直线系圆系方程
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
高中数学直线和圆知识点总结
高中数学直线和圆知识点总结高中数学直线和圆学问点总结直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：ktan，[0,)（1）[0,2（2）)时，k0；2时，k不存在；（3）(2,)时，k0（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到；当倾斜角从90增加到180时，斜率从增加到02．直线方程（1）点斜式：yy0k(xx0)（2）斜截式：ykxbyy1y2y1xayb（3）两点式：xx1x2x1（4）截距式：1（5）一般式：AxByC03．距离公式（1）点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之间的距离：P1P2(x2x1)(y2y1)|Ax0By0C|AB2222（2）点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离：d（3）平行线间的距离：AxByC10与AxByC20的距离：d4．位置关系（1）截距式：ykxb形式重合：k1k2b1b2相交：k1k2平行：k1k2b1b2垂直：k1k21（2）一般式：AxByC0形式重合：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2平行：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B21|C1C2|AB垂直：A1A2B1B20相交：A1B2A2B15．直线系A1xB1yC1＋（A2xB2yC2）0表示过两直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的所有直线方程（不含l2）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：(xa)2(yb)2R2（R0）（2）一般式：x2y2DxEyF0（D2E24F0）xx0rcos（3）参数方程：（是参数）yy0rsin【注】题目中消失动点求量时，通常可实行参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是：(xxA)(xxB)(yyA)(yyB)02．位置关系（1）点P(x0,y0)和圆(xa)2(yb)2R2的位置关系：222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2R2内部222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2R2上222222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)(yb)R外（2）直线AxByC0和圆(xa)(yb)R的位置关系：推断圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离d当dR时，直线和圆相交（有两个交点）；当dR时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当dR时，直线和圆相离（无交点）；1|AaBbC|AB22222与半径R的大小关系3．圆和圆的位置关系推断圆心距dO1O2与两圆半径之和R1R2，半径之差R1R2（R1R2）的大小关系当dR1R2时，两圆相离，有4条公切线；当dR1R2时，两圆外切，有3条公切线；当R1R2dR1R2时，两圆相交，有2条公切线；当dR1R2时，两圆内切，有1条公切线；当0dR1R2时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l2Rd22扩展阅读：高中数学直线与圆的方程学问点总结高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180°。
高中数学直线和圆知识点总结
高中数学直线和圆知识点总结直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：ktan，[0,)（1）[0,2（2）)时，k0；2时，k不存在；（3）(2,)时，k0（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到；当倾斜角从90增加到180时，斜率从增加到02．直线方程（1）点斜式：yy0k(xx0)（2）斜截式：ykxbyy1y2y1xayb（3）两点式：xx1x2x1（4）截距式：1（5）一般式：AxByC03．距离公式（1）点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之间的距离：P1P2(x2x1)(y2y1)|Ax0By0C|AB2222（2）点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离：d （3）平行线间的距离：AxByC10与AxByC20的距离：d4．位置关系（1）截距式：ykxb形式重合：k1k2b1b2相交：k1k2平行：k1k2b1b2垂直：k1k21（2）一般式：AxByC0形式重合：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2平行：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B21|C1C2|AB垂直：A1A2B1B20相交：A1B2A2B15．直线系A1xB1yC1＋（A2xB2yC2）0表示过两直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的所有直线方程（不含l2）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：(xa)2(yb)2R2（R0）（2）一般式：x2y2DxEyF0（D2E24F0）xx0rcos（3）参数方程：（是参数）yy0rsin【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是：(xxA)(xxB)(yyA)(yyB)02．位置关系（1）点P(x0,y0)和圆(xa)2(yb)2R2的位置关系：222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2R2内部222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2R2上222222当(x0a)(y0b)R时，点P(x0,y0)在圆(xa)(yb)R外（2）直线AxByC0和圆(xa)(yb)R的位置关系：判断圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离d当dR时，直线和圆相交（有两个交点）；当dR时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当dR时，直线和圆相离（无交点）；1|AaBbC|AB22222与半径R的大小关系3．圆和圆的位置关系判断圆心距dO1O2与两圆半径之和R1R2，半径之差R1R2（R1R2）的大小关系当dR1R2时，两圆相离，有4条公切线；当dR1R2时，两圆外切，有3条公切线；当R1R2dR1R2时，两圆相交，有2条公切线；当dR1R2时，两圆内切，有1条公切线；当0dR1R2时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l2Rd22高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180°。
聚焦直线系、圆系方程的应用
聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1， 此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０ ∵（0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
