三角形竞赛练习题(难)
初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.1）2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）101315．…，1617．α19180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（232EDF34．（1XZ（2）、C，那么∠35、C （2（1BOD=∠（2﹑37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．1．（两边之2．（）∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010?西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）．．5．（．90°﹣+α．DPPCB=（∠）=180°﹣（180°﹣6．（上A′A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004?陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．8．（OA=15求得相10．（【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春?滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）?180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）?180°，内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．12．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．180°×＞90°．13．（14．（（n ﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）?180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006?镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120 米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．17．（19．（4+∠5= ﹣∠CDE=DEA）=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9 ．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．（n﹣2）?180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，22．（23．（和∠A1CD∠=∠=∠∠°．11∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出24．（于D，25．（26．（2= 24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．1）n边27．（，若∠28．（于E，29．（，分别【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春?横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3D是BC 中点，E==×==×=BD?EF=×31．（PE⊥AD （2∠DAC【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，m°）B和∠32．（D，∠BDE在AFD是（2进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B；（2）设∠CAD=x°，则∠E=3x°，由（1）知：∠EAC=∠B=50°，∴∠EAD=∠EDA=（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∴3x+2（x+50）=180，解得：x=16．∴∠E=48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．34．（2010春?海口期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= 150°，∠XBC+（2）B、C，那么∠X为35．（、OE、（2【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB=∠MON=20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO=90°，∴∠ABO=70°，若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于（1BOD=∠（2BPD﹑和解答．37．（2013春?江都市校级期末）如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得．（2）、（3）五个角转化为一个平角．【解答】解：（1）如图，连接CD．在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；（2）无变化．根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；（3）无变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．38．（（2）（3（4∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．（4）∵∠PFD=∠EFC，∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，∴∠2=90°+∠1﹣α．故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．39．（2016秋?南沙区校级期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．【解答】解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．（1（2）（3（2（3）1，即可即2∠A=∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．。
精品试题沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习试题(含详细解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（ ）A ．周长相等的两个三角形B ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C ．三边都对应相等的两个三角形D ．两条直角边对应相等的两个直角三角形2、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，4，8C ．3，4.8，7D ．3，5，93、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )A ．EF BE CF >+B ．EF BE CF <+C ．EF BE CF =+D ．不能确定4、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66、如图，∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，CB ＝CD ，则∠B 与∠ADC 满足的数量关系为（ ）A ．∠B ＝∠ADCB ．2∠B ＝∠ADC C ．∠B +∠ADC ＝180°D ．∠B +∠ADC ＝90°7、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°8、下列说法不正确的是（ ）A ．有两边对应相等的两个直角三角形全等；B ．等边三角形的底角与顶角相等；C ．有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形；D ．如果点M 与点N 到直线l 的距离相等，那么点M 与点N 关于直线l 对称．9、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1210、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，线段AF AE ⊥，垂足为点A ，线段GD 分别交AF 、AE 于点C ，B ，连结GF ，ED ．则D G AFG AED ∠∠∠∠+++的度数为______．2、如图，42AOB ∠=︒，C 为OB 上的定点，P 、Q 分别为OA 、OB 上两个动点，当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为______．3、如图，正三角形ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，过点E 作EF AB ∥与BC 交于点F ．若8BC =，则EFC △的周长为______．4、如图，在△ABC 中，已知点D E F 、、分别为BC AD CE 、、的中点，若△ABC 的面积为24m ，则阴影部分的面积为 _________ 2cm5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，DE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，若AD DE =，点C 是BE 中点，则B ∠=______°．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，连接DE 、AC 相交于点F ，∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AE ，AD ＝AC ．（1）求证：∠DEC ＝∠BAE ；（2）如图2，当∠BAE ＝∠CAD ＝30°，AD ⊥AB 时，延长DE 、AB 交于点G ，请直接写出图中除△ABE 、△ADC 以外的等腰三角形．2、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．3、如图，在ABC 中，8AB cm =，6BC cm =，5AC cm =，BD 是ABC 的角平分线，点E 在AB 边上，2AE cm =．求AED 的周长．4、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．5、如图，Rt△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点．（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交子G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG CG= ．（直接写出结果）6、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．7、已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．8、在等边ABC中，D、E是BC边上两动点（不与B，C重合）（1）如图1，,25AD AE BAD =∠=︒，求AEB ∠的度数；（2）点D 在点E 的左侧，且AD =AE ，点E 关于直线AC 的对称点为F ，连接AF ，DF ．①依题意将图2补全；②求证：AD DF =．9、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上．要求以AB 为边画一个等腰ABC ，且使得点C 为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰ABC ．10、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS 对各选项进行一一判断即可．【详解】解：A 、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；B 、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；C 、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；D 、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS 判定定理可判定全等，不符合题意． 故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL(直角三角形)．2、C【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A 、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．3、C【分析】=，则由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB∠=∠，则ED BE=，同理可得DF FCEF BE CF=+，可得答案．【详解】EF BC，解：//∴∠=∠，EDB DBC∠，BD平分ABC∴∠=∠，EBD DBC∴∠=∠，EDB EBD∴=，ED BE=，同理DF FC∴+=+，ED DF BE FC=+．即EF BE CF故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．4、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．5、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有3个点，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．6、C【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．【详解】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC 与△AEC 中，AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ），∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ，∵CB ＝CD ，∴CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠B ＝∠CDE ，∵∠ADC +∠CDE ＝180°，∴∠ADC +∠B ＝180°．