椭圆的参数方程及其应用
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的参数方程的表达式
椭圆的参数方程的表达式
椭圆是一种非常常见的几何形状，它是由两条曲线相交而成的，它的精确的参数方程是：$$\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1
$$其中，$a$和$b$是椭圆的两个半径，$a$是椭圆的横轴，也称为长轴，$b$是纵轴，也称为短轴。
椭圆是一种广泛应用的几何形状，它可以用来描述很多自然界里的现象，比如圆周运动。
圆周运动是指一个物体绕着椭圆轨道运动，比如行星围绕恒星运行。
在几何学中，椭圆也有很多用途，比如用来绘制几何图形，比如椭圆形，橄榄形等等。
椭圆也可以用来求出某些特定的几何问题，比如求两个点之间的最短距离。
此外，椭圆在很多领域中都有应用，比如机械设计中，椭圆是用来设计齿轮的；在地理学上，椭圆也被用来描述地球的形状；在金融学中，椭圆也被用来描述投资组合的风险程度。
总之，椭圆是一种非常常见的几何形状，它的参数方程是$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，它有着广泛的应用，在机械设计、地理学、金融学等领域都有应用。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆弦长计算公式
椭圆弦长计算公式椭圆是数学中一种重要的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
在椭圆的研究中，椭圆弦长是一个重要的参数。
本文将介绍椭圆弦长的计算公式及其应用。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆有许多特殊的性质，例如，它是一个闭合曲线，具有对称性等。
二、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数，取值范围为0到2π。
三、椭圆弦长的定义椭圆弦长是椭圆上两点之间的弧长。
为了方便计算，我们可以将弦长表示为两个参数θ1和θ2对应的弧长之差。
四、椭圆弦长的计算公式根据椭圆的参数方程，我们可以得到两点在椭圆上的坐标为：(x1, y1) = (a*cosθ1, b*sinθ1)(x2, y2) = (a*cosθ2, b*sinθ2)椭圆弦长可以表示为：L = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)带入坐标的值，可以得到椭圆弦长的计算公式：L = √(a²*cos²θ1 - 2*a*cosθ1*a*cosθ2 + a²*cos²θ2 + b²*sin²θ1 - 2*b*sinθ1*b*sinθ2 + b²*sin²θ2)五、椭圆弦长的应用椭圆弦长在实际中有许多应用。
例如，在建筑设计中，椭圆形的建筑物常常需要计算弦长来确定材料的用量。
在航天工程中，椭圆轨道的计算也需要用到椭圆弦长。
此外，椭圆弦长还可以用于计算椭圆的周长和面积等参数。
椭圆弦长的计算公式可以通过数学推导得到，这里不再详述。
但需要注意的是，椭圆弦长的计算公式中包含了椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此在使用时需要先求出椭圆的长半轴和短半轴的值。
七、椭圆弦长计算的注意事项在实际计算中，需要注意椭圆弦长的计算精度。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：① 椭圆22221x y a b+=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数方程,且0). ②椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数且 在利用 cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩研究椭圆问题时，这时椭圆上的点的坐标可记作（cos ,sin a b θθ），结合直角坐标同时并用，常常很方便，下面举例说明椭圆参数方程的应用。
1、求轨迹方程例1 已知椭圆方程为22221x y a b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程。
解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0).则P 点坐标为（ cos ,sin a b θθ ），由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=+ 2sin cos A P b k a a θθ=- ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ--==- ∴A 1Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ+-+ ① A 2Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ--- ② ①×② ，得22222(cos 1)sin a y b θθ-=·(x 2－a 2)=－22a b (x 2－a 2) . 化简整理，得224221(0),x y a ab λ+=≠即为所求的轨迹方程。
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。
在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
二、极坐标方程椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。
在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。
椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。
通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。
当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
三、应用椭圆具有许多重要的应用。
在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。
例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。
在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。
例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。
椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。
椭圆还广泛应用于工程学和计算机图形学。
在工程学中，椭圆常被用作设计轮胎、齿轮等机械零件的基础。
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」1.行星轨道椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳的轨道。
