．

（1）求证：△AFG≌△CFD；

（2）若DC＝2，AF＝，求线段EG的长．

22．如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB＝4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD＝AC﹣AB．

23．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，

且DE⊥DF．求证：AE2+BF2＝EF2．

24．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD＝CE，DE 与BC相交于点F．求证：DF＝EF．

25．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．

（1）求证：PN＝QN；

（2）求证：MN⊥BC．26．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD＝∠ABE，AE ＝BD．

求证：∠BAD ＝∠C．

27．如图，BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，∠BDP+∠BEP ＝180°，且∠BDP、∠BEP都不是直角．求证：PD＝PE．

28．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1＝∠2，求证：BD＝2CE．

29．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD．求证：AD是∠BAC的平分线．

30．已知△ABC，∠C＝90°，AC＝BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD＝BM；N 为BC中点，延长NA到E，使AE＝NA，连接ED，求证：ED⊥BD．

31．如图，在△ABC中，∠ABC＝5∠ACB，BD与∠A的平分线垂直于H，DE⊥BC，若M是BC边的中点，求证：（1）∠DBC＝2∠C；（2）EM ＝BD．