直线系方程和圆系方程教案
直线系方程和圆系方程教案一、直线系方程。
1. 直线的一般方程。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不全为零。
这种形式的方程称为直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程。
直线的斜截式方程是直线方程的一种特殊形式，它可以表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
3. 直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
4. 直线的两点式方程。
直线的两点式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为(y y1)/(y2 y1) = (x x1)/(x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。
二、圆系方程。
1. 圆的标准方程。
在平面直角坐标系中，一个圆可以用标准方程表示为(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程。
圆的一般方程是圆方程的一种特殊形式，它可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数且D² + E² 4F > 0。
3. 圆的参数方程。
圆的参数方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为x =h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径，θ为参数。
4. 圆的直径式方程。
圆的直径式方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为(x x1)(x x2) + (y y1)(y y2) = 0，其中(x1, y1)和(x2, y2)为圆上的两个点。
三、教学内容。
1. 直线系方程的基本概念和性质。
直线的一般方程、斜截式方程、点斜式方程和两点式方程的概念和表示方法。
直线的斜率和截距的概念和计算方法。
直线和圆的方程怎么联立
直线和圆的方程怎么联立直线和圆是几何学中的基本图形，它们之间的关系在解决问题时非常重要。
如何联立直线和圆的方程，可以通过以下步骤来进行。
假设我们要解决的问题是找到直线和圆的交点坐标。
1.建立直线的方程直线的方程可以用一般式表示，即Ax + By + C = 0。
其中，A、B、C分别是直线的系数。
如果我们已经知道直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以通过以下公式计算出直线的系数：A = y2 - y1B = x1 - x2C = x2y1 - x1y22.建立圆的方程圆的方程有多种表示方法，其中一种常用的是标准式，即 (x - h)² + (y - k)² = r²。
其中，(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
如果我们已经知道圆心的坐标和半径，那么可以直接将这些值代入方程中。
3.将直线的方程代入圆的方程将直线的方程中的x和y分别代入圆的方程，得到一个关于未知数的二次方程。
解这个二次方程，即可求出直线和圆的交点坐标。
求解二次方程可以使用求根公式或者配方法。
4.求解交点坐标根据求解的二次方程，可得到交点的横坐标x和纵坐标y。
这两个坐标就是直线和圆的交点的坐标。
通过以上步骤，我们可以联立直线和圆的方程，并求出它们的交点坐标。
这样的求解方法在几何学中应用广泛，可以帮助我们解决直线和圆相关的问题。
下面是一个具体的例子来说明如何联立直线和圆的方程：假设有一条直线L，它通过点(1, 2)和(3, 4)，要求找到直线L和圆C的交点坐标。
1.建立直线的方程通过点(1, 2)和(3, 4)可以计算出直线的系数： A = 4 - 2 = 2 B = 1 - 3 = -2 C = 3×2 - 1×4 = 2所以直线L的方程为：2x - 2y + 2 = 02.建立圆的方程假设圆C的圆心坐标为(0, 0)，半径为2。
将这些值代入圆的标准方程中，得到圆C的方程：x² + y² = 43.将直线的方程代入圆的方程将直线L的方程中的x和y分别代入圆C的方程，得到一个关于未知数的二次方程：(2x - 2y + 2)² + y² = 44.求解交点坐标解这个二次方程，可以得到直线L和圆C的交点坐标。
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
直线系与圆系方程
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
直线与圆交点圆系方程
直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线方程与圆的方程交点坐标公式
直线方程与圆的方程交点坐标公式在数学中，直线和圆是两个重要的几何概念。
直线由一个方程表示，而圆由另一个方程表示。
当直线和圆相交时，我们可以通过求解它们的方程来确定它们的交点坐标。
本文将介绍如何通过直线方程和圆的方程来推导交点坐标的公式。
直线方程一条直线可以由其斜率和截距来描述。
直线的一般方程形式为:ax + by + c = 0其中，a、b和c是常数，且a和b不同时为0。
这个方程被称为直线的一般方程。
另外一种常见的直线方程形式是点斜式方程。
设直线上已知一点P（x₁, y₁），且直线的斜率为k，那么直线的点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)两种直线方程形式都可以用来求解直线和圆的交点坐标。
圆的方程圆是由平面上的一组点构成的，这些点到圆心的距离都相等。
假设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程被称为圆的标准方程。
直线与圆的交点公式推导当直线和圆相交时，它们有交点。
我们可以通过将直线方程代入圆的方程，来求解交点的坐标。
将直线的方程ax + by + c = 0代入圆的方程，得到：(a^2 + b^2) * x² + 2(a*c + b*d) * x + (c^2 + d^2 - r^2) = 0这是一个二次方程，可以使用求根公式来求解x的值。
根据二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)我们可以得到交点的x坐标。
将x的值代入直线方程，就可以得到交点的y坐标。
综上所述，直线方程与圆的方程交点坐标的公式为：x = (-2(a*c + b*d) ± √((2(a*c + b*d))^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2 - r ^2))) / (2(a^2 + b^2))y = (-a ± √(r^2 - (x - c)^2)) / b其中，a、b、c和d是直线方程的系数， h、k是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
直线与园的方程1圆与圆的位置关系
例2：求与圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
相切，半径为4，且和直线y 0相切的
圆的方程。
解：因为所求圆与直线y 0相切且半径为4，
所以设圆心坐标为O1 a, 4或O1 a, 4
所以方程为 x a2 y 42 42
或 x a2 y 42 42
Q 圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
即 x 22 y 12 32,圆心为O2 2,1,半径为3
因为两圆相切
1、a 若2两2圆 外4 切1，2 则 7O2 1O2 3 4
或a 22 4 12 72
a 2 2 10 或a 2 2 6
方程为 x 2 2 10 2 y 42 42， 或 x 2 2 10 2 y 42 42， 或 x 2 2 6 2 y 42 42， 或 x 2 2 6 2 y 42 42
