椭圆的参数方程(含答案)

椭圆的参数方程

教学目标：

1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；

2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分

析问题和解决问题的能力。

3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：椭圆的参数方程。

教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.

教学方式：讲练结合，引导探究。

教学过程：

一、复习

焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b

+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22

221(0)y x a b a b

+=>> 二、椭圆参数方程的推导

1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程

因为22()()1x

y a b +=，又22

cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩

，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数ϕ的几何意义

问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半

径作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。

过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求

当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.

解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角ϕ

的终边上，由三角函数的定义有

||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是

a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。

()

ϕ为参数

思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗

由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。参数θ是半径OM 的旋转角。

3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程

2222y 1,b a x += 三、例题分析

例1.把下列普通方程化为参数方程.

变式： 把下列参数方程化为普通方程

例2. 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>,求椭圆内接矩形面积的最大值. 解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos ,sin )a b θθ

4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤Q 矩形

()224

k k Z S ab ππθ∴=+∈=矩形当时，最大。 所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab

22

1210094

x y M M x y +=+-=在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求例3、出最小距离

cos y a sin x b ϕϕ

=⎧⎨=⎩()

θ为参数22(1)149x y +=22

(2)116y x +=2264100(4)1

y x +=22925(3)1y x +={2cos (1)3sin x y θθ

=={cos (2)4sin x y θθ==3cos (4)5sin x y ϕϕ

=⎧⎨=⎩8cos (3)10sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩

解：因为椭圆的参数方程为3cos y 2sin x ϕϕ=⎧⎨=⎩

（ϕ为参数） 所以可设点M 的坐标为(3cos ,2sin )ϕϕ。

由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为

222(,)23122P x y x y x y +=+变式、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。

22

1,64

6{(02)2sin 264sin 22)

cos()[1,1]

2[22,22]

x y x y x y x y θ

θθπθθθθϕθϕ+==≤<=+=+=--∈-∴+∈-Q Q 解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为

为参数，

四、课堂练习

4cos {()()3

1x P y OP O P θ

θθπ==是椭圆为参数上一点，且在第一象限，

为原点的倾斜角、为，则点的坐标为

(2,3),A B 、

(4,3)C D 、、 答案：B

22tan 33sin 2cos sin cos 1,cos 55

4cos OP OP y OP k k x P x y ππθθ

θθθθθθ∴=====∴=+=∴======Q 解：的倾斜角为又且点在第一象限从而有

2224cos 2sin 3cos 0,()____________________?2.x y x y θθθθ+--+=已知圆的方程为为参数，

那么圆心的轨迹的普通方程为

222222

24cos 2sin 3cos 0(2cos )(sin )1

2cos {()1sin 4

x y x y x y x x y y θθθθθθθθ+--+=-+-==+==解：方程，可以化为所以圆心的参数方程为为参数，化为普通方程是

五、课堂小结：

本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题， 1. 椭圆19

162

2=+y x 的内接矩形的最大面积是__________________. 2. 已知A 、B 是椭圆14

92

2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大

.

3、 已知实数x 、y 满足，求116

252

2=+y x z ＝x ＋2y 的最大值与最小值