初中数学竞赛-相似三角形

DF BE 于 F ，求证: FG DG .
A
E
G
F B D C
3 证明比例（等积）线段 例 3 如图， BD, CD 为的两条角平分线，过点 D 作直线分别交 AB, AC 于点 E , F ，
A
若 AE AF ，求证： EF 2 4 BE CF
E D F C B
例4
如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与
A F G
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B
D
E
C
2、 求证：AA1 CC1 ABC 与 A B C 均为等边三角形，BC 和 B1C1 的中点均为 D ，
A
B1 B D C1
A1 C
7
证明平行 如图，在矩形 ABCD 中， E、F 是 DC 边上的点，满足 DE EF FC ，又
例8
E F B D C A
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A
2、 AD, BE 是 ABC 的高线，过 D 作 AB 的垂线， 垂足为 F ，与 BE 及 AC 的延长线分别相交于 M , N ， 求证： DF FM FN
2
F M D B
E C
N
3、 AD 是 RtABC 的角平分线， C 90 ，求证：
初中数学竞赛培训讲义
第十三讲 相似三角形
相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问 题、角相等问题的重要方法，本讲即探究该问题. 一 竞赛知识回顾
1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长 之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法 （1）三边对应成比例的两个三角形相似 （2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 （3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形
（1）求证： DF 平分 AFE . (2) 求证： AG ∥ BD .
B F
D G C A
8 利用相似三角形的面积比 例 9 在 ABC 的内部取点 P ，过 P 点作 3 条分别与 ABC 的三边平行的直线，这
A F t1 D P t3 H G t2 I E C
样所得的 3 个三角形 t1 , t2 , t3 的面积分别为 4,9,49，求 ABC 的面积.
1 FD ， FE 交 AC 于 2
1 AC 5
D F
C
G E B
A
如图， AM 是的中线， P 是 AM 上一点， BP, CP 分别交 AC , AB 于点 D, E ， A 求证: DE ∥ BC
E P M B C D
3、
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4、 ABC 中， AB AC , BAC 90 ， D 是 BC 边的中点， AH BD 交 BD 于 点 H ，交 BC 于点 E ，求证： BE 2 EC
例 6
依次交 AB, AD, CD, CE 于点 M , N , P, Q .求证:. MN PQ 2 PN
E Q C F A P G N B D
练习 求证：
如图， P 是 ABC 内一点， AP, BP, CP 分别与对边交于点 D, E , F ，
AE AF AP . EC FB PD
F P D B
A
E
C
6 证明垂直 例7 如图， H , Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB, AC 上的点，且 BH BQ ，过 B 作
A D
HC 的垂线，垂足分别为 P ，求证： DP PQ .
H
P
B
Q
C
练习题 1、如图， ABC 中， BAC 90 ， AD 是 BC 边上的高， E 是 BC 边上一点，过 点 E 作 AB, AC 的垂线，垂足分别为 F , G ，求证： FDG 90
A P
D
AD 3 BD ，求 的值. BC 4 AC
B
C
2、如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC , AD 及 CD 的延长线相 交于点 E , F , G ,若 BE 5, EF 2, 求 FG 的长.
A
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G F D E C
B
5
证明线段（线段比）和差 如图，已知 AB ∥ CD, AD ∥ CE , F , G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线
A
AB, DC BC , AD 及 AC 的延长线分别交于点 M , N , R, S 和 P ，
求证： PM PN PR PS
B O C
D
M
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N
P
R
S
练习 交 BC 1、 如图， 在 ABC 中，AD 是 A 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于点 E ， 的延长线于点 F .求证: FD 2 FB FC
二 赛题讲解 1 利用相似证明角相等 例1 如图，ABC 中，BAC 90, AB AC , D 是边的中点， AH BD ，垂足
A
为 H ,交 BC 于点 E . (1) 求证： ADB CDE (2) 若 AB 2 ,求 CDE 的面积.