根据开普勒第一定律，行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过给定行星的离心率、半长轴和焦点的位置，可以得到行星在任意时间的位置。
这种方法对于研究行星运动和预测行星位置等方面有重要的应用。
2.船只的航海问题在船只的航海问题中，船只从A点出发经过几个固定的轨迹点到达B 点。
如果船只的航行速度和方向是已知的，可以用椭圆的参数方程来描述轨迹。
这样可以帮助船只确定航线，避免与障碍物相撞。
3.天文测量在天文学中，使用椭圆参数方程可以描述行星、彗星和其他天体的轨道。
通过观测这些天体的位置和运动，并将其拟合到椭圆参数方程中，可以得到更精确的轨道参数，进而研究行星和天体的物理特性。
4.反射镜和抛物面反射椭圆是反射镜和抛物面反射的基础。
抛物面可以被看作是椭圆沿着一个焦点方向拉伸而形成的。
椭圆的参数方程可以用来描述反射镜的形状，使得光线可以聚焦到一个点上。
这种技术在望远镜、摄影镜头等光学仪器中有着广泛的应用。
5.电子轨道在量子物理中，电子围绕原子核的轨道也可以用椭圆参数方程来描述。
这种描述方法可以帮助研究和理解电子在原子中的分布和运动。
通过椭圆参数方程，可以计算电子的能级、轨道半径等物理参数，对于研究原子结构和化学键等方面有重要的应用。
以上是椭圆参数方程的几个应用。
椭圆作为一个重要的数学概念，在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
椭圆参数方程作为椭圆的数学描述方法，可以帮助我们更准确地描述和计算各种现象，深化对椭圆曲线的理解，提高数学应用能力。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
椭圆是一种抛物线。
它由两个有限点组成，这些点称为焦点，椭圆的形状由两
个焦点和一个有限的线的距离共同决定。
椭圆的参数方程表示的就是椭圆的几何形状，这往往可以帮助我们判断椭圆的性质。
椭圆的参数方程一般形式为x²/a²+y²/b²=1，其中a，b分别为两个焦点之间
的距离，a>b，a,b>0。
利用椭球面和平面相截得到的椭圆可以利用这个方程来表示：x²/a²+y²/b²=1，其中a,b分别为两个焦点之间的距离。
椭圆参数方程的应用十分广泛，比如在数学计算中应用椭圆可以更容易地计算
椭球面和平面的交点，椭圆参数方程在天文学中也有应用，它可以帮助我们求解太阳系中行星的轨道。
此外，椭圆参数方程也可以用于图像处理，可以利用椭圆参数方程计算图像中
物体轮廓的拟合，从而实现图像的识别处理等。
总之，椭圆的参数方程可以用于科学计算，天文学研究，图像处理等多个领域，也可以用来简化复杂的数学模型，为研究者提供有用的工具。
如何理解椭圆的参数方程
如何理解椭圆的参数方程椭圆作为一种常见的几何形状，在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的参数方程是一种以参数表示的椭圆方程，它对于解决某些问题具有优势。
本文将介绍椭圆的几何性质、椭圆的参数方程的建立、椭圆参数方程的应用、椭圆参数方程与直角坐标方程的转化、椭圆参数方程在极坐标系中的应用、椭圆的参数方程的导数与曲线形状的关系以及椭圆的参数方程在数值计算中的应用。
1. 椭圆的几何性质椭圆是一种二次曲线，它由两个焦点和其周围的曲线组成。
椭圆的焦点到椭圆中心的距离之和等于常数，这个常数等于椭圆的长轴长。
椭圆的长轴在垂直方向上，短轴在水平方向上。
椭圆的中心位于两个焦点的连线上，离焦点越远，椭圆越大。
2. 椭圆的参数方程的建立椭圆的参数方程是以参数表示的椭圆方程，它通常用于解决某些问题。
参数方程的形式通常为：x = a * cosθ，y = b * sinθ其中a和b是椭圆的长半轴和短半轴长，θ是参数。
这个参数方程可以表示一个椭圆，其中焦点到中心的距离之和等于常数。
3. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在解决某些问题时具有优势。
例如，在物理学中，椭圆的参数方程可用于描述振动的模式或旋转的轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可用于设计图形或模型。
此外，椭圆的参数方程还可以用于数值计算和统计分析等领域。
4. 椭圆参数方程与直角坐标方程的转化椭圆的参数方程和直角坐标方程之间可以通过转换关系相互转化。
具体来说，将椭圆的参数方程中的参数θ用反正弦函数或反正切函数表示，即可得到椭圆的直角坐标方程。
同样地，将椭圆的直角坐标方程中的变量x和y用三角函数表示，即可得到椭圆的参数方程。
5. 椭圆的参数方程在极坐标系中的应用极坐标系是一种以极点为中心的坐标系，其中极径表示到极点的距离，极角表示方向角。
椭圆的参数方程也可以用于极坐标系中。
具体来说，将椭圆的参数方程中的x用极径表示，y用极角表示，即可得到椭圆的极坐标方程。
这个极坐标方程可以用来描述一个椭圆的极坐标图形。
谈谈椭圆参数方程的应用技巧
解题宝典中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为{x =a cos α,y =b sin α,α为参数；中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆的参数方程为{x =b cos α,y =a sin α,α为参数，其中a 是椭圆的长半轴长、b 是短半轴长，α∈R .利用椭圆的参数方程可以将椭圆上任意一点的坐标用参数和三角函数式表示出来，如()a cos α,b sin α、()b cos α,a sin α.对于与椭圆上的动点有关的距离、角度、面积、周长的最值问题，运用椭圆的参数方程，可使问题快速获解.在解答与动点有关的椭圆最值问题时，可先将椭圆的普通方程化为参数方程，然后设出动点的坐标，将其代入两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、弦长公式等中，即可得到关于参数α的三角函数式，通过恒等变换将其化简，便可直接运用三角函数的有界性、单调性，求得最值.例1.求椭圆x 24+y 2=1上的点P 到直线l :x -y -25=0的最小距离.解：将椭圆的方程x 24+y 2=1化为{x =2cos α,y =sin α,α是参数，设点P 的坐标为（2cos α,sin α）,则点P 到直线l 的距离d =5=5sin(5，而≤1，所以5≤||5sin(α+φ)-25≤35,因此点P到直线l 的最小距离为d min ==首先将椭圆的方程化为参数方程，用参数表示出P 点的坐标，即可根据点到直线的距离公式求得P 点到直线的距离的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性，就能求得距离的最小值.例2.求椭圆x 29+y 24=1上的点P 与点Q (1,0)之间距离的最小值.解：将椭圆的方程化为{x =3cos α,y =2sin α,α为参数，设点P 的坐标为（3cos α,2sin α）,则||PQ =(3cos α-1)2+(2sin α)2=当cos α=35时d 最小，||PQ min 即||PQ 的最小值为根据椭圆的参数方程设出椭圆上的点P 的坐标，便可根据两点间的距离公式求得PQ 的距离，然后利用三角函数、二次函数的单调性求解即可.