椭圆参数方程的应用
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
椭圆参数方程
椭圆参数方程椭圆是数学中一个重要的曲线，它有着许多特殊的性质和应用。
在这篇文章中，我将向大家介绍椭圆的参数方程及其几何性质，以及它在日常生活中的一些应用。
首先，让我们来了解椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a cos(t)y = b sin(t)其中，x和y是椭圆上的一个点的坐标，t是参数，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
可以看出，参数t的取值范围是[0,2π]。
接下来，我们将探讨椭圆的一些几何性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e = √(1 - b²/a²)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
离心率描述了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆接近于圆形，当离心率接近于1时，椭圆则非常扁平。
椭圆还有一个重要的性质是其焦点和准线。
椭圆的焦点是与椭圆上的每个点的距离之和等于常数2a的两个点。
椭圆的准线是位于焦点之间，并与椭圆平行的一组线段。
焦点和准线是椭圆的重要几何特征，它们可以帮助我们更好地理解椭圆的形状和性质。
除了几何性质外，椭圆还有一些重要的应用。
在日常生活中，我们可以发现椭圆的影子是一个常见的现象。
当太阳光照射到一个圆形物体上时，由于光线的投射角度的改变，所形成的影子就是一个椭圆。
这是由于椭圆的离心率决定了不同位置处光线到达地面的角度，从而造成了椭圆形状的影子。
此外，在工程领域中，椭圆也有着广泛的应用。
例如，在天线设计中，椭圆天线可以实现不同方向的辐射和接收信号。
椭圆形状的天线可以实现更广泛的覆盖范围和更高的接收灵敏度。
椭圆还被广泛应用于轨道运动的研究中。
在天体运动中，如果一个天体的轨道为椭圆形状，我们可以利用椭圆参数方程来描述和计算天体在不同位置的位置和速度。
当然，这需要一些高级的数学和物理知识，但椭圆方程提供了一个非常有用的工具。
总结起来，椭圆的参数方程提供了一种描述椭圆曲线的简洁和灵活的方式。
椭圆具有许多特殊的几何性质，例如焦点和准线，这些性质帮助我们更好地理解椭圆的形状和特征。
例谈如何运用参数方程解决椭圆问题
例谈如何运用参数方程解决椭圆问题作者：顾海荣来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第01期1.椭圆参数方程的构建引入问题:如图1,以坐标原点O为圆心,分别以a、b为半径作两个圆.点A是大圆上任意一点,点B是大圆半径与小圆的交点,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,再过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的轨迹的参数方程.(因为点A是主动点,点M是从动点,所以选择∠xOA为参数.)解:如图1,设∠xOA=θ,点M的坐标为(x,y),则即为参数).这就是点M轨迹的参数方程.图1通过以上的分析我们可知,直接消去参数θ,化参数方程为普通方程那么点M的轨迹是椭圆;而且利用“几何画板”对点M进行“跟踪”,也同时可以发现点M的轨迹确实是椭圆,所以椭圆的参数方程就是为参数).2.椭圆参数方程的应用以下我们通过几道例题综合来看椭圆的参数方程的具体应用情况.例1 已知P(x,y)在椭圆上,求u=2x一y的最大值.解析:设其中显然φ-∈Z.时例2 设椭圆和x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,求四边形OAPB面积最大值.解析:设椭圆在第一象限内任一点坐标为∈则四边形△△。
当且仅当时,四边形OAPB面积的最大值为22ab.3.综合分析例1、例2应用了椭圆参数方程的设法,以及化一个角的一个三角函数的方法求出最值.这样的方法在其他一些题目中也经常会涉及,我们在学习过程中应当注意总结类比,熟练掌握.特别在椭圆中求最值,椭圆的参数方程具有一定的优越性,这一点值得我们注意.通过以上几例,我们看到,在解决有关椭圆的题目时,椭圆的参数方程为我们的解题开辟了另外一种途径,所以在平时的学习中,我们不但要熟悉椭圆的标准方程、几何性质,在解决部分题目的时候也不要忘了我们还可以运用椭圆的参数方程.关于椭圆的一些题目,不仅考查学生的数学基础知识,也是对综合数学素质的检测.所以我们在学习和研究时,不单单只是掌握椭圆的参数方程,还要运用椭圆的参数方程灵活快速解决一些问题。
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
椭圆弦长计算公式
椭圆弦长计算公式椭圆是数学中一种重要的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
在椭圆的研究中，椭圆弦长是一个重要的参数。
本文将介绍椭圆弦长的计算公式及其应用。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆有许多特殊的性质，例如，它是一个闭合曲线，具有对称性等。
二、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数，取值范围为0到2π。
三、椭圆弦长的定义椭圆弦长是椭圆上两点之间的弧长。
为了方便计算，我们可以将弦长表示为两个参数θ1和θ2对应的弧长之差。
四、椭圆弦长的计算公式根据椭圆的参数方程，我们可以得到两点在椭圆上的坐标为：(x1, y1) = (a*cosθ1, b*sinθ1)(x2, y2) = (a*cosθ2, b*sinθ2)椭圆弦长可以表示为：L = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)带入坐标的值，可以得到椭圆弦长的计算公式：L = √(a²*cos²θ1 - 2*a*cosθ1*a*cosθ2 + a²*cos²θ2 + b²*sin²θ1 - 2*b*sinθ1*b*sinθ2 + b²*sin²θ2)五、椭圆弦长的应用椭圆弦长在实际中有许多应用。
例如，在建筑设计中，椭圆形的建筑物常常需要计算弦长来确定材料的用量。
在航天工程中，椭圆轨道的计算也需要用到椭圆弦长。
此外，椭圆弦长还可以用于计算椭圆的周长和面积等参数。
椭圆弦长的计算公式可以通过数学推导得到，这里不再详述。
但需要注意的是，椭圆弦长的计算公式中包含了椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此在使用时需要先求出椭圆的长半轴和短半轴的值。
七、椭圆弦长计算的注意事项在实际计算中，需要注意椭圆弦长的计算精度。
从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用
