椭圆的参数方程.ppt
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2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
2
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
椭圆的参数方程 课件
y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.
椭圆的参数方程课件
∴|OQ|＝12－cossinφφ. ∴|OP|·|OQ|＝12＋cossinφφ×12－cossinφφ＝4. 即|OP|·|OQ|＝4 为定值．
5．对任意实数，直线
y＝x＋b
与椭圆xy＝＝42scions
θ θ
(0≤θ≤2π)，
恒有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得：
[证明] 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x， 令 y＝0，则 x＝si2ncoφs＋φ1，即|OP|＝12＋cossinφφ. MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x， 令 y＝0，则 x＝12－cossinφφ.
若 0＜35a≤1，则当 cos θ＝35a 时， |PA|min＝ －45a2＋4＝1，得 a＝ 215(舍去)； 若 1＜35a＜95，则当 cos θ＝1 时， 由|PA|min＝ a2－6a＋9＝1， 得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A，B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和 上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程．
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos(φ＋φ0) ＝ 89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．
所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
1．已知椭圆2x52＋1y62 ＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找
一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．
4sin θ＝2cos θ＋b
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
5．对任意实数，直线
y＝x＋b
与椭圆xy＝＝42scions
θ θ
(0≤θ≤2π)，
恒有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得：
[证明] 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x， 令 y＝0，则 x＝si2ncoφs＋φ1，即|OP|＝12＋cossinφφ. MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x， 令 y＝0，则 x＝12－cossinφφ.
若 0＜35a≤1，则当 cos θ＝35a 时， |PA|min＝ －45a2＋4＝1，得 a＝ 215(舍去)； 若 1＜35a＜95，则当 cos θ＝1 时， 由|PA|min＝ a2－6a＋9＝1， 得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A，B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和 上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程．
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos(φ＋φ0) ＝ 89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．
所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
1．已知椭圆2x52＋1y62 ＝1，点 A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找
一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．
4sin θ＝2cos θ＋b
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
【公开课课件】《椭圆的参数方程》课件
椭圆的参数方程
x a cos （ 为参数 ） 0,2 y b sin
练习
x 2 3 cos P是椭圆 （ 为参数）上一点， y 2 sin
OP的倾斜角为 4 ，则点P的坐标为（ (B) (A) ）
(A) ( 6 , 2 ) (C) (2 3, 3) (B) ( 3, 3 ) (D) (4,3)
y M B A
A，B，M三点固定，设 MBx |AM|=a，|BM|=b，
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,
。 所以M点的轨迹为椭圆。
例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
x2 例３ 点P在椭圆 y 2 1 上运动，直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B，问P处于何处时，P到直线
的距离最大？
y A P O B x
例3
已知椭圆 ，点P(x,y)是椭圆 上一点， ⑴求x2＋y2的最大值与最小值； ⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于 椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4， 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一（参数法） 方法二（消元法）要注意元的范围22 ⑵参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键：求出B、D到直线AC的最大距离.
说明：
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
椭圆的参数方程ppt课件
课堂达标测练教材超级链接解以在以a为原点直线ab为为x轴的直角坐标系中弹道方程是??????????xv0tcosyv0tsin12gt2t为参数它经过最高点30001200和点b60000的时间分别为t0和和2t0代入参数方程得??????????????3000v0t0cos1200v0t0sin12gt2002v0t0sin2gt20去消去t0得??????????v20sincos3000gv20sin22400g
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标． 分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
0＝2v0t0sin α －2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα
cos ＝2
α ＝3 400 g.
000
g，
解得：α ＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ ，3sin θ )，
则 d＝|12cos
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程； (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标． 分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
0＝2v0t0sin α －2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα
cos ＝2
α ＝3 400 g.
000
g，
解得：α ＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ ，3sin θ )，
则 d＝|12cos
1[1][1]椭圆的参数方程(第一课时).ppt
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x2 b2
y2 a2
1 的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
x
令
b y
c os sin
xy
b cos(为参数) a sin
a
是焦点在Y轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
x
大值和最小最值大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
设∠XOA=φ
B
O
A
M
Nx
第二章 参数方程
知识点小结
1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
的长半轴长 和短半轴长 . （其中a>b）
2. 称为 离心角 ,规定参数 的取值范围
是 0,2
3.