例3.求椭圆x 24+y 23=1的内接矩形的最大面积.解：将椭圆的方程化为ìíîx =2cos α,y =3sin α,α为参数，取椭圆的内接矩形在第一象限内的顶点P ，设其坐标为（2cos α,3sin α）,其中α为锐角，则椭圆的内接矩形的长为4cos α,宽为23sin α,其面积为4cos α∙23sin α=43∙2sin αcos α=43sin 2α,而2α∈(0,π)，则sin 2α∈(0,1],所以43sin 2α∈(0,43],所以当2α=π2，即α=π4时，椭圆的内接矩形的最大面积为43.将椭圆的方程化为参数方程，并设出内接矩形在第一象限内的点的坐标，就能根据椭圆的对称性快速求得矩形的长、宽与面积的表达式，进而根据正弦函数的单调性求得面积的最值.由于椭圆的参数方程中的参数是与角相关的量，所以运用椭圆的参数方程解答与动点有关的椭圆最值问题，就需将问题转化为三角函数问题.在求得目标式后，再灵活运用三角函数中的基本公式、性质来辅助解题.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）贾淑婵43。
椭圆的参数方程总结
椭圆的参数方程总结椭圆是一种常见的几何形状，由于它的特殊性质，在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是关于椭圆的参数方程的总结：1. 基本定义椭圆可以被定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
一个椭圆由其两个焦点以及一个常数（半径和）决定。
2. 参数方程椭圆的参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。
一种常见的参数方程形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数，可以取0到2π之间的任意实数值。
3. 参数方程特性椭圆的参数方程具有以下特性：- 参数方程中的t表示了椭圆上每个点所对应的角度，因此可以使用参数方程来描述椭圆的整个轨迹。
- 当t等于0或2π时，对应的点位于椭圆的右焦点上。
- 当t等于π时，对应的点位于椭圆的左焦点上。
- 当t等于π/2或3π/2时，对应的点位于椭圆的顶点上。
- 参数方程中的a和b决定了椭圆的大小和形状，当a和b相等时，椭圆为圆形。
4. 示例以下是一个使用参数方程绘制椭圆的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npa = 5 # 长半轴b = 3 # 短半轴t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000) # 参数范围x = a * np.cos(t) # x坐标y = b * np.sin(t) # y坐标plt.plot(x, y)plt.axis('equal')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('椭圆')plt.grid(True)plt.show()通过上述代码，可以得到一个长半轴为5，短半轴为3的椭圆。
5. 应用领域椭圆的参数方程在众多科学和工程领域有着广泛的应用，例如：- 天体运动的轨道模型- 电子轨道和原子结构的描述- 信号处理和图像处理中的滤波算法总之，椭圆的参数方程为我们描述和分析椭圆的性质提供了方便和灵活的方法，可以在各个领域中得到有效应用。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用黄亦虹;许庆祥【摘要】设E:x2/a2+y2/b2+z2/c2=1为一个椭球面,P:p x + q y + r z=d为一个平面.利用Householder变换,证明了E和P相交当且仅当λ≥| d |,其中λ=√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.当λ＞| d |时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线e一定是椭圆,并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线e的参数方程,给出了由e所围成的内部区域的面积公式,进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用,又给出了交线e成为一个圆的充要条件.%Let E:x2/a2+y2/b2+z2/c2 =1 be an ellipsoid and P:p x + q y + r z =d be a plane.Based on the Householder transformation,it is shown that the intersection E ∩ P is nonempty if and only if λ ≥ | d|,where λ =√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.When λ ＞ | d|,this paper provides a new proof that the intersection curve e of E and P is always an ellipse,and in this case a new parametric equation of e is derived.Based on the obtained parametric equation of e and Stokes formula,we derive a formula for the area of the region bounded by e,and compute its semi-major axis and semi-minor axis.As an application,we get necessary and sufficient conditions for e to be a circle.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(047)001【总页数】7页(P24-30)【关键词】椭球面;平面;参数方程;Householder变换;Stokes公式【作者】黄亦虹;许庆祥【作者单位】上海应用技术大学理学院,上海201418;上海师范大学数理学院,上海200234【正文语种】中文【中图分类】O13;O1721 IntroductionThroughout this paper,,+ and m×n are the sets of t he real numbers,the positive numbers and the m×n real matrices,respectively.The notation n×1 is simplified to n.For any A∈m×n,its transpose is denoted by AT.Let In be the identity matrix of order n.Much attention is paid