从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用
作者：邱尚程
来源：《新课程·中旬》2016年第05期
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一。
根据考纲的要求，理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容，对双曲线是了解的内容；文科只对椭圆是掌握的内容，对双曲线、抛物线是了解的内容。
纵观福建近几年来的高考也可以看出这一点，椭圆是高考必考的内容，其次是抛物线，考得最少的是双曲线。
而数学的核心问题又是最值问题，数学中的最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，它在高考中的地位十分突出。
最值问题可以通过各种知识作为背景进行考查，涉及高中数学的主干知识与方法，要求考生有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力。
从而可以理解椭圆问题的最值问题在高考中的重要地位。
而椭圆的参数方程因为其特点，可以把圆锥曲线中最值问题的复杂的计算转变成三角函数最值计算，从而可以大大减少计算过程和强度，是解决椭圆最值问题一个很重要的而且是很巧妙的手段。
下面我从2009年福建高考数学（文史类）的22（压轴）题，浅谈椭圆参数方程在椭圆最值中的巧妙应用。
2009年福建高考数学（文史类）22.（本小题满分14分）
从第二步的最值问题用普通方程和用参数方程来比较，显然参数方程的计算量远远小于普通方程的计算量，从而提高答题的正确率。
由此可见，椭圆的参数方程在解决椭圆的最值问题中有很明显地减少计算的作用，因此在解决相关的椭圆的最值问题的时候可以优先考虑椭圆的参数方程。
编辑谢尾合。
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：① 椭圆22221x y a b+=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数方程,且0). ②椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数且 在利用 cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩研究椭圆问题时，这时椭圆上的点的坐标可记作（cos ,sin a b θθ），结合直角坐标同时并用，常常很方便，下面举例说明椭圆参数方程的应用。
1、求轨迹方程例1 已知椭圆方程为22221x y a b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程。
解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0).则P 点坐标为（ cos ,sin a b θθ ），由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=+ 2sin cos A P b k a a θθ=- ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ--==- ∴A 1Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ+-+ ① A 2Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ--- ② ①×② ，得22222(cos 1)sin a y b θθ-=·(x 2－a 2)=－22a b (x 2－a 2) . 化简整理，得224221(0),x y a ab λ+=≠即为所求的轨迹方程。
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。
在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
二、极坐标方程椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。
在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。
椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。
通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。
当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
三、应用椭圆具有许多重要的应用。
在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。
例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。
在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。
例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。
椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。
椭圆还广泛应用于工程学和计算机图形学。
在工程学中，椭圆常被用作设计轮胎、齿轮等机械零件的基础。
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」1.行星轨道椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳的轨道。
根据开普勒第一定律，行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过给定行星的离心率、半长轴和焦点的位置，可以得到行星在任意时间的位置。
这种方法对于研究行星运动和预测行星位置等方面有重要的应用。
2.船只的航海问题在船只的航海问题中，船只从A点出发经过几个固定的轨迹点到达B 点。
如果船只的航行速度和方向是已知的，可以用椭圆的参数方程来描述轨迹。
这样可以帮助船只确定航线，避免与障碍物相撞。
3.天文测量在天文学中，使用椭圆参数方程可以描述行星、彗星和其他天体的轨道。
通过观测这些天体的位置和运动，并将其拟合到椭圆参数方程中，可以得到更精确的轨道参数，进而研究行星和天体的物理特性。
4.反射镜和抛物面反射椭圆是反射镜和抛物面反射的基础。
抛物面可以被看作是椭圆沿着一个焦点方向拉伸而形成的。
椭圆的参数方程可以用来描述反射镜的形状，使得光线可以聚焦到一个点上。
这种技术在望远镜、摄影镜头等光学仪器中有着广泛的应用。
5.电子轨道在量子物理中，电子围绕原子核的轨道也可以用椭圆参数方程来描述。
这种描述方法可以帮助研究和理解电子在原子中的分布和运动。
通过椭圆参数方程，可以计算电子的能级、轨道半径等物理参数，对于研究原子结构和化学键等方面有重要的应用。
以上是椭圆参数方程的几个应用。
