圆系方程及其应用
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
过两点的圆系方程推导
过两点的圆系方程推导
摘要：
一、过两点的圆系方程概述
二、构造法推导过两圆交点的圆系方程
三、圆系方程的应用
正文：
【一】过两点的圆系方程概述
过两点的圆系方程，是一种数学工具，用于描述过两个已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的所有圆。
这个方程可以表示为：(x1*x2)*(y1*y2)[(x1*y2 -
x2*y1)^2] / (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2)。
【二】构造法推导过两圆交点的圆系方程
1.设圆A的方程为x^2 + y^2 - x1^2 - y1^2 + 2gx1 + 2fy1 = 0，圆B 的方程为x^2 + y^2 - x2^2 - y2^2 + 2gx2 + 2fy2 = 0。
2.求出两个圆的公共弦方程，即(x1^2 - x2^2) + (y1^2 - y2^2) - 2g(x1 - x2) - 2f(y1 - y2) = 0。
3.新构造一个圆，其方程为x^2 + y^2 - 2gx - 2fy + (x1^2 + y1^2) * (x2^2 + y2^2) / [(x1 * x2) + (y1 * y2)] = 0。
4.此新构造的圆方程即为过两圆交点的圆系方程。
【三】圆系方程的应用
1.过两已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的圆系方程可以用于描述这两个点确定的圆系，特别是在处理与圆有关的问题时，如圆的切线、法线等。
2.在几何问题中，圆系方程可以帮助我们理解两个相交圆的性质，如交点、公共弦等。
3.圆系方程也可以用于解决一些实际问题，如在物理中，描述物体在圆周运动时的轨迹等。
圆系方程的简单应用
圆系方程的简单应用一种不求交点求方程的思路首先，我们来看精炼上的一道题目：由点p（3,2）引圆x^2+y^2=4的两条切线pa，pb，a，b为切点，求直线ab的方程。
这道题，第一次看见大致思路就是这样的：设立直线为k(x-3)=y-2，然后直线至圆心的距离为圆的半径2。
这样算出两交点后，再求出直线。
这也就是最难想起，也就是通常的方法。
然而，提炼后给的答疑却是十分精妙的：设a(x1,y1),b(x2,y2)，因为圆的切线方程为x0x+y0y=r^2。
p点，a点代入获得：3x1+2y1=4;p点,b点代入获得：3x2+2y2=4。
似乎，这就是同一条直线！于是直线a，b的方程即3x+2y=4。
这种不求交点，而是巧妙利用交点所在直线来简化思维与运算的方法，正是本文章着重讨论的。
再来看一道题：谋经过直线2x+y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点，并且面积最轻的圆的方程。
首先，我建议大家可以自己做一下，因为这题并不算很难。
自己尝试一下可以更好的理解接下来的内容。
仍然先了解通常的方法：两方程阿提斯鲁夫尔谷，谋出来交点。
因为面积最轻，易知圆心正是在两交点连线的中点。
算是出来圆心后再求出半径，得出结论方程。
自己尝试过此方法的同学可以体会至，其中的运算若没计算器辅助还是颇为繁杂的。
下面了解不排序交点的数学分析。
首先，我们要说明一个类似“废话”的定理：若(m,n)同时满足方程f(x,y)=0与g(x,y)=0，那么(m,n)满足f(x,y)+k*g(x,y)=0（你可以在精练的43页找到它）。
有了这一条定理，我们可以做如下的假设：设立所求方程为x^2+y^2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0,经过一定的配方和化简，可以获得：r^2=(a+1)^2+((a-4)/2)^2-4a-1,进一步化简，获得r^2=(5a^2)/4-4a+4,利用对称轴，可以得出结论r获得最小值时，a=8/5,代入假设的方程本题就顺利完成了（当然你还可以再化简一下,最后答案为5x^2+5y^2+26x-12y+37=0）。
高中数学解题中圆系方程的应用分析获奖科研报告
高中数学解题中圆系方程的应用分析获奖科研报告摘要：高中数学具有较强的逻辑性要求，题目的综合性比较明显，将圆系方程运用于高中数学解题过程中，能够在一定程度上降低数学题的难度，帮助理解和分析题干，进而提升学生的解题正确率.本文主要探讨圆系方程在实际数学解题过程中的运用，列举了几个高中数学的经典题型，进行详细分析.关键词：高中数学解题圆系方程应用圆系方程的主要运用方式是将参数与图像相结合，以便于加深学生对题干的理解.在几何题解题过程中，适合既定条件的圆构成了一个圆系，一个圆系的共同形式的方程称之为圆系方程.将圆系方程运用于高中几何题型中，能帮助有效解决几何问题，提高解题效率.因此，有必要对圆系方程在数学解题中的具体应用进行研究和探讨.一、借助圆系方程求圆的方程高中数学具有一定的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中若不是全身心投入，则很容易将各项概念和性质等混淆，导致教学效率不高.