故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE ，CE ．7、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．8、D【分析】利用全等三角形的判定、等边三角形的判定及轴对称的性质分别判断后即可确定不正确的选项．【详解】解：A、有两边对应相等的两个直角三角形全等，正确；B、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等，正确；C、有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形，正确；D、当点M与点N在直线l的同侧时，点M与点N关于直线l不对称，错误，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、等边三角形的判定及轴对称的性质等知识，属于基础定理，难度不大．9、C【分析】+的值最小，最小值作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE EQPE PQ PE EQ PQ+=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10、B【分析】由外角的性质可得∠ABD ＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC ＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）∵∠A ＝30°，∠BDC ＝50°，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ，∴∠ABD ＝∠BDC −∠A ＝50°−30°＝20°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠DBC ＝∠ABD ＝20°，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ＝20°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．二、填空题1、270°【分析】由题意易得90ACB ABC ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理可进行求解．【详解】解：∵AF AE ⊥，∴90A ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∵180,180D DBE AED ABC ACB A ∠∠∠∠∠++=︒++∠=︒，且ABC DBE ∠=∠，∴D AED ACB A ∠∠∠+=+∠，同理可得：G AFG ABC A ∠∠∠+=+∠，∴2270D G AFG AED A ABC ACB ∠∠∠∠+++=∠+∠+∠=︒，故答案为270°．【点睛】本题主要考查三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等，熟练掌握三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等是解题的关键．2、6°【分析】作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，根据CP PQ C P PQ C Q ''+=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠，进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的和差关系求得OCN ∠即可【详解】解：如图，作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，∴='CP C P ，CP PQ C P PQ C Q '+∴'=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠，CC OA '⊥又42AOB ∠=︒90,90DC N C ND AOC ONM ''∠+∠=︒∠+∠=︒,ONM C NA '∠=∠42CC M AOB '∴∠=∠=︒9048DCO AOC ∴∠=︒-∠=︒根据对称性可得42NC D DCD '∠=∠=︒48426NCO DCM DCM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒∴当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为6︒故答案为：6︒【点睛】本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关键．3、18【分析】利用正三角形ABC 以及平行关系，求出EFC △是等边三角形，在Rt ADE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质，求出AE 的长，进而得到CE 长，最后即可求出EFC △的周长．【详解】解：ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，8BC AB AC ===，EF AB ∥，60EFC A B FEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，EFC ∴∆为等边三角形，3EFC C EC ∆∴=，由于D 是AB 的中点，故142AD AB ==, DE AC ⊥， 90ADE ∴∠=︒，在Rt ADE ∆中,9030ADE A ∠=︒-∠=︒，122AE AD ∴==， 6EC AC AE ∴=-=，18EFC C ∆∴=，故答案为：18．【点睛】本题主要是考查了等边三角形的判定及性质、含30角的直角三角形的性质，熟练地综合应用等边三角形和含30角的直角三角形的性质求解边长，是解决该题的关键．4、1【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2，∵点F 是CE 的中点，∴S△BEF＝12S△BCE＝12×2＝1cm2．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．5、67.5°【分析】连接AE，先得出∠BAC=12∠BAE，再根据AD DE=，得出∠BAC=22.5°，最后得出结果．【详解】解：连接AE，∵点C是BE中点，∴BC=CE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BE，∴AB=AE，∴∠BAC=12∠BAE，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵AD DE=，∴∠AED=∠DAE=45°，∴∠BAC=12∠BAE=22.5°，∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠AEB，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：（1）如图1，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，即∠BAC＝∠EAD，在△AED与△ABC中，AB AE BAC EAD AD AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AED ≌△ABC ，∴∠AED ＝∠ABC ，∵∠BAE ＋∠ABC ＋∠AEB ＝180°，∠CED ＋∠AED ＋∠AEB ＝180°，∵AB ＝AE ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴∠BAE ＋2∠AEB ＝180°，∠CED ＋2∠AEB ＝180°，∴∠DEC ＝∠BAE ；（2）解：如图2，①∵∠BAE ＝∠CAD ＝30°，∴∠ABC ＝∠AEB ＝∠ACD ＝∠ADC ＝75°，由（1）得：∠AED ＝∠ABC ＝75°，∠DEC ＝∠BAE ＝30°，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝30°，∴∠AFE ＝180°−30°−75°＝75°，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴△AEF 是等腰三角形，②∵∠BEG ＝∠DEC ＝30°，∠ABC ＝75°，∴∠G ＝45°，在Rt △AGD 中，∠ADG ＝45°，∴△ADG 是等腰直角三角形，③∠CDF ＝75°−45°＝30°，∴∠DCF ＝∠DFC ＝75°，∴△DCF 是等腰直角三角形；④∵∠CED ＝∠EDC ＝30°，∴△ECD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．3、7cm【分析】由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出CBD EBD ≅，进而依据AED 的周长AE AD DE AE AD DC =++=++进行求解即可.【详解】解：∵8AB cm =，6BC cm =，2AE cm =，∴826,BE AB AE cm BE BC =-=-==,∵BD 是ABC 的角平分线，∴CBD EBD ∠=∠,在CBD 和EBD △中，BE BC CBD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴CBD EBD ≅，∴CD DE =，∵5AC AD DC cm =+=，∴AED 的周长257AE AD DE AE AD DC cm =++=++=+=.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.4、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，∴30F ∠=︒；（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关5、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）113或53 【分析】（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；（2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°，∴∠DFA +∠DAF =90°，同理，∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DFA =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，AFD EAC ADF ECA AF AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；（2）作FD ⊥AC 于D ，由（1）得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，90FDG BCG FGD BGCFD BC ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC =AC =AG +CG =4，∴E 点为BC 中点；（3）当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，BC =AC =4，CE =CB +BE =7，由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ，∴CG =GD ，AD =CE =7，∴CG =DG =1.5，∴AG =CG +AC =5.5， ∴ 5.5111.53AG CG ==， 同理，当点E 在线段BC 上时，AG = AC -CG +=2.5， ∴ 2.551.53AG CG ==， 故答案为：113或53． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，∵DE =DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DBE ，∵BE 平分∠ABC ， ∴12DBE ABC ∠=∠ ， ∴12DCE ABC ∠=∠，∴12DCE ACB ∠=∠， ∴CE 平分∠ACB ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．7、见解析【分析】证明△BAC ≌△BDC 即可得出结论．【详解】解：∵BC 平分∠ABD ，∴∠ABC ＝∠DBC ，在△BAC 和△BDC 中A D ABC DBC BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△BDC ，∴AC ＝DC ．【点睛】本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．8、（1）85︒；（2）①作图见解析；②证明见解析【分析】（1）等边三角形ABC 中60BAC B C ∠=∠=∠=︒，由AD AE =知ADC AEB ∠=∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，进而求出AEB ∠的值；（2）①作图见详解；②ADE B BAD ∠=∠+∠ ，AED C EAC ∠=∠+∠，BAD EAC ∠=∠，点E ，F 关于直线AC 对称，EAC FAC ∠=∠，AE AF AD ==，60FAC DAC BAD DAC ∠+∠=∠+∠=︒，ADF 为等边三角形，进而可得到AD DF =．【详解】解：（1）ABC 为等边三角形85ADC BAD B ∴∠=∠+∠=︒AD AE =85AEB ADC ∴∠=∠=︒．（2）①补全图形如图所示，②证明：ABC 为等边三角形60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒AD AE =ADE AED ∴∠=∠ADE B BAD ∠=∠+∠ ，AED C EAC ∠=∠+∠BAD EAC ∴∠=∠点E ，F 关于直线AC 对称EAC FAC ∠=∠∴，AE AF =60FAC DAC BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠=︒即60DAF=∠︒AD AF =ADF∴为等边三角形∴=．AD AF【点睛】本题考察了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于角度的转化．9、答案见解析【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可【详解】解：如图，……[答案不唯一]【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．10、（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析【分析】（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠ADC=110°，∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，故答案为：40°；（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，∴∠DEC=100°－53°=47°，∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，∵∠B－∠BAE=27°，∴∠BAE=10°，故答案为：10°；（3）AB∥CF，理由为：如图，延长AC到G，∵AC=CF，∴∠F=∠FAC，∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，∵CF⊥CD，∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD，∴∠BCF=∠FCG=2∠F，∵∠B=2∠F，∴∠B=∠BCF，∴AB∥CF．【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。