椭圆作为一个重要的数学概念，在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
椭圆参数方程作为椭圆的数学描述方法，可以帮助我们更准确地描述和计算各种现象，深化对椭圆曲线的理解，提高数学应用能力。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
椭圆是一种抛物线。
它由两个有限点组成，这些点称为焦点，椭圆的形状由两
个焦点和一个有限的线的距离共同决定。
椭圆的参数方程表示的就是椭圆的几何形状，这往往可以帮助我们判断椭圆的性质。
椭圆的参数方程一般形式为x²/a²+y²/b²=1，其中a，b分别为两个焦点之间
的距离，a>b，a,b>0。
利用椭球面和平面相截得到的椭圆可以利用这个方程来表示：x²/a²+y²/b²=1，其中a,b分别为两个焦点之间的距离。
椭圆参数方程的应用十分广泛，比如在数学计算中应用椭圆可以更容易地计算
椭球面和平面的交点，椭圆参数方程在天文学中也有应用，它可以帮助我们求解太阳系中行星的轨道。
此外，椭圆参数方程也可以用于图像处理，可以利用椭圆参数方程计算图像中
物体轮廓的拟合，从而实现图像的识别处理等。
总之，椭圆的参数方程可以用于科学计算，天文学研究，图像处理等多个领域，也可以用来简化复杂的数学模型，为研究者提供有用的工具。
谈谈椭圆参数方程的应用技巧
解题宝典中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为{x =a cos α,y =b sin α,α为参数；中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆的参数方程为{x =b cos α,y =a sin α,α为参数，其中a 是椭圆的长半轴长、b 是短半轴长，α∈R .利用椭圆的参数方程可以将椭圆上任意一点的坐标用参数和三角函数式表示出来，如()a cos α,b sin α、()b cos α,a sin α.对于与椭圆上的动点有关的距离、角度、面积、周长的最值问题，运用椭圆的参数方程，可使问题快速获解.在解答与动点有关的椭圆最值问题时，可先将椭圆的普通方程化为参数方程，然后设出动点的坐标，将其代入两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、弦长公式等中，即可得到关于参数α的三角函数式，通过恒等变换将其化简，便可直接运用三角函数的有界性、单调性，求得最值.例1.求椭圆x 24+y 2=1上的点P 到直线l :x -y -25=0的最小距离.解：将椭圆的方程x 24+y 2=1化为{x =2cos α,y =sin α,α是参数，设点P 的坐标为（2cos α,sin α）,则点P 到直线l 的距离d =5=5sin(5，而≤1，所以5≤||5sin(α+φ)-25≤35,因此点P到直线l 的最小距离为d min ==首先将椭圆的方程化为参数方程，用参数表示出P 点的坐标，即可根据点到直线的距离公式求得P 点到直线的距离的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性，就能求得距离的最小值.例2.求椭圆x 29+y 24=1上的点P 与点Q (1,0)之间距离的最小值.解：将椭圆的方程化为{x =3cos α,y =2sin α,α为参数，设点P 的坐标为（3cos α,2sin α）,则||PQ =(3cos α-1)2+(2sin α)2=当cos α=35时d 最小，||PQ min 即||PQ 的最小值为根据椭圆的参数方程设出椭圆上的点P 的坐标，便可根据两点间的距离公式求得PQ 的距离，然后利用三角函数、二次函数的单调性求解即可.例3.求椭圆x 24+y 23=1的内接矩形的最大面积.解：将椭圆的方程化为ìíîx =2cos α,y =3sin α,α为参数，取椭圆的内接矩形在第一象限内的顶点P ，设其坐标为（2cos α,3sin α）,其中α为锐角，则椭圆的内接矩形的长为4cos α,宽为23sin α,其面积为4cos α∙23sin α=43∙2sin αcos α=43sin 2α,而2α∈(0,π)，则sin 2α∈(0,1],所以43sin 2α∈(0,43],所以当2α=π2，即α=π4时，椭圆的内接矩形的最大面积为43.将椭圆的方程化为参数方程，并设出内接矩形在第一象限内的点的坐标，就能根据椭圆的对称性快速求得矩形的长、宽与面积的表达式，进而根据正弦函数的单调性求得面积的最值.由于椭圆的参数方程中的参数是与角相关的量，所以运用椭圆的参数方程解答与动点有关的椭圆最值问题，就需将问题转化为三角函数问题.在求得目标式后，再灵活运用三角函数中的基本公式、性质来辅助解题.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）贾淑婵43。
443第2课时圆椭圆的参数方程的应用
第2课时圆、椭圆的参数方程的应用i •能用曲线的参数方程去研究曲线的性质.2•会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.［基础初探］1. 圆的参数方程x= a+ rcos a圆的参数方程的常见形式为彳（a为参数）.其中，参数a的y= b+ rsi n a几何意义是以圆心A（a, b）为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角.2. 椭圆的参数方程x= acos 0,椭圆的参数方程的常见形式为（0为参数）.y= bsin 0［思考探究］1. 椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？2 2【提示】椭圆+治=i（a>b>0）和圆x2+ y2= r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同.2 2椭圆字+ y2=1可以变成圆x，2+ 丫2= 1.利用圆x' 2+ y' 2= 1的参数方程2 2（©是参数）可以得到椭圆a2+ b2= 1的参数方程d= :-_:—|2cos 0+ 3sin (—7|.132. 椭圆的参数方程中参数 ©的几何意义是什么?【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令a x ，1 by ，X ’ = cosx= acos- （©是参数）•因此，参数©的几何意义应是椭圆上任意一点M所y= bsin © 对应的圆的半径0A（或0B）的旋转角（称为离心角），而不是0M的旋转角，如图.［质疑手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问2: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问3: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问4：____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________在圆x2+ 2x+ y2= 0上求一点，使它到直线2x+ 3y—5= 0的距离最大.