椭圆的参数方程

第 二 讲
二 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程
课前预习 巧设计 1. 椭 圆 的 参 数 方 程
考点一
名师课堂 一点通
考点二
考点三
创新演练 大冲关
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[读教材· 填要点] 椭圆的参数方程 x2 y 2 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆a2＋b2＝1 的参数方程是 x＝acos φ y＝bsin φ (φ 是参数)，规定参数 φ 的取值范围是 [0,2π) ．
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[悟一法]
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：
(1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；
(3)借助三角函数的知识求最值．
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[通一类] x2 y2 1．已知实数 x，y 满足25＋16＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大 值与最小值．
x＝5cos φ， x2 y2 解：椭圆25＋16＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝4sin φ
(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2.正方形 ABCD 的 顶点都在 C1 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极 π 坐标为(2，3)．
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(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取 值范围．
即|OP|· |OQ|＝4 为定值．
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[悟一法] (1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于 计算或证明． (2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．
[通一类]
x＝acos θ， 3．求证：椭圆 y＝bsin θ
(a>b>0)上一点 M 与其左焦点 F 的距
[通一类] x2 y2 2．设 F1、F2 分别为椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦 点．
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3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1，2)到 F1，F2 的距离之和等于 4，写出椭 圆 C 的方程和焦点坐标； (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹 方程．
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[小问题· 大思维] y2 x2 1．中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆a2＋b2＝1 的参数方程是什 么？
y 2 ＝ sin φ， 2 a 提示：由 2 x2＝cos 2φ， b
x＝bcos φ 即参数方程为 y＝asin φ
2
x＝bcos φ， 得 y＝asin φ.
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[研一题] [例 3] x2 2 已知椭圆 4 ＋y ＝1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴
两端点 B1、B2 的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点，求证：|OP|· |OQ| 为定值．
[精讲详析]
本题考查椭圆的参数方程的求法及应用． 解答本
题需要先确定 B1、B2 两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出 M 点的坐标，然后用参数表示出|OP|· |OQ|即可． 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
代入目标函数得 z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos (φ＋φ0) 8 ＝ 89cos (φ＋φ0)(tan φ0＝5)． 所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
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[研一题] [例 2] x2 y2 已知 A， B 分别是椭圆36＋ 9 ＝1 的右顶点和上顶点，
动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程．
(φ 为参数)．
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x＝rcos θ 2．圆的参数方程 y＝rsin θ
中参数 θ 的意义与椭圆的参数方程
中参数 φ 的意义相同吗？
x＝rcos θ， 提示：圆的参数方程： y＝rsin θ
(θ 为参数)中的参数 θ 是动点 M(x，y)的旋转角，但在椭圆的
x＝acos φ， 参数方程 y＝bsin φ
(φ 为参数)中的参数 φ 不是动点 M(x，
y)的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 OA＝a(或 OB＝b) 的旋转角，称为离心角，不是 OM 的旋转角．
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[研一题] [例 1] x2 y2 已知椭圆100＋64＝1 有一内接矩形 ABCD，求矩形
ABCD 的最大面积．
[精讲详析]
本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答
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椭圆的参数方程及参数方程在求最值中的应用，是高考模拟 的重点考查对象，2012 年新课标全国卷以解答题的形式考查了椭 圆参数方程在求最值中的应用，是高考模拟命题的一个新动向． [考题印证] (2012· 新 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是
x＝2cos φ， y＝3sin φ，
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sin φ＋1 则 MB1 的方程：y＋1＝ 2cos φ · x， 2cos φ 令 y＝0，则 x＝ ， sin φ＋1
2cos φ 即|OP|＝ 1＋sin φ.
sin φ－1 MB2 的方程：y－1＝ 2cos φ x，
2cos φ ∴|OQ|＝ 1－sin φ. 2cos φ 2cos φ ∴|OP|· |OQ|＝ × 1＋sin φ 1－sin φ＝4.
[ 精讲详 析 ]
本 题考查椭圆的参数方程及轨迹方 程 的 求
法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即 C 点的坐标，然后 利用重心坐标公式表示出重心 G 的坐标即可求得轨迹． 由题意知 A(6,0)、B(0,3)．由于动点 C 在椭圆上运动，故可 设动点 C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点 G 的坐标设为(x，y)，由 三角形重心的坐标公式可得
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离的最大值为 a＋c(其中 c2＝a2－b2)．
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证明：M、F 的坐标分别为(acos θ，bsin θ)、(－c,0) |MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2 ＝a2cos 2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos 2θ ＝c2cos 2θ＋2accos θ＋a2 ＝(a＋ccos θ)2 ∴当 cos θ＝1 时，|MF|2 最大，|MF|边最大，最大值为 a＋c.
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x＝6＋0＋6cos θ， 3 0＋3＋3sin θ ， y＝ 3
x＝2＋2cos θ， 即 y＝1＋sin θ.
x－22 消去参数 θ 得到 4 ＋(y－1)2＝1.
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[悟一法] 利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用 θ 表示点的坐标， 再利用 sin 2θ＋cos 2θ＝1 进行消参，本题的解决方法体现了椭圆 的参数方程对于解决相关问题的优越性， 运用参数方程显得很简 单，运算更简便．
[命题立意] 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭
圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化 思想．
[解]
(1)由已知可得
π π π π π π A(2cos 3，2sin 3)，B(2cos (3＋2)，2sin(3＋2))， π π C(2cos (3＋π)，2sin(3＋π))，
此题需要设出 A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知 B、C、 D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
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x2 y2 ∵椭圆方程为100＋64＝1， ∴可设 A 点的坐标为(10cos α，8sin α)． 则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|， ∴S 矩形＝|AB|· |AD|＝20×16|sin α· cos α| ＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1， ∴矩形 ABCD 的最大面积为 160.
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π 3π π 3π D(2cos (3＋ 2 )，2sin(3＋ 2 ))， 即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－ 3)，D( 3，－1)． (2)设 P(2cos φ，3sin φ)，
令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为 0≤sin 2φ≤1，所以 S 的取值范围是[32,52]．
解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2 的距离之和是 4， 得 2a＝4，即 a＝2. 32 2 3 1 又点 A(1，2)在椭圆上，因此4＋ b2 ＝1，
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2 2 x y 得 b2＝3，于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1，
焦点坐标为 F1(－1,0)，F2(1,0)． (2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，线段 F1P 的 中点坐标为(x，y)，则 2cos θ－1 3sin θ＋0 x＝ ， y＝ ， 2 2 1 2y 所以 x＋2＝cos θ， ＝sin θ. 3 1 2 4y2 消去 θ，得(x＋2) ＋ 3 ＝1.