难点详解沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测试练习题(含详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°3、已知ABC的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（）A．1，2，3 B．3，4，7C．2，3，4 D．4，5，10∠的度数为()4、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100∠+∠=°，则3A．80︒B．70︒C．45︒D．305、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（）A．42°B．48°C．52°D．58°6、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC ＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．127、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．198、下列叙述正确的是（）A．三角形的外角大于它的内角B．三角形的外角都比锐角大C．三角形的内角没有小于60°的D．三角形中可以有三个内角都是锐角9、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，1310、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7第Ⅱ卷（非选择题 70分）1、如图，AB ，CD 相交于点O ，AD CB =，请你补充一个条件，使得ADB CBD △≌△，你补充的条件是______．2、如图，在Rt ABC 中，90,12cm,6cm C AC BC ∠=︒==，一条线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与以A 、P 、Q 为顶点的三角形全等，则AP 的长为_________．3、如图，线段AF AE ⊥，垂足为点A ，线段GD 分别交AF 、AE 于点C ，B ，连结GF ，ED ．则D G AFG AED ∠∠∠∠+++的度数为______．4、如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC 的直角顶点C ，交斜AB 边于点D ；直尺的另一边缘分别交AB 、AC 于点E 、F ，若30B ∠=︒，50AEF ∠=︒，则DCB ∠=___________度．5、在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A ，()0,4C -，AB AC =，90BAC ∠=︒，则点B 的坐标为__________．1、探究与发现：如图①，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE ＝∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD ＝60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B ＝∠C ，但∠C ≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．2、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AE DF ∥，AE DF =，AB CD =．（1）求证：AEC DFB ≅．（2）若40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，求∠F 的度数．3、如图，ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是这两个等腰三角形的底边．求证BD CE =．4、ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60︒得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．（1）如图1，若60A ∠=︒，CFE ∠的度数为________；（2）如图2，当3060A ︒<∠<︒吋，①依题意补全图2；②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明．5、已知：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2．求证AB ＝DC ．6、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，AB CF=，CEA B F∠=∠+∠．（1）求证：EAB F∠=∠；（2）若10BC=，求BE的长．7、“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P 旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝13∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝13∠AOB．8、如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且75kmAB=．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C 在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求ACB ∠的度数；（2）一轮船从B 地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h 后到达C 地，求轮船的速度．9、如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 平分ACB ∠，若20CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．10、已知，如图，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2＝60°．（1）求证：△ADE ≌△ABC ；（2）求证：AE ＝CE ．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】 解： 将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.2、C【分析】根据三角形内角和定理确定50ABC ∠=︒，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵40BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴50ABC ∠=︒，∵a b ∥，∴150ABC ∠=∠=︒，故选：C．【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．3、C【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．4、A【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60︒的角即可．【详解】⨯︒=︒，解：3180540⨯︒=︒，360180∴︒-︒-︒=︒，540180180180∴∠+∠+∠=︒，123180∠+∠=︒，12100380∴∠=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．5、B【分析】根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．【详解】解：∵FG BC ∥，∴42B AFG ∠=∠=︒，∵DE AB ⊥，∴90BDE ∠=︒，∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．6、B【分析】证明△AFH ≌△CHG （AAS ），得出AF =CH ．由题意可知BE =FH ，则得出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH 为等边三角形，∴FH =GH ，∠FHG =60°，∴∠AHF +∠GHC =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC =5，∠ACB =∠A =60°，∵∠AHF =180°-∠FHG -∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC =180°-∠C -∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF =∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF =CH ．∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE =FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF =BD +CE +AF +BE +DF ，=(BD +DF +AF )+(CE +BE )，=AB +BC =10．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．8、D【分析】结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.【详解】解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为：20,70,90,故C不符合题意；三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.9、D【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．10、C【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．【详解】+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；解：A、因为2356B、因为2467+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；+=>，所以能组成三角形，故本选项符合题意；C、因为3365+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；D、因为3367故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．二、填空题1、AB CD =（答案不唯一）【分析】在ADB △与CBD 中，已经有条件：,,AD CB DB BD 所以补充,AB CD =可以利用SSS 证明两个三角形全等.【详解】解：在ADB △与CBD 中，,,AD CB DB BD所以补充：,AB CD =().ADB CBD SSS △≌△∴故答案为：AB CD =【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键. 2、6cm 或12cm【分析】先根据题意得到∠BCA =∠PAQ =90°，则以A 、B 、C 为顶点的三角形与以A 、P 、Q 为顶点的三角形全等，只有△ACB ≌△QAP 和△ACB ≌△PAQ 两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AX 是AC 的垂线，∴∠BCA =∠PAQ =90°，∴以A 、B 、C 为顶点的三角形与以A 、P 、Q 为顶点的三角形全等，只有△ACB ≌△QAP 和△ACB ≌△PAQ 两种情况，当△ACB ≌△QAP ，∴6cm AP BC ==；当△ACB ≌△PAQ ，∴12cm AP AC ==，故答案为：6cm 或12cm ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．3、270°【分析】由题意易得90ACB ABC ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理可进行求解．【详解】解：∵AF AE ⊥，∴90A ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∵180,180D DBE AED ABC ACB A ∠∠∠∠∠++=︒++∠=︒，且ABC DBE ∠=∠，∴D AED ACB A ∠∠∠+=+∠，同理可得：G AFG ABC A ∠∠∠+=+∠，∴2270D G AFG AED A ABC ACB ∠∠∠∠+++=∠+∠+∠=︒，故答案为270°．【点睛】本题主要考查三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等，熟练掌握三角形内角和、垂直的定义及对顶角相等是解题的关键．4、20【分析】利用平行线的性质求出∠1，再利用三角形外角的性质求出∠DCB 即可．【详解】解：∵EF ∥CD ，∴150AEF ∠=∠=︒，∵∠1是△DCB 的外角，∴DCB ∠=∠1-∠B =50°-30°=20º，故答案为：20．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5、(6)，-2【分析】按照在x 轴的上下方，分成两类情况讨论，如解析中的图像所示，分别利用边和角证明1Rt OAC Rt EB A ∆∆≌和2Rt OAC DB A ∆∆≌成立，然后根据对应边相等，即可求出两种情况对应的点B 的坐标．