教材中关于求圆的方程式的内容和经典题型比较多，但一般的解题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心标之后，再得出圆的方程式.这种方法的操作比较麻烦，不利于学生在考试过程中使用.并且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中出现计算错误或常识性失误等.若借助圆系方程，则可首先假设适合已知条件的圆系方程，列出含有未知数l的相关参数，并依据题干给出的条件进行运算，求出直径l的值，这样，运算量明显减少.在给出的解题参考中，先对两圆的交点坐标进行求解，再假设方程，将已知的点直接代入，借助待定系数法求得待定系数的值，最后得出圆的方程.相比之下，圆系方程的运用，减少了解题耗费的时间.需注意的是，实际解题过程中，学生切不可不认真审题就直接采用圆系方程求解.使用圆系方程的基本前提是了解题干及潜在解题条件，充分分析完题干，再选择求解方式.二、求两圆的公共弦或两圆的公切线方程针对这一类型数学题，一般解题思路是将两圆的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值为-1，则可解答方程，这种解题方式相对比较简单.由于教材中没有涉及具体圆系方程的知识点，可将其转换为一般式方程之后联立，将两个方程式相减，可得到两圆的公切线方程.一般情况下，借助圆系方程解决此类问题，需首先确定两圆的位置关系，再进行下一步的计算.例2：已知圆C：x+y+2x+8y-8=0，圆C：x+y-4x-4y-2=0，求两圆的位置关系.根据教材内容可知，两圆存在不止一个公共点.此题的解题关键是确定两圆的位置关系，在清楚了位置关系之后，即可借助圆系方程，求出两圆的公共直线的方程式.此时可知公共弦的方程式为x+2y-1=0.此时需注意的是，若无法准确判断两圆的位置关系，经过计算所得的直线方程，不能直接将其界定为公共弦，或者公切线方程.学生在实际解题过程中应认真理解题干和要求，有效利用已知条件及蕴含条件进行解题.通过圆系方程的运用，简化了原本需要联立方程式和计算的过程，大大缩短了解题时间.同时，此题运用圆系方程解题的正确率更高，学生不易由于数字特征而产生常识性失误.三、借助圆系方程判断直线与圆的位置关系高中数学中，要求对直线与圆的位置关系进行判断，是比较常见的题型.教材中给出了代数解题法和几何解题法两种，代数法需要对方程进行消元处理，继而得到一元二次方程，这一方法的计算量比较大，学生容易在解题过程中发生计算错误等问题.因此，解题过程中可尽量不用代数法.几何法相对更简单一些，首先求出圆心距直线的距离d，再将半径r与直线d进行大小判断，通过两者的关系确认，进而判断圆与该直线的位置关系.但几何法大多运用于比较简单的问题.针对部分比较难的问题，借助圆系方程进行解答准确性更高，也更简便.例3：圆系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意两个圆的位置关系.此题中的圆系方程可转换为x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知该方程表示的直线与圆呈相切的关系.因此，可得该圆系方程表示的两个圆有一个公共点.四、借助圆系方程求最小面积的圆的方程高中数学中，求最小面积或最大面积的圆的方程的题型比较常见，常规的解题方法也相似，即只要知道满足圆的最小面积的半径的方程式即可.而将圆系方程运用于这类题型中，解题过程则更加简单.例4：求经过两圆x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交点，且面积最小的圆的方程.此题若采用常见的解题方法，需首先联立方程，求得两圆的交点.再设所求的对象圆的方程，在其中发现各项变量之间的关系，最终获得半径的最小值.这类解题方法有一定的可行性，但解题所需时间较多.借助圆系方程则可减少运算所需的时间，提高解题效率.两圆相交直线的方程式为2x+2y-11=0，则经过直线2x+2y-11=0与圆x+y=5相交的点的圆系方程为x+y-25+l（2x+2y-11）=0，为了求得最小半径，两圆的相交直线须为所求的圆的直径；因此圆心坐标为（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圆的方程表示为（x-）+（y-）=.需注意的是，在高中数学题中，通常求最小面积的圆的方程与求最大面积的圆的方程的题型比较多，两者有相似之处.高中数学题一般具有较强的综合性，对学生逻辑思考能力和解题思维都有所要求.将圆系方程运用于高中数学解题过程中，通过简化题干、设已知条件等方式，不仅能够减少解题所耗费的时间，简化解题程序，还能够促使学生能够在更短的时间内完成解题.并且，在不断的训练和解题过程中，学生逐渐养成较强的逻辑思维和解题习惯，进而促进数学成绩的提高.此外，教师应引起注意，积极寻找解决该类问题的途径，从而使学生在考试当中获得理想的成绩.。
圆与方程
圆的方程（一）圆的方程1、圆心在原点，半径为r的圆方程为：x2+y2=r2。