to the very popular topic of the intersection curve of an ellipsoid and a plane[1-3].Yet,little has been done in the literatures on the application of the Householder transformation and the Stokes formula to this topic,which is the concern of this paper.Let E be an ellipsoid and P be a plane defined respectively by(1)where a,b,c∈+ and p,q,r,d∈ such that p2+q2+r2≠0.It is known that the intersection curve of E and P is always an ellipse,and much effort has been made in the study of the semi-axes of .Yet,due to the complexity of computation,it is somehow difficult to derive explicitformulas for the semi-axes of .The key point of this paper is the usage of the Householder transformation to derive a new parametric equation of ,together with the application of the Stokes formula to find the area |S| of the region bounded by ;see Theorem 2.4 and Corollary 2.5.Another point of this paper is the characterization of the parallel tangent lines of ,which is combined with the obtained formula for |S| to deal with the semi-axes of .As a result,explicit formulas for the semi-major axis and the semi-minor axis of are derived;see Theorem 2.6.As an application,necessary and sufficient conditions are derived under which is a circle.2 The main resultsLet v∈n be nonzero.The Householder matrix Hv as sociated to v is defined byn×n.(2)It is known[4] that HvT=Hv and HvTHv=In,i.e.,Hv is an orthogonal matrix.Due to the following property, the Householder matrix is of special usefulness.Lemma 2.1 Let x,y∈n be such that x≠y and xTx=yTy.ThenHv(x)=y,where v=x-y.(3)Theorem 2.2 Let E and P be given by (1).Then =E∩P≠Ø if and only ifλ≥|d|,where λ is defined by(4)Proof Let λ be defined by (4).Firstly,we consider the case that p2+q2>0. Let w1=(ap,bq,cr)T and w2=(0,0,λ)T.Then clearly,w1≠w2 and w1Tw1=w2Tw2,so by Lemma 2.1 we haveHvw1=w2,where v=w1-w2.(5)Let(6)Then by (1),(5) and (6),we have(7)d(8)It follows from (7) and (8) that(9)This means E∩P is nonempty if and only if λ≥|d|,where λ is defined by (4). Secondly,we consider the case that p=q=0.In this case,we have r≠0.It follows directly from (1) thatthus the conclusion also holds.The following result is well-known,yet its proof presented below is somehow new.Theorem 2.3 Let E,P and λ be given by (1) and (4) respectively such that λ>|d|. Then the intersection curve =E∩P is always an ellipse.Proof It needs only to consider the case that p2+q2>0.Letw3=(p,q,r)T,w4=(0,0,)T,v1=w3-w4 and Hv1 be the Householder matrix defined by (2) which satisfies Hv1w3=w4.Let(x,y,z)T=Hv1(x1,y1,z1)T.(10)Thend=w3T(x,y,x)T=w3T Hv1(x1,y1,z1)T=w4T(x1,y1,z1)T=z1.Therefore,(11)It follows from (1),(10) and (11) that(12)where A=Hv1THv1 is positive definite.Let A be partitioned as A=,whereA1∈2×2 is positive definite since A is.Then from (12) we get(x1,y1)A1+λ1 x1+λ2 y1+λ3=0 for some λi∈,i=1,2,3,which represents an ellipse in x1y1- plane since A1 is positive definite.This observation together with (11) yields the fact that in the x1y1z1- coordinate system,the equation of the intersection curve represents an ellipse.The conclusion then follows from (10) since Hv1 is an orthogonalmatrix.Theorem 2.4 Let E,P and λ be given by (1) and (4) such that λ>|d|.Then a parametric equation of the intersection curve =E∩P can be given fort∈[0,2π] as follows:(13)Proof We only consider the case that p2+q2>0.By (2) and (5) we obtain(14)Furthermore,by (8) and (9) we get(15)Eq.