【详解】解：如下图所示：由()2,0A ，()0,4C -可知：2OA =，4OC =．当B 点在x 轴下方时，过点B 1向x 轴作垂线，垂足为E ．90BAC ∠=︒，190OAC EAB ∴∠+∠=︒90OAC OCA ∠+∠=︒1OCA EAB ∴∠=∠在Rt OAC ∆与1Rt EB A ∆中：111AOC B EA OCA EAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1()Rt OAC Rt EB A AAS ∴∆∆≌12EB OA ∴==，4EA OC ==6OE OA EA ∴=+=1B ∴点坐标为(6)，-2当B 点在x 轴上方时，过点B 2向x 轴作垂线，垂足为D ．由题意可知：2290B AC B AD OAC ∠=∠+∠=︒90OAC OCA ∠+∠=︒2B AD OAC ∴∠=∠在Rt OAC ∆与2Rt DB A ∆中222OAC B AD AOC B DA AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2()Rt OAC DB A AAS ∴∆∆≌22DB OA ∴==，4AD OC ==2OD AD OA ∴=-=∴点2B 坐标为(22)-，故答案为：(6)，-2或(22)-，． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及坐标点的求解，熟练利用全等三角形证明边相等，进而利用边长求解点的坐标，这是解决该题的关键．三、解答题1、（1）30°；（2）∠BAD ＝2∠CDE ，理由见解析；（3）∠BAD ＝2∠CDE ．【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（3）设∠BAD＝x，仿照（2）的解法计算．【详解】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝902x︒+，∴∠CDE＝45°+x﹣902x︒+＝12x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+12x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+12x）＝12x，∴∠BAD ＝2∠CDE ．【点睛】本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和和外角性质，通过设参数计算，发现角之间的关系2、（1）见解析；（2）105︒【分析】（1）根据平行线的性质可得A D ∠=∠，根据线段的和差关系可得AC DB =，进而根据SAS 即证明AEC DFB ≅；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E ，进而根据（1）的结论即可求得∠F ．【详解】（1）证明：AE DF ∥∴A D ∠=∠， AB CD =∴AB BC BC CD +=+即AC BD = 又AE DF =，∴AEC DFB ≅（2）解：40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，18035ECA ECD ∴∠=︒-∠=︒180105E A ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒AEC DFB ≅F E ∴∠=∠105=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、见解析【分析】由ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠知AB AC =、AD AE =、BAD CAE ∠=∠，证ABD ACE ∆≅∆即可得证．【详解】解：ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠，AB AC ∴=，AD AE =，BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．4、（1）120°（2）①图形见解析；②AC =【分析】（1）根据60A ∠=︒进而判断出点E 在边AB 上，得出△ADE ≌△ABC （SAS ），进而得出∠AED =∠ACB =90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=1∠CAE=30°，即可得出结论．2（1）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，∴点E在边AB上，∵AD=AB，AE=AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，故答案为120°；（2）（2）①依题意补全图形如图2所示，②如图2，连接AF，∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，∵AD=AB，AE=AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED=∠C=90°，∴∠AEF=90°，∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，∴∠EAF=∠CAF，∠CAE=30°，∴∠CAF=12AF，且AC2+CF2=AF2，在Rt△ACF中，CF=12∴AC【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．5、见解析【分析】由“ASA ”可证△ABO ≌△DCO ，可得结论．【详解】证明：如图，记,AC BD 的交点为,O∵∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2，又∵∠OBC ＝∠ABC −∠1，∠OCB ＝∠DCB −∠2，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，在△ABO 和△DCO 中，12OB OC AOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．6、（1）见解析（2）5BE =【分析】(1)利用CEA ∠是ABE △的外角,以及CEA B F ∠=∠+∠证明即可．(2)证明ABE △≌FCE △,可知BE CE =,从而得出答案．（1）证明：∵CEA ∠是ABE △的外角，∴CEA B EAB ∠=∠+∠．又∵CEA B F ∠=∠+∠，∴EAB F ∠=∠．（2）解：在ABE △和FCE △中，AB FC EAB F AEB FEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE △≌FCE △．∴BE CE =．∵10BC =，∴5BE =．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．7、见解析【分析】由OA OC PC ==，得出,POC AOC 为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得2CAO APB ∠=∠，再次利用外角的性质及等量代换得3AOB APB ∠=∠，即可证明．【详解】解：OA OC PC ==，,POC AOC ∴为等腰三角形，,APB COP ACO CAO ∴∠=∠∠=∠，由外角的性质得：2ACO APB COP APB ∠=∠+∠=∠，2CAO APB ∠=∠，再由外角的性质得：AOB APB CAO ∠=∠+∠，3AOB APB ∴∠=∠，13APB AOB ∴∠=∠． 【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．8、（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB ；（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km ，进而由速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，∴∠ACB =180°－∠BAC －∠ABC =180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC =∠ACB =70°，∴BC=AB=75km ，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h ）．【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．9、85°【分析】由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，【详解】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90．在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝35°．∴∠ECB＝12∵∠AEC是△BEC的外角，50∠=︒，B∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．答：∠AEC的度数是85°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．10、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明．【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2∴∠1+BAE ∠＝∠2+BAE ∠即∠DAE =∠BAC在△ADE 和△ABC 中DAE BAC AD ABD B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△ABC （ASA ）（2）证明：∵△ADE ≌△ABC∴AE ＝AC又∵∠2＝60°∴△AEC 为等边三角形∴AE ＝CE【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法．。
八年级上册数学三角形练习题
八年级上册数学三角形练习题数学是一门让人又爱又恨的学科，而三角形更是数学中的一大难题。
在八年级上册数学课本中，有许多关于三角形的练习题，今天我们就来一起探讨一下这些题目。
首先，我们来看一道关于三角形的基础题目。
题目如下：已知三角形ABC中，∠A=60°，AB=3cm，AC=4cm，求BC的长度。
解答这道题目，我们可以利用三角形的余弦定理。
根据余弦定理，我们可以得到以下等式：BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cosA。
代入已知条件，我们可以得到：BC²=3²+4²-2×3×4×cos60°。
进一步计算，我们可以得到BC的长度为√7cm。
接下来，我们来看一道关于三角形相似的题目。
题目如下：在三角形ABC中，∠B=∠C，AB=5cm，AC=8cm，BC=10cm。
在三角形DEF中，∠E=∠F，DE=12cm，求DF的长度。
解答这道题目，我们可以利用三角形的相似性质。
根据相似三角形的性质，我们知道对应角相等，对应边成比例。
所以，我们可以得到以下等式：AB/DE=AC/DF=BC/EF。
代入已知条件，我们可以得到：5/12=8/DF=10/EF。
进一步计算，我们可以得到DF的长度为24cm。
除了基础题目外，八年级上册的数学课本中还有一些更加复杂的三角形题目。
例如，一道关于三角形面积的题目。
题目如下：在三角形ABC中，AB=5cm，AC=8cm，BC=10cm，求三角形ABC的面积。
解答这道题目，我们可以利用海伦公式。
根据海伦公式，我们可以得到以下等式：面积=√s(s-AB)(s-AC)(s-BC)，其中s为半周长，即s=(AB+AC+BC)/2。
代入已知条件，我们可以得到：s=(5+8+10)/2=11.5。
进一步计算，我们可以得到三角形ABC的面积为√(11.5-5)(11.5-8)(11.5-10)=√138cm²。
鲁教版七年级直角三角形练习50题及参考答案(难度系数0.62)
七年级直角三角形（难度系数0.62）一、单选题（共20题；共40分）1.有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A. 5B.C. 5或D. 不确定【答案】C【考点】勾股定理2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】勾股定理的应用3.如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为点E，若DE=4，AE=6，则BE的长度是（）A. 10B. 2C. 8D. 2【答案】 D【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理4.如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。
则A，B，C，D的面积的和等于( )A. 94m2 B. 52m2 C. 114m2 D. 3m2【答案】A【考点】勾股定理，等腰直角三角形5.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（）A. 12cm≤h≤19cmB. 12cm≤h≤13cmC. 11cm≤h≤12cmD. 5cm≤h≤12cm【答案】C【考点】勾股定理6.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B【考点】直角三角形全等的判定7.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（）．A. 310√5 B. 32√2 C. 45√5 D. 35√5【答案】 D【考点】勾股定理8.以a．b．c为边的三角形是直角三角的为（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b= ，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=【答案】B【考点】勾股定理的逆定理9.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. √3，√4，√5C. 6，8，10D. 9，12，15 【答案】B【考点】勾股定理的逆定理10.下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是( )A. 30,40,50B. 7,12,13C. 5,9,12D. 3,4,6【答案】A【考点】勾股定理的逆定理11.如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【考点】勾股定理，勾股定理的应用12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（）A. 105°B. 110°C. 115°D. 125°【答案】C【考点】直角三角形斜边上的中线13.如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A. 等于1米B. 大于1米C. 小于1米D. 以上都不对【答案】A【考点】勾股定理的应用14.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6。