2、圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
3、圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 。
其中待定系数D、E、F，由以下方程组解出：（二）圆方程的应用1、由圆的方程研究圆的自身性质——确定圆心和半径2、点与圆的位置关系：设点P(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2，则点P在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2点P在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2点P在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r23、直线与圆的位置关系：设直线Ax+By+C=0和圆(x-a)2+(y-b)2=r21）设圆心(a,b)到直线距离是d，d=r时，相切；d<r时，相割；d>r时，外离2）圆的切线方程：过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是：x0x+y0y=r2。
类比：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、两圆的位置关系：设⊙O1圆心为O1，半径为r1；⊙O2圆心为O2，半径为r2当 |O1O2|>r1+r2时，两圆外离；当|O1O2|=r1+r2时，两圆外切；当 |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2时，两圆相交；当|O1O2|=|r1-r2|时，两圆内切；当 |O1O2|<|r1-r2|时，两圆内含。
圆的方程圆的标准方程：，其中为圆心，为半径.(1) 如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2) 圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.圆心的三个重要性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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圆系方程及其应用
圆系方程与其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
）解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是描述平面上所有圆的方程。
圆是由与固定点之间的距离保持不变的所有点组成的集合。
圆系方程可以用来解决各种几何问题，如确定圆的位置、分析圆与其他几何图形的关系等。
一、圆的方程1.标准方程圆的标准方程是以中心坐标和半径为变量的方程，形式如下：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，圆心坐标为(h,k)，半径为r。
2.参数方程圆的参数方程是以圆周上的点的坐标为变量的方程，形式如下：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ其中，θ是圆周上的一个参数，范围为0到2π。
3.一般方程圆的一般方程形如：Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0其中，A、B、C、D是常数，圆心坐标可以通过一般方程中B、C的系数求出。
二、圆系方程的应用1.圆的位置通过圆系方程可以判断圆的位置。
当一般方程中的B和C的系数为零时，圆位于x轴或y轴上；当A和D的系数为零时，圆位于原点；当一般方程中B和C的系数不为零时，可以通过圆心坐标(-B/2A,-C/2A)来确定圆的位置。
2.圆与直线的关系通过圆系方程可以分析圆与直线的关系。
当圆的一般方程与直线的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与直线相切或相离。
3.圆与圆的关系通过圆系方程可以分析圆与圆的关系。
当两个圆的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与圆相切或相离。
4.圆的切线通过圆系方程可以确定圆的切线。
给定圆(y-k)^2=r^2和一直线Ax+By+C=0，可以通过求解联立方程确定圆上的一个点，然后通过推导求出该点处的切线方程。
以上是圆系方程及其应用的简要介绍。
圆系方程不仅可以帮助我们确定圆的位置和分析圆与其他几何图形的关系，还可以应用于解决实际问题，如地图上两个位置之间最短距离、圆形物体的表面积和体积等。
掌握圆系方程的应用技巧，对于解决几何问题与实际应用将大有裨益。
《直线系方程和圆系方程及其应用》
题醉了
二、典型例题 例题 1 求证：无论 m 取何实数时，直线
2(m + 1)x + (m - 1)y - (m + 3) = 0
恒过定点，并求出定点的坐标.