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2
点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
代数方法
？
判断C1和C2的位置关系:
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0
C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
解：联立两个方程组得 联立方程组
2.6 直线系方程与圆系方程-(人教A版2019选择性必修第一册) 学生版)
直线系方程与圆系方程1 直线系方程(1) 过点(x 0 ,y 0)的直线系方程为A (x −x 0)+B (y −y 0)=0(其中A ,B 不全为零)(2) 平行于直线Ax +By +C =0的直线系方程Ax +By +C 0=0(C ≠C 0)；(3) 垂直于直线Ax +By +C =0的直线系方程Bx −Ay +C 0=0；(4) 过两条已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，解题时注意检验l 2是否满足题意) 2 圆系方程(1) 以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x −a )2+(y −b )2=λ(λ>0)；(2) 与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0同心圆的圆系方程为x 2+y 2+Dx +Ey +λ=0；(3) 过直线Ax +By +C =0与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0交点的圆系方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C)=0(λ∈R)；(4) 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x 0 ,y 0)作圆⨀M:(x −a )2+(y −b )2=r 2的切线l 方程为(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2证明 向量法 向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)， ∵l ⊥PM ，∴PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.4 切点弦方程过圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2外一点P(x0 ,y0)引圆的两条切线，切点分别是A、B，则直线AB的方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.证明方法1 设切点A(x1,y1)，则过点A的切线方程为(x−a)(x1−a)+(y−b)(y1−b)=r2，由于点P(x0 ,y0)在切线PA上，所以有(x0−a)(x1−a)+(y0−b)(y1−b)=r2①，设切点B(x2,y2)，同理得(x0−a)(x2−a)+(y0−b)(y2−b)=r2②，由①②得点A与点B在直线(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2上，则直线AB的方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.方法2以MP为直径的圆方程为(x−a)(x−x0)+(y−b)(y−y0)=0，记为圆C，，所以点A、B在圆C上，因为∠PAM=∠PBM=π2则A、B是圆C与圆M的两个交点，由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线AB方程(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(这跟圆上点的切线方程形式一致)【题型一】直线系方程【典题1】求过两直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点(2 ,1)；(2)和直线3x−4y+5=0垂直．【典题2】求过点P(−1 ,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【题型二】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．【典题2】已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y−14=0．(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y−6=0上的圆的方程．【典题3】过点(3 ,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为.【典题4】已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM|=√2，动点Q的轨迹为曲线C|QN|(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．巩固练习1 (★★) 求过两条直线y=2x+3与3x−y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12；(2)过点P(2 ,3)；(3)平行于直线3x+y=1．2 (★★) 求过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y−2)2=4的交点，并且面积最小的圆的方程．3(★★) 求经过圆x2+y2+8x−6y+21=0与直线x−y+5=0的交点且在y轴上的弦长为2√33的圆的方程．4 (★★) 求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x2+y2－2x+10y－24=0与x2+y2+2x+2y−8=0的交点的圆的方程．5 (★★) 过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.6 (★★★) 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y－3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．7 (★★★) 如图，已知圆M：x2+(y−4)2=4，直线l的方程为x−2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．(1)当P的横坐标为165时，求∠APB的大小；(2)求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．8 (★★★★) 已知圆C经过坐标原点O和点G(−2 ,2)，且圆心C在直线x+y−2=0上．(1)求圆C的方程；(2)设PA、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x−y−2=0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y=14x2(其中x>4)上运动，记直线PA、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN面积的最小值．。
【高考数学】直线系和圆系方程
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。
和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
《直线系方程和圆系方程及其应用》
题醉了
二、典型例题 例题 1 求证：无论 m 取何实数时，直线
2(m + 1)x + (m - 1)y - (m + 3) = 0
恒过定点，并求出定点的坐标.