(完整版)全等三角形竞赛试题(含答案),推荐文档
全等三角形提高练习1.如图所示，△AB C≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
2.如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB 交于点C （A′不在OB 上），则∠A′CO 的度数为多少？3.如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数是多少？4.如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC 于点D ，若∠A′DC=90°，则∠A=5.已知，如图所示，AB=AC ，A D⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD 是多少？6.如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE=7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ，AD 与EF垂直吗？证明你的结论。
8.如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。
AB'CAB9.已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD10.如图，AD=BD ，A D⊥BC 于D ，BE⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？11.如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E⊥AC12.△DAC、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN 为等边三角形 （4）MN∥BC13.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH 平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFGA ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个14.已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求证：A G⊥AF15.如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 求证：（1）AD=AG（2）AD 与AG 的位置关系如何CBBA AAB B17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD-CF18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB ，求证：AC=BE+BC19．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD 于F ，求证：CF=CD21．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于D ，PE⊥OB 于E ，F 是OC 上一点，连接DF和EF ，求证：DF=EF22．已知：如图，BF⊥AC 于点F ，CE⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：（1（2） 点D 在∠A 的平分线上23．如图，已知AB∥CD，O 是∠ACD 与∠BAC 的平分线的交点，OE⊥AC于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离是多少？24．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA 的平分线交于E （1）∠AEB 是什么角？DBC（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。
初中数学竞赛：解直角三角形(附练习题及答案)
初中数学竞赛：解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC 上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(24-)m，则电线杆AB的长62为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=24-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图，在△ABC 中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l ，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件．【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．专题训练1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=31，BC=10，则AB 的长为 ． 2．如图，在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =34，四边形EFGH 的周长为40cm ，则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图，旗杆AB ，在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°，向旗杆前北进10m ，达到D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ． 4．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=1，已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且tanA —tanB=2，求p 、q 的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CBD ＝30，则DCAD = ．10．如图，正方形ABCD 中，N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中，AB=26-，BC=2，△ABC 的面积为l ，若∠B 是锐角，则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时，△AEF 的面积为10，问当tan ∠DAF=32时，△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案。
八年级三角形填空选择专题练习(解析版)
八年级三角形填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）1．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．2．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．【答案】30°【解析】【分析】设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.【详解】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，由题意得，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即此三角形中最小的角是30°.故答案为：30°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2．【答案】12cm2．【解析】根据三角形的面积公式，得△ACE 的面积是△ACD 的面积的一半，△ACD 的面积是△ABC 的面积的一半．【详解】解：∵CE 是△ACD 的中线，∴S △ACD =2S △ACE =6cm 2．∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC =2S △ACD =12cm 2．故答案为12cm 2．【点睛】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．5．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.6．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．7．中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【答案】45°【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．8．∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为 _______.【答案】100°【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=80°，然后利用平角的定义即可求出∠1．如图，∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=20°，∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=80°，∴∠1=180°-80°=100°．故答案是：100°．【点睛】考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．9．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）11．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【答案】C【解析】【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．12．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（）A．α-β＋γ=180°B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90°【答案】B【解析】【分析】延长CD交AE于点F，利用平行证得β=∠AFD；再利用三角形外角定理及平角定义即可得到答案.【详解】如图，延长CD交AE于点F∵AB∥CD∴β=∠AFD∵∠FDE+α=180°∴∠FDE=180°-α∵γ+∠FDE=∠ADF∴γ+180°-α=β∴α＋β－γ=180°故选B【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 13．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE 表示出∠A ，∠B ；用∠EMC 表示出∠E ，∠F ；用∠CNA 表示出∠C ，∠D ，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵ ∠AGE 是△ABG 的外角∴∠AGE=∠A+∠B ；同理：∠EMC=∠E+∠F ；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN 是△MNG 的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键.14．已知：如图，D 、E 、 F 分别是△ABC 的三边的延长线上一点，且AB =BF ，BC =CD ，AC =AE ，ABC S ∆=5cm 2，则DEF S ∆的值是（ ）A ．15 cm 2B ．20 cm 2C ．30 cm 2D ．35 cm 2【答案】D【解析】【分析】 连接AD ，BE ，CF ．根据等底同高的两个三角形面积相等，得到所有小三角形面积都等于△ABC 的面积，故△DEF 的面积等于7倍的△ABC 面积，即可得出结果．【详解】连接AD ，BE ，CF ．∵BC =CD ，∴S △ACD =S △ABC =5，S △FCD =S △BCF ．同理S △AEB =S △ABC =5，S △AED =S △ACD =5；S △AEB =S △BEF =5，S △BFC =S △ABC =5；∴S △FCD =S △BCF =5，∴S △EFD =7 S △ABC =35（cm 2）． 故选D ．【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．15．如图P 为ABC ∆内一点，070,BAC ∠=0120,BPC ∠=BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ,则BFC ∠=（ ）A ．085B ．090C ．095D ．0100【答案】C【解析】 ∵070,BAC ∠= 0120,BPC ∠=∴∠ABC+∠ACB=110°，∠PBC+∠PCB=60°，∴∠ABP+∠ACP=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=110°-60°=50°，∵BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，∴∠FBP+∠FCP=12 (∠ABP+∠ACP)=00150252⨯=； ∴∠FBC+∠FCB=∠FBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB=25°+60°=85°，∴BFC ∠=180°-（∠FBC+∠FCB ）=180°-85°=95°.故选C.点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，根据图形正确找出角与角之间的数量关系是解题的关键.16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56 B．64 C．72 D．90【答案】D【解析】【分析】根据题意找出规律得到第n个图形中花盆的个数为：（n+1）（n+2），然后将n=7代入求解即可.【详解】第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；，第n个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；则第7个图形中花盆的个数为：（7+1）（7+2）=72.故选：C.【点睛】本题考查图形规律题，解此题的关键在于根据题中图形找到规律.17．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】C【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．18．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝8．故这个多边形的边数为8．故选：C．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．20．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75°B．135°C．120°D．105°【答案】D【解析】如图，根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°.故选。