【规律方法】 （1）分离系数法：一般，去了括号后，根据是否含有 m 的项分组，得
(2x - y - 3) + m(2x + y - 1) = 0 ì ï 2x - y - 3 = 0 从中可得到两个直线方程， 最后， 联立解方程组 í 可得定点坐标； ï î 2x + y - 1 = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的同心圆系方程： x2 + y2 +Dx +Ey + λ = 0 .
2 2 Ax + By + C = 0 x + y +Dx +Ey +F = 0 交点的圆系方程为： 2.过直线 与
x2 + y2 +Dx +Ey +F + λ(Ax +By + C) = 0(λ ? R) ；
m(x + 2y + 3) + n(2x + y - 5) = 0 .
4.一个二次方程表示两个直线方程：例如
(x + 2y) ? (2x y - 5) = 0 就表示两条直线 x + 2y = 0 和 2x + y - 5 = 0 亦即二次方程
2x2 + 2y2 + 6xy - 5x - 10y = 0 就表示以上两条直线.
堂练习
1.方程 x2 - y2 = 0表示的图形是 两条直线x +y = 0和x - y = 0 . 2. 直线系2x - y +m = 0 中任意一条直线与直线系2x + 4y +n = 0 中的任意一条 直线的位置关系是 垂直 . 3.方程 x + y - 6 x + y +3m = 0表示两条直线，求 m 的取值范围.
圆系方程判别式
圆系方程判别式圆系方程是数学中的一种常见形式，用于描述圆的特征和性质。
在解析几何中，圆系方程的判别式是用来判断一个方程代表的曲线是否为圆的关键指标。
在本文中，我们将介绍圆系方程判别式的含义和应用。
一、圆的一般方程在解析几何中，圆可以用一般方程表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个方程被称为圆的一般方程，可以用来描述任意位置和半径的圆。
二、圆系方程判别式的含义圆系方程判别式是通过方程中的系数来判断方程代表的曲线是否为圆。
对于一般方程(x-a)² + (y-b)² = r²，圆系方程判别式为 D = 4r² - (x-a)² - (y-b)²。
判别式D的值可以分为以下几种情况：1. 当D>0时，表示方程代表的曲线为一个实心圆；2. 当D=0时，表示方程代表的曲线为一个点，即圆心；3. 当D<0时，表示方程代表的曲线为一条直线或不存在。
三、圆系方程判别式的应用圆系方程判别式在解析几何中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用情景。
1. 圆的位置关系判断通过圆系方程判别式，我们可以判断两个圆的位置关系。
当两个圆的判别式均为正数时，表示两个圆相交；当一个圆的判别式为零，另一个圆的判别式为正数时，表示一个圆在另一个圆内部；当两个圆的判别式均为零时，表示两个圆重合；当一个圆的判别式为零，另一个圆的判别式为负数时，表示一个圆在另一个圆外部；当两个圆的判别式均为负数时，表示两个圆没有交点。
2. 圆与直线的位置关系判断通过圆系方程判别式，我们还可以判断圆与直线的位置关系。
当圆的判别式为正数时，表示圆与直线相交；当圆的判别式为零时，表示圆与直线相切；当圆的判别式为负数时，表示圆与直线没有交点。
3. 圆的特殊情况判断通过圆系方程判别式，我们还可以判断圆的特殊情况。
圆系方程在解题中的应用
倒 ， 已知 圆 ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋ｚ一 ６ ｙ＋Ｔ ｎ一０与直 线 ． ｚ ＋２ ｙ一３ —０相 交 于 Ｐ， Ｑ两点 ， ０ 为 坐标 原 点 ， 若 ＯＰ上ＯＱ， 求实数 ｍ 的值 。 解： 若 ＯＰ上 Ｏ Ｑ， 则 过 Ｏ， Ｐ， Ｑ 三点可作 圆， 该
圆 在 过 两 交 点 Ｐ， Ｑ 的 圆系方 程为 ｚ ＋ ｙ ＋ ｚ一
０ ， 即 一一÷。故过 原点 的圆的方 程为 ＋ｙ 。 ＋
３ １ ７ ｚ 一 ＝０ ｏ
（ 一 ， 一
） 在 公 共 弦 上 。
因 为 点 Ｍ 在 直 线 ２ ｘ － ｙ 一 。 上 ， 所 以 ２ （ 一 ）
一
（ ２ ） 当圆心 在直 线 ２ ｌ ｚ ＋ ＋４ —０上时 （ 即以两 交 点所 在 的 弦 为 直 径 ） ， 圆的面积 最小， 而 圆 心 为
３ Ａ， 得 ｍ一３ 。
一
１ 薜 － ２ ２
２ Ｉ － Ａ 。
理 丫 匕
解 上述 方程 得 一１ （ 一一１不合题 意 ， 舍去 ） 。 故 所求 圆的方程 为 ｚ ＋ 一ｚ一２ ｙ一０ 。 侧
高
倒 ２ 求 过直 线 ２ － ｚ＋ｙ＋４ —０和 圆 Ｘ ＋ｙ 。 ＋ ２ ｚ一４ ＋１ —０的交 点 ， 并 满 足 下 列条 件 之 一 的 圆 的
毒
一
■江苏
含有 参 数 的 圆 的方 程 叫 做 圆 系 方 程 ， 它 表示 具
二、 过 两 圆 Ｃ１ ： ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋Ｄｌ ｚ＋ Ｅ１ Ｙ＋ Ｆｌ 一０ ，
麟
蒋 庆富
有某 种共 同 性 质 的 圆 的集 合 ， 称 为 圆系 。在 处 理 有 关 圆 的方 程 问题 时 ， 如 果 能用 圆系 方程 解 题 ， 则 可 以 简化 运算 ， 优化解题过程 ， 能使 问题 得 到巧 妙 解 决 。 下 面就 常见 的两种 类 型 ， 举 例说 明 。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆系方程在解析几何中的应用(
圆系方程在解析几何中的应用通常已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0。
若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：D1−D2x+E1−E2y+(F1−F2)= 0而有些问题，已知圆的方程和公共弦的方程，求另一个圆的方程。
