椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用

大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的：

椭圆1b )y y (a )x x (2

2

0220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α

+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩

⎨⎧α+=α

+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。

一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

y x 2

2（20π

<α<），

22b a 4+，

例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2

1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。

解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。

则，α=+

⨯+α=++=cos 82110

21cos 12211x 21x x B A 3sin 42

119

21sin 6211y 21y y B A +α=+

⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩

⎨⎧+α=α

=3sin 4y cos 8x （α是参数），

消去参数得116

)3y (64x 2

2=-+。

三、求函数的最值

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2

2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），

则55

53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+α=

+-α+α=。 当5

3

arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5

3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。

P ，

π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2

22

b a b cos -=α。

因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112

2<-<-，解得21e 2

>

，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛122，。 [截距法]解线性规划问题

由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-

+，则z b 为直线y a b x z

b

=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：

（1）当b >0时，直线y a b x z

b

=-

+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z

b

=-

+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。

例1. 设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪

⎩

⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。

解：如图1作出可行域，目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距，可见当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小z min =0。

图1

例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪

⎩

⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。

解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以

z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313

,）处取最大值，z max =⨯-⨯=3132131

3。

如何避免“分类讨论”

“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题，深

刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。

一、运用最值思想，避免分类讨论

例1：奇函数)(x f 是R 上的减函数，若对任意的]10(，

∈x ，不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，求实数k 的取值范围。

解：0)2()(2>-+-+x x f kx f ，且)(x f 是R 上的奇函数，减函数，

)2()(2+->∴x x f kx f

得到22

+-

]10(，∈x ，可得12-+

-+x

x 的最小值即可。

令x x x h 2

)(+=，因为)(x h 在（0，2）上是减函数，

故当]10(，

∈x 时， 显然有133)1()(min -<∴==k h x h ，，即2

∴k 的取值范围为（-∞，2）

点评：按照常规思路，由（1）式转化为02)1(2

>++-x k x 在]10(，

∈x 上恒成立问题，可令2)1()(2++-=x k x x g ，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：