数学相似三角形(竞赛题专页)
几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO D B EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A OD BFAECP P ADCB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。
求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。
EDCBA2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。
3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求证：MQ∥NP。
4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。
求证：KP⊥AB。
5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。
(完整版)等腰三角形经典练习题(有难度)
A等腰三角形练习题一、计算题:1. 女口图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求6的度数2. 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求/A的度数3、AB 于丄AB 于E, DF 丄BC 交AC 于点F,若/EDF=70。
，求AFD 的度数4. 女口图，△ABC 中, AB=AC,BC=BD=ED=EA 求/A的度数ACA5. 如图，△ABC 中，AB二AC , D 在BC 上, /BAD=30 °在AC 上取点E,使AE=AD,求/EDC的度数6. 如图，△ABC 中，/C=901BE=AC,BD= 2,DE+BC=1,求/ABC的度数,D为AB上一点，作DE丄BC于E,若C7. 如图，△ABC 中，AD 平分Z BAC，若AC二AB+BD 求ZB : Z C的值二、证明题:8. 如图，A DEF 中，/EDF=2 ZE, FA丄DE 于点A，问：DF、AD、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC中，Z B=60。
，角平分线AD、CE交于点0求证：AE+CD二AC12.如图,△BC中,AB=AC,D 点，且/ ABD= ZACD =60 求证：CD=AB-BD13. 已知：如图，AB=AC=BE , CD为A ABC中AB边上的中线1D求证：CD= 2CEB C14. 如图，△ABC 中，/1二 /2,/EDC二 ZBAC求证：BD=EDD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，/ABC=2 ZC , AD 是BC 边上的高，B 到点E ,使17. 如图，AABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点 H ，且AE=BE求证：AH=2BDBE=BD求证：AF=FCA18. 如图，△ABC 中，AB二AC, /BAC=90 °,BD=AB, /ABD=30求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E,延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD中，/BAD+ ZBCD=180 °,AD、BC的延长线交于点F, DC、AB的延长线交于点E,/E、/F的平分线交于点H 求证：EH丄FH一、计算题:1. 女口图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求/A的度数设/ABD为X,则/A为2x由8x=180 °得 /A=2x=45 °2. 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求/A的度数设/A 为X,由5x=180 °BD得/A=363. 如图，△ABC 中，AB=AC , D 在BC 上，DE 丄AB 于E, DF 丄BC 交AC 于点F,若/EDF=70求Z AFD的度数Z AFD=1604. 如图，△ABC中,求/A的度数设/A为x180ZA= 7AB=AC,BC=BD=ED=EA5. 如图，△ABC 中，AB二AC , D 在BC 上,/BAD=30 °在AC 上取点E,使AE=AD,求/EDC的度数设/ADE为xx—156. 如图，△ABC中，/C=90 °,D为AB上一点，作DE丄BC于E,若1BE=AC,BD= 2,DE+BC=1,求/ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC可证得:△ABC幻^FE所以/仁ZF由Z2+ ZF=90 °得Z1+ ZF=90 °1在Rt ADBF 中,BD= 2,DF=1所以/F = Z1=30 °7. 如图，A ABC 中，AD 平分/BAC，若AC二AB+BD求ZB : /C的值在AC上取一点E,使AE=AB可证/△ABD坐A DE所以Z B= Z AED由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以Z AED=2 ZC故/B : Z C=2:1、证明题:8. 如图，AKBC中，ZABC, /CAB的平分线交于点P,过点P作DE //AB ,分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE13证明APBD 和BEA 是等腰三角形9. 如图，A DEF 中，/EDF=2 ZE , FA 丄 DE 于点 A ，问：DF 、AD 、AE10. 如图，A ABC 中，Z B=60求证：AE+CD 二AC 在AC 上取点F,使 AF=AE易证明MOE ^zAOF,,角平分线AD 、CE 交于点OBED间有什么样的大小关系DF+AD=AE在AE上取点B,使AB=AD 得Z AOE二 ZAOF由ZB=60 °，角平分线AD、CE,得Z AOC=120所以Z AOE= ZAOF= ZCOF= /COD=60故△COD幻©OF,得CF=CD所以AE+CD二AC11. 如图，©ABC 中，AB=AC, zA=100 °,BD 平分/ABC, 求证：BC=BD+AD 延长BD到点E,使BE=BC,连结CE 在BC上取点F,使BF=BA易证©ABD 坐©BD,得AD=DF再证©CDE 坐©DF,得DE=DF故BE=BC=BD+AD也可:在BC上取点E,使BF=BD,连结DF在BF上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由©ABD坐©BD,得AD=DE,最后证明DE=DF即可BE F12. 如图，AABC中,AB=AC,D 为AABC外一点，且/ ABD二 zACD =60求证：CD=AB-BD在AB上取点E,使BE=BD ,在AC上取点F,使CF=CD得ABDE与△CDF均为等边三角形,只需证MDF幻Z ED13. 已知：如图，AB=AC=BE , CD为A ABC中AB 边上的中线1求证：CD= 2CE延长CD到点E,使DE=CD.连结AE证明MCE坐zBCE14. 如图，A ABC 中，/1二 /2,/EDC二 ZBAC求证：BD=ED易证/△ABD坐A DF,得BD=DF, ZB= Z AFD由ZB+ ZBAC+ ZC= ZDEC+ ZEDC+ /C=180所以ZB= ZDEC所以/DEC二Z AFD所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，A ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G求证：EG=FG16. 如图，A ABC中，/ABC=2 ZC, AD是BC边上的高，B到点E,使ABE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC中，AB=AC,AD 和BE两条高，交于点求证：AH=2BD由△AHE坐^CE,得BC=AH18. 如图，A ABC 中，AB=AC, /BAC=90 °,BD=AB, zABD=30求证：AD=DC作AF丄BD于F,DE丄AC于E可证得Z DAF=DAE=15 °所以/△ADE坐A DF得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC,因此DE是AC的中垂线，所以AD=DC19. 如图，等边A ABC中，分别延长BA至点E,延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED延长BD到点F,使DF=BC,可得等边厶BEF,F 18C D只需证明A BCE幻△DE即可20. 如图，四边形ABCD中，/BAD+ ZBCD=180 °,AD、BC的延长线交于点F, DC、AB的延长线交于点E,/E、/F的平分线交于点H求证：EH丄FH延长EH交AF于点G由ZBAD+ /BCD=180ZDCF+ ZBCD=180 °得/BAD二 /DCF,由外角定理，得/1二2 故MGM是等腰三角形由三线合一，得EH丄。
鲁教版七年级直角三角形练习50题及参考答案(难度系数0.6)
七年级直角三角形（难度系数0.6）一、单选题（共15题；共30分）1.如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，则下列说法正确的个数有（）①DF平分∠BDE；②△BFD是等腰三角形；；③△CED的周长等于BC的长.A. 0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个.【答案】C【考点】翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形2.下列命题中，正确个数是（）①若三条线段的比为1：1：√2，则它们组成一个等腰直角三角形；②两条对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④有两个角相等的梯形是等腰梯形；⑤一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【考点】菱形的判定，矩形的判定，等腰直角三角形3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质4.如图3，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABE的度数是（）A. 10°B. 15°C. 30°D. 45°【答案】B【考点】垂线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形5.如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB’C’则∠BAC’ 等于（）A. 60°B. 105°C. 120°D. 135°【答案】B【考点】旋转的性质，等腰直角三角形6.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB在桌面上的投影DE为8cm，且点B距离桌面的高度为3cm，则点A距离桌面的高度为（）A. 6.5cmB. 5cmC. 9.5cmD. 11cm【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形7.如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≅△DAE的是（）A. AC=AEB. BC=DEC. ∠B=∠DD. ∠C=∠E【答案】B【考点】直角三角形全等的判定8.如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°【答案】B【考点】平行线的性质，等腰直角三角形9.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 7，24，25C. 1，√2，√3D. 2，3，4【答案】 D【考点】勾股定理的逆定理10.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC 交CF的延长线于点D，BD=2cm，则△ABE的面积为（）A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形11.下列说法：①两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．②角的对称轴是角平分线③两边对应相等的两直角三角形全等④成轴对称的两图形一定全等⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【考点】直角三角形全等的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，轴对称图形12.如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2015条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）．A. 0B. 1C. √2D. √3【答案】C【考点】勾股定理，探索数与式的规律，有理数的除法13.如图，在5×5的方格中，有一个正方形ABCD，假设每一个小方格的边长为1个单位长度，则正方形的边长为（）A. √12B. √13C. √14D. √15【答案】B【考点】勾股定理14.下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A. 2，2，√8B. √3，2，√5C. 9，12，18D. 12，15，20【答案】A【考点】勾股定理的逆定理15.