椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用

大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。

一般都是这样定义的：

椭圆1b )y y (a )x x (22022

0=-+-的参数方程是⎩

⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩

⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。

一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

例1 求椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b

y a x 22

22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2

0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。

ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，

当且仅当4

a π=时，22max

b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。

二、求轨迹

例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2

1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。

解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，）

，并且设M （x ，y ）。 则，α=+⨯+α=++=cos 82

11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42

11921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩

⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116

)3y (64x 2

2=-+。

三、求函数的最值

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。

解：点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53

4|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。 当5

3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5

3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。

四、求解有关离心率等入手比较困难的问题

例4 椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。

解：设椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A （a ，0）。

则a cos a 0sin b k cos a sin b k AP OP -α-α=αα=

，。而OP ⊥AP ， 于是1a

cos a 0sin b cos a sin b -=-α-α⋅αα，整理得0b cos a cos )b a (22222=+α-α- 解得1cos =α（舍去），或222

b

a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112

2<-<-，解得21e 2>，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛122，。