(13) then follows from (6),(14) and (15).An application of Theorem 2.4 is as follows.Corollary 2.5 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then the area |S| of the region S bounded by can be formulated by(16)where λ is defined by (4).Proof Let (cos α,cos β,cos γ) denote the unit normal vector of the plane P,where(17)We may use the Stokes formula to get|S|=± ○ z cos βdx+x cos γdy+y cos αdz,(18)where ± is chosen to ensure that the right side of (18) is non-negative.Note thatsin tdt=cos tdt=sin t cos tdt=0,(19)sin2tdt=cos2tdt=π.(20)Therefore,by (13),(4),(19) and (20) we obtain○(21)○(22)○(23)Formula (16) then follows from (17)-(18) and (21)-(23).Consider the calculation of I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane x+y+z=0.In view of the symmetry,a solution can be carried out simply asObviously,the method employed above only works for the symmetric case.As shown by Example 2.1 below,the parametric equation (13) is a useful tool to deal with the non-symmetric case.Example 2.1 Evaluate I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane px+qy+rz=d.Solution We follow the notations as in the proof of Theorem 2.2.Sincea=b=c=R,Eq.(6) turns out to be(x,y,z)T=Hv (x1,y1,z1)T,which is combined with (15) to getIn view of the first equation of (13) and (19)-(20),we haveI=○(24)and μ is given by(25)Note that(26)so we may combine (24)-(26) to conclude thatI=○where λ is given by (24).Now,we turn to study the semi-axes of the ellipse given by (13).LetP(t)=(x(t),y(t),z(t)) be a point in .Then we havewhere λ is given by (4).Suppose that P(t1) and P(t2) are two different points in such that the tangent lines at these two points are parallel,thenthere exists a constant μ such that x′(t2)=μx′(t1),y′(t2)=μy′(t1) and z′(t2)=μ z′(t1);or more precisely,It follo ws from (27) and (29),(28) and (29) that sin t2=μ sin t1 and cos t2=μ cos t1.Therefore,1=sin2t2+cos2t2=μ2 (sin2t1+cos2t1)=μ2,hence μ=-1 since P(t1)≠P(t2),and thus P(t2)=P(t1+π).The observation above indicates that(30)where max,min denote the semi-major axis and the semi-minor axisof ,respectively,and(31)where g(t) is given by(32)as cos2t=,sin2t= and sin t cos t=,where(33)By (4) we have[(λ(cr-λ)+(ap)2)2+(abpq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[(ap)2+(bq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[λ2-(cr)2]=(cr-λ)2[λ2-(ap)2].(34)Similarly,we have[(abpq)2+(λ(cr-λ)+(bq)2)2]=(cr-λ)2[λ2-(bq)2].(35)We may combine (4) with (33)-(35) to conclude thatA=[(ap)2(b2+c2)+(bq)2(c2+a2)+(cr)2(a2+b2)].(36)Theorem 2.6 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1), and max and min be the semi-major axis and the semi-minor axis of .Thenwhere λ and A are defined by (4) and (36).Proof It follows from (30)-(32) that(37)(38)which means that the area |S| of the region S bounded by is equal toThe above equation together with (16) yieldsB2+C2=A2-λ2 (abc)2(p2+q2+r2).The conclusion then follows by substituting the above expression forB2+C2 into (37) and (38).A direct application of the preceding theorem is as follows.Corollary 2.7 Suppose that a>b>c>0.