如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（）A. 105°B. 120°C. 115°D. 135°【答案】 D【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形二、填空题（共16题；共20分）16.RtΔABC中，∠C=900，AC=3，BC=2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC 上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为________．【答案】2413【考点】三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质17.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ________【答案】12【考点】三角形的角平分线、中线和高，直角三角形斜边上的中线18.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__.【答案】√262【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理19.小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是________米.【答案】12【考点】勾股定理的应用20.如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135°.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形21.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放:含30°角的直角三角板的斜边与含45°角的直角三角板一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．【答案】135°【考点】平行线的性质，等腰直角三角形22.如图∠C=∠D=900，要使△ABC≌△BAD需要添加的一个条件是________.【答案】∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【考点】直角三角形全等的判定23.Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=________．【答案】1【考点】角平分线的性质，勾股定理的逆定理24.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=________度．【答案】45【考点】全等三角形的性质，直角三角形全等的判定25.如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC与点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为________．【答案】4 √3【考点】等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题26.已知⊙O的直径CD为4，AC⌢的度数为80°，点B是AC⌢的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP 的最小值为________．【答案】2 √3【考点】勾股定理，垂径定理，轴对称-最短路线问题27.如图，四边形BCDE是正方形，数轴上点A表示的实数是________．【答案】1﹣√2【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理28.如图，数轴上点A所对应的数是________．【答案】﹣√5【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理29.如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________．【答案】14cm【考点】全等三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，平移的性质30.已知一个直角三角形的两条直角边的差为2，两条直角边的平方和为8，则这个直角三角形的面积是________【答案】1【考点】勾股定理31.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为________【答案】13【考点】勾股定理三、解答题（共8题；共40分）32.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF）左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC+∠DFE的度数。
八年级数学上册 全等三角形专题练习(解析版)
八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =12mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR 周长的最小值【详解】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″=OP′=OP=10，故答案是：10.【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．8．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】8 5【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85， 故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A ．32B ．332C ．32D ．不能确定【答案】B 【解析】 已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．13．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．14．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D ．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．15．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.16．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12AD．∴DE+DF=AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF，故③错误．④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB=DC．在Rt△BED和Rt△CFD中DE DFBD DC⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE=FC．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF，BE=FC，∴AB+AC=2AE．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．17．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO ，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB ＝120º，∴④正确；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，在△ACG 和△DCH 中，∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH （AAS ），∴CG =CH ，∴OC 平分∠AOB ，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A ．201532B ．201632C ．3D ．201932【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A 1AB=60°，进而可得∠CAA 1=30°，∠CA 1O=90°，因此可推导出∠A 2A 1B=30°，同理得到∠CA 2B 1=∠CA 3B 2=∠CA 4B 3=90°，∠A 2A 1B=∠A 3A 2B 2=∠A 4A 3B 3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA 1=OCcos ∠CAA 1=23，B 1A 2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：201713()432⨯=. 故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20．如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则△BCD 的周长为（ ）A ．13B ．15C ．18D ．21【答案】A【解析】 根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线交AC 于D ，得到AD=BD ，进而得出△BCD 的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A ．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．。
（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）
（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。
3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。
5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。
4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。
解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______。
初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)
.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)
八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN ，在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN=EN=CN+CE ，∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在x 轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O 为圆心，OA 为半径画弧交x 轴于点P 1、P 3，以A 为圆心，AO 为半径画弧交x 轴于点P 4，作OA 的垂直平分线交x 轴于P 2．【详解】解：如图，使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．3．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．4．如图，在Rt ABC △中，AC BC ，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒ 【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．5．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.6．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B∠=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12） 2018×80°． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】 根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC, ∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.10．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF+BF 的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析：∵在菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，∴点B 、D 关于AC 对称， 连接ED ，则ED 就是所求的EF+BF 的最小值的线段，∵E 为AB 的中点，∠DAB=60°，∴DE ⊥AB ，∴22AD AE -2263-3∴EF+BF 的最小值为3．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知点M(2,2)，且2，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．2B ．(0,4)C ．(4,0)D ．2) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且2,且点P 在坐标轴上当22OM OP ==时P 点坐标为：()(22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
八年级数学上册全等三角形专题练习(解析版)
