圆系方程的应用及要点

圆系方程的应用及要点

1. 引子

题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.

常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x

求方程组解 )3(047)

2(3)1(=--⨯y x 得 得代入即),1(,4

7x y = .137134;00313

4,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++

y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).13

7,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)

观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么?

2. 曲线系方程

由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢?我们可得以下结论 结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则

方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).

此结论即由联立方程⎩⎨⎧==)6(0),()5(0

),(21y x f y x f

得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ

只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。

有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

例2 (课本P70.13题) 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.

解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0

即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0

此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-

当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλ

λλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0

例3：（P81.14题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。

解：将已知的两椭圆方程相加，得 222

22

22b a b a y x +=+ 此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。

即原题得证。

3. 反例

由以上分析可以看出,利用曲线系解题,可以快速求解,但有时却是失效的.

例4: 求以圆x 2+y 2=5与抛物线y 2=4x 的公共弦为直径的圆的方程.

常规解法:联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 45222 以这两点为直径的圆的方程是 4)1(22=+-y x .

如果用曲线系分析，构造方程 0)4()5(222=-+-+x y y x λ

即 054)1(22=--++x y x λλ (8)

显然,λ=0不是所求圆方程,而在λ≠0时,方程(8)已不是圆方程了.

∴ 由(8)得不出所求结果.

4. 重新分析曲线系

由方程(5),(6)得到方程（7）,方程(7)是过(5)(6)公共点的曲线,但方程(7)不能包含过(5)(6)的所有曲线.最简单的例子是: 两直线x+y=0, x –y=0的交点是(0,0),而y 2=4x, (x –1)2+y 2=1等曲线都过(0,0),但这些曲线不能从直线系中得到.

5. 具体化

曲线系方程(7)不能包含过两曲线(5)(6)公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程(7)中呢?

一般,我们对所求方程结果的形式应该认识,所构造的方程中有所求结果的形式就可用,否则不可用.例3,例4就是例子.有三点是可以肯定的:

I. 如果(5)(6)是直线,则(7)是直线.

II.如果(5)(6)是圆,则(7)是圆,或公共弦所在直线方程.

将此推广,可得III. 如果(5)是圆,(6)是直线,则(7)是圆。

6．广义理解

虽然曲线系有时失效,但它任不失为一种有用的方法.如果灵活应用,更能显示它的优越性. 0

2018477,3

4)0,2(0])3()1[(2024,0)3()1(0)3()1()3,1(:)(.

)0,2(),3,1(02024:52222222222222=-+-+==++++---+=+++→=+++----=---+y x y x y x y x y x y x r r y x A B A y x y x 所以所求方程为可得代入构造圆系时的极限圆当为圆视一解的圆的方程且过切于求与圆例λλ.21;212

211⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==y x y x 解得

.02018477,7

8)0,2(0)1543(202401543)3,1(2222=-+-+==+++---+=++--y x y x y x y x y x y x A 所以所求圆方程为得代入，

。与已知圆构造圆系的圆的切线为解（二）：过λλ

6. 继续前进

从例1可看到,要求两圆公共弦所在直线方程,只须将两圆方程中的x 2,y 2项消去即可.但是如果两圆无交点,仍可得到一条直线方程,如:已知两圆

(x –1)2+(y –1)2=2

(x+2)2+(y+2)2=4

相减,得 3x +3y –4=0

直线3x +3y –4=0与已知圆有何关系?

我们先从两圆有交点分析:

设⊙O 1,⊙O 2交于A,B ，P 是AB 上任一点(非A,B),过P 作两圆割线，与⊙O 1交于 C 1,D 1,与⊙O 2交于C 2，D 2，由相交弦定理。则

|PC 1|•|PD 1|=|PC 2|•|PD 2|=|PA|•|PB|

如果P 在线段AB 的延长线上,过P 作两圆的切线PT 1,PT 2,由切割线定理得

|PT 1|2=|PT 2|2=|PA|•|PB|

当两圆运动，从相交到外切，再到相离时，猜想性质|PT 1|=|PT 2|保持不变。由此得到结论：

动点P 到两圆⊙O 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,⊙O 2: x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的切线长相等，则动点P 在一

直线上运动，该直线方程为 (D 1–D 2)x+(E 1–E 2)y +(F 1–F 2)=0 .

证明：设P(x,y),则 ).2

,2(),2,2(222111E D O E D O ---- 由P 向两圆分别作一条切线 PT 1,PT 2,则|PT 1|=|PT 2|,即

|PO 1|2–r 12=|PO 2|2–r 2

2 2

2222222222121212121)42

1()2()2()421()2()2(F E D E y D x F E D E y D x -+-+++=-+-+++

即 乘开 x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1= x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2 ,

即 (D 1–D 2)x+(E 1–E 2)y +(F 1–F 2)=0 .

8．新的发现

由7中的结论证明，我们可发现，对于圆方程

022=++++F Ey Dx y x

如果P 0(x 0,y 0)是圆外一点，过P 0作圆的切线P 0T ，则切线长|P 0T|满足

F Ey Dx y x T P ++++=00202020 .