【规律方法】 （1）分离系数法：一般，去了括号后，根据是否含有 m 的项分组，得
(2x - y - 3) + m(2x + y - 1) = 0 ì ï 2x - y - 3 = 0 从中可得到两个直线方程， 最后， 联立解方程组 í 可得定点坐标； ï î 2x + y - 1 = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的同心圆系方程： x2 + y2 +Dx +Ey + λ = 0 .
2 2 Ax + By + C = 0 x + y +Dx +Ey +F = 0 交点的圆系方程为： 2.过直线 与
x2 + y2 +Dx +Ey +F + λ(Ax +By + C) = 0(λ ? R) ；
m(x + 2y + 3) + n(2x + y - 5) = 0 .
4.一个二次方程表示两个直线方程：例如
(x + 2y) ? (2x y - 5) = 0 就表示两条直线 x + 2y = 0 和 2x + y - 5 = 0 亦即二次方程
2x2 + 2y2 + 6xy - 5x - 10y = 0 就表示以上两条直线.
堂练习
1.方程 x2 - y2 = 0表示的图形是 两条直线x +y = 0和x - y = 0 . 2. 直线系2x - y +m = 0 中任意一条直线与直线系2x + 4y +n = 0 中的任意一条 直线的位置关系是 垂直 . 3.方程 x + y - 6 x + y +3m = 0表示两条直线，求 m 的取值范围.
直线系、圆系方程及其应用
圆系方程及其应用（熟记----大题可以小做）一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系知识精讲
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【本讲主要内容】点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 点与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，点M （x 0，y 0）到圆心的距离为d ，则有： （1）d ＞r 点M 在圆外； （2）d ＝r 点M 在圆上； （3）d ＜r 点M 在圆内。
2. 直线与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆心（a ，b ）到直线l 的距离为d ，⎩⎨⎧=++=-+-0C By Ax r )b y ()a x (222消去y 得x 的一元二次方程判别式为△，则有： （1）d ＜r 直线与圆相交； （2）d ＝r 直线与圆相切； （3）d>r 直线与圆相离，即几何特征； 或（1）△＞0直线与圆相交； （2）△＝0直线与圆相切； （3）△＜0直线与圆相离，即代数特征。
3. 圆与圆的位置关系 设圆C 1：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2和圆C 2：（x －m ）2＋（y －n ）2＝k 2（k≥r ），且设两圆圆心距为d ，则有： （1）d ＝k ＋r 两圆外切； （2）d ＝k －r 两圆内切； （3）d ＞k ＋r 两圆外离； （4）d ＜k －r 两圆内含； （5）k －r ＜d ＜k ＋r 两圆相交。
4. 其他（1）过圆上一点的切线方程：①圆x 2＋y 2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则此点的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ②圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则过此点的切线方程为（x 0－a ）（x －a ）＋（y 0－b ）（y －b ）＝r 2（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C 1∶x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋（F 1－F 2）＝0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.例1求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）. 例2求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=， 此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、求直线系方程过定点问题例3证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R,∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =， ∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =，将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
练习：求经过两圆x 2+y 2+6x ?4=0和x 2+y 2+6y ?28=0的交点,并且圆心在直线x ?y ?4=0上的圆的方程.1解:构造方程x 2+y 2+6x ?4+λ(x 2+y 2+6y ?28)=0即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy ?(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x ?y ?4=0上时,即.7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴所求圆方程为x 2+y 2?x+7y ?32=02、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。
即22110λλ--+=，则114λ=-代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448x y -+-= 例２（2）;求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝０即22y x +＋y x )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝０则[]54)58(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０练习：1．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
（常数项为零）2．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。
（圆心的纵坐标为零）3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程。
（半径最小或圆心在直线上）4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。
（圆心到x 轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值。
分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x y Q x y ，由OP OQ ⊥得到12120x x y y +=，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m 的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系OP OQ ⊥，不难得出O 在以PQ 为直径的圆上。
而P ，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=的交点的圆系方程为：226(23)0x y x y m x y λ++-+++-=，即22(1)2(3)30x y x y m λλλ++++-+-=………………….①依题意，O 在以PQ 为直径的圆上，则圆心1(,3)2λλ+--显然在直线230x y +-=上，则12(3)302λλ+-+--=，解之可得1λ=又(0,0)O 满足方程①，则30m λ-=，故3m =。
4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：22y x +＋10y ＋20＋k （2x ＋4y ＋10）＝０∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020*********y y x y x 即⎩⎨⎧=++=++5)5(05222y x y x 易知圆心（０，-５）到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆22)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆22)5(++y x ＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切． 总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。