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1),and =(cos α,cos β,cos γ) be the unit normal vector of P with cos α,cos β and cos γ given by (17).Then is a circle if and only if either ‖ or ‖,whereProof Let λ and A be defined by (4) and (36).By direct computation,we haveθ4A2-4λ2 (abc)2(p2+q2+r2)=[(cr)2(a2-b2)-(ap)2(b2-c2)]2+(bq)4(a2-c2)2 +2(abpq)2(a2-c2)(b2-c2)+2(bcqr)2(a2-c2)(a2-b2).Since a>b>c,by Theorem 2.6 we know that is a circle if and only ifθ=0.Equivalently, is a circle if and only if⟺The result stated below follows immediately from the proof of Corollary 2.7.Corollary 2.8 Suppose that a,b,c∈+ such that a=b≠c.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then is a circle if and only if p=q=0.References:[1] Abramson N,Boman J,Bonnevier B.Plane intersections of rotational elliposids [J].American Mathematical Monthly,2005,113:336-339.[2] Ferguson C C.Intersections of ellipsoids and planes of arbitrary orientation and position [J].Mathematical Geology,1979,11:329-336. [3] Klein P P.On the ellipsoid and plane intersection equation [J].AppliedMathematics,2012,11:1634-1640.[4] Leon S J.Linear Algebra with Applications (Eighth Edition)[M].Beijing:Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2011.。
椭圆的参数方程及其应用
在航空航天工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述飞行器的 轨迹和姿态控
制。
在土木工程中， 椭圆的参数方 程用于描述桥 梁、建筑等结 构的振动和稳
定性分析。
在电力系统工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述交流电的 波形和稳定性。
参数方程在日常生活中的应用
卫星轨道计算： 椭圆的参数方程 在卫星轨道计算 中有着广泛的应 用，可以精确地 描述卫星的运行 轨迹。
物理实验：椭圆 的参数方程在物 理实验中也有着 重要的应用，例 如在研究抛物线 运动、行星运动 等实验中都需要 用到椭圆的参数 方程。
机械制造：椭圆 的参数方程在机 械制造领域也有 着广泛的应用， 例如在制造汽车、 飞机等机械时需 要用到椭圆的参 数方程来描述零 件的形状和尺寸。
经济学：椭圆的 参数方程在经济 学中也有着重要 的应用，例如在 研究股票价格、 供需关系等经济 问题时需要用到 椭圆的参数方程 来描述数据的变 化趋势。
参数方程在解决几何问题、物理问题等领域中有着广泛的应用，可以帮助 我们更方便地描述和分析曲线。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程定义 参数方程中各参数的意义 参数方程与直角坐标方程的转换 参数方程在几何学中的应用
参数方程的推导
椭圆参数方程的推导过程 参数方程与直角坐标方程的转换关系 参数方程的应用场景和优势 参数方程在解决实际问题中的应用案例
描述电子云分布： 在量子力学中，椭 圆的参数方程可以 用来描述电子云的 分布。
描述电磁波的传播 ：椭圆的参数方程 可以用来描述电磁 波在介质中的传播 路径。
描述振动和波动： 椭圆的参数方程可 以用来描述某些振 动和波动现象，如 弹簧振荡和波动传 播。
参数方程在工程学中的应用
椭圆参数方程 在机械工程中 的应用，例如 用于描述旋转 机械的振动特
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们可以用参数方程来表示。
在本文中，我将详细介绍圆和椭圆的参数方程，并且按照分层次的优美排版方式进行分段分标题输出。
一、圆的参数方程1. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的参数方程假设圆心坐标为（h，k），半径为r，则可以使用以下参数方程来表示一个圆：x = h + r * cos(θ)y = k + r * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + r * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + r * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是圆心的坐标，r 是半径。
二、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数（长轴）的点的集合。
2. 椭圆的参数方程假设焦点坐标分别为（h，k±c），长轴为2a，短轴为2b，则可以使用以下参数方程来表示一个椭圆：x = h + a * cos(θ)y = k + b * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + a * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + b * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是椭圆中心的坐标，a 是长半轴长度的一半，b 是短半轴长度的一半。
三、圆和椭圆参数方程的应用1. 绘制图形使用参数方程可以方便地绘制出圆和椭圆的图形。
通过给定不同的参数值，可以绘制出不同大小、位置和形状的圆和椭圆。
2. 计算点坐标通过给定角度θ，可以计算出对应于该角度的点在圆或椭圆上的坐标。
这在进行数学计算和几何分析时非常有用。