H
D
B
E
C
练习
在 ABC 中， AD BC 于点 D ， DE AB 于点 E ，
AE 的值 EB
A D F C
E
B
练习题
1、 已知平行四边形 ABCD 中，M , N 为 AB 的三等分点，DM , DN 分别交 AC 于 P, Q 两 点，求 BP : PQ : QC 的值.
P B M A D Q N C
2、如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF 点 G ，求证： AG
AC 2 BC 2 AD 2 BD
A
C
D
B
4
求线段比
A
例5
ABCD 是正方形， E , F 是 AB, BC 的中点，
E G H B F
D
联接 EC 交 DB, DF 于 G , H ，求 EG : GH : HC .
C
练习 1、梯形 ABCD 中， AD ∥ BC , ABC 90 , 对角线 AC BD 于点 P ，若
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B
A
AB 2 BD 练习 1、 AD 是 Rt ABC 斜边上的高，求证： AC 2 DC
B
D
C
2、梯形 ABCD 中 AD ∥ BC , AD 4, BC 8 ,点 E , F 在 AB, DC 上，且 EF ∥ BC , 若直线 EF 平分梯形 ABCD 的面积， （1）求 EF 的长， （2）求
练习 1、如图，梯形 ABCD 中 AD ∥ BC ，对角线 AC , BD 交于点 P ，过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB, DC 于点 E , F ，求证 PE PF .
E P A D F
B
C
2 、如图， ABC 中， AB AC , AD BC 于 D ， E , G 分别是 AD, AC 的中点，
A
D H B E C
5、在四边形 ABCD 中， E , F 分别是 AB, CD 的中点， P 为对角线 AC 延长线上任意 一点，PF 交 AD 于点 M ，PE 交 BC 于点 N ，EF 交 MN 于点 K .求证：K 是线段 MN 的 中点.
M K D F C N B P
A
E
6、锐角三角形 ABC 中， AB AC , CD, BE 分别是 AB, AC 上的高， DE 与 BC 的 延长线交于点 T ，过 D 作的 BC 垂线交 BE 于 F ，过 E 作 BC 的垂线交 CD 于 G ，证明：
E
A
DF AC 于点 F ，求证： AFE ABC .
F D C
B
2
利用相似证明线段相等 已知点 E , F 分别在矩形 ABCD 的边 AB, AD 上， EF ∥ BD ， EC , FC 分别交
D H E G C
例2
BD 于点 G , H ，求证： BG DH .
A
F
B
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A
F , G , T 三点共线.
D E F B M G N C T
7、如图，在等边 ABC 中， BC 边上取点 D ，使 BD : CD 1: 2 ，作 CH AD ， 垂足为 H ，联接 BH ，求证： BAD HBC .
A
H
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B
D
C
D M
A
E
则
DM BN ME NC
定理 3
B
N
C
（平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.
A A/ B B C 第 1 页 共 8 页 C/
/
如图，若 l1 ∥ l2 ∥ l3 ，则
l1 l2
A
A/ B/
l1 l2 l3
AB BC AC , A B B C A C
G、H 是 BC 上的点，满足 BG GH HC ． AE 与 DG 相交于点 K ， AF 与 DH 相交
于N ． 求证： KN ∥ CD ．
A B G H K D E N F C
练习题
如图，两个等边 ABC , ADE 顶点 A 重合，过点 E 作 BC 的平行线，分别交
E
AB, CD 于 F , G .
B
l3
C/
C
定理 4（角平分线性质定理） 如图， AD, AE 分别是
A
ABC 的内角平分线与外角平分线， DB EB AB . 则 DC EC AC
定理 5 射影定理
E B D C
直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似. 定理 1 角平分线的的性质定理
4、由相似三角形得到的几个常用定理 定理 1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.
如图，若 DE ∥ BC ,则 或
AD AE DE , AB AC BC
D
A
E
E
D A
AD BD . AE CE
定理 2 平行切割定理
B
C
B
C
如图， D, E 分别是 ABC 的边 AB, AC 上的点， 过点 A 的直线交 DE , BC 于 M , N ,若 DE ∥ MN ,