当焦点在X轴时
x y
a b
cos sin
(为参数)
x b cos 当焦点在Y轴时 y a sin
S 2016sin cos 160sin 2
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
第二章 参数方程
练习3:已知A,B两点是椭圆
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
2
2
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
Hale Waihona Puke F2X A2 X所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
椭圆的参数方程教学课件
椭圆的参数方程教学 课件
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形，其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似，但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时，椭圆变为圆，因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2，而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中，椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式，将三角函数、 角度、半径等参数联系起来， 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导，得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中， 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角，r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程，可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值，计算出椭圆的焦点到中心的距离d； 2. 根据d和c的关系，确定椭圆的偏心率e；
3. 利用e和a、b的关系，计算出椭圆的长轴和短轴的长度；
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度，以及 给定的θ值，计算出P点的极径ρ；
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后，可以通过数学建模和数据处理的方 法，解决与椭圆相关的实际问题，提高数学应用能力。
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形，其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似，但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时，椭圆变为圆，因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2，而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中，椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式，将三角函数、 角度、半径等参数联系起来， 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导，得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中， 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角，r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程，可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值，计算出椭圆的焦点到中心的距离d； 2. 根据d和c的关系，确定椭圆的偏心率e；
3. 利用e和a、b的关系，计算出椭圆的长轴和短轴的长度；
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度，以及 给定的θ值，计算出P点的极径ρ；
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后，可以通过数学建模和数据处理的方 法，解决与椭圆相关的实际问题，提高数学应用能力。
椭圆的参数方程教学课件
5
5
小节： 椭圆的参数方程的形式 椭圆参数方程中参数的意义
（3）x2 y2 4,双曲线；
5、(1)x t 2 3t 1,(t为参数) y t 1;
(2)
x y
a a
c os4 sin 4
(为参数)
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭圆ax22
y2 b2
1(a b 0)
点连线的中点 。轨迹方程
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M (x, y)
则x y
2a
b sin 2
a cos
2
;
,
(为参数)
上述的方程消去参数，得 (x a)2 a2
y2 b2
1
4
4
例1、在椭圆x2 y2 1上求一点M， 94
使点M到直线x2y100的距离最小
y，由点A, B均在角的终边上，由三角函的数
定义有
x OAcos acos
y OBsin bsin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得点 到M了 的轨迹，它的参数是 方程
x y
acos(为参数) bsin
这是中心在原O点 ，焦点在 x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方 通程 常中 规， 定参 的数 范围是 [0,2)
思考：
椭圆的参数方程中参的数意义与圆的参数方 程xyrrcsions(为参数)中参数的意义类似吗？
由图可以看出， 是参 点 M所 数对应的圆的
径OA(或OB)的旋转(称 角为M 点的离心)， 角不
是OM的旋转角，是 参半 数O 径M的旋转角。
椭圆参数方程的推导
高中数学2.2.1 椭圆的参数方程优秀课件
解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为
(6cos,3sin)，点G 的坐标为( x , y ) 。则由题意可知A(6,0),B(0,3)
由重心坐标公式可知：
x606cos22cos
3
y033sin1sin
3 由此可得：(x2)2 (y1)2 1即为所求
4
例1：在椭圆 x 2 y 2 1 上求一点 M ，使点M 到直线x2y100的 94
x y
a b
c s
os in
（
为参数）中的参数
不是动点 M (x, y) 的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 O A（或 O B ）的旋转角，称为离心角，不是O M 的旋转角。
2.通常规定[0,2) 。
3.当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形
式。
如
(x a2 m)2(yb 2n)21(ab0)可表示为xymn
距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
x y
3 2
cos sin
（
为参数）
∴可设点 M 的坐标为 (3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
d|3cos4sin10|
5
|5(cos•3sin•4)10|
5
5
5
15|5cos(0)10|
其中
0
满足cos0
解：由题意，设椭圆的方程为 x 2 y 2 1 a2 b2
则a3,c 5,b2
∴椭圆的普通方程为
x2 32
y2 22
1
化为参数方程得： xy
3 2
cos sin
（
为参数）
例3：已知P 标。
(6cos,3sin)，点G 的坐标为( x , y ) 。则由题意可知A(6,0),B(0,3)
由重心坐标公式可知：
x606cos22cos
3
y033sin1sin
3 由此可得：(x2)2 (y1)2 1即为所求
4
例1：在椭圆 x 2 y 2 1 上求一点 M ，使点M 到直线x2y100的 94
x y
a b
c s
os in
（
为参数）中的参数
不是动点 M (x, y) 的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半径 O A（或 O B ）的旋转角，称为离心角，不是O M 的旋转角。
2.通常规定[0,2) 。
3.当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形
式。
如