椭圆的参数方程课件
利用复数推导椭圆的参数方程
总结词
深奥、抽象
详细描述
通过引入复数，利用复数的性质 推导椭圆的参数方程，这种方法 较为深奥、抽象，需要较高的数 学素养和理解能力。
05
椭圆的参数方程的扩展知 识
利用椭圆的参数方程研究圆
椭圆的参数方程与圆的参数方程之间的联系
通过椭圆的参数方程，可以推导出圆的参数方程，从而对圆进行更深入的研究。
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
• 将椭圆的参数方程转化为直角坐标方程，可以得 到以下形式
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
$$\begin{aligned} x = a\cos\theta \\
y = b\sin\theta
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
对应的直角坐标方程为
这个直角坐标方程描述了一个以$(a/2, b/2)$为圆心， $\sqrt{a^{2}/4 + b^{2}/4}$为半径的圆。
02
当t=0时，表示椭圆中心，当t在 实数范围内变化时，表示椭圆上 的点的横坐标在椭圆上移动。
椭圆的焦点与离心率
椭圆的焦点是指椭圆上与椭圆中 心距离相等的两个点，它们位于
椭圆的长轴上。
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭 圆中心的距离与椭圆长轴半径的
比值，用e表示。
当e增大时，椭圆变得更扁平； 当e减小时，椭圆变得更接近圆
\end{aligned}$$
$$(x - \frac{a}{2})^{2} + (y - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}$$
02
椭圆的参数方程的几何意 义参数t的几何意义 Nhomakorabea01
椭圆的参数方程公式
椭圆的参数方程公式椭圆是高中数学中常见的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的参数方程公式及其几何特性，帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
一、椭圆的参数方程公式椭圆的参数方程公式为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，取值范围为[0, 2π]。
通过这个参数方程公式，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。
当参数t从0到2π变化时，点在椭圆上按顺时针方向依次遍历。
二、椭圆的几何特性1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线段，长轴的长度为2a；短轴是通过椭圆中心并且垂直于短轴的直线段，短轴的长度为2b。
2. 焦点和离心率：椭圆有两个焦点，分别位于长轴上，与中心距离分别为c和-c，其中c满足a^2 = b^2 + c^2。
离心率e是一个描述椭圆形状的参数，计算公式为e = c/a。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆形状较扁；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆形状较细长。
3. 焦点和直径：椭圆上的任意一条直径都经过两个焦点之一。
直径长的一半等于长半轴的长度。
4. 弦和弦长：椭圆上的任意一条弦都经过椭圆中心。
弦长等于长轴的长度乘以sinθ，其中θ是弦与长轴之间的夹角。
5. 切线和法线：椭圆上的任意一点处的切线是通过该点并且与椭圆曲线相切的直线；法线是通过该点并且垂直于切线的直线。
6. 面积和周长：椭圆的面积为πab，其中π是圆周率；周长没有简洁的公式，可以通过数值积分来计算。
三、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
1. 天体运动：行星、卫星等天体的轨道大多为椭圆。
通过椭圆的参数方程，可以描述和预测天体的运动轨迹。
2. 电子轨道：原子中的电子围绕原子核的轨道也呈椭圆形。
椭圆的参数方程可以用来描述电子的运动状态。
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。
一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。
通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。
例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。
椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。
通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。
二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。
与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。
例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。
通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。
三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。
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椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
P ，π），A （a ，0）。
解得1cos =α（舍去），或222b a b cos -=α。
因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。
可转化为1e e 1122<-<-，解得21e 2>，于是1e 22<<。
故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，。
[截距法]解线性规划问题由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，则z b 为直线y a b x zb=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当b >0时，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。
（2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
例1. 设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。