【自主解答】圆的方程x2+ 2x+ y2= 0可化为（x+ 1）2+ y2= 1，所以设圆的x=—1 + cos 0,参数方程为［y= sin 0设P( — 1 + cos 0, sin 0,则点P到直线2x+ 3y—5= 0的距离为|2 —1 + cos 0 + 3sin 0—5|=| 13sin 7|(其中sin a=耆；13.13即点P (—1—2133,—翠弓即为所求. ［再练一题］1.已知点P(x , y)在圆X 2 + y 2A 1上，求X 2 + 2xy + 3y 2的最大值和最小值.22l x =cos a 【解】 圆x + y = 1的参数方程为j( a 为参数).y = sin a2 2 2 . . 2.'x + 2xy + 3y = cos a+ 2cos osin a+ 3sin a1 + cos 2a 1 — cos 2a =2 + sin 2 a+3 x =2+ sin 2 a — cos 2a = 2+ 2si n(2 则当 a k n+)时，x 2 + 2xy + 3y 2取最大值为2+ 2,当 a kn — 8(k^Z )时，x 2 + 2xy + 3y 2 取最小值为 2— 2.适______________ 椭圆参数方程的应用已知实数x , y 满足3x + 2y = 6x ,求：(1) x + y 的最大值；(2) x 2 + y 2的取值范围.【导学号：98990035】【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x 2 + 2y 2 = 6x 可以表示 一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解.COS a= 3\j1313)• 当 sin( 0+ a = 一 1,3n0+ a= ~2,3 n即0="2 —a 时，d 取到最大值 13+ 7,13 13 ,此匕时—1 + cos A — 1 — 2,1313，y = sin 0= —3 1313，冗2【自主解答】 方程3x 2+ 2y 2= 6x ,即(x - 1)2+卷=2所以x + y 的最大值为1 +弓0=1 +2cos 0+ cos 2 0+ 3sin 2 A |-goW 0+ 2cos 0=因为 cos 旳一1,1］，所以 0W X 2 + y 2<4.x = acos 6,利用椭圆的参数方程* （6是参数）,将问题转化为三角函数问题y= bs in 6处理.［再练一题］x = acos 6,2 •在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为'「.（6为参数，$= bs in 6a>b>0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中,直线I 与圆O 的极坐标方程分别为 p in ：0+nn=22m （m为非零常数）与 p= b.若直线I 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的 离心率为 ___________ .2 2【解析】 由已知可得椭圆标准方程为 拿+浮=1（a>b>0）.由p in 0+ 4 = "2^m 可得 p in 0+ p os 0= m ,即直线的普通方程为 x + y = m.又圆的普通方程为x 2+ y 2= b 2,不妨设直线I 经过椭圆C 的右焦点（c,0）,则得 c = m.又因为直线I 与圆O 相切，所以黑=b ,因此c ={2b,即c 2= 2（a 2-c 2）.整第4页x = 1 + cos0, 1.设；sin （ 0+ a （其中 tan 尸中, 旳0,2 n.))(2)x 2 + y 2 = (1 + cos 02+ ( ： ；sin 0)2*cos 0- 2)2+ 2,^sin 0.=1 +(1)x + y = 1 + cos 0+；sin 0【答案】-3［真题链接赏析］2 2f 岳(教材第47页例1)如图445，已知M 是椭圆鈴b 2- 1(a > b > 0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0, b)是椭圆的两个顶点，0为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值.图 4-4-5x - 1+*在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参数方程为x — cos 0, (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为 c . (0为参数).设直线I 与椭圆C 相比—2si n 0 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【命题意图】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、 参数方程与普通方程的 互化以及直线与椭圆的位置关系等. 能力：通过参数方程与普通方程的互化及求 线段AB 长的过程，考查了运算求解能力.2【解】 椭圆C 的普通方程为X 2 +诗-1.X —将直线I 的参数方程［y -即 7t 2 + 16t -0，16 16-0，t 2- —所以 AB - |t 1 —12|-〒.1.已知圆的方程为x 2 + y 2-4x ，则它的参数方程是理, 得 a 2- 3 故椭圆C 的离心率为e -解得t 1 1+|t ，【解析】 X + y 2 = 4x 可化为(x — 2)2 + y 2 = 4, •••圆心为(2,0)，半径r = 2.x = 2+ 2cos 0,•••参数方程为』 (0为参数，0W 0<2n)y = 2s in 0x= 2 + 2cos 0,【答案】(0为参数，0W 0V 2n)y = 2sin 0x = 3^/2COS 6,2 •椭圆 厂(©为参数)的焦距是 _________ .y= 2^3si n 6【解析】 根据参数方程，可知a = 3 2, b = 2 3. ••c — ：‘3 '22- 2 . 3 2 ―：18— 12= 6, •••焦距为2c = 2 6. 【答案】 2 623.椭圆—+ y 2 = 1上的点到直线x —y + 6 = 0的距离的最小值为 _________ .【导学号：98990036】设P(U3COS 0, sin 0)是椭圆上的点，则点 P 到直线x — y + 6= 0 的距离当cos(0+ 6) = — 1时，d 取到最小值，最小值为2 2. 【答案】 2 24.