(x a2 m)2(yb 2n)21(ab0)可表示为xymn
距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
x y
3 2
cos sin
（
为参数）
∴可设点 M 的坐标为 (3cos,2sin)
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
d|3cos4sin10|
5
|5(cos•3sin•4)10|
5
5
5
15|5cos(0)10|
其中
0
满足cos0
解：由题意，设椭圆的方程为 x 2 y 2 1 a2 b2
则a3,c 5,b2
∴椭圆的普通方程为
x2 32
y2 22
1
化为参数方程得： xy
3 2
cos sin
（
为参数）
例3：已知P 标。
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x2 y2 + =1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x， 满足 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 ，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？ 的最大值和最小值吗？ 的前提下，求出 的最大值和最小值吗
由此可以提出哪些类似的问题？ 由此可以提出哪些类似的问题？
所以
y2 = 4(1 − cos2 ϕ ) = 4sin2 ϕ ,
即
x2 y2 由参数ϕ的任意性，可取 y = 2sin ϕ。所以，椭圆 + = 1 的参数方程是 9 4 x = 3cosϕ (ϕ为参数) y = 2sin ϕ
2
y = ±2sin ϕ。
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叫做椭圆的离心角. ⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角 b tan θ = tan ϕ ; 椭圆上点M的离心角与直线 的离心角与直线OM的倾斜角 不同： 的倾斜角θ 椭圆上点 的离心角与直线 的倾斜角 不同： a
ϕ
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 a b 2 2
这是中心在原点O， 这是中心在原点 ，焦点 圆： θ 为 点 M 的 旋 转 角 ； 轴上的椭圆的参数方程。 在x轴上的椭圆的参数方程。 轴上的椭圆的参数方程 ϕ 椭圆： 椭圆： 为 点 M 的 离 心 角 。
3
x y 的参数方程为： 椭圆 2 + 2 =（a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、 的离心率、准线方程
x = cosϕ, 4、(1)求出曲线 、 求出曲线 1 y = 2 sinϕ.
（2）若曲线上有一点 （x,y）则求出 ）若曲线上有一点P（ ）则求出3x+4y的 的 取值范围. 取值范围 注意焦点位置
思考： 思考：P30
10
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小结
x2 y2 的参数方程为： 椭圆 2 + 2 =（a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
x = a cos ϕ (ϕ 为参数 ) y = b sin ϕ
（acosϕ,bsinϕ）
θ
说明： 说明：
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x = a cos ϕ (ϕ为参数) y = b sin ϕ
（acosϕ,bsinϕ）
θ
通常规定ϕ ∈ [o, 2π )
说明： 说明：
叫做椭圆的离心角. ⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点M的离心角与直线 的离心角与直线OM的倾斜角 不同： 的倾斜角θ 椭圆上点 的离心角与直线 的倾斜角 不同：
椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义
y a b B o A
ϕ
•
M x
x = a cos ϕ (ϕ为参数) y = b sin ϕ
思考： 思考：P27，28 ，
类比圆的参数方程中参数的意义， 类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
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1
x y 例4 求椭圆 + = 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cosϕ，ϕ为参数； (2)设y= 2t，t为参数.
解：（1）把x=3cosϕ代入椭圆方程，得到
9cos2 ϕ y2 + = 1, 9 4
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y M B A
A，B，M三点固定，设 ， ， 三点固定 三点固定， ∠ |AM|=a，|BM|=b， MBx ， ，
M 0 A B
ϕ
x
=ϕ 。
设M(x,y)则x=acos ϕ ,y=bsin ϕ , 所以M点的轨迹为椭圆。
5
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练习、 、把下列参数方程化为普通方程， 练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答） 化为参数方程（口答）
6
。
x y 上求一点M， 例1、在椭圆 、 到直线 + = 1 上求一点 ，使M到直线 9 4
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。 的距离最小，并求出最小距离。 的距离最小
Y
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y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。 、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
7
练习
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x = cos 2 θ , (θ 为 参 数 ), 3.曲 线 的 参 数 方 程 2 y = sin θ .
x = 3cos ϕ , （1） y = 5sin ϕ . 2 2 x y （ 3） + =1 4 9
x = 8cos ϕ , （2） y = 6sin ϕ .
2
（ 4） + x
Байду номын сангаас
y
2
16
=1
x = 2 3 cos ϕ , 2.曲线 (ϕ为参数)的焦距是 y = 3 2 sin ϕ.
8
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5、已知点A（1，0），椭圆 、已知点 （ ， ）， ），椭圆
x 2 + y =1 4
2
在椭圆上移动， 点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时 在椭圆上移动 的最小值及此时 的坐标. 点P的坐标 的坐标
9
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探究：P29 探究：
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A， 它们可以分 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块 ，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔 处用套管装上铅笔， 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点 处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺 和横槽所成的角为参数 求出点M的轨迹的参数方程 和横槽所成的角为参数， 的轨迹的参数方程。 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点 的轨迹的参数方程。
ϕ
b tanθ = tan ϕ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
cos ϕ + sin ϕ = 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程 相比较而得到，
4
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cos θ + sin θ = 1 相比较而得到， 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
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