八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．中取点P使得PA，PB，PC的长分别为3， 4， 5，则2．如图，在等边ABCAPC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝9364+．故答案为：9364 ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．3．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=12B′E=BE=2，3,∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴7考点：1轴对称；2等边三角形.4．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．5．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．【详解】∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.6．如图，已知每个小方格的边长为1，A 、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的格点C 有________个。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一．选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．410．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（ ）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．28．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．29．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．30．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．31．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．32．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．36．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋•江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项5．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′=∠B′CB，又∠B′CB=30°∴∠ACA′=30°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S=S△ABD+S△ACD，△ABC∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5，∴S△BCE故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．（1998•南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE ，又CD=BC ，∠ACB=∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC ≌△ABC ．【解答】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC ，∠ACB=∠DCE∴△EDC ≌△ABC （ASA ）故选B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ．故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；∴在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2002•河南）下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm．【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠C=90°，∴D到AC的距离为CD=3cm，∵AD平分∠CAB，∴D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．16．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．17．（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．20．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．21．（2009秋•南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=50度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．24．（2011•河南）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．25．（2015•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15小题）26．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED．∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．29．（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC ≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．。
八年级全等三角形专题练习(word版
【答案】60°
【解析】
【分析】
此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.
【详解】
分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：
6．已知如图，每个小正方形的边长都是 都在格点上， 都是斜边在 轴上，且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则 的坐标为___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM= = ；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．
三角形练习题
一、判断题。
1．一个三角形有一个钝角，那么，这个三角形就一定是钝角三角形。
( ) 2．在三角形中，一个角是直角，另外两个角一定是45度。
( ) 3．等边三角形一定是锐角三角形。
( ) 4.等腰三角形不可能是钝角三角形。
（ ) 5．一个三角形中，最大的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形。
( ) 6．∠1=65°，∠2=76°，∠3=40°，不能组成三角形。
( ) 7.三条边分别为15厘米、7厘米、8厘米。
能组成三角形。
( ) 8．等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。
( ) 9.知道三角形一个角的度数就可以判断它是什么三角形了。
( ) 10．钝角三角形中两个锐角的和一定小于90度（）二、1、一个三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）厘米。
2、用两个完全一样的三角形一定可以拼成一个（）3、如果一个三角形的两个内角的度数之和等于第三个内角，那么这个三角形是4、一个三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）厘米。
5、把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。
6、在三角形中，如果两个内角的度数之和等于第三个内角，那么这个三角形是（）。
7、等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角是( )。
8、用两个完全一样的直角三角形可以拼成（）。
9、最少用（）个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
10、当一个三角形的两条边分别长8厘米、4厘米时，第三条边的长度可能是( )11、一个等腰三角形，顶角的度数是一个底角度数的一半，它的底角是（）。
12、在一个等腰三角形ABC中，∠A的度数是∠B、∠C的度数的两倍，求∠A、∠B、∠C的度数。
13、明明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍，这三角形菜地其他两个角是多少度？这是一个什么三角形菜地？14、如图，已知1＝720，2＝320，3=450。
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三角形
一．选择题（共8小题）
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）
A．3B．4 C．2D．4
2．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P 与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．非等腰三角形
3．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（）
A．38 B．39 C．40 D．41
（1）（2）（3）
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，
AB ＝，AD＝1+，CD＝2，则BC边的长为（）
A．2﹣B ．C ．D ．
5．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则此三角形的周长是（）
A．11 B．7 C．8 D．11或7 6．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（）
A ．B．4 C ．D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1 C．2m2D．（m+1）28．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BF⊥AD，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论①AD＝BF，②CF＝CD，③AC+CD＝AB，④BE＝CF，⑤BF＝2BE，其中正确的结论的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
（6）（7）（8）
二．填空题（共12小题）
9．如图所示△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE＝CF；②△EPF为等腰直角三角形；③S四边形AEPF ＝；④EF＝AP；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有（填序号）．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为．
11．如图所示，点E、F分别是正△ABC的边AC、AB上的点，AE＝BF，BE，CF相交于点P，CQ⊥BE于Q，若PF＝1，PQ＝3，则BE＝．
（9）（10）（11）
12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝DB，DC＝CA，则∠BAC
＝°．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为．
（12）（13）
14．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为．
15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．
（14）（16）
16．如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5．延长AB到D使BD＝AB．则CD ＝．
（17）（18）
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB ＝3，PC＝，那么∠CPA＝度．
19．已知：AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，已知∠B＝50度，∠C＝．
（19）（20）
20．如图，已知等边△ABC边长为12，O是△ABC内任意一点，OE、OE、OF分别垂直AB、BC、AC，垂足分别为D、E、F，则OD+OE+OF的长为．
三．解答题（共11小题）
21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE，CF相交于点G．
（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若DC＝2，AF＝，求线段EG的长．
22．如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB＝4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD＝AC﹣AB．
23．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，
且DE⊥DF．求证：AE2+BF2＝EF2．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD＝CE，DE 与BC相交于点F．求证：DF＝EF．
25．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．
（1）求证：PN＝QN；
（2）求证：MN⊥BC．26．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD＝∠ABE，AE ＝BD．
求证：∠BAD ＝∠C．
27．如图，BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，∠BDP+∠BEP ＝180°，且∠BDP、∠BEP都不是直角．求证：PD＝PE．
28．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1＝∠2，求证：BD＝2CE．
29．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD．求证：AD是∠BAC的平分线．
30．已知△ABC，∠C＝90°，AC＝BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD＝BM；N 为BC中点，延长NA到E，使AE＝NA，连接ED，求证：ED⊥BD．
31．如图，在△ABC中，∠ABC＝5∠ACB，BD与∠A的平分线垂直于H，DE⊥BC，若M是BC边的中点，求证：（1）∠DBC＝2∠C；（2）EM ＝BD．。