点P(x ,y)在圆(x — 1)2 + (y — 1)2 = 1上运动，则3x + 4y 的最大值为 _____ ,【解析】 | '3cos 0- sin 0+ 6|n|2cos0+ 6+ 6|y的最小值为x【解析】 设 x = 1 + cos 0, y = 1 + sin 0,3所以 3x + 4y = 7+ 3cos 0+ 4sin 0= 7+ 5sin( 0+ a (其中 sin a= 5, 所以当sin(0+ a= 1时，3x + 4y 取到最大值12.y 1+ sin 0设 t == ，贝U sin 0— tcos 0= t — 1,x1+cos 0 从而寸 1 +12sin(0- a = t — 1(其中 sin a= / t 2,\/1+11t — 1cos a=— 7 —2),2= sin (0—a,+1 ：1+1【答案】 12 0我还有这些不足：(1) ____________________________________________________⑵ ____________________________________________我的课下提升方案：(1) ____________________________________________________⑵ ____________________________________________t — 1 所以” t 2三1,解得t >0,即x 的最小值为0.入。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用黄亦虹;许庆祥【摘要】设E:x2/a2+y2/b2+z2/c2=1为一个椭球面,P:p x + q y + r z=d为一个平面.利用Householder变换,证明了E和P相交当且仅当λ≥| d |,其中λ=√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.当λ＞| d |时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线e一定是椭圆,并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线e的参数方程,给出了由e所围成的内部区域的面积公式,进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用,又给出了交线e成为一个圆的充要条件.%Let E:x2/a2+y2/b2+z2/c2 =1 be an ellipsoid and P:p x + q y + r z =d be a plane.Based on the Householder transformation,it is shown that the intersection E ∩ P is nonempty if and only if λ ≥ | d|,where λ =√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.When λ ＞ | d|,this paper provides a new proof that the intersection curve e of E and P is always an ellipse,and in this case a new parametric equation of e is derived.Based on the obtained parametric equation of e and Stokes formula,we derive a formula for the area of the region bounded by e,and compute its semi-major axis and semi-minor axis.As an application,we get necessary and sufficient conditions for e to be a circle.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(047)001【总页数】7页(P24-30)【关键词】椭球面;平面;参数方程;Householder变换;Stokes公式【作者】黄亦虹;许庆祥【作者单位】上海应用技术大学理学院,上海201418;上海师范大学数理学院,上海200234【正文语种】中文【中图分类】O13;O1721 IntroductionThroughout this paper,,+ and m×n are the sets of t he real numbers,the positive numbers and the m×n real matrices,respectively.The notation n×1 is simplified to n.For any A∈m×n,its transpose is denoted by AT.Let In be the identity matrix of order n.Much attention is paid to the very popular topic of the intersection curve of an ellipsoid and a plane[1-3].Yet,little has been done in the literatures on the application of the Householder transformation and the Stokes formula to this topic,which is the concern of this paper.Let E be an ellipsoid and P be a plane defined respectively by(1)where a,b,c∈+ and p,q,r,d∈ such that p2+q2+r2≠0.It is known that the intersection curve of E and P is always an ellipse,and much effort has been made in the study of the semi-axes of .Yet,due to the complexity of computation,it is somehow difficult to derive explicitformulas for the semi-axes of .The key point of this paper is the usage of the Householder transformation to derive a new parametric equation of ,together with the application of the Stokes formula to find the area |S| of the region bounded by ;see Theorem 2.4 and Corollary 2.5.Another point of this paper is the characterization of the parallel tangent lines of ,which is combined with the obtained formula for |S| to deal with the semi-axes of .As a result,explicit formulas for the semi-major axis and the semi-minor axis of are derived;see Theorem 2.6.As an application,necessary and sufficient conditions are derived under which is a circle.2 The main resultsLet v∈n be nonzero.The Householder matrix Hv as sociated to v is defined byn×n.