若已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0，公共弦所在的直线方程为：Ax+By+C=0则可设圆C2的方程为：: x2+y2+Am+D1x+Bm+E1y+Cm+F1=0 ,然后根据题目的其他条件求出其中的参数m即可。
例1、已知圆C:x2+y2+x−6y+m=0 和直线l：x + 2y – 3 = 0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径。
解：由OP⊥OQ ,知：直线l是圆C和以PQ为直径的圆A的公共弦。
设所求圆A的方程是：x2+y2+1+k x+2k−6y+m−3k=0，圆心是A（−k+12 ,3−k），得：(−k+12)+2(3−k)-3=0又由圆A过原点，得：m=3k 解之得：k=1，m=3故所求圆C的圆心为（-12，3），半径为52例2、已知圆，是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。
解：设直线l的方程为：x-y+m=0，依题意，以AB为直径的圆Q的方程可设为：x2+y2+k−2x+4−k y+km−4=0，则圆心Q(2−K2 ,K−42)满足l的方程，得：k ·2−k2–k·k−42+km =0 （1）由圆Q过原点，得：km – 4 =0 （2）解之得：k=4，m=1 或k=-1 m=-4故所求的直线l的方程为：x – y + 1 = 0 或x – y – 4 = 0练习：已知圆O：x2+y2=4，过P(0,4)做直线l交圆O与A、B两点，若以AB为直径的圆M过Q(2,0)，求l的方程及圆M的方程。
解：设直线l的方程为：x=0 或kx-y+4=0（1）当直线l的方程为：x=0 时，经检验，符合要求。
圆系方程的应用及要点
1. 引子 题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得 得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x 4y=0. (4)观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么2. 曲线系方程由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).此结论即由联立方程⎩⎨⎧==)6(0),()5(0),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。
有了这个结论，有些题目可快速求解。
过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
例 2 (课本题) 求经过两圆x 2+y 2+6x 4=0和x 2+y 2+6y 28=0的交点,并且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x 4+λ(x 2+y 2+6y 28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy (4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x y4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2x+7y 32=0例3：（题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。
圆系方程的应用的例题解析
圆系方程的应用的例题解析哎，说起圆系方程，可能有些朋友会觉得那是书本上的高冷玩意儿，但其实它就像咱们生活里的调味包，加点这个，加点那个，就能让问题变得有滋有味，好懂又好玩儿。
今天，咱们就通过几道例题，用大白话聊聊圆系方程的那些事儿。
首先，咱们得明白啥是圆系方程。
简单来说，就是一堆圆它们之间有着某种特殊的联系，而这种联系可以用一个统一的方程来表示。
就像你家里有几个碗，虽然大小不一样，但都是圆的，都能用来装饭，这就是它们之间的共同点，也是我们可以抓住的“圆系”所在。
### 一、基础篇：圆与圆的位置关系#### 1.1 相亲相爱型——两圆相交想象一下，你有两个大小差不多的圆盘子，你试着把它们叠放在一起，结果它们只在边缘上轻轻触碰了一下，这就是两圆相交。
在圆系方程里，怎么表示这种关系呢？咱们可以通过比较两个圆的圆心和半径，来找出它们交点的坐标。
这就像是你知道了两个人的大致位置和他们能走到的最远距离，就能猜猜他们可能会在哪里碰头一样。
#### 1.2 擦肩而过型——两圆相切再换个场景，这回你小心翼翼地让一个圆盘子刚好贴着另一个圆盘子滑过去，没碰到里面也没留下痕迹，这就是两圆相切。
这时候，咱们可以用圆系方程来求那个切点的坐标，感觉就像是捕捉到了两个世界轻轻触碰的瞬间，挺有诗意的吧？### 二、进阶篇：圆与直线的爱恨情仇#### 2.1 直线穿心过——直线与圆相交现在，咱们不再局限于圆与圆之间了，把视线放宽点，看看圆和直线能整出啥花样。
比如，你手里拿着一根笔直的棍子（直线），然后对准一个圆盘子（圆）捅过去，结果棍子穿过了圆盘，留下了两个洞。
这时候，咱们就可以用圆系方程来找出这两个交点的位置，就像是侦探破案，一步步揭开真相。
#### 2.2 平行不相交——直线与圆相切但如果你的棍子放得更巧一些，它刚好贴着圆盘的边缘滑过，没有穿进去也没有离开太远，那就是直线与圆相切了。
这时候的交点其实就是一个点，咱们同样可以用圆系方程来找到它，就像是在茫茫人海中找到了那个与你心灵相通的唯一。
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圆系方程及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆系方程及其应用
一、常见的圆系方程有如下几种：
1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>