解：如图1作出可行域，目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距，可见当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小z min =0。
图1例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。
解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313,）处取最大值，z max =⨯-⨯=31321313。
如何避免“分类讨论”“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。
但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。
现采撷几例，供参考。
一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数)(x f 是R 上的减函数，若对任意的]10(，∈x ，不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，求实数k 的取值范围。
解：0)2()(2>-+-+x x f kx f ，且)(x f 是R 上的奇函数，减函数，)2()(2+->∴x x f kx f得到22+-<x x kx （1）]10(，∈x ，可得12-+<x x k ，问题转化为只要k 小于12-+xx 的最小值即可。
令x x x h 2)(+=，因为)(x h 在（0，2）上是减函数，故当]10(，∈x 时， 显然有133)1()(min -<∴==k h x h ，，即2<k∴k 的取值范围为（-∞，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为02)1(2>++-x k x 在]10(，∈x 上恒成立问题，可令2)1()(2++-=x k x x g ，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：⎪⎩⎪⎨⎧><+0)0(021g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+≤0)21(1210k g k 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥+0)1(121g k 解得1-<k 或11<≤-k 或21<≤k ，从而求得k 的取值范围为（-∞，2）。
这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。
就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。
二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设10<<x ，0>a 且1≠a ，比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小。
分析：本例通常应分1>a 与10<<a 两种情况讨论，但运用换底公式消去a ，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。
解：运用作商比较法，10<<x ，x x ->+∴11，1111>+>-x x|)1(log ||)1(log ||)1(log |1x x x x a a -=+-∴+)1(log 1x x --=+111log 1>-=+xx|)1(log ||)1(log |x x a a +>-∴ 三、变换主元地位，避免分类讨论例3：设不等式0122<+--m x mx 对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立，求m 的取值范围。
分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x 的一元二次不等式，实质上是一个关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。
因此通过参数m 与未知数x 的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。
解：设)21()1()(2x m x m f -+-=，它是以m 为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当]22[，-∈x 时，线段在y 轴的下方，满足它的为 ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--<+--0122032222x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+->--<231231271271x x x 或 231271+<<+-x 四、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围。
分析：由函数的定义域知]22[]22[)1(，，，-∈-∈-m m ，但是m -1与m 到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么|)(|)()(x f x f x f ==-”，问题解答就简捷多了。
解：)(x f 是偶函数，|)(|)()(x f x f x f ==-∴，|)(||)1(|)()1(m f m f m f m f <-⇔<-又当]20[，∈x 时，)(x f 单调递减，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->-∴22212|||1|m m m m ，解得211≤≤-m点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。
值得深思。
活跃在空间图形中的轨迹问题在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。
而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。
本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。
1 判断轨迹的类型问题这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。
在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。
例1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。
因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D 。
引申1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分引申2 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）。
A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）。