(2)It is known[4] that HvT=Hv and HvTHv=In,i.e.,Hv is an orthogonal matrix.Due to the following property, the Householder matrix is of special usefulness.Lemma 2.1 Let x,y∈n be such that x≠y and xTx=yTy.ThenHv(x)=y,where v=x-y.(3)Theorem 2.2 Let E and P be given by (1).Then =E∩P≠Ø if and only ifλ≥|d|,where λ is defined by(4)Proof Let λ be defined by (4).Firstly,we consider the case that p2+q2>0. Let w1=(ap,bq,cr)T and w2=(0,0,λ)T.Then clearly,w1≠w2 and w1Tw1=w2Tw2,so by Lemma 2.1 we haveHvw1=w2,where v=w1-w2.(5)Let(6)Then by (1),(5) and (6),we have(7)d(8)It follows from (7) and (8) that(9)This means E∩P is nonempty if and only if λ≥|d|,where λ is defined by (4). Secondly,we consider the case that p=q=0.In this case,we have r≠0.It follows directly from (1) thatthus the conclusion also holds.The following result is well-known,yet its proof presented below is somehow new.Theorem 2.3 Let E,P and λ be given by (1) and (4) respectively such that λ>|d|. Then the intersection curve =E∩P is always an ellipse.Proof It needs only to consider the case that p2+q2>0.Letw3=(p,q,r)T,w4=(0,0,)T,v1=w3-w4 and Hv1 be the Householder matrix defined by (2) which satisfies Hv1w3=w4.Let(x,y,z)T=Hv1(x1,y1,z1)T.(10)Thend=w3T(x,y,x)T=w3T Hv1(x1,y1,z1)T=w4T(x1,y1,z1)T=z1.Therefore,(11)It follows from (1),(10) and (11) that(12)where A=Hv1THv1 is positive definite.Let A be partitioned as A=,whereA1∈2×2 is positive definite since A is.Then from (12) we get(x1,y1)A1+λ1 x1+λ2 y1+λ3=0 for some λi∈,i=1,2,3,which represents an ellipse in x1y1- plane since A1 is positive definite.This observation together with (11) yields the fact that in the x1y1z1- coordinate system,the equation of the intersection curve represents an ellipse.The conclusion then follows from (10) since Hv1 is an orthogonalmatrix.Theorem 2.4 Let E,P and λ be given by (1) and (4) such that λ>|d|.Then a parametric equation of the intersection curve =E∩P can be given fort∈[0,2π] as follows:(13)Proof We only consider the case that p2+q2>0.By (2) and (5) we obtain(14)Furthermore,by (8) and (9) we get(15)Eq.(13) then follows from (6),(14) and (15).An application of Theorem 2.4 is as follows.Corollary 2.5 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then the area |S| of the region S bounded by can be formulated by(16)where λ is defined by (4).Proof Let (cos α,cos β,cos γ) denote the unit normal vector of the plane P,where(17)We may use the Stokes formula to get|S|=± ○ z cos βdx+x cos γdy+y cos αdz,(18)where ± is chosen to ensure that the right side of (18) is non-negative.Note thatsin tdt=cos tdt=sin t cos tdt=0,(19)sin2tdt=cos2tdt=π.