椭圆的参数方程.ppt

椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义
y a b B o A
ϕ
•
M x
x = a cos ϕ (ϕ为参数) y = b sin ϕ
思考： 思考：P27，28 ，
类比圆的参数方程中参数的意义， 类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
x = 3cos ϕ , （1） y = 5sin ϕ . 2 2 x y （ 3） + =1 4 9
x = 8cos ϕ , （2） y = 6sin ϕ .
2
（ 4） + x
y
2
16
=1
x = 2 3 cos ϕ , 2.曲线 (ϕ为参数)的焦距是 y = 3 2 sin ϕ.
探究：P29 探究：
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A， 它们可以分 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块 ，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔 处用套管装上铅笔， 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点 处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺 和横槽所成的角为参数 求出点M的轨迹的参数方程 和横槽所成的角为参数， 的轨迹的参数方程。 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点 的轨迹的参数方程。
分别用两种方法做： 分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。 、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
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练习
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x = cos 2 θ , (θ 为 参 数 ), 3.曲 线 的 参 数 方 程 2 y = sin θ .
ϕ
b tanθ = tan ϕ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
cos ϕ + sin ϕ = 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程 相比较而得到，
4
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cos θ + sin θ = 1 相比较而得到， 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
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1
x y 例4 求椭圆 + = 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cosϕ，ϕ为参数； (2)设y= 2t，t为参数.
解：（1）把x=3cosϕ代入椭圆方程，得到
9cos2 ϕ y2 + = 1, 9 4
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y M B A
A，B，M三点固定，设 ， ， 三点固定 三点固定， ∠ |AM|=a，|BM|=b， MBx ， ，
M 0 A B
ϕ
x
=ϕ 。
设M(x,y)则x=acos ϕ ,y=bsin ϕ , 所以M点的轨迹为椭圆。
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练习、 、把下列参数方程化为普通方程， 练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答） 化为参数方程（口答）
思考： 思考：P30
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小结
x2 y2 的参数方程为： 椭圆 2 + 2 =（a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
x = a cos ϕ (ϕ 为参数 ) y = b sin ϕ
（acosϕ,bsinϕ）
θ
说明： 说明：
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x = a cos ϕ (ϕ为参数) y = b sin ϕ
（acosϕ,bsinϕ）
θ
通常规定ϕ ∈ [o, 2π )
说明： 说明：
叫做椭圆的离心角. ⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点M的离心角与直线 的离心角与直线OM的倾斜角 不同： 的倾斜角θ 椭圆上点 的离心角与直线 的倾斜角 不同：
叫做椭圆的离心角. ⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角 b tan θ = tan ϕ ; 椭圆上点M的离心角与直线 的离心角与直线OM的倾斜角 不同： 的倾斜角θ 椭圆上点 的离心角与直线 的倾斜角 不同： a
ϕ
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 a b 2 2
x2 y2 + =1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x， 满足 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 ，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？ 的最大值和最小值吗？ 的前提下，求出 的最大值和最小值吗
由此可以提出哪些类似的问题？ 由此可以提出哪些类似的问题？
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。
x y 上求一点M， 例1、在椭圆 、 到直线 + = 1 上求一点 ，使M到直线 9 4
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。 的距离最小，并求出最小距离。 的距离最小
Y
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y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、 的离心率、准线方程
x = cosϕ, 4、(1)求出曲线 、 求出曲线 1 y = 2 sinϕ.
（2）若曲线上有一点 （x,y）则求出 ）若曲线上有一点P（ ）则求出3x+4y的 的 取值范围. 取值范围 注意焦点位置
这是中心在原点O， 这是中心在原点 ，焦点 圆： θ 为 点 M 的 旋 转 角 ； 轴上的椭圆的参数方程。 在x轴上的椭圆的参数方程。 轴上的椭圆的参数方程 ϕ 椭圆： 椭圆： 为 点 M 的 离 心 角 。
3
x y 的参数方程为： 椭圆 2 + 2 =（a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
所以
y2 = 4(1 − cos2 ϕ ) = 4sin2 ϕ ,
即
x2 y2 由参数ϕ的任意性，可取 y = 2sin ϕ。所以，椭圆 + = 1 的参数方程是 9 4 x = 3cosϕ (ϕ为参数) y = 2sin ϕ
2
y = ±2sin ϕ。
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5、已知点A（1，0），椭圆 、已知点 （ ， ）， ），椭圆
x 2 + y =1 4
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在椭圆上移动， 点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时 在椭圆上移动 的最小值及此时 的坐标. 点P的坐标 的坐标
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