与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０
2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）
3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：
22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）
特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=
二、圆系方程在解题中的应用：
1、利用圆系方程求圆的方程：
例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
）
解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：
1．两交点的中垂线与直线相交；
2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；
3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．
解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０
∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２
故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x
即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=
过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为
2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，
圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。
即22110λλ--+=，则114λ=-
代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448
x y -
+-=
例２（2）; 求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝０
即22y x +＋y x )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝０则
[]
54)58(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０
练习：
1．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
（常数项为零）
2．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。
（圆心的纵坐标为零）
3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程。
（半径最小或圆心在直线上）
4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。
（圆心到x 轴的距离等于半径）
3、利用圆系方程求参数的值：
例3：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若
OP OQ ⊥，求实数m 的值。
分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x y Q x y ，由OP OQ ⊥得到12120x x y y +=，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m 的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系
OP OQ ⊥，不难得出O 在以PQ 为直径的圆上。
而P ，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=的交点的圆系方程为：
226(23)0x y x y m x y λ++-+++-=，即
22(1)2(3)30x y x y m λλλ++++-+-=………………….①
依题意，O 在以PQ 为直径的圆上，则圆心1(,3)2
λλ+--显然在直线230x y +-=上，则12(3)302
λλ+-+--=，解之可得1λ=又(0,0)O 满足方程①，则30m λ-=，故3m =。
4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：
例4 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何
解：圆系方程可化为：22y x +＋10y ＋20＋k （2x ＋4y ＋10）＝０
∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020*********y y x y x 即⎩
⎨⎧=++=++5)5(05222y x y x 易知圆心（０，-５）到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆22)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆22)5(++y x ＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．
总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。