(20)Therefore,by (13),(4),(19) and (20) we obtain○(21)○(22)○(23)Formula (16) then follows from (17)-(18) and (21)-(23).Consider the calculation of I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane x+y+z=0.In view of the symmetry,a solution can be carried out simply asObviously,the method employed above only works for the symmetric case.As shown by Example 2.1 below,the parametric equation (13) is a useful tool to deal with the non-symmetric case.Example 2.1 Evaluate I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane px+qy+rz=d.Solution We follow the notations as in the proof of Theorem 2.2.Sincea=b=c=R,Eq.(6) turns out to be(x,y,z)T=Hv (x1,y1,z1)T,which is combined with (15) to getIn view of the first equation of (13) and (19)-(20),we haveI=○(24)and μ is given by(25)Note that(26)so we may combine (24)-(26) to conclude thatI=○where λ is given by (24).Now,we turn to study the semi-axes of the ellipse given by (13).LetP(t)=(x(t),y(t),z(t)) be a point in .Then we havewhere λ is given by (4).Suppose that P(t1) and P(t2) are two different points in such that the tangent lines at these two points are parallel,thenthere exists a constant μ such that x′(t2)=μx′(t1),y′(t2)=μy′(t1) and z′(t2)=μ z′(t1);or more precisely,It follo ws from (27) and (29),(28) and (29) that sin t2=μ sin t1 and cos t2=μ cos t1.Therefore,1=sin2t2+cos2t2=μ2 (sin2t1+cos2t1)=μ2,hence μ=-1 since P(t1)≠P(t2),and thus P(t2)=P(t1+π).The observation above indicates that(30)where max,min denote the semi-major axis and the semi-minor axisof ,respectively,and(31)where g(t) is given by(32)as cos2t=,sin2t= and sin t cos t=,where(33)By (4) we have[(λ(cr-λ)+(ap)2)2+(abpq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[(ap)2+(bq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[λ2-(cr)2]=(cr-λ)2[λ2-(ap)2].(34)Similarly,we have[(abpq)2+(λ(cr-λ)+(bq)2)2]=(cr-λ)2[λ2-(bq)2].(35)We may combine (4) with (33)-(35) to conclude thatA=[(ap)2(b2+c2)+(bq)2(c2+a2)+(cr)2(a2+b2)].(36)Theorem 2.6 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1), and max and min be the semi-major axis and the semi-minor axis of .Thenwhere λ and A are defined by (4) and (36).Proof It follows from (30)-(32) that(37)(38)which means that the area |S| of the region S bounded by is equal toThe above equation together with (16) yieldsB2+C2=A2-λ2 (abc)2(p2+q2+r2).The conclusion then follows by substituting the above expression forB2+C2 into (37) and (38).A direct application of the preceding theorem is as follows.Corollary 2.7 Suppose that a>b>c>0.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1),and =(cos α,cos β,cos γ) be the unit normal vector of P with cos α,cos β and cos γ given by (17).Then is a circle if and only if either ‖ or ‖,whereProof Let λ and A be defined by (4) and (36).By direct computation,we haveθ4A2-4λ2 (abc)2(p2+q2+r2)=[(cr)2(a2-b2)-(ap)2(b2-c2)]2+(bq)4(a2-c2)2 +2(abpq)2(a2-c2)(b2-c2)+2(bcqr)2(a2-c2)(a2-b2).Since a>b>c,by Theorem 2.6 we know that is a circle if and only ifθ=0.Equivalently, is a circle if and only if⟺The result stated below follows immediately from the proof of Corollary 2.7.Corollary 2.8 Suppose that a,b,c∈+ such that a=b≠c.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then is a circle if and only if p=q=0.References:[1] Abramson N,Boman J,Bonnevier B.Plane intersections of rotational elliposids [J].American Mathematical Monthly,2005,113:336-339.[2] Ferguson C C.Intersections of ellipsoids and planes of arbitrary orientation and position [J].Mathematical Geology,1979,11:329-336. 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椭圆以焦点的参数方程
椭圆以焦点的参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种重要几何图形，具有许多独特的性质和应用。
在几何学中，椭圆可以通过焦点和直线段之间的距离之和等于常数的性质来定义。
本文将介绍椭圆以焦点的参数方程，探讨其定义、性质和应用。
2. 椭圆的定义和参数方程椭圆可以通过焦点和直线段之间的距离之和等于常数的性质来定义。
假设焦点为F1和F2，直线段之间的距离之和为2a，椭圆上的任意一点P到焦点的距离之和为PF1 + PF2 = 2a。
椭圆的参数方程可以表示为： x = a cos(t) y = b sin(t)其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴，t为参数。
3. 椭圆的性质3.1. 焦点和直线段之间的距离之和根据椭圆的定义，焦点F1和F2到椭圆上的任意一点P的距离之和为常数2a。
这个性质可以用参数方程来证明。
首先，计算椭圆上一点P的坐标(x, y)到焦点F1和F2的距离之和： PF1 + PF2 = sqrt((x - a)^2 + y^2) + sqrt((x + a)^2 + y^2)将参数方程代入上式，得到： PF1 + PF2 = sqrt((a cos(t) - a)^2 +(b sin(t))^2) + sqrt((a cos(t) + a)^2 + (b sin(t))^2) = sqrt(a2cos^2(t) - 2a2cos(t) + a^2 + b^2sin^2(t)) + sqrt(a2cos^2(t) + 2a2cos(t) + a^2 + b^2sin^2(t)) =sqrt(a2(cos^2(t) + sin^2(t)) + b^2(sin2(t) + cos^2(t))) + sqrt(a2(cos^2(t) + sin^2(t)) + b^2(sin2(t) + cos^2(t))) = sqrt(a^2 + b^2) + sqrt(a^2 + b^2) = 2sqrt(a^2 + b^2)根据上述计算可知，焦点F1和F2到椭圆上的任意一点P的距离之和为常数2a。
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。
一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。
通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。
例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。
椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。
通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。
二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。
与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。
例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。
通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。
三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。
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椭圆参数方程的应用
【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线
C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x
＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).
在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2
＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．
(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用
【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线
C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.
(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.
(1)求曲线C 的参数方程；
(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.
曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)． (2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，
化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2或
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．
1．化参数方程为普通方程的方法
消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．
2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数) 当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．
3．圆与椭